Zbiory otwarte

Zbiory otwarte

De…nicje

Mówimy, ·ze punkt x₀ jest punktem wewn ¾etrznym zbioru E R je´sli istnieje przedzia÷otwarty (a; b)_{taki, ·}ze

x₀2 (^{a; b}) E .

Uwaga: Punkt wewn ¾etrzny zbioru E musi nale·ze´c do E .

Zbiór E nazywamy zbiorem otwartym jesli ka·zdy punkt zbioru E jest jego punktem wewn ¾etrznym.

() Zbiory otwarte 2 / 6

De…nicje

Mówimy, ·ze punkt x₀ jest punktem wewn ¾etrznym zbioru E R je´sli istnieje przedzia÷otwarty (a; b)_{taki, ·}ze

x₀2 (^{a; b}) E .

Uwaga: Punkt wewn ¾etrzny zbioru E musi nale·ze´c do E .

Zbiór E nazywamy zbiorem otwartym jesli ka·zdy punkt zbioru E jest jego punktem wewn ¾etrznym.

De…nicje

Mówimy, ·ze punkt x₀ jest punktem wewn ¾etrznym zbioru E R je´sli istnieje przedzia÷otwarty (a; b)_{taki, ·}ze

x₀2 (^{a; b}) E .

Uwaga: Punkt wewn ¾etrzny zbioru E musi nale·ze´c do E .

Zbiór E nazywamy zbiorem otwartym jesli ka·zdy punkt zbioru E jest jego punktem wewn ¾etrznym.

() Zbiory otwarte 2 / 6

Wlasnosci zbiorów otwartych

Suma dowolnej ilo´sci zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

Suma dowolnej ilo´sci przedzialów otwartych jest zbiorem otwartym. Przekrój sko´nczonej ilo´sci zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym Przekrój przeliczalnej ilo´sci zbiorów otwartych mo·ze nie byc zbiorem otwartym

Wlasnosci zbiorów otwartych

Suma dowolnej ilo´sci zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

Suma dowolnej ilo´sci przedzialów otwartych jest zbiorem otwartym.

Przekrój sko´nczonej ilo´sci zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym Przekrój przeliczalnej ilo´sci zbiorów otwartych mo·ze nie byc zbiorem otwartym

() Zbiory otwarte 3 / 6

Wlasnosci zbiorów otwartych

Suma dowolnej ilo´sci zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

Suma dowolnej ilo´sci przedzialów otwartych jest zbiorem otwartym.

Przekrój sko´nczonej ilo´sci zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym

Przekrój przeliczalnej ilo´sci zbiorów otwartych mo·ze nie byc zbiorem otwartym

Wlasnosci zbiorów otwartych

Suma dowolnej ilo´sci zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

Suma dowolnej ilo´sci przedzialów otwartych jest zbiorem otwartym.

Przekrój sko´nczonej ilo´sci zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym Przekrój przeliczalnej ilo´sci zbiorów otwartych mo·ze nie byc zbiorem otwartym

() Zbiory otwarte 3 / 6

Zbiory domkniete i otwarte

Twierdzenie 1

1 Je´sli zbiór G jest otwarty, to jego dope÷nienieRnG jest zbiorem domknietym.

2 Je´sli zbiór F jest domkni ¾ety, to jego dope÷nienie RnF jest zbiorem otwartym.

Dowód: 1. Chcemy pokaza´c, ·ze zbiórRnG zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. Za÷ó·zmy, ·ze tak nie jest, czyli ·ze istnieje punkt skupienia x₀ zbioru RnG nie nale·z ¾acy do tego zbioru.Wobec tego x₀ 2G , czyli jest punktem wewn ¾etrznym zbioru G . Zatem istnieje przedzia÷otwarty (a; b) taki, ·ze

x₀ 2 (^{a; b}) G .

To oznacza, ·ze w przedziale(a, b)nie ma ·zadnego punktu zbioru Rn^{G .} W konsekwencji, x₀ nie jest punktem skupienia zbioruRnG . Otrzymana sprzeczno´s´c ko´nczy dowód.

Zbiory domkniete i otwarte

Twierdzenie 1

1 Je´sli zbiór G jest otwarty, to jego dope÷nienieRnG jest zbiorem domknietym.

2 Je´sli zbiór F jest domkni ¾ety, to jego dope÷nienie RnF jest zbiorem otwartym.

Dowód: 1. Chcemy pokaza´c, ·ze zbiórRnG zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. Za÷ó·zmy, ·ze tak nie jest, czyli ·ze istnieje punkt skupienia x₀ zbioru RnG nie nale·z ¾acy do tego zbioru.

