Obliczanie współczynników szeregu Fouriera przy danych współczynnikach szeregu Walsha

(1)

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄS KI E J Seria: A UT O MA TY KA z. 83

________ 1986 N r kol. 888

Edward HRYNKIEWICZ

O BLICZANIE WS PÓ Ł CZ YN NI K ÓW SZEREGU FOU RI E RA PRZY DANYCH W S PÓ Ł CZ YN NI K AC H SZEREGU W A L S H A

S tr es z c z e n i e . W artykule podana jest me toda obliczenia w s p ó ł  czynników szeregu Fouriera pr zy danych współ cz y nn ik ac h szeregu W alsha. Motoda ta jest tak pomyślana, by można było wyk on yw a ć obli

czenia na komputerze os o bistym lub kalkulatorze (w szczególności kalkulatorze H P 9820).

1. Wprowadzenie

D o w o ln a całkowalną funkcję f(t), określoną w przedziale < 0 , T > i speł

niaj ąc ą w a r un k i Dirichleta m ożna rozłożyć w szereg w z g l ę d e m danego u k ł a  du bazowych funkcji ortogonalnych. Jako funkcje bazowe, dan oprócz funkoji trygonometrycznych, stosuje się międ zy innymi funkcje Walsha, co w pew

nych przypadkach pozwala na szybsze, niż dla funkcji trygonometrycznych, znajdowanie współc zy nn ik ó w rozkładu. Funkcje W a l sh a dla dowolnego k i dla x € < 0 , 1 > definiuje się nastę p uj ąc o [i] :

M-1

w al(k,x) =■ [~j sgn(cosk r 2r X x ) , (1)

r=0

gdzie:

x = -| i- jest z normalizowanym czasem,

M - na jmniejsza liczba naturalna spełniająca zależność 2 > k, kr - kole j na cyfra zapisu liczby k w kodzie n at ur a ln ym dwójkowym.

Podobnie do fun k cj i trygonometrycznych funkcje Wals ha d z ielimy na parzyste (cal(s,x)) i nieparzyste (sal(s,x)), jak pokazano na rys. 1.

K or zystając z tego, że w obliczeniach komputerowych wyzna cz e ni e w s p ó ł  czynników szeregu Wa lsha jest szybsze ¿od wy z naczania w s p ó łc zy nn i kó w Fouriera, można te ostatnie wyz na c za ć pośrednio ze w s p ó ł c z y n n i k ó w Walsha.

Metoda ta może mieć znaczenie wtedy, gdy funkcja f(t) ma skończone widmo Walsha.

(2)

34 E. Hrynkiewicz

w a l ( 0 , x ) wal (1 , x )

w a l ( 2 , x ) w a l ( 3 , x )

• wal(4, x)

wa l (5,xJ

wa l (6,x)

wal ( 7 , x)

wal ( 0 , x ) s a l (1, x ) c a l (1, x )

s a l ( 2 , x) c a l (2,xJ

s a l (3, x)

c a l ( 3 , x )

s a l ( 4 , x )

0 . 5

Rys. 1. Funkcje Walsba Fig. 1. Walsh Functions

2. Przejście ze współczynników Y/alsha na ws pó łc zy n ni ki Fouriera

Niech funkcja f(t) o okresie T będzie przedstawiona w postaci sze

regu Y/alsba:

f (t) = C Q + ^ ca 031 (3 *x ) .+ 2 S s 381 (S’X),

3=1 8=1

gdzie s

x = ę - znormalizowany czas, oraz w postaci szeregu Fourieras

a 0 0 0 0

f(t) = ^ ^ an 003 (25fnx) + 2 ^n ain (25Inx)*

n=1 n=1

(2 )

(3)

(3)

Obliczanie w sp ół cz y nn ik ów Bzeregu Fouriera... 35

R ozwińmy funkcje cal(s,x) i sal(s,x) w szereg Fouriera [3] * Dla funkcji cal(s,x) jako parzystej w s p ó ł c zy nn ik i bn = 0, a dla funkcji sal(s,x) jako nieparzystej an = 0.

cal(s,x) = 2 a g n cos 2ttnx , n=1

sal(s,x) = ^ b sn sin Z K n z, (4)

n=1 gdzieś

1

a orl = 2 I cal(s,x)cos 23f n x dx,

b _ = 2 i sal(s,x)sin 27T n x dx.

sn j

Po podstawieniu wz orów (4) do (2) i porównaniu (3) z (2) uzyskuje się podstawowe zależności przejścia ze w s p ó ł cz yn n ik ów rozwi ni ęc i a w szereg Walstaa na rozwinięcie w sz ereg Fourierai

a „ = I i T / 1 a ov, C cs u s S « 1

o o

'"sn ~s s=1

b n = 2 s ° ( 5 )

Podstawiając!

