Egzaminz z rachunku różniczkowego i całkowego, styczeń 2010 Zadanie 1.

Egzaminz z rachunku różniczkowego i całkowego, styczeń 2010

Zadanie 1. Funkcja ciągła f : R −→ R ma tę własność, że dla wszystkich liczb całko- witych parzystych przyjmuje wartość -2, a dla nieparzystych – wartość 2. Udowodnić, że funkcja f ma przynajmniej 4 punkty stałe (czyli x takie, że f (x) = x).

Wskazówka: ile razy wykres funkcji f musi przecinać się z prostą y = x?

Rozwiązanie: Rozważmy funkcję g(x) = f (x) − x. Miejsca zerowe tej funkcji to punkty stałe funkcji f (x). Zauważmy, że g(−2) = 0, g(−1) = 3, g(0) = −2, g(1) = 1, g(2) = −4.

Wobec tego g(x) ma przynajmniej 4 miejsca zerowe: jedno to x = −2, a korzystając z własności Darboux otrzymujemy, że w każdym z odcinków (−1, 0), (0, 1) i (1, 2) funkcja g przyjmuje wartość 0 przynajmniej raz.

(red. M. Donten-Bury)

Zadanie 2. Dla a, b ∈ R określamy funkcję f wzorami:

f (x) =







7x³−12a³x²−a²

11a⁵x⁷−3 cos x dla x < 0;

b dla x = 0;

x

tg(ax) dla x > 0.

Czy istnieją takie liczby a i b dla których funkcja f jest ciągła? Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązanie: Funkcja f jest na pewno ciągła we wszystkich punktach swojej dziedziny poza 0, więc trzeba sprawdzić ciągłość w x = 0. Granice z lewej i z prawej to ^a₃² i ¹_a odpowiednio (przy liczeniu prawej granicy można skorzystać z tego, że lim_x−→0^{sin x}_x = 1 lub z reguły de l’Hospitala). Wobec tego musi być b = ¹_a = ^a₃², czyli a = √³

3 i b = √3¹

3

spełniają warunki zadania.

(red. M. Donten-Bury)

Zadanie 3. Jaś postanowił wyliczyć wartość liczby e w następujący sposób: rozwinął funkcję f (x) = e^x w wielomian Taylora stopnia 3 wokół zera, następnie wyliczył wartość tego wielomianu w punkcie 1, i tak otrzymał przybliżenie liczby e. Oblicz wyliczoną przez Jasia wartość. Następnie stosując wzór Lagrange’s na resztę we wzorze Taylora znajdź górne oszacowanie błędu zakładając, że e ¬ 2, 8.

Rozwiązanie: Otrzymana przez Jasia przybliżona wartość liczby e to e⁰+ ^e_1!⁰1 +^e_2!⁰1²+

e⁰

3!1³ = 1 + 1 +¹₂+¹₆ = 2²₃. Reszta w postaci Lagrange’a dla wielomianu Taylora ma postać:

e^ξ

4!, dla pewnego ξ ∈ (0, 1) i można ją oszacować z góry przez _4!^e = ₂₄^e ¬ ^2,8₂₄ =¬ 0, 12. Jest to błąd oszacowania. (red. M. Startek)

Zadanie 4. Oblicz granicę:

lim

x→1⁻ln x tgπx 2 oraz sformułuj twierdzenia z których korzystasz.

Rozwiązanie: Wyrażenie sprowadzamy do postaci:

lim

x→1⁻

ln x sin^πx₂

cos^πx₂ =: lim

x→1⁻

f (x) g(x)

Jest to wyrażenie nieoznaczone typu 0/0, zatem próbujemy zastosować regułę de l’Hospitala.

Mamy: f⁰(x) = _x¹sin^πx₂ + ^π₂ ln x cos^πx₂ , g⁰(x) = −^π₂ sin^πx₂ . f⁰(1) = 1, g⁰(1) = ^−π₂ , i obie

1

pochodne są ciągłe w punkcie 1, zatem:

lim

x→1⁻

f⁰(x)

g⁰(x) = −2 π Skoro tak, to z reguły de l’Hospitala wynika, że

x→1lim⁻ f (x)

g(x) = −2 π (red. M. Startek)

Zadanie 5. Oblicz całkę nieoznaczoną

Z

a^xe^xdx.

Wskazówka: a^x = e^{x ln a}. Rozwiązanie: Mamy

Z

a^xe^xdx =

Z

e^{ln ax}e^xdx =

Z

e^{x ln a}e^xdx =

=

Z

e^{x ln a+x}dx =

Z

e^{x(ln a+1)}dx.

Zauważmy, że

(e^cx)⁰ = ce^cx, stąd (1

ce^cx)⁰ = e^cx. Dla c = ln a + 1 dostajemy

Z

e^{x(ln a+1)}dx = 1

ln a + 1e^{ln a+1}+ C.

(red. A. Kałamajska)

Zadanie 6. Rozwiąż równanie różniczkowe zwyczajne (1 + y) − (1 + x)y⁰(x) = 0.

zakładająć że y : [0, ∞) → jest funkcją nieujemną oraz y(0) = 1.

Rozwiązanie: Równanie przyjmuje równoważną postać:

1

1 + yy⁰(x) = 1 1 + x. Stosujemy metodę zmiennych rozdzielonych:

Z 1

1 + ydy =

Z 1 1 + xdx.

Stąd:

ln(1 + y) = ln(1 + x) + C.

Równoważna postać tego równania to:

e^ln(1+y) = e^ln(1+x)+C = e^ln(1+x)e^C = Ae^ln(1+x),

gdzie A = e^C, C było dowone, więc A jest dowolną liczbą dodatnią. To daje:

(1 + y) = A(1 + x), A > 0.

2

Uwzględniając warunek początkowy y(0) = 1 dostajemy:

1 + 1 = A(1 + 0) = A, A = 2 i ostatecznie

1 + y = 2(1 + x) = 2 + 2x, y = 2x + 1.

(red. A. Kałamajska)

3