w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

(1)

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Biotechnologia

w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany

(2)

6. Funkcja potęgowa i pierwiastkowa

Funkcję postaci

y = x

^a

, gdzie a ∈ R \ {0} nazywamy funkcją potęgową.

6.1. Przykłady

(1) a = 2k − 1, k ∈ N \ {0}

Rysunek 1. Wykresy funkcji f (x) = x, g(x) = x³, h(x) = x⁵.

-1 1

-2 -1 0 1 2 x

y f

g h

• D

f

= R,

• zbiór wartości R,

• funkcja rosnąca,

• funkcja nieparzysta.

(2) a = 2k, k ∈ N \ {0}

Rysunek 2. Wykresy funkcji f (x) = x², g(x) = x⁴, h(x) = x⁶.

1

-1 0 1 x

y f

g h

• D

f

= R,

• zbiór wartości R

+

∪ {0},

• funkcja parzysta.

(3) a = 2k − 1, k ∈ Z

₋

∪ {0}

Rysunek 3. Wykresy funkcji f (x) = x⁻¹, g(x) = x⁻³, h(x) = x⁻⁵.

-1 1

-2 -1 0 1 2 x

y f

g h

• D

f

= R \ {0},

• zbiór wartości R \ {0},

• funkcja nieparzysta,

• funkcja różnowartościo-

wa.

(3)

(4) a = 2k, k ∈ Z

₋

Rysunek 4. Wykresy funkcji f (x) = x⁻², g(x) = x⁻⁴, h(x) = x⁻⁶.

1

-2 -1 0 1 2

x

y f

g h

• D

f

= R \ {0},

• zbiór wartości R \ {0},

• funkcja parzysta.

(5) a =

¹_k

, k = {2, 4, . . . }

Rysunek 5. Wykresy funkcji f (x) = x¹², g(x) = x¹³, h(x) = x¹⁴.

1

0 1 2 x

y f

g h

(6) a =

¹_k

, k = {3, 5, . . . }

Rysunek 6. Wykresy funkcji f (x) = x¹³, g(x) = x¹⁵, h(x) = x¹⁷.

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y f

g h

6.2. Działania na potęgach Zakładamy, że a ̸= 0.

a

⁰

= 1

a

¹

= a

a

ⁿ⁺¹

= a

ⁿ

· a

(4)

Jeśli m, n ∈ R, a, b ∈ R

+

, to a

^m

· a

ⁿ

= a

^m+n

a^m

aⁿ

= a

^m⁻ⁿ

(a · b)

ⁿ

= a

ⁿ

· b

ⁿ

(

^a_b

)

ⁿ

=

^a_bⁿn

(a

^m

)

ⁿ

= a

^m^·n

a

⁻ⁿ

=

_a¹n

n ∈ N, a ∈ R \ {0}

a

^mⁿ

= √

ⁿ

a

^m

n ∈ N \ {0}, m ∈ N, a > 0

6.3. Działania na pierwiastkach

Jeśli m, n ∈ N, m, n > 1, a, b > 0, to

√

n

a · b = √

ⁿ

a · √

ⁿ

b

n

√a b

=

ⁿ^√n√^a

b

m√

√

n

a =

^m^·n

√ a ( √

ⁿ

a)

^p

= √

ⁿ

a

^p

a · √

ⁿ

b = √

ⁿ

a

ⁿ

· b

6.4. Funkcje pierwiastkowe

• Funkcją odwrotną do funkcji f : [0, +∞) → [0, +∞), f(x) = x

²

jest funkcja pierwiastek kwadratowy

√ : [0, + ∞) → [0, +∞), x 7→ √ x.

• n = 2k, k ∈ Z

+

Funkcją odwrotną do funkcji potęgowej f : [0, + ∞) → [0, +∞), f(x) = x

ⁿ

jest funkcja √

ⁿ

: [0, + ∞) → [0, + ∞), x 7→ √

ⁿ

x.