^ - 1 , m-1 “ b sn*

( 6 )

^k . m " a sn,

g d z i e !

dla k = 2, 4, 6, 8 ....

m = 2, 4. 6* 8 ....

(4)

36 E. Hr ynkiewicz

zbudować macierz A spełniającą równanie:

a Q

S-j > , Sg, Cg, • • *j • 1 0 0 ... 2 2“ > b-j» a 1f b 2 , 0 A.| i A 12 ...

0 A2 2 • • •

• • • • • •

• • • • • • (7)

Z (6) wynika, że co drugi element w w i e rs zu maci er zy A równy jest zero.

Ze w z gl ę du na to, że dla funkcji W a l s h a o okresie 1 spełniona jest zay leżność [1] j

w a l ( k , x - ■ ! ) » - w al(k,x) (8)

w r oz winięciu tych funkcji w szer eg Foul i er a w ys t ępują tylko harmoniczne nieparzyste, a dla pozostałych funkcji, które są "ściśnięciami" w c z e ś n i e j  szych funkcji oryginalnych, harmoniczne niezerowe są jeszcze rzadsze.

Oznacza to, iż w n a j l e p s z y m p rz ypadku co czwarty element wiersza macierzy A jest różny od zera.

Ko r zystając z twierdzenia o zmianie skali czasu można zapisać:

A 2k,2m “ A k,m *

(9) A 2k-1,2m-1 = A k - 1 ,m - 1 '

gdzie:

k ** 2, 4, 6, ... , a 3 2, A, 6, ... .

Na podstawie (9) można powiedzieć, że dla otrzymania całej macierzy A w y s t a r c z y znać rozwinięcie w szereg Fouriera, dla s nieparzystego, tyl

ko tych funkcji sal(s,x) i cal(s,x), których okres w y no si 1, tzn. tych, które nie są "ściśnięciami" funkcji wcześniejszych. A ponieważ funkcje cal(s,x) można o trzymać z funkcji sal(s,x) 1 przesuwając ją o 1/4, zatem

sal(s,x + } ) a § b 3n sin(25Tnx + f n) n»1

oo

= 2 (“ 1 ^ b sn 003 Z X ax n=»1

(10)

(5)

Obliczanie ws pó ł cz yn ni k ów szeregu Fouriera 37

gdzie:

s = 1, 3, 5, 7, . • • •

n = 1, 3, 5» 7, • • • •

Korzystając z w ła sn o ś c i funkcji Walsha, że ’

s al(s,x + i) a (-1) P+1 cal(s,x)

(

1 1

)

gdzie:

k p - najmniej znaczące zero liczby binarnej k = 2 s - 1 , można napisać:

00 k

2 b sn 008 = P+1°al(s,x),

n=1 ponieważ

( 1 2 )

cal(s,x) a 'V a cos 25lnx, n=1

(13)

więc

n = l k a = (-1) * (-1) p + 1 b

sn ' J usn (14)

Liczba k przyjmuje war to śc i 1, 5, 9, 13, 17,..., co w zapisie binarnym wygl ąd a następująco:

0 0 0 0 1 1

0 0 1 0 1 - 5

0 1- 0 0 1 - 9

0 1 1 0 1 - 13

1 0 0

kp + 1 0 1

\

^- ¹⁷

Wi d ać stąd, że k p+1 przyjmuje na p rzemian war to śc i 0 1 1 . k +1

Zatem czyn n ik (-1) p w w y r a ż en iu (14) można zastąpić czynnikiem k-2

(-1)*^” k a 2, 6, 10, ...

(6)

38 E. H ry nkiewicz n-1

Ponieważ w mac ie rz y A indeks m = 2n, to czynnik (-1) przybierze postać;

m -2

(-1 m = 2, 6, 10, . . .

W z ó r (14) będzie wię c teraz w y g l ąd a ł następująco;

m-2 k-2

^km = (~1)~:!~ (" 1)""J|""Ak -1 )m-1

⁽¹⁵⁾

We ź my cztery kolejne ro z winięcia w szere g P ouriera czterech funk c ji Walsha (cztery wier sz e m a c ie r zy A) o nu me ra ch k-1, k, k + 1 , k+2 (k = 2, 6, 10,...).

Dwa ostatnie ro z winięcia odpowiadające fu n kc jo m sal(s,x), cal(s,x) o s parzystym są p o wtórzeniami wc ze ś ni ej sz y ch i mo żemy je uzyskać ze wzoró w (9).

