(1)STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr in˙z Krzysztof Bry´s wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIE ´NSTWA 1

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr in˙z Krzysztof Bry´s

wyk lad 1,2

KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIE ´NSTWA

1. Poj¸ecia wst¸epne.

Do´swiadczeniem losowym nazywamy do´swiadczenie, kt´orego wynik nie jest znany. Posiadamy jedynie informacje o zbiorze mo˙zliwych wynik´ow tego do´swiadczenia. Wynik do´swiadczenia losowego wykluczaj¸acy inne mo˙zliwe wyniki nazywamy zdarzeniem elementarnym.

UWAGA: Zak lada si¸e, ˙ze w wyniku do´swiadczenia losowego zachodzi dok ladnie jedno zdarzenie elementarne.

Zbi´or wszystkich zdarze´n losowych nazywamy przestrzeni¸a zdarze´n elementarnych i oznaczamy przez Ω.

Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny wynik do´swiadczenia losowego. Ka˙zde zdarzenie losowe jest zbiorem zdarze´n elementarnych

UWAGA: Je˙zeli Ω jest zbiorem sko´nczonym lub przeliczalnym, to zdarzeniem losowym jest dowolny podzbi´or zbioru Ω

Zdarzenie ∅ nazywamy zdarzeniem niemo˙zliwym.

Zdarzenie Ω nazywamy zdarzeniem pewnym.

Zdarzenie A = Ω \ A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A.

Je˙zeli dla dw´och zdarze´n A i B zachodzi A ∩ B = ∅, to m´owimy, ˙ze zdarzenia te wykluczaj¸a si¸e (s¸a roz l¸aczne).

Przyk lady. Zdarzenie A = miesi¸ac kwiecie´n ma 31 dni jest zdarzeniem niemo˙zliwym. Zdarzenie B = miesi¸ac kwiecie´n ma 30 dni jest zdarzeniem pewnym. Zdarzeniem przeciwnym do C = dzisiaj jest niedziela jest zdarzenie C = dzisiaj jest inny dzie´n tygodnia ni˙z niedziela.

Rozwa˙zmy teraz przyk lad bardzo prostego do´swiadczenia losowego.

Przyk lad. Rozwa˙zmy do´swiadczenie losowe polegaj¸ace na jednokrotnym rzucie monet¸a. Przestrze´n zdarze´n elementarnych sk lada sie z dw´och element´ow, zdarzenia ω_Opolegajacego na wypadni¸eciu or la i ω_O, kt´ore oznacza wypadni¸ecie reszki. Wypiszmy wszystkie mo˙zliwe podzbiory zbioru Ω (zdarzenia losowe):

A₁ = Ω = {ω_O, ω_R}, A₂ = {ω_O}, A₃ = {ω_R}, A₄ = ∅.

Zdarzenie A₁polega na wypadni¸eciu or la lub reszki. Jest to zdarzenie pewne. Zdarzenie A₄polegaj¸ace na niewypadni¸eciu ani or la ani reszki nie mo˙ze zaj´s´c w wyniku naszego do´swiadczenia losowego. Jest to zdarzenie niemo˙zliwe. Zdarzeniem przeciwnym do A₂ - wypad l orze l jest zdarzenie A₃ - wypad la reszka. Zwr´o´cmy uwag¸e na to, ˙ze A₂∪ A₃ = Ω (w wyniku rzutu monet¸a wypadnie orze l lub reszka) oraz A₂∩ A₃ = ∅ (nie mo˙ze wypa´s´c jednocze´snie orze l i reszka).

2. Klasyczna definicja prawdopodobie´nstwa.

Niech Ω b¸edzie zbiorem sko´nczonym, to znaczy Ω = {ω₁, ω₂. . . , ω_N}. Dla dowolnego zdarzenia

A ⊆ Ω takiego, ˙ze A = {ω_i1, ω_i2, . . . , ω_ik}, gdzie i₁, i₂, . . . , i_k ∈ {1, 2, . . . N }, definiuje si¸e funkcj¸e prawdopodobie´nstwa w nast¸epuj¸acy spos´ob:

P (A) = P ({ω_i1}) + P ({ω_i2}) + . . . + P ({ω_ik}).

