1. Rozpatrzmy portfel 2000 (3000) polis ubezpieczenia na życie, opisany przez następującą tabelkę:
k qk bk nk k qk bk nk
1 0.01 1 1000 1 0.001 1 1500
2 0.01 2 500 2 0.001 2 500
3 0.02 1 500 3 0.002 1 500
4 0.002 2 500
Niech S będzie całkowitą sumą wypłaconych odszkodowań. Znajdź zło- żony rozkład Poissona CPoiss(λ, p()), który aproksymuje rozkład zmiennej losowej S. Znajdź również aproksymujący rozkład normalny N (µ, σ2). Po- nadto korzystając z przybliżenia normalnego, podaj P(S > 40) (P(S >
7.5)). Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennej S.
2. Wyznacz rozkład zmiennej losowej SN, gdzie N ∼ P(λ) oraz X1, X2, . . . mają rozkład logarytmiczny
P(Xi= k) = −1 ln(1 − p)
pk
k k = 1, 2, . . .
3. Zmienna losowa S ma złożony rozkład Poissona: (a) CPoiss(8, p()), (b) CPoiss(6, p()), (c) CPoiss(5, p()), gdzie funkcja rozkładu prawdopodobień- stwa p (dyskretna gęstość) jest dana tabelką:
(a) 1 2 3 (b) 0 1 2
0.25 0.5 0,25 0.5 0.25 0,25
(c) p(x) = 2−xln 2, x > 0. Oblicz: P(S = 0), E S, VarS, E etS. Zmienną lo- sową S można przedstawić w postaciP3
j=1vjNj, gdzie Nj są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie Poissona, zaś vj są liczbami. Podaj λj = E Nj oraz vj dla j = 1, 2, 3.
4. Zmienne losowe S1 i S2 mają złożone rozkłady Poissona z parametrami λ1 = 2 oraz λ2 = 6 i gęstościami p1 oraz p2 danymi jako: p1(1) = 0.2, p1(2) = 0.6, p1(3) = 0.2, a także p2(3) = 0.5, p2(4) = 0.5. Wyznacz rozkład S1+ S2.
5. Wyznacz wartość oczekiwaną, wariancję i funkcję tworzącą momenty dla złożonych rozkładów Poissona, dwumianowego oraz ujemnego dwumiano- wego.
6. Liczba szkód generowanych przez pewną grupę ryzyk w ciągu miesiąca ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną 66.67. Wysokość pojedyn- czej szkody ma rozkład prawdopodobieństwa o wartości oczekiwanej 10 i odchyleniu standardowym 10. Wysokość szkód i liczby szkód w kolejnych miesiącach są niezależne. Niech S12 oznacza sumaryczną wysokość szkód w ciągu roku. Posługując się przybliżeniem normalnym, wybrać takie q, dla którego P(S12≤ q) ≥ 0.95.
1
1. Rozpatrzmy portfel 2000 (3000) polis ubezpieczenia na życie, opisany przez następującą tabelkę:
k qk bk nk k qk bk nk
1 0.01 1 1000 1 0.001 1 1500
2 0.01 2 500 2 0.001 2 500
3 0.02 1 500 3 0.002 1 500
4 0.002 2 500
Niech S będzie całkowitą sumą wypłaconych odszkodowań. Znajdź zło- żony rozkład Poissona CPoiss(λ, p()), który aproksymuje rozkład zmiennej losowej S. Znajdź również aproksymujący rozkład normalny N (µ, σ2). Po- nadto korzystając z przybliżenia normalnego, podaj P(S > 40) (P(S >
7.5)). Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennej S.
2. Wyznacz rozkład zmiennej losowej SN, gdzie N ∼ P(λ) oraz X1, X2, . . . mają rozkład logarytmiczny
P(Xi= k) = −1 ln(1 − p)
pk
k k = 1, 2, . . .
3. Zmienna losowa S ma złożony rozkład Poissona: (a) CPoiss(8, p()), (b) CPoiss(6, p()), (c) CPoiss(5, p()), gdzie funkcja rozkładu prawdopodobień- stwa p (dyskretna gęstość) jest dana tabelką:
(a) 1 2 3 (b) 0 1 2
0.25 0.5 0,25 0.5 0.25 0,25
(c) p(x) = 2−xln 2, x > 0. Oblicz: P(S = 0), E S, VarS, E etS. Zmienną lo- sową S można przedstawić w postaciP3
j=1vjNj, gdzie Nj są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie Poissona, zaś vj są liczbami. Podaj λj = E Nj oraz vj dla j = 1, 2, 3.
4. Zmienne losowe S1 i S2 mają złożone rozkłady Poissona z parametrami λ1 = 2 oraz λ2 = 6 i gęstościami p1 oraz p2 danymi jako: p1(1) = 0.2, p1(2) = 0.6, p1(3) = 0.2, a także p2(3) = 0.5, p2(4) = 0.5. Wyznacz rozkład S1+ S2.
5. Wyznacz wartość oczekiwaną, wariancję i funkcję tworzącą momenty dla złożonych rozkładów Poissona, dwumianowego oraz ujemnego dwumiano- wego.
6. Liczba szkód generowanych przez pewną grupę ryzyk w ciągu miesiąca ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną 66.67. Wysokość pojedyn- czej szkody ma rozkład prawdopodobieństwa o wartości oczekiwanej 10 i odchyleniu standardowym 10. Wysokość szkód i liczby szkód w kolejnych miesiącach są niezależne. Niech S12 oznacza sumaryczną wysokość szkód w ciągu roku. Posługując się przybliżeniem normalnym, wybrać takie q, dla którego P(S12≤ q) ≥ 0.95.
2