Wobec tego x₀ 2G , czyli jest punktem wewn ¾etrznym zbioru G . Zatem istnieje przedzia÷otwarty (a; b) taki, ·ze

x₀ 2 (^{a; b}) G .

To oznacza, ·ze w przedziale(a, b)nie ma ·zadnego punktu zbioru Rn^{G .} W konsekwencji, x₀ nie jest punktem skupienia zbioruRnG . Otrzymana sprzeczno´s´c ko´nczy dowód.

() Zbiory otwarte 4 / 6

Zbiory domkniete i otwarte

Twierdzenie 1

1 Je´sli zbiór G jest otwarty, to jego dope÷nienieRnG jest zbiorem domknietym.

2 Je´sli zbiór F jest domkni ¾ety, to jego dope÷nienie RnF jest zbiorem otwartym.

Dowód: 1. Chcemy pokaza´c, ·ze zbiórRnG zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. Za÷ó·zmy, ·ze tak nie jest, czyli ·ze istnieje punkt skupienia x₀ zbioru RnG nie nale·z ¾acy do tego zbioru.Wobec tego x₀ 2G , czyli jest punktem wewn ¾etrznym zbioru G . Zatem istnieje przedzia÷otwarty (a; b) taki, ·ze

x₀ 2 (^{a; b}) G .

To oznacza, ·ze w przedziale(a, b)nie ma ·zadnego punktu zbioru Rn^{G .} W konsekwencji, x₀ nie jest punktem skupienia zbioruRnG . Otrzymana sprzeczno´s´c ko´nczy dowód.

Zbiory domkniete i otwarte

Twierdzenie 1

1 Je´sli zbiór G jest otwarty, to jego dope÷nienieRnG jest zbiorem domknietym.

2 Je´sli zbiór F jest domkni ¾ety, to jego dope÷nienie RnF jest zbiorem otwartym.

Dowód: 1. Chcemy pokaza´c, ·ze zbiórRnG zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. Za÷ó·zmy, ·ze tak nie jest, czyli ·ze istnieje punkt skupienia x₀ zbioru RnG nie nale·z ¾acy do tego zbioru.Wobec tego x₀ 2G , czyli jest punktem wewn ¾etrznym zbioru G . Zatem istnieje przedzia÷otwarty (a; b) taki, ·ze

x₀ 2 (^{a; b}) G .

To oznacza, ·ze w przedziale(a, b) nie ma ·zadnego punktu zbioru Rn^{G .} W konsekwencji, x₀ nie jest punktem skupienia zbioruRn^{G .}

Otrzymana sprzeczno´s´c ko´nczy dowód.

() Zbiory otwarte 4 / 6

Zbiory domkniete i otwarte

Twierdzenie 1

1 Je´sli zbiór G jest otwarty, to jego dope÷nienieRnG jest zbiorem domknietym.

2 Je´sli zbiór F jest domkni ¾ety, to jego dope÷nienie RnF jest zbiorem otwartym.

Dowód: 1. Chcemy pokaza´c, ·ze zbiórRnG zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. Za÷ó·zmy, ·ze tak nie jest, czyli ·ze istnieje punkt skupienia x₀ zbioru RnG nie nale·z ¾acy do tego zbioru.Wobec tego x₀ 2G , czyli jest punktem wewn ¾etrznym zbioru G . Zatem istnieje przedzia÷otwarty (a; b) taki, ·ze

x₀ 2 (^{a; b}) G .

Zbiory domkniete i otwarte

2. Chcemy pokaza´c, ·ze ka·zdy punkt zbioruRnF jest jego punktem wewn ¾etrznym.

Niech x₀ 2^RnF . Punkt x₀ nie nale·zy do F , a F zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.

Zatem x0 nie jest punktem skupienia zbioru F . Oznacza to, ·ze istnieje przedzia÷otwarty (a; b) taki, ·ze

x₀ 2 (^{a; b}) oraz (a; b)\ (^F n f^x0g) = ?^. Poniewa·z x0 nie nale·zy do F , wi ¾ec(a; b) Rn^{F .}

() Zbiory otwarte 5 / 6

Zbiory domkniete i otwarte

2. Chcemy pokaza´c, ·ze ka·zdy punkt zbioruRnF jest jego punktem wewn ¾etrznym.

Niech x₀ 2^Rn^{F .}

Punkt x₀ nie nale·zy do F , a F zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.