• n = 2k + 1, k ∈ Z

+

Funkcją odwrotną do funkcji f : R → R, f(x) = x

ⁿ

jest funkcja pierwiastek √

ⁿ

: R → R, x 7→ √

ⁿ

x.

6.5. Równania i nierówności pierwiastkowe

∀

a,b>0

a = b ⇐⇒ a

²

= b

²

∀

a,b<0

a = b ⇐⇒ a

²

= b

²

∀

a,b>0

a 6 b ⇐⇒ a

²

6 b

²

∀

a,b<0

a 6 b ⇐⇒ a

²

> b

²

6.6. Przykładowe zadania 1. Rozwiązać równanie √

x + 3 = x + 1.

Rozwiązanie:

Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb nieujemnych, więc x + 3 > 0, czyli x > −3.

Podnosimy obie strony do kwadratu.

( √

x + 3)

²

= (x + 1)

²

x + 3 = x

²

+ 2x + 1 x

²

+ x − 2 = 0

∆ = 9, x

1

= −2, x

2

= 1

(5)

Ponieważ operacja podnoszenia stron równania do kwadratu nie jest przekształceniem równoważ- nym i może spowodować wprowadzenie tzw. pierwiastków obcych, sprawdzamy, czy otrzymane wyniki są faktycznie rozwiązaniami wyjściowego równania.

Odpowiedź: x ∈ {−2, 1}.

2. Rozwiązać równanie 3 − √

x − 1 = √ 3x − 2.

Rozwiązanie:

Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb nieujemnych, więc x − 1 > 0, czyli x > 1 oraz 3x − 2 > 0, czyli x >

²₃

. Zatem D = [1, +∞).

Wyrażenie to podnosimy do kwadratu.

(3 − √

x − 1)

²

= ( √

3x − 2)

²

9 − 6 √

x − 1 + x − 1 = 3x − 2

−6 √

x − 1 = 2x − 10 3 √

x − 1 = 5 − x

Równanie podnosimy po raz kolejny do kwadratu.

(3 √

x − 1)

²

= (5 − x)

²

9(x − 1) = 25 − 10x + x

²

x

²

− 19x + 34 = 0, ∆ = 225, x

1

= 2, x

2

= 17

Ponieważ operacja podnoszenia stron równania do kwadratu nie jest przekształceniem równoważ- nym i może spowodować wprowadzenie tzw. pierwiastków obcych, sprawdzamy, czy otrzymane wyniki są faktycznie rozwiązaniami wyjściowego równania.

Odpowiedź: x = 2.

3. Rozwiązać nierówność √

4x − x

²

x − 2.

Rozwiązanie:

Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb nieujemnych, więc 4x − x

²

> 0, czyli x ∈ [0, 4].

• Dla x ∈ [0, 2) prawa strona nierówności jest ujemna, lewa natomiast jest dodatnia. Czyli nierów- ność zachodzi w sposób oczywisty dla każdego x ∈ [0, 2).

• Dla x ∈ [2, 4] obie strony nierówności są nieujemne, więc można je podnieść do kwadratu (za- chowując kierunek nierówności).

( √

4x − x

²

)

²

(x − 2)

²

4x − x

²

x

²

− 4x + 4 x

²

− 4x + 2 ¬ 0

∆ = 8, x

₁

= 2 − √

2, x

₂

= 2 + √

2, czyli x ∈ [2 − √

2, 2 + √ 2]

Uwzględniając warunek wstępny x ∈ [2, 4] otrzymujemy x ∈ [2, 2, + √ 2].

Bierzemy sumę odpowiedzi z obu przypadków, czyli x ∈ [0, 2) lub x ∈ [2, 2, + √ 2].

Odpowiedź: x ∈ [0, 2 + √ 2].

4. Rozwiązać nierówność √

x + 1 ¬ 1 + √ x − 2.

Rozwiązanie:

Pierwiastek kwadratowy jest określony dla liczb nieujemnych, więc x + 1 > 0, czyli x −1 oraz x − 2 0, czyli x 2. Stąd D = [2, +∞).

Obie strony nierówności są dodatnie, więc możemy podnieść obie strony nierówności do kwadratu.

