VI. Funkcje uwik÷ ane

VI. Funkcje uwik÷ ane

We´zmy pod uwag ¾e równania:

1)

2x y + 4 = 0 2)

2x y²+ 1 = 0 3)

x²+ y²+ 2 = 0

Pierwsze z nich okre´sla w zbiorze liczb rzeczywistych dok÷adnie jedn ¾a funkcj ¾e y (x) zmiennej x, dla której

2x y (x) + 4 + 0 . Jest to funkcja

y (x) = 2x + 4 .

Drugie równanie okre´sla dok÷adnie dwie funkcje ci ¾ag÷e y (x) zmiennej x takie, ·ze

2x (y (x))²+ 1 = 0 . S ¾a to funkcje

y (x) =p 2x + 1 oraz

y (x) = p

2x + 1 , obie okre´slone dla x 2 [ 2; +1).

Trzecie z równa´n nie okre´sla ·zadnej funkcji.

Funkcje y (x) okre´slone powy·zej s ¾a funkcjami uwik÷anymiwyznaczonymi przez odpowiednie równania.

Zauwa·zmy jeszcze, ·ze drugie z rozwa·zanych równa´n jest spe÷nione przez niesko´nczenie wiele funkcji nieci ¾ag÷ych postaci

y (x) =

pp2x + 1 2x + 1

dla x 2 [ 2; a) dla x 2 [a; +1)

Niech F b ¾edzie funkcj ¾a dwóch zmiennych okre´slon ¾a na pewnym obszarze D.

Ka·zd ¾a funkcj ¾e y = y (x) ci ¾ag÷¾a na pewnym przedziale I, tak ¾a ·ze dla dowolnego x 2 I

F (x; y (x)) = 0

1

nazywamy funkcj ¾a uwik÷an ¾aokre´slon ¾a równaniem F (x; y) = 0.

Twierdzenie 6.1. (o istnieniu funkcji uwik÷anej) Je·zeli funkcja F ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe na pewnym otoczeniu punktu (x₀; y₀) oraz

F (x₀; y₀) = 0 i F_y⁰(x₀; y₀) 6= 0,

to na pewnym otoczeniu punktu x₀ istnieje dok÷adnie jedna funkcja uwik÷ana y = y (x) okre´slona równaniem F (x; y) = 0 spe÷niaj ¾aca warunek y (x₀) = y₀, przy czym funkcja ta ma ci ¾ag÷¾a pochodn ¾a okre´slon ¾a wzorem

y⁰(x) = F_x⁰(x; y (x)) F_y⁰(x; y (x)).

Je´sli funkcja F ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe drugiego rz ¾edu, to y = y (x) ma drug ¾a pochodn ¾a oraz

y⁰⁰(x) = F_xx⁰⁰F_y² 2F_xy⁰⁰FxFy+ F_yy⁰⁰F_x²

F_y^{0 3} .

co mo·zna te·z równowa·znie zapisa´c w postaci

y⁰⁰(x) = F_xx⁰⁰ 2F_xy⁰⁰y⁰+ F_yy⁰⁰ (y⁰)² F_y⁰

Twierdzenie 6.2 (o ekstremach lokalnych funkcji uwik÷anej). Je·zeli funkcja F ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe drugiego rz ¾edu na pewnym otoczeniu punktu (x₀; y₀) i

F (x₀; y₀) = 0, F_x⁰(x₀; y₀) = 0 i F_y⁰(x₀; y₀) 6= 0 oraz

I (x0; y0) = F_xx⁰⁰ (x0; y0) F_y⁰(x₀; y₀) 6= 0

to funkcja uwik÷ana y = y (x) okre´slona równaniem F (x; y) = 0 i spe÷niaj ¾aca warunek y (x₀) = y₀, ma ekstremum lokalne w punkcie x₀równe y₀, przy czym jest to maksimum, gdy I (x₀; y₀) < 0 oraz minimum, gdy I (x₀; y₀) > 0.

2