W przypadku, gdy zdarzenia elementarne s¸a jednakowo prawdopodobne, to znaczy P (ω₁) = P (ω₂) = . . . = P (ωN) = _N¹, otrzymujemy nast¸epuj¸acy wz´or:

P (A) = |A|

|Ω| = k

N = liczba zdarze´n elementarnych sprzyjaj¸acych zdarzeniu A liczba wszystkich zdarze´n elementarnych .

Powy˙zsza definicja prawdopodobie´nstwa nie jest poprawna w og´olno´sci, gdy˙z zbi´or Ω nie musi by´c sko´nczony a zdarzenia elementarne nie musz¸a by˙c jednakowo prawdopodobne.

3. Aksjomatyczna definicja prawdopodobie´nstwa.

Niech Ω b¸edzie przestrzeni¸a zdarze´n elementarnych, Z ⊆ 2^Ω = P(Ω) zbiorem zdarze´n losowych.

Funkcj¸a prawdopodobie´nstwa nazywamy funkcj¸e:

P : Z → [0, 1]

spe lniaj¸ac¸a nast¸epuj¸ace trzy aksjomaty:

P 1) P (A) ≥ 0 dla ka˙zdego A ∈ Z, P 2) P (Ω) = 1

P 3) je˙zeli A₁, A₂, . . . , A_n jest ci¸agiem zdarze´n roz l¸acznych (to znaczy A_i∩ A_j = ∅ dla i 6= j), to P (^S+∞_i=1A_i) = ^P+∞_i=1P (A_i).

Warto´s´c funckji P na zbiorze A nazywamy prawdopodobie´nstwem zdarzenia A W lasno´sci prawdopodobie´nstwa:

1. P (∅) = 0.

2. Je´sli A ⊆ B, to P (A) ≤ P (B).

3. Dla dowolnego A ⊆ Ω P (A) ≤ 1.

4. Je´sli A ⊆ B, to P (B \ A) = P (B) − P (A).

5. Dla dowolnego A ⊆ Ω P (A) + P (A) = 1.

6. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).

7. Je˙zeli zdarzenia A₁, A₂, . . . , A_ns¸a parami roz l¸aczne, to P (A₁∪A₂∪. . .∪A_n) = P (A₁)+P (A₂)+

. . . + P (A_n).

Prawdopodobie´nstwo warunkowe

Prawdopodobie´nstwo zaj´scia zdarzenia A pod warunkiem, ˙ze zasz lo zdarzenie B:

P (A|B) = P (A ∩ B) P (B)

Do´swiadczenia niezale˙zne = dowolny wynik jednego z nich nie wpywa na wynik drugiego.

Zdarzenia niezale˙zne = zdarzenia A, B, dla kt´orych:

P (A ∩ B) = P (A) · P (B) albo

P (A|B) = P (A) lub P (B|A) = P (B)

Informacja o zaj´sciu jednego z nich nie zmienia szans wyst¸apienia drugiego.

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA

Intuicyjnie: zmienna, kt´ora przyjmuje pewn¸a warto´s´c liczbow¸a w wyniku do´swiadczenia losowego.

Formalnie: Funkcja X : Ω → R przyporz¸adkowuj¸aca ka˙zdemu zdarzeniu losowemu pewn¸a warto´s´c liczbow¸a

Dystrybuanta zmiennej losowej X - funkcja F_X : R → R zdefiniowana nast¸epuj¸aco:

F (x) = P (X < x) dla ka˙zdego x ∈ R

Zmienna losowa typu skokowego

Zmienna X, dla kt´orej zbi´or warto´sci przyjmowanych przez t¸a zmienn¸a jest sko´nczony lub przeliczalny, tzn W_X = {x₁, x₂, . . . , x_n} albo W_X = {x₁, x₂, . . . , x_n, . . .}

Rozk lad prawdopodobie´nstwa: funkcja P , kt´ora ka˙zdemu punktowi skokowemu x_i ∈ W_X przyporz¸adkowuje skok prawdopodobie´nstwa pi = P (X = xi) w taki spos´ob, ˙ze:

1) dla ka˙zdego i : p_i > 0 oraz 2)^X

i

p_i = 1 .