Zatem x0 nie jest punktem skupienia zbioru F . Oznacza to, ·ze istnieje przedzia÷otwarty (a; b) taki, ·ze

x₀ 2 (^{a; b}) oraz (a; b)\ (^F n f^x0g) = ?^. Poniewa·z x0 nie nale·zy do F , wi ¾ec(a; b) Rn^{F .}

Zbiory domkniete i otwarte

2. Chcemy pokaza´c, ·ze ka·zdy punkt zbioruRnF jest jego punktem wewn ¾etrznym.

Niech x₀ 2^RnF . Punkt x₀ nie nale·zy do F , a F zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.

Zatem x0 nie jest punktem skupienia zbioru F . Oznacza to, ·ze istnieje przedzia÷otwarty (a; b) taki, ·ze

x₀ 2 (^{a; b}) oraz (a; b)\ (^F n f^x0g) = ?^. Poniewa·z x0 nie nale·zy do F , wi ¾ec(a; b) Rn^{F .}

() Zbiory otwarte 5 / 6

Zbiory domkniete i otwarte

2. Chcemy pokaza´c, ·ze ka·zdy punkt zbioruRnF jest jego punktem wewn ¾etrznym.

Niech x₀ 2^RnF . Punkt x₀ nie nale·zy do F , a F zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.

Zatem x₀ nie jest punktem skupienia zbioru F . Oznacza to, ·ze istnieje przedzia÷otwarty (a; b) taki, ·ze

x₀ 2 (^{a; b}) oraz (a; b)\ (^F n f^x0g) = ?^.

Poniewa·z x0 nie nale·zy do F , wi ¾ec(a; b) Rn^{F .}

Zbiory domkniete i otwarte

2. Chcemy pokaza´c, ·ze ka·zdy punkt zbioruRnF jest jego punktem wewn ¾etrznym.

Niech x₀ 2^RnF . Punkt x₀ nie nale·zy do F , a F zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.

Zatem x₀ nie jest punktem skupienia zbioru F . Oznacza to, ·ze istnieje przedzia÷otwarty (a; b) taki, ·ze

x₀ 2 (^{a; b}) oraz (a; b)\ (^F n f^x0g) = ?^. Poniewa·z x0 nie nale·zy do F , wi ¾ec(a; b) Rn^{F .}

() Zbiory otwarte 5 / 6

Zbiory domkniete i otwarte

Je´sli zbiór otwarty G jest zawarty w przedziale domkni ¾etym [α; β], to zbiór [α; β]nG jest domkni ¾ety.

Je´sli zbiór domkni ¾ety F jest zawarty w przedziale otwartym (α; β), to zbiór [α; β]nF jest domkni ¾ety.

Ró·znica zbioru domkni ¾etego i otwartego jest zbiorem domkni ¾etym. Ró·znica zbioru otwartego i domkni ¾etego jest zbiorem otwartym. Ró·znica zbiorów domkni ¾etych mo·ze nie by´c zbiorem otwartym ani domkni ¾etym.

Ró·znica zbiorów otwartych mo·ze nie by´c zbiorem otwartym ani domkni ¾etym.

Je´sli F jest ograniczonym zbiorem domkni ¾etym, to zbiór [inf F ; sup F]nF jest zbiorem otwartym.

Zbiory domkniete i otwarte

Je´sli zbiór otwarty G jest zawarty w przedziale domkni ¾etym [α; β], to zbiór [α; β]nG jest domkni ¾ety.

Je´sli zbiór domkni ¾ety F jest zawarty w przedziale otwartym (α; β), to zbiór [α; β]nF jest domkni ¾ety.

Ró·znica zbioru domkni ¾etego i otwartego jest zbiorem domkni ¾etym. Ró·znica zbioru otwartego i domkni ¾etego jest zbiorem otwartym. Ró·znica zbiorów domkni ¾etych mo·ze nie by´c zbiorem otwartym ani domkni ¾etym.

Ró·znica zbiorów otwartych mo·ze nie by´c zbiorem otwartym ani domkni ¾etym.

Je´sli F jest ograniczonym zbiorem domkni ¾etym, to zbiór [inf F ; sup F]nF jest zbiorem otwartym.

() Zbiory otwarte 6 / 6

Zbiory domkniete i otwarte

Je´sli zbiór otwarty G jest zawarty w przedziale domkni ¾etym [α; β], to zbiór [α; β]nG jest domkni ¾ety.

