Podstawy przetwarzania sygnałów
8. Transformata Fouriera funkcji całkowalnych
Ćw. 8.1 Oblicz transformatę Fouriera funkcji f (x) = 1I[a,b](x).
Ćw. 8.2 Niech f (t) = (1 − t2)1I[−1,1](t). Udowodnij, że f (ξ) =ˆ 1
π2ξ2
sin 2πξ
2πξ − cos 2πξ
!
.
Ćw. 8.3 Udowodnić, że jeżeli f ∈ L1(R) i f (x) > 0 dla każdego x, to
| ˆf (y)| < ˆf (0) dla każdego y 6= 0.
Ćw. 8.4 Niech f ∈ L1(R).
1. Dla λ ∈ R \ {0} zdefiniujmy g(x) = f (λx). Udowodnij, że ˆ
g(ξ) = 1
|λ|fˆ ξ λ
!
.
2. Dla λ ∈ R \ {0} i µ ∈ R zdefiniujmy g(x) = f (λx − µ). Udowodnij, że ˆ
g(ξ) = 1
|λ|e−2πµλξfˆ ξ λ
!
.
Ćw. 8.5 Jeśli xkf (x) należy do L1(R) dla k = 0, . . . , p, to momentem rzędu k funkcji f nazywamy wielkość
Mk=
Z
R
xkf (x)dx.
Udowodnij, że
Mk = 1
(−2iπ)k
fˆ(k)(0).
Ćw. 8.6 Wyznacz transformatę Fouriera funkcji f (x) = 1
1 + x2.
Na podstawie uzyskanego wzoru oblicz transformaty funkcji g(x) = x
(1 + x2)2 i h(x) = 1 1 + (x − a)2.
Ćw. 8.7 Wyznacz f ∗ gn, gdzie f = 1I[−1,1], gn = 1I[−n,n], n ∈ N, i transformatę tego splotu.
Ćw. 8.8 Niech
f (t) = sin 2πλt πt dla λ > 0. Wyznacz f ∗ f .