Zmienna losowa typu ci¸ag lego

Zmienna X, dla kt´orej zbi´or warto´sci przyjmowanych przez t¸a zmienn¸a jest przedzia lem liczbowym lub sum¸a przedzia l´ow.

Rozk lad prawdopodobie´nstwa: funkcja f zwana g¸esto´sci¸a prawdopodobie´nstwa taka, ˙ze 1) dla ka˙zdego x ∈ R : f (x) ≥ 0 oraz

2)

Z _+∞

−∞ f (x)dx = 1 .

Podstawowe parametry zmiennej losowej

1. Warto´s´c oczekiwana zmiennej losowej X = liczba E(X) b¸ed¸aca ´srednia wa˙zon¸a rozk ladu prawdopodobie´nstwa przy za lo˙zeniu, ˙ze wag¸a jest prawdopodobie´nstwo (dla zmiennej losowej typu skokowego) albo ´srodkiem ci¸e˙zko´sci rozk ladu prawdopodobie´nstwa przy za lo˙zeniu, ˙ze g¸esto´sci¸a jest funkcja g¸esto´sci prawdopodobie´nstwa (dla zmiennej losowej typu ci¸ag lego).

2. Wariancja zmiennej losowej X= D²(X) = warto´s´c oczekiwana kwadratu odchylenia zmiennej od jej warto´sci oczekiwanej - miara ´sredniego odchylenia kwadratowego.

3. Odchylenie standardowe zmiennej losowej X = D(X)= pierwiastek z wariancji - miara

´sredniego odchylenia zmiennej od jej warto´sci oczekiwanej.

4. Kwantyl rz¸edu p = xp = punkt, w kt´orym skumulowane prawdopodobie´nstwo (dystry- buanta) osi¸aga (przekracza) warto´s´c p.

mediana=Me=kwantyl rz¸edu ¹₂

kwartyl dolny=Q₁=kwantyl rz¸edu ¹₄ kwartyl dolny=Q3=kwantyl rzedu ³₄

i-ty decyl= przedzia l mi¸edzy kwantylem rz¸edu (i − 1) · 0.1 a kwantylem rz¸edu i · 0.1 i-ty percentyl= przedzia l mi¸edzy kwantylem rz¸edu (i − 1) · 0.01 a kwantylem rz¸edu i · 0.01

5. Moda (dominanta; warto´s˙c modalna) = punkt, w kt´orym funkcja prawdopodobie´nstwa osi¸aga najwi¸eksz¸a warto´s˙c.

Podstawowe teoretyczne rozk lady prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej jednowymiarowej

Typu skokowego 1. Rozk lad jednopunktowy.

Funkcja prawdopodobie´nstwa : P (X = c) = 1 dla pewnej sta lej c Warto´s˙c oczekiwana: E(X) = c

Wariancja: D²(X) = 0

Interpretacja: Rozk lad dowolnej sta lej liczbowej X.

2. Rozk lad dwupunktowy (zerojedynkowy).

Funkcja prawdopodobie´nstwa : P (X = 1) = p, P (X = 0) = q = 1 − p Warto´s˙c oczekiwana: E(X) = p

Wariancja: D²(X) = p · q = p · (1 − p)

Interpretacja: Rozk lad dowolnej zmiennej X, kt´ora odpowiada na pewne pytanie albo TAK (X = 1-”sukces”) albo NIE (X = 0-”pora˙zka”), rozk lad dowolnej cechy ”zero-jedynkowej” (obiekt albo j¸a posiada (X = 1) albo nie posiada (X = 0).

3. Rozk lad Bernoulliego (dwumianowy) - B(n, p) Schemat do´swiadcze´n Bernoulliego:

- n niezale˙znych do´swiadcze´n,

- w ka˙zdym do´swiadczeniu albo sukces z prawdopodobie´nstwem p albo pora˙zka (z prawdopodobie´nstwem q = 1 − p);

Interpretacja: Zmienna losowa X ma rozk lad B(n, p) je´sli m´owi o liczbie sukces´ow w schemacie n niezale˙znych do´swiadcze´n Bernoulliego z prawdopodobie´nstwem sukcesu p w ka˙zdym z nich. Jest sum¸a n niezale˙znych zmiennych losowych o rozk ladzie zerojedynkowym.