(6)

( √

x + 1)

²

¬ (1 + √ x − 2)

²

x + 1 ¬ 1 + 2 √

x − 2 + x − 2 1 √

x − 2

Podnosimy równanie do kwadratu po raz kolejny.

1 ¬ x − 2, więc x 3 Odpowiedź: x ∈ [3, +∞).

6.7. Zadania

Znaleźć dziedzinę funkcji:

1. f (x) = 2 √

5 − x + √ x

²

+ 1.

2. f (x) = √

x

²

+ 2x − 3 − √ 8 − x.

3. f (x) = √

−x

³

− 4x + 2x

²

+ 8.

4. f (x) = √

−x

²

+ 17x − 30.

5. f (x) =

√4x+x² x

.

6. f (x) =

√16−x²

4−x

+

_2x¹₋₅

. 7. f (x) =

³

√x+1 x²−9

. 8. f (x) =

√^x²⁻⁸

2−³_x

. 9. f (x) =

√^3x⁻¹

2−^3x+1_x₋₂

.

Rozwiązać równanie:

10. √

x

²

− 4x + 2 = x

²

− 4x − 28.

11. x

²

− 5 √

x

²

− 2 = −4.

12. √

x + 3 = x + 1.

13. 3 − √

x − 1 = √ 3x − 2.

14. √

x

²

− 25 + √

x

²

− 1 = 4.

15. √

x

²

+ 10x + 25 − √

x

²

− 8x + 16 = 5.

16. √

³

x + 45 − √

³

x − 16 = 1.

17. 2 √

x

²

+ x − 20 + x(x + 1) = 68.

18. √

x + 5 − √ x = √

x − 3.

19.

√

1 − √

1 + x = x.

20. x √

2 − x = 2x − 1.

21. √

x

²

+ 7 − x = 2.

22. √

x + 4 + √

x + 11 = 7.

23. 2x − 3 √

x − 8 = 25.

24. x −

^√

x

²

− x + 1 + √

x

²

+ x + 6 = 1.

25. 2 √

³

x

²

− 5 √

³

x = 3.

26. 1 − √

⁴

5x − 7 = 2.

27.

√

x + 3 − 4 √

x − 1 +

^√

x + 8 − 6 √

x − 1 = 1.

Rozwiązać nierówność:

28. √

2x − 1 > 2.

29.

^√

(x + 2)

²

− 8x + |3 − x| < 3x − 1.

30. (x − 4) √

x + 1 < 4 − 2x.

31. 3 √

6 + x − x

²

+ 2 ¬ 4x.

32. √

x

²

+ 10x + 25 + √

x

²

− 12x + 36 ¬ 9 − x.

33. √

x

²

− 25 < 5 − x.

34. √

2x − 1 − √

x + 2 0.

35.

√

x + 3 + √ 2x >.

36. √

x

²

− 16 < 2 − x.

37.

^√

(x + 4)(x − 3) < 6 − x.

38. −5 √

8x − 2x

²

¬ x − 4.

39.

√3x−4 3−x

> 1.

(7)

Sporządzić wykres funkcji:

40. f (x) = √ x + 2.

41. f (x) = − √

−x − 1.

42. f (x) = √ 4 − x

²

.

43. f (x) = √

³

x + 1.

44. f (x) = √

³

x − 2.

45. f (x) = √

x

²

− 2x + 1 − |x|.

46. Rozwiązać równanie √

2 − 4x

²

− kx + √

2 = 0 z parametrem k.

47. Dla jakich wartości parametru m równanie √

^x²⁻¹

(x−1)(x+1)

= x + m ma rozwiązanie?

Rozwiązać układ równań (nierówności):

48.

{

√ x + √

y = 14 x + y = 130

49.





√ x + y +

^√

2xy = 8 √

√ 2 x + √

y = 4

50.

{

√

₃

x + √

³

y = 5

√

x + y + 1 + x + y = 41

51.

{

|x

⁴

− 1| > 3(x

²

+ 1)

√ x + 1 + x ¬ 1