Podstawy przetwarzania sygnałów 7. Dyskretna transformata Fouriera

Podstawy przetwarzania sygnałów 7. Dyskretna transformata Fouriera

Ćw. 7.1 Udowodnij, że jeśli FN : (yk) → (Yn), to a) F_N : (y−k) → (Y−n),

b) F_N : (y_k) → (Y−n), c) FN : (y−k) → (Yn).

Ćw. 7.2 Wyznacz dyskretną transformatę Fouriera ciągów 1. x_k= k; k = 0, 1, . . . , N − 1;

2. x_k= e^k, k = 0, 1, . . . , N − 1.

Ćw. 7.3 Niech (x_k) i (yk) będą dwoma zespolonymi ciągami o okresie N i niech (Xk) i (Y_k) oznaczają ich DFT. Udowodnij, że

a) transformata splotu cyklicznego, tzn. ciągu zdefiniowanego wzorem

z_k =

N −1

X

q=0

x_qy_k−q, k ∈ Z,

ma postać

FN : (zk) → (Zn= N XnYn), b) transformata iloczynu ciągów (x_k) i (y_k) ma postać

F_N : (p_k = x_ky_k) → (P_n =

N −1

X

q=0

X_qY_n−q).

Ćw. 7.4 Udowodnij, że jeśli F_N : (y_k) → (Y_n), to

N −1

X

k=0

|y_k|² = N

N −1

X

n=0

|Y_n|².