Zadanie 2. Oblicz granic¸e ci¸ agu rekurencyjnego

ANALIZA I 24 listopada 2014

Semestr zimowy Kolokwium próbne

Javier de Lucas

Zadanie 1. Udowodnij, że zbiór A = {2 ^k + 1|k ∈ N} jest przeliczalny.

Zadanie 2. Oblicz granic¸e ci¸ agu rekurencyjnego

x 0 > 0, x n+1 = 1 + x _n

2x _n , n = 0, 1, 2, 3 . . . Zadanie 3. Oblicz granice:

• lim _n→+∞ p(n + 2)(n + 4)(n + 5) −

pn(n + 1)(n + 3),

• lim n→+∞

 p n + √

n − p n − √

n

 ,

• lim n→+∞

 n

+3 n

+1

 2n

+5

,

• lim _n→+∞

√ 1+ √

2+...+ √ n (n+1) √

n .

Zadanie 4. Sprawdź, czy nast¸epuj¸ ace zbiory s¸ a domkni¸ety czy otwarty:

A =

∞

[

n=1



− 2n + 1

n + 1 , n ² + 4n + 1 n ² + 1



B =

∞

\

n=1



− 2n + 1

n + 1 , n ² + 4n + 1 n ² + 1

 .

Zadanie 5. Udowodnij za pomoc¸ a definicji Cauchyego, że

x→2 lim

x ² + x + 1 2x + 1 = 7

5 .

1