1 Struktura ograniczonych zbiorów otwartych i domkni ¾ etych
De…nicja: Niech G R b ¾edzie zbiorem otwartym. Przedzia÷(a; b) nazywamy przedzia÷em sk÷adowymalbo sk÷adow ¾azbioru G je´sli
(a; b) G ^ a =2 G ^ b =2 G
Twierdzenie 1. Je·zeli G jest niepustym ograniczonym zbiorem otwartym, to ka·zdy punkt zbioru G nale·zy do pewnej sk÷adowej zbioru G.
Twierdzenie 2. Je´sli (a; b) i (c; d) s ¾a sk÷adowymi zbioru G to (a; b) = (c; d) lub (a; b) \ (c; d) = ?.
Wniosek. Rodzina sk÷adowych niepustego ograniczonego zbioru otwartego jest przeliczalna.
Twierdzenie 3. Ka·zdy niepusty ograniczony zbiór otwarty G mo·zna przed- stawi´c w postaci sko´nczonej lub przeliczalnej sumy przedzia÷ów otwartych, których ko´nce nie nale·z ¾a do G.
Twierdzenie 4. Za÷ó·zmy, ·ze G jest niepustym ograniczonym zbiorem ot- wartym oraz (x; y) G. Istnieje dok÷adnie jedna sk÷adowa (a; b) zbioru G taka, ze (x; y)· (a; b) :
Twierdzenie 5. Ka·zdy niepusty ograniczony zbiór domkni ¾ety F jest albo przedzia÷aem domkni ¾etym, albo mo·zna go otrzyma´c z przedzia÷u po usuni ¾eciu przeliczalnej ilo´sci przedzia÷ów otwartych ko´ncach nale·z ¾acych do F .
De…nicja: Niech F R b ¾edzie zbiorem domkni ¾etym. Sk÷adowe zbioru R n F nazywamy przedzia÷ami dope÷niajacymizbioru F albo sk÷adowymi dope÷nieniazbioru F .
Twierdzenie 6. Ka·zdy niepusty ograniczony zbiór doskona÷y jest albo przedzia÷em domkni ¾etym, albo mo·zna go otrzyma´c z przedzia÷u po usuni ¾eciu przeliczalnej ilo´sci przedzia÷ów otwartych bez wspólnych ko´nców.
Twierdzenie 7. Ka·zdy niepusty zbiór doskona÷y jest mocy continuum.
De…nicja: Punkt x0 nazywamy punktem kondensacji zbioru E R je´sli w ka·zdym przedziale otwartym (a; b) zawieraj ¾acym x0 zawiera nieprzeliczaln ¾a ilo´s´c elementów zbioru E.
uwaga: Ka·zdy punkt kondensacji zbioru E jest punktem skupienia tego zbioru.
1
Twierdzenie 8. Je´sli zbiór E nie ma ·zadnego punktu kondensacji, to E jest zbiorem przeliczalnym.
wnioski: Ka·zdy nieprzeliczalny podzbiór prostej ma przynajmniej jeden punkt kondensacji.
Je´sli P jest zbiorem wszystkich punktów kondensacji zbioru E, to zbiór E nP jest przeliczalny.
Twierdzenie 9. Zbiór P punktów kondensacji dowolnego zbioru nieprzeliczal- nego E jest zbiorem doskona÷ym.
Twierdzenie 10. Ka·zdy nieprzeliczalny zbiór domkni ¾ety E mo·zna przed- stawi´c w postaci sumy P [D gdzie P jest zbiorem doskona÷ym za´s D jest zbiorem przeliczalnym
2 Rodziny F i G
Oznaczmy przez F rodzin ¾e wszystkich domkni ¾etych podzbiorów prostej, za´s przez G rodzin ¾e wszystkich otwartych podzbiorów prostej
1. A 2 F ,A02 G
2. Rodziny F i G s ¾a zamkni ¾ete ze wzgl ¾edu na sumy i iloczyny sko´nczone 3. Ka·zdy niepusty zbiór otwarty jest mocy continuum
4. Ka·zdy zbiór domkni ¾ety jest przeliczalny lub ma moc continuum 5. G = c
6. F = c
7. F \ G = f?; Rg 8. 2Rn (F [ G) 6= ?
2
3 Rodziny F i G
Niech F oznacza rodzin ¾e wszystkich przeliczalnych sum zbiorów domkni ¾etych, czyli
F :=
(1 [
n=1
Fn : Fn2 F )
.
Przez G oznaczamy rodzin ¾e wszystkich przeliczalnych przekrojów zbiorów ot- wartych, czyli
G :=
(\1
n=1
Gn : Gn2 G )
1. A 2 F ,A0 2 G
2. Rodzina F ( G ) jest zamkni ¾eta ze wzgl ¾edu na przeliczalne sumy (iloczyny).
3. G = c 4. F = c
5. Dowolny zbiór jednopunktowy nale·zy do F \G 6. Dowolny przedzia÷(pó÷prosta) nale·zy do F \G 7. G F \G
8. F F \G
9. Rodziny F i G s ¾a zamkni ¾ete ze wzgl ¾edu na sumy i iloczyny sko´nczone.
10. (F \G ) n (F [ G) 6= ? 11. 2Rn (F [ G ) 6= ?
12. * F n G 6= ? i G n F 6= ?
13. * Ka·zdy zbiór nale·z ¾acy do rodziny F [ G jest przeliczalny lub ma moc continuum
3
