Zbadaj monotoniczno±¢ ci¡gów (an): (a) an= (2n)!4n 2

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I⁰.in». 23 marca 2018

Zadania przygotowuj¡ce do kolokwium nr 1

1. Zbadaj monotoniczno±¢ ci¡gów (an): (a) a_n= _(2n)!⁴ⁿ

2. Zbadaj ograniczono±¢ ci¡gów (an): (a) a_n= ₄n⁴ⁿ+3

3. Oblicz granice poni»szych ci¡gów(o ile istniej¡):

(a) a_n=√

3n²+ 2n − 5 − n√

3 (b) b_n= √ⁿ

10ⁿ+ 9ⁿ+ 8ⁿ (c) c_n= ²³ⁿ⁻²₄2n+3^−53n+32n+1

(d) d_n= _4n²ⁿ2−3 cos n^{2+sin n2} (e) e_n = ⁿ q 2

3

n

+ ³₄
n

(f ) f_n= ⁿ⁻³_n
n

(g) g_n=

3n²+2 3n²+1

n²−3

(h) h_n =

n²+2 3n²+1

n²−3

(i) i_n= (−1)ⁿ·²ⁿ⁺¹_n−3. 4. Wyznacz sum¦ szeregu o ci¡gu sum cz¦±ciowych (Sn)_n∈N, gdzie Sn = _(n+2)(n+5)^n(3n+1) .

5. Korzystaj¡c z odpowiednich kryteriów zbadaj zbie»no±¢ szeregów:

(a)

∞

P

n=1 n−1

n³+1 (b)

∞

P

n=1

n ⁷₃
4n

(c)

∞

P

n=1 4²ⁿ

(2n−2)! (d)

∞

P

n=1 4n−3 2n+4

(e)

∞

P

n=1 2n

4ⁿ (f )

∞

P

n=1 4n+3 6n−1

2n

(g)

∞

P

n=1

n²+1 n²+n

n²

(h)

∞

P

n=1

(−1)^{n 3n−1}_n2+4

(i)

∞

P

n=1 (2n)!

(n!)²·3ⁿ (j)

∞

P

n=1 1 4ⁿ

n n+2

n²

(k)

∞

P

n=1

sin_n¹2 cos_n¹ (l)

∞

P

n=1

sin_n¹ cos_n¹ 6. Zbadaj zbie»no±¢ bezwzgl¦dn¡ i warunkow¡:

(a) P^∞

n=1

(−1)ⁿ_4n²ⁿ3+1, (b) P^∞

n=1 (−1)ⁿ

4n+2, (c) P^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ ln(n+1)

7. Oblicz granice funkcji (lub wyka» nieistnienie granicy):

(a) lim

x→2

x³−2x²+x−2

x³−x²−4x+4 (b) lim

x→−4

x³+x²−12x

x³+64 (c) lim

x→−∞

√4−x

√2−3x (d) lim

x→−∞ 2x +√

4x²+ 3x − 1
(e) lim

x→0 sin 5x

arcsin 3x (f ) lim

x→∞

x²+3x+5 x²+2



(g) lim

x→1 1

1−x² (h) lim

x→02^|x|x (i) lim

x→0

arctan 4x

sin 5x (j) lim

x→0 6^x−3^x

2x (k) lim

x→0 4^x−1

arcsin 2x (l) lim

x→2⁺ 3+2x

7

_x−2⁴ (m) lim

x→2

√3x−2−√ 2x

√3

x³+19−3 (n) lim

x→^π₃

sin(3x−π)

2

3π−2x (o) lim

x→1

e^x2−1−1

sin(x−1) (p) lim

x→0

ln(tg 2x+1) sin 3x . 8. Na mocy twierdzenia o trzech granicach wyka», »e

(a) lim

x→3⁻

(x − 3) cos¹_x (b) lim

x→+∞

2[x]−1 [x]+4 = 2

9. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji w dziedzinie, w punktach nieci¡gªo±ci okre±l rodzaj nieci¡gªo±ci:

a) f(x) =







x dla x ≤ 0

x

x−1 dla 0 < x < 1

x²− 2 dla x ≥ 1 b) f(x) =







2^x− 1 dla x ≤ 1 1 + log x dla 1 < x < 10

5

x dla x ≥ 10

c)f(x) =







√x+1−1

x dla x < 0

4 dla x = 0

|x|+x

4x dla x > 0

d)f(x) = cos _x−2¹ dla x < 2 x + 3 dla x ≥ 2.

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I⁰.in». 23 marca 2018

10. Dobra¢ parametry tak, aby podane funkcje byªy ci¡gªe na caªej swojej dziedzinie:

(a) f (x) =

 _{sin ax}

3x dla x 6= 0

a dla x = 0 (b) g(x) =







2b + e^1x dla x < 0

4 dla x = 0

sin(ax)

3x dla x > 0.

11. Oblicz pochodne podanych funkcji:

a) f(x) = x³sin x + e^xtg x, b) f(x) = √⁴

3x³+ 2x + 4, c) f(x) = ln(arctg e^2x), d) f(x) = ln

x² 2x+3

5

, e) f(x) = p⁵ x cos x

1+2 sin x, f) f(x) = arctg^1+√_x^1+x2, g) f(x) = (x²+ 4x)^{2 tg x}, h) f(x) = x²log_x24x, i) f(x) = ctg²pln(cos x²),

2