Ćwiczenia nr 6, RP, 15.4.2020 Parametry rozkładów.
Zadanie 1. Zmienna losowa (wektor losowy) (X, Y ) ma rozkład z gęstością f (x, y) = C xy1{0¬x¬y¬1}(x, y).
(a) Wyznaczyć stałą C.
(b) Obliczyć P(X + Y ¬ 1).
(c) Wyznaczyć rozkład zmiennej X/Y . (d) Czy zmienne X, Y są niezależne?
(e) Czy zmienne XY, Y są niezależne?
Zadanie 2. Zmienna X ma rozkład
k -1 0 2 5
P(X = k) 1/6 1/4 1/4 1/3 Znajdź EX, wariancję Var X, EX+21 , E2X.
Zadanie 3. Zmienna losowa X ma rozkład z gęstością f (t) = 13t21[−1,2]. Wyznacz EX, Var X, EeX.
Zadanie 4. Klasę składającą się z 15 chłopców i 15 dziewczynek pogrupowano losowo w 15 par. Niech N oznacza liczbę par składających się z jednego chłopca i jednej dziewczynki. Znajdź wartość oczekiwaną EN i Var N .
Zadanie 5. Wkładamy n listów do n kopert, na chybił trafił. Niech X będzie liczbą listów, które trafiły do właściwych kopert. Oblicz EX.
Zadanie 6. 30 uczniów zdaje egzamin z RP. Każdy z nich każde z pięciu zadań egzaminacyjnych rozwiązuje dobrze, niezależnie od innych zadań, z prawdopodobieństwem 1/2. Niech X będzie liczbą studentów, którzy rozwiążą dobrze co najmniej 4 zadania. Oblicz EX i Var X.
Zadanie 7. W urnie jest 50 kul. Na początku wszystkie są białe. Wyciągamy kulę, białą kulę malujemy na czerwono, następnie zwracamy kulę do urny. Operację tę powtarzamy 20 razy. Niech X oznacza liczbę kul czerwonych na końcu (t.j. po 20 losowaniach). Oblicz EX, Var X.
Zadanie 8. Zmienna losowa X ma rozkład z dystrybuantą
F (t) =
0 jeśli t < 0, t2 jeśli 0 ¬ t < 1/2, 1/2 jeśli 1/2 ¬ t < 2, 1/2 + t/8 jeśli 2 ¬ t < 4, 1 jeśli 4 ¬ t.
Oblicz EX, Var X.
Zadanie 9. Każdy bok i przekątną sześciokąta foremnego malujemy losowo na jeden z trzech kolorów. Wybór każdego koloru jest jednakowo prawdopodobny, kolorowania różnych odcinków są niezależne. Niech X będzie liczbą jednobarwnych trójkątów o wierzchołkach będących wierzchołkami sześciokąta. Oblicz EX i Var X.
Zadanie 10. Niech X będzie nieujemną zmienną losową, p > 0. Udowodnić, że EXp= p
Z ∞ 0
tp−1P(X > t)dt.
Wywnioskować stąd, że jeśli X ma rozkład dyskretny skupiony na liczbach całkowitych nieujemnych, to
EX =
∞
X
k=1
P(X k).
1
Zadanie 11. Udowodnić nierówność
P(A1∪ . . . ∪ An) ¬
n
X
i=1
P(Ai) − max
k
X
1¬i¬n,i6=k
P(Ai∩ Ak).
Zadanie 12. Rzucamy monetą nieskończenie wiele razy i jeśli w n-tym rzucie wypadnie orzeł, to wygrywamy 2 · 3−nzł. Niech X oznacza łączną wygraną. Wyznaczyć dystrybuantę X i pokazać, że X nie ma gęstości.
Zadanie 13. Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy’ego (gęstość równa f (x) = π11+x12). Wykazać, że zmienne X i 1/X mają ten sam rozkład.
Zadanie 14. Kij o długości 1 złamano losowo w dwóch miejscach. Niech X oznacza długość najkrótszego z powstałych trzech kawałków. Wyznaczyć rozkład zmiennej X, jej wartość oczekiwaną i wariancję.
2