Je´sli zbiór domkni ¾ety F jest zawarty w przedziale otwartym (α; β), to zbiór [α; β]nF jest domkni ¾ety.

Ró·znica zbioru domkni ¾etego i otwartego jest zbiorem domkni ¾etym.

Ró·znica zbioru otwartego i domkni ¾etego jest zbiorem otwartym. Ró·znica zbiorów domkni ¾etych mo·ze nie by´c zbiorem otwartym ani domkni ¾etym.

Ró·znica zbiorów otwartych mo·ze nie by´c zbiorem otwartym ani domkni ¾etym.

Je´sli F jest ograniczonym zbiorem domkni ¾etym, to zbiór [inf F ; sup F]nF jest zbiorem otwartym.

Zbiory domkniete i otwarte

Je´sli zbiór otwarty G jest zawarty w przedziale domkni ¾etym [α; β], to zbiór [α; β]nG jest domkni ¾ety.

Je´sli zbiór domkni ¾ety F jest zawarty w przedziale otwartym (α; β), to zbiór [α; β]nF jest domkni ¾ety.

Ró·znica zbioru domkni ¾etego i otwartego jest zbiorem domkni ¾etym.

Ró·znica zbioru otwartego i domkni ¾etego jest zbiorem otwartym.

Ró·znica zbiorów domkni ¾etych mo·ze nie by´c zbiorem otwartym ani domkni ¾etym.

Ró·znica zbiorów otwartych mo·ze nie by´c zbiorem otwartym ani domkni ¾etym.

Je´sli F jest ograniczonym zbiorem domkni ¾etym, to zbiór [inf F ; sup F]nF jest zbiorem otwartym.

() Zbiory otwarte 6 / 6

Zbiory domkniete i otwarte

Je´sli zbiór otwarty G jest zawarty w przedziale domkni ¾etym [α; β], to zbiór [α; β]nG jest domkni ¾ety.

Je´sli zbiór domkni ¾ety F jest zawarty w przedziale otwartym (α; β), to zbiór [α; β]nF jest domkni ¾ety.

Ró·znica zbioru domkni ¾etego i otwartego jest zbiorem domkni ¾etym.

Ró·znica zbioru otwartego i domkni ¾etego jest zbiorem otwartym.

Ró·znica zbiorów domkni ¾etych mo·ze nie by´c zbiorem otwartym ani domkni ¾etym.

Ró·znica zbiorów otwartych mo·ze nie by´c zbiorem otwartym ani domkni ¾etym.

Je´sli F jest ograniczonym zbiorem domkni ¾etym, to zbiór [inf F ; sup F]nF jest zbiorem otwartym.

Zbiory domkniete i otwarte

Je´sli zbiór otwarty G jest zawarty w przedziale domkni ¾etym [α; β], to zbiór [α; β]nG jest domkni ¾ety.

Je´sli zbiór domkni ¾ety F jest zawarty w przedziale otwartym (α; β), to zbiór [α; β]nF jest domkni ¾ety.

Ró·znica zbioru domkni ¾etego i otwartego jest zbiorem domkni ¾etym.

Ró·znica zbioru otwartego i domkni ¾etego jest zbiorem otwartym.

Ró·znica zbiorów domkni ¾etych mo·ze nie by´c zbiorem otwartym ani domkni ¾etym.

Ró·znica zbiorów otwartych mo·ze nie by´c zbiorem otwartym ani domkni ¾etym.

Je´sli F jest ograniczonym zbiorem domkni ¾etym, to zbiór [inf F ; sup F]nF jest zbiorem otwartym.

() Zbiory otwarte 6 / 6

Zbiory domkniete i otwarte

Je´sli zbiór otwarty G jest zawarty w przedziale domkni ¾etym [α; β], to zbiór [α; β]nG jest domkni ¾ety.

Je´sli zbiór domkni ¾ety F jest zawarty w przedziale otwartym (α; β), to zbiór [α; β]nF jest domkni ¾ety.

Ró·znica zbioru domkni ¾etego i otwartego jest zbiorem domkni ¾etym.

Ró·znica zbioru otwartego i domkni ¾etego jest zbiorem otwartym.

Ró·znica zbiorów domkni ¾etych mo·ze nie by´c zbiorem otwartym ani domkni ¾etym.

Ró·znica zbiorów otwartych mo·ze nie by´c zbiorem otwartym ani domkni ¾etym.

Je´sli F jest ograniczonym zbiorem domkni ¾etym, to zbiór