Dwa pierwsze są oryginalne, lecz znając jedno z nich można na podstawie (15) otrzymać drugie. W ynika stąd, że dla wy z naczenia m acierzy A w y s t a r  czy obliczyć co czw a rt y wiersz, tzn. wiers z e o numerach k = 2, 6, 10, ...

lub k = 1, 5, 9, ... • Pozostałe w i er s ze uzyskujemy zmieniając znak ele

m entów lub ich rozłożenie.

Przy obliczaniu oryginalnych elementów macierzy można korzystać ze

!w z o r ó w (4), ale do o bliczeń masz yn o wy ch w z o r y te nie są wygodne. Inny sposób obliczania podany jest w [4] i [5] , gdzie uwzględniając to, źe funkcje W a l sh a są pr z edziałami stałe, a m in imalna szerokość takiego pr ze  działu r ówna jest (ŁI - najm ni ej s za liczba na tu ralna taka, że 2M > k), ppdano zależność;

3 A k,m-1 a 2(-1)g °(-j)a sinc(2 )(“ ) c o s ( — ^ r=0

gdzie;

g r - w a r t o ś ć r-tej pozycji zapisu n u m er u funkcji W al sh a w kodzie Graya a - ilość jedynek w tym zapisie,

j - )/ -1 j sine - sinus całkowy (sine x =«

Jeżeli założyć, że liczone będ ą wiersze o numerach k = 2, 6, 10,...

i niezerowe el ementy w tych w ie rs z a c h o n umerach m = 2, 6, 10,..., to A^. m _ 1 = 0. Ze w z g l ę d u n a to, że dla takich k jak wyżej ostatni bit

(g^) w kodzie Graya ró wn y jest zawsze 1, pierwszy czyn ni k we wzorze (16) będzie równy;

m-2

(7)

Obliczanie współczy nn ik ó w szeregu F o u r i e r a . . 39

Uwzględniając powyższe uwagi można w z ó r (16) uprościć do postaci:

2a+m+2 m M-1

“ 2(-1)“ T ~ B i n c ( 2 ® :T) n c o s C - S ^ - g r £ ) (17)

r=1 i

W praktycznych obliczeniach ws pó łc z yn ni kó w Fouriera na podstawie da

nych współc zy n ni kó w Wals h a bierzemy pod uwagę skończona ich liczbę. Wpro

w ad za to siła rzeczy bład w obliczeniach. Błąd ten nie istnieje, jeżeli funkcja posiada skończone wi d mo Walsha, co wy nika z samej metody.

Jeżeli funkcja posiada skończone widmo Fouriera, a liczba w sp ół cz y nn i

ków w tym widmie w y no si B, to zakładajac, że mamy dane także B w s p ó ł c z y n  ników Walsha, można uzyskać dokładne ws pó łc zynniki F ouriera z zależności

(3).

- 2 .

an " V ino

- 2

b = b_sinc - 8 dla n < B (18)

u ii 2ia

1 - “ 2 1

b =. r b sine 4 dla n = B

n 2 n 2

gdzie:

an , bn - wa r to śc i w s pó łc zy n ni kó w F ouriera obliczone przy uwzglę dn i e

n iu skończonej liczby wsp ó łc zy nn i kó w Walsha.

W praktyce dość trudno przewidzieć z góry ilość niezerowych w s p ó ł c zy n

n ików Fouriera. Ti takich przypadkach szacujemy m aksymalna wartość B (obliczenia prowadzi się dla najmniejszego M, takiego że 2M > B).

3. Schemat blokowy programu

Najprościej program p rzeliczający współcz y nn ik i W a lsha na w s pó łc zy n ni  ki Fouriera zrealizować w ten sposób, że w e k to r współcz y nn ik ów Walsha mnożony jest przez 3tałą, z góry obliczona, macierz przejścia. Zapamięta

nie takiej m acierzy w y maga jednak dużej pojemności pamięci. Ponieważ program miał być n apisany na kalkul at or HP-9820, którego pamięć programu i danych wy nosi 418 rejestrów, macierz przejścia będzie liczona w trakcie realizacji programu i jednocześnie mnożona przez w e k t o r danych. 17 danej chwili będzie liczony i zapamiętany tylko jeden element m acierzy i w celu

(8)

Start Z Ł U

Wprowadzanie danych i ustawianie warunków

początkowych

Obliczanie kodu GrayTa dla kolejnych funkcji Walsha

Obliczanie elementów macierzy przejścia dla jednego z jej wierszy

Mnożenie elementów macierzy przez dany współczynnik,sumowanie i powtarzanie tych operacji,gdy element powtarza się w macierzy

Obliczanie elementów korekcy

jnych i wymnożenie ich przez wcześniej obliczone ws pó ł  czynniki Fouriera

/ Wyprowadzanie danych f

Stop

Rys. 2. Ogólny schemat blokowy programu Fig. 2. Błock diagram of the program

(9)

Obliczanie współcz y nn ik ów szeregu Fouriera. 41

uniknięcia liczenia wielokrotnie elementów o tej samej war+osci, będzie on powtarzany odpowiednia ilość razy [9] .

