4. Funkcje
Ćw. 4.1 Rozstrzygnij, czy podany warunek określa pewną funkcję.
1. Każdemu trójkątowi przyporządkowujemy opisany na nim okrąg.
2. Każdemu odcinkowi przyporządkowujemy jego symetralną.
3. Każdemu czworokątowi przyporządkowujemy jego środek symetrii.
4. Każdej liczbie naturalnej przyporządkowujemy jej dzielnik.
5. Każdemu wielokątowi przyporządkowujemy jego pole.
Ćw. 4.2 Zbadaj, czy następujący warunek określa funkcję odwzorowującą zbiór wszyst- kich liczb rzeczywistych w zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Jeśli tak, oblicz f (0) i f (−3, 5).
1. f (x) =
2x, gdy x < 2, x + 5, gdy x ¬ 7,
2. f (x) =
x, gdy x ¬ 0, 1, gdy 0 < x ¬ 1,
2x
x + 1, gdy x > 1.
Ćw. 4.3 Niech S = {1, 2, 3, 4, 5}. Rozważmy następujące funkcje ze zbioru S w S:
f (n) = 6 − n, g(n) = max{3, n}, h(n) = max{1, n − 1}, i(n) = n.
1. Zapisz każdą z nich jako zbiór par uporządkowanych.
2. Określ zbiór wartości każdej z podanych funkcji.
3. Sprawdź, które są różnowartościowe i „na”.
Ćw. 4.4 Sporządź wykresy podanych niżej funkcji o dziedzinie D. Dla każdej z nich podaj zbiór wartości. Sprawdź, czy podane funkcje są różnowartościowe i „na”, jeśli za przeciwdziedzinę przyjmiemy zbiór liczb rzeczywistych.
1. f (x) = reszta z dzielenia x przez 3, D = {3, 5, 7, 8, 11, 13}, 2. g(x) = 1
3x + 2, D = R, 3. h(x) = −1
3x + 2, D = [5, 8),
4. i(x) = −x2+ 5, D = (−3, −2) ∪ (3, +∞), 5. j(x) = −|x − 3|, D = R,
1
6. k(x) =
x2, gdy x 0,
−x2, gdy x < 0, D = R,
7. l(x) =
1, gdy x ∈ Z,
−1, gdy x /∈ Z, D = R.
Ćw. 4.5 Funkcje przedstawione na poniższym rysunku mają dziedzinę [0, 1] i przyjmują wartości z przedziału [0, 1].
1. Które z tych funkcji są różnowartościowe (są injekcjami)?
2. Które z tych funkcji przekształcają przedział [0, 1] na [0, 1] (są surjekcjami)?
3. Które z nich są wzajemnie jednoznaczne (są bijekcjami)?
Rysunek z książki „Matematyka dyskretna”, str. 46
Ćw. 4.6 Określamy trzy funkcje przekształcające R w R następująco:
f (x) = x3− 4x, g(x) = 2x, h(x) = x4.
Znajdź: f ◦ g, g ◦ f , f ◦ h, h ◦ f , g ◦ h, h ◦ g, h ◦ h, f ◦ g ◦ f , g ◦ h ◦ f , f ◦ g ◦ h.
Ćw. 4.7 Niech f : Z → Z, f (n) = n−1, zaś g = 1IP(n), gdzie P = {n ∈ Z; n jest liczbą parzystą}.
1. Oblicz (g ◦ f )(4), (g ◦ f )(5), (f ◦ g)(6), (f ◦ g)(7).
2
2. Oblicz (f ◦ f )(11), (f ◦ f )(12), (g ◦ g)(11), (g ◦ g)(12).
3. Wyznacz g ◦ f oraz f ◦ f .
4. Pokaż, że g ◦ g = g ◦ f oraz, że funkcja f ◦ g przyjmuje wartości przeciwne do g ◦ f .
Ćw. 4.8 Rozważmy funkcje:
1. f (x) = x2, D = R, P D = R, 2. g(x) = x2, D = R, P D = [0, +∞), 3. h(x) = x2, D = [0, +∞), P D = R, 4. i(x) = x2, D = [0, +∞), P D = [0, +∞).
Dla każdej z nich sprawdź, czy jest to funkcja różnowartościowa i „na”. Która z nich jest odwracalna? Wyznacz wzór funkcji odwrotnej.
Ćw. 4.9 Wyznacz funkcje odwrotne do następujących, określając odpowiednio dziedzinę i przeciwdziedzinę podanej funkcji oraz funkcji odwrotnej. Sprawdź, czy f ◦ f−1 = IdP D i f−1◦ f = IdD.
1. f (x) = 2x + 3, 2. f (x) = x2− 2, 3. f (x) = (x − 2)3, 4. f (x) =√
x − 7.
Ćw. 4.10 Niech f, g : N → N,
f (n) = 2n, g(n) =
n
2, n – parzysta
n−1
2 , n – nieparzysta.
1. Oblicz g(n) dla n = 1, 2, 3, 4, 73.
2. Sprawdź, czy podane funkcje są różnowartościowe i „na”.
3. Pokaż, że g ◦ f = IdN, ale f ◦ g 6= IdN. Ćw. 4.11 Niech f : R → R będzie określona wzorem
f (x) = x2− 3.
1. Znajdź obrazy zbiorów [0, 1], (0, 1), [−2, 4], (−2, 4], {−2, 2}, {1, 2}, [0, +∞), (−5, +∞).
2. Znajdź przeciwobrazy zbiorów (−∞, −6], {−3, −4}, (−2, 1), [0, 1].
3
Ćw. 4.12 Niech f : R → R będzie określona wzorem
f (x) =
−x − 2, dla x < −2
−x2+ 4, dla − 2 ¬ x ¬ 1 3, dla x > 1.
1. Znajdź obrazy zbiorów (−1, 1], (−∞, −2], (0, +∞), {5, 50, 500}.
2. Znajdź przeciwobrazy zbiorów {0}, (3, +∞), [3, +∞), (3, 4), [3, 4], (−∞, 3).
Na podstawie:
• Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright: Matematyka dyskretna,
• Henryk Pawłowski: Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zbiór zadań.
Linia 1 ponadstandardowa.
4