Funkcja prawdopodobie´nstwa : P (X = k) =^n_k^p^k· q^n−k dla k = 0, 1, 2, . . . , n, q = 1 − p.

Warto´s˙c oczekiwana: E(X) = np Wariancja: D²(X) = n · p · q 4. Rozk lad Poissona - Po(λ)

Funkcja prawdopodobie´nstwa : P (X = k) = e^−λ· ^λ_k!^k dla k = 0, 1, 2, . . . Warto´s˙c oczekiwana: E(X) = λ

Wariancja: D²(X) = λ

Interpretacja: Rozk lad graniczny dla rozk laadu B(n, p) przy n → +∞.

Dla dostatecznie du˙zych n, zmienna losowa o rozk ladzie B(n, p) ma w przybli˙zeniu rozk lad Poissona z parametrem λ = n · p.

Typu ci¸ag lego

1. Rozk lad jednostajny na przedziale (a; b) - U(a, b) Funkcja g¸esto´sci prawdopodobie´nstwa :

f (x) =

( ₁

b−a , dla a < x < b 0 , dla pozosta lych x Warto´s˙c oczekiwana: E(X) = ^a+b₂

Wariancja: D²(X) = ^(b−a)₁₂ ²

Interpretacja Zmienna losowa X ma rozk lad U(a, b) je´sli przyj¸ecie przez t¸a zmienn¸a dowolnej warto´sci z przedzia lu (a; b) jest jednakowo prawdopodobne.

2. Rozk lad normalny (Gaussa) - N(m, σ)

Funkcja g¸esto´sci prawdopodobie´nstwa : f (x) = ^√_2πσ¹ · e^{−(x−m)22σ2} dla x ∈ R Warto´s˙c oczekiwana: E(X) = m

Wariancja: D²(X) = σ²

Wykresem powy˙zszej funkcji g¸esto´sci prawdopodobie´nstwa jest krzywa Gaussa Zmienna losowa standaryzowa dla zmiennej losowej o rozk ladzie N(m, σ):

X = X − m σ ma rozk lad normalny standardowy N(0, 1).

Dystrybuanta rozk ladu normalnego standardowego N(0, 1):

Φ(x) =

Z _x

−∞

√1

2π · e^−t22 dt dla x ∈ R

Z parzysto´sci funkcji g¸esto´sci prawdopodobie´nstwa rozk ladu N(0, 1) wynika, ˙ze:

Φ(−x) = 1 − Φ(x).

u_α - kwantyl rz¸edu α zmiennej losowej o rozk ladzie N(0, 1) (tzn. Φ(u_α) = α)

3. Rozk lad chi kwadrat o n stopniach swobody

Zmienna losowa χ² = X₁²+ X₂²+ . . . + X_n², gdzie X1, X2, . . . Xn zmienne o rozk ladzie N(0, 1) ma rozk lad chi-kwadrat o n stopniach swobody

Warto´s˙c oczekiwana: E(χ²) = n Wariancja: D²(χ²) = 2n

Dla du˙zych n (n > 40) rozk lad chi-kwadrat o n stopniach swobody mo˙zna przybli˙za˙c rozk ladem N(n,√

2n).

χ²(α, n) = kwantyl rz¸edu 1 − α zmiennej o rozk ladzie chi-kwadrat o n stopniach swobody 4. Rozk lad t-Studenta o n stopniach swobody.

Zmienna losowa T = ^qX

χ2 n

, gdzie X zmienna losowa o rozk ladzie N(0, 1) a zmienna χ² ma rozk lad chi-kwadrat o n stopniach swobody.

Warto´s˙c oczekiwana: E(T ) = 0.

Wariancja: D²(T ) = _n−2ⁿ .

Dla du˙zych n (n > 40) rozk lad t-Studenta o n stopniach swobody mo˙zna przybli˙za˙c rozk ladem N(0, 1).

t(α, n) = kwantyl rz¸edu 1 − ^α₂ zmiennej o rozk ladzie t-Studenta o n stopniach swobody.