M ając obliczone na podstawie w z o r u (17) obliczamy A k-1 n _ 1 zgo d  nie z (15)* Ze wzoró w (9) wynika, że elementy te powtarzają się w dalszej części macierzy jako A , , ^ ; A ^ ^ , A 4 k ( 4 m ; ^ 4k-i , 4m-1 * —

...(k = m = 2,6,10,14, •••). Wszystkie te elementy mnożymy przez odpo

wiednie współcz yn n ik i Wa lsha zgodnie z numerem wier s za k i sumujemy zgodnie z nume re m kolumny m.

Schemat blokowy programu pokazany jest na rys. 2.

4« Podsumowanie

Przy obliczaniu współc zy n ni kó w Fouriera na podstawie danych w spółczyn- lików Walsha możemy popełnić błąd wynikaj ąc y z uwzględnienia skończonej ilości współc zy nn ik ó w Walsha. Próba szacowania tego błędu podana jest w [6] . Błąd ten nie występuje, gdy funkcja posiada skończone w idmo Walsha lub Fouriera.

Dla funkcji ciągłych o ni e sk oń cz o ny m widmie Walsha i Fouriera, aby w y l i  czyć kilka współczy n ni kó w Fouriera, trzeba użyć (obliczyć) dużą liczbę w sp ółczynników Walsha. W takim przypadku korzystniej będzie stosować be z  pośrednio szybką transformatę Fouriera (FFT).

Natomiast dla funkcji dyskretnych, szczególnie gdy ich skok zsynchro

nizowany jest ze skokiem funkcji Walsha, liczba współcz yn n ik ów Walsha, które trzeba uwzględnić, by odwzorować funkcje f(t) z zadanym błędem średniokwadratowym, jest mniejsza niż liczba współcz y nn ik ów Fouriera [i]

i w tedy przedstawiona tutaj metoda obliczania współc zy nn ik ó w Fouriera staje się przydatna.

LITERATURA

[1] B lachman N . M . : Sinusoids versus Walsh Functions, Proc. IEEE, 1974 nr 3, pp. 346-354.

[2] Sobkowski J . : Częstotliwościowa analiza sygnałów, 1975»

[3] Kitai R . : Walsh - to - F o u ri er Spectral Conversion for Periodic Waves, IEEE Trans. EMC, 1975, pp. 266-269.

[4] Simens K . H . , Kitai R . : A Non - recursive Equation for the Four ie r Transform of the Walsh Function, IEEE Trans. EMC - 15, 1973.

[5] Blachman N.M.: Spectral analysis wi th sinusoids and Walsh functions, IEEE Trans. AES - 7, 1971, p p . '900-905.

[6] Bandurski W . : Wyznaczanie transmitacji widmowej za pomocą ortonormal- nych funkcji Walsha, PAK 1975/1, ss. 16-18.

(10)

[7] Wajs K . : Funkcje Wa lsba i ich zastosowanie w elektrotechnice, Przegląd Elektrotechniczny, 1976, n r 11, ss. 413-418.

fs] Żakowski W., Kołodziej W. s Matematyka, WNT, W arszawa 1975, część II.

[9] Balikowski W. j Praca magisterska, 1982.

Recenzent: Doc. d r inż. Ferdynand W A G N E R

Wpłynęło do Redakcji 16.05*85 r.

BHHHCJIEHHE K0SMHI14EHÏ0B P H M $yPbE riPH E H M yOJUIIA

P e 3 io u e

B e r a r t e a s h M e iO A p a c i e r a K O o ÿ î H n a e H To b p / y t a i y p t e n p i i A a H H U x K o a f j x j z - W t e K T a x p - n n a y o j i m a . M e i o f t 3 a A y u a H t s k h m o 5 p a 3 0 M , m o f i u m o x h o 6 u n o n p o B o A H T t p a c v d T H c H c n o A t 3 o B a H a e u U H K p o K o u n t J o r e p o B h a h s j i e K T p o H H t n c K a j x t K y j w i o p o B (b qacTuocTH Ha naJitKyjiHTope HP 9820).

C AL KULATION OF T H E FOUR IE R COEFFICIENTS F R O M G I VE N W A I S H COEFFICIENTS

S u m m a r y

The paper describes the method of F o u r ie r series coefficients calculation from given V/alsb series coefficients.

This method is prepared to he perfomed on personal computers or desktop calculators.

This vías obtained on the ground of calculating only the original elements of transition m atrix (that reduces the n u mb er of operations).

Other elements of this matric are found by changing the indices or signs (if needed) of these original elements.