SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 7, 2013-11-29

SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 7, 2013-11-29

Związek funkcji i jej pochodnej

Poniższe twierdzenia są podstawą wielu bardzo ważnych zastosowań pochodnych. Twierdze- nie te wyrażają związek pomiędzy funkcją a jej pochodną.

Twierdzenie Rolle’a Niech dana będzie funkcja f :< a, b >→ R ciągła na < a, b > i różniczkowalna na (a, b), oraz taka, że f (a) = f (b) . Wtedy istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że f⁰(c) = 0

Twierdzenie Lagrange’a Niech dana będzie funkcja f :< a, b >→ R ciągła na < a, b > i różniczkowalna na (a, b). Wtedy istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że

f (b) − f (a) = f⁰(c) · (b − a)

Twierdzenie Cauchy’ego Niech dane będą funkcje f, g :< a, b >→ R ciągłe na < a, b > i różniczkowalne na (a, b). Niech ponadto g⁰(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b). Wtedy istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że

f (b) − f (a)

g(b) − g(a) = f⁰(c) g⁰(c)

Reguła de L’Hospitala

Twierdzenie: Niech f, g : D → R , gdzie D = (x0− , x₀ + ) \ {x₀} będą funkcjami róż- niczkowalnymi oraz ∀x ∈ D (g⁰(x) 6= 0) . Niech istnieją i są równe zeru granice: lim

x→x0

f (x) =

x→xlim0

g(x) = 0. Jeśli istnieje granica lim

x→x0

f⁰(x)

g⁰(x) = b to istnieje też granica lim

x→x0

f (x) g(x) = b Uwaga 1 Reguła de L’Hospitala umożliwia liczenie granic typu 0

0 poprzez obliczanie granic ilorazu pochodnych.

Uwaga 2 Twierdzenie działa tylko w jedną stronę: jeżeli granica ilorazu pochodnych nie istnieje to z tego nie wynika , że nie istnieje granica ilorazu funkcji.

Uwaga 3 Twierdzenie to można uogólnić na granice typu ∞

∞ oraz x₀ = ±∞ , b = ±∞

Przykład: Obliczyć granicę:

x→0lim

1 − cos x sin x²

Jest to granica typu 0

0 . Obliczamy granicę:

x→0lim f⁰(x) g⁰(x) = lim

x→0

sin x 2x cos x² Jest to granica typu 0

0 . Obliczamy granicę:

x→0lim f⁰(x) g⁰(x) = lim

x→0

cos x

2 cos x²− 4x²sin x² = 1 2 Granica ta istnieje, a więc

x→0lim

1 − cos x sin x² = 1

2

Jezeli chcemy stosować regułę de L’Hospitala w przypadku innych symboli nieoznaczonych musimy je najpierw przekształcić do symbolu 0

0 lub ∞

∞ Przykład: 0 · ∞ Obliczyć granicę: lim

x→0x ln x 1

x→0limx ln x = lim

x→0

ln x

1 x

h0 0

i

= H

x→0lim

1 x

−_x¹2

= lim

x→0−x = 0

Przykład: ∞ − ∞ Obliczyć granicę: lim

x→0

1

x − 1 sinh x



x→0lim

1

x − 1 sinh x



= lim

x→0

sinh x − x x sinh x

h₀

0

i

= H

x→0lim

cosh x − 1 sinh x + x cosh x

h₀

0

i

= H

x→0lim

sinh x

cosh x + cosh x + x sinh x = 0

2 = 0

Uwaga: Granice 1^∞ , ∞⁰ ,0⁰ obliczamy przekształcając wyrażenie f^g = e^{ln fg} = e^{g ln f} , a następnie obliczając granicę g ln f typu 0 · ∞

Przykład: 1^∞ Obliczyć granicę: lim

x→∞

2

πarc tg x

x

2

πarc tg x

x

= e

x ln 2

πarc tg x

!

x→∞lim x ln

2

πarc tg x



= lim

x→∞

ln

2

π arc tg x



1 x

h₀

0

i

= H

x→∞lim 2 π(1 + x²)

2

πarc tg x

−_x¹2

= lim

x→∞

−x²

(1 + x²) arc tg x =

x→∞lim

−1 ( 1

x² + 1) arc tg x

= −2 π stąd:

x→∞lim

2

π arc tg x

x

= e^−π2

Wzór Taylora

Twierdzenie: Niech f : (a, b) → R będzie funkcją różniczkowalną (n + 1) razy. Wtedy dla dowolnych x, x0 ∈ (a, b) zachodzi:

f (x) = f (x₀) + f⁰(x₀)

1! (x − x₀) + f⁰⁰(x₀)

2! (x − x₀)²+ · · · + f⁽ⁿ⁾(x₀)

n! (x − x₀)ⁿ+ R_n gdzie:

R_n = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

(n + 1)!(x − x₀)ⁿ⁺¹ dla pewnego c ∈ (x₀, x) Uwaga 1: Reszta R_n= f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

(n + 1)! (x − x₀)ⁿ⁺¹ nazywa się resztą w postaci Lagrange’a.

Uwaga 2: Wzór Taylora przybliża dowolną funkcję f za pomocą wielomianu stopnia n . Reszta R_n jest błędem tego przybliżenia. Spośród wszystkich wielomianów stopnia n wielo- mian Taylora przybliża najlepiej funkcję f w otoczeniu punktu x₀.

Uwaga 3: O punkcie c wiemy tylko, że leży pomiędzy x0 a x. W przypadku, gdy x < x0

należy pisać c ∈ (x, x₀)

Przykład: Napisać wzór Taylora dla funkcji f = e^xw punkcie x₀ = 0 dla n = 3. Korzystając z niego obliczyć przybliżoną wartość e^0,1 i oszacować błąd przybliżenia.

f (x) = f (0) + f⁰(0)

1! x + f⁰⁰(0)

2! x²+ f⁰⁰⁰(0)

3! x³ + R₃ 2

gdzie:

R₃ = f^{IV )}(c)

4! x⁴ dla pewnego c ∈ (0, x) Obliczamy:

f (x) = e^x , f (0) = 1 f⁰(x) = e^x , f⁰(0) = 1 f⁰⁰(x) = e^x , f⁰⁰(0) = 1 f⁰⁰⁰(x) = e^x , f⁰⁰⁰(0) = 1 f^IV(x) = e^x

stąd:

e^x = 1 + 1 1!x + 1

2!x²+ 1

3!x³+ R₃ = 1 + x + x² 2 +x³

6 + R₃ gdzie

R₃ = e^c

4!x⁴ dla pewnego c ∈ (0, x) Wielomian przybliżający e^x : e^x ≈ 1 + x + x²

2 +x³ 6 e^0,1 ≈ 1 + 0, 1 + 0, 01

2 + 0, 001

6 = 1, 10516666 . . .

Błędu przybliżenia nie możemy obliczyć dokładnie ponieważ nie znamy c , możemy go jednak oszacować.

|R₃| =

e^c 4!x⁴

   =

e^c

4!0, 0001

c ∈ (0, 0, 1) a więc |e^c| = e^0,1 < 3

|R3| < 3

240, 0001 = 0, 0000125

Oszacowanie błądu możemy zaokrąglić (zawsze w górę). Następnie zaokrąglamy wynik i błąd zaokrąglenia dodajemy do oszacowania błędu:

e^0,1 = 1, 105167 ± 0, 000014

Wartość dokładna e^0,1 = 1.105170918076 . . . mieści się w granicach błędu

Twierdzenie (Wzór Taylora z resztą w postaci Peano): Niech f : D → R będzie funkcją mającą n-tą pochodną w punkcie x₀ ∈ int D. Wtedy dla dowolnego x ∈ D zachodzi:

f (x) = f (x₀) + f⁰(x0)

1! (x − x₀) + f⁰⁰(x0)

2! (x − x₀)²+ · · · + f⁽ⁿ⁾(x0)

n! (x − x₀)ⁿ+ R_n(x) gdzie:

Rn(x) = ε(x)(x − x0)ⁿ oraz lim

x→x0ε(x) = 0 Przykład: Obliczyć granicę: lim

x→0

x ln(1 + 2x) − 2x²+ 2x³ cos(x²) − 1

Stosujemy wzór Taylora dla funkcji f (x) = ln(1 + x) w x₀ = 0 , dla n = 3:

f (x) = ln(1 + x) f (0) = 0 f⁰(x) = 1

1 + x f⁰(0) = 1 f⁰⁰(x) = −(1 + x)⁻² f⁰⁰(0) = −1 f⁰⁰⁰(x) = 2(1 + x)⁻³ f⁰⁰⁰(0) = 2 Stąd:

ln(1 + x) = x − 1

2x²+1

3x³+ ε₁(x)x³ A więc

ln(1 + 2x) = 2x − 2x²+8

3x³+ ε₂(x)x³

Stosujemy wzór Taylora dla funkcji g(x) = cos(x) w x₀ = 0 , dla n = 2:

3

g(x) = cos x g(0) = 1 g⁰(x) = − sin x g⁰(0) = 0 g⁰⁰(x) = − cos x g⁰⁰(0) = −1 Stąd:

cos x = 1 − 1

2x²+ ε₃(x)x² A więc

cos x² = 1 − 1

2x⁴+ ε₄(x)x⁴

Podstawiamy otrzymane wzory do granicy:

x→0lim

x ln(1 + 2x) − 2x²+ 2x³

cos(x²) − 1 = lim

x→0

x



2x − 2x² +8

3x³+ ε₂(x)x³



− 2x²+ 2x³ 1 −1

2x⁴+ ε₄(x)x⁴− 1

=

x→0lim x⁴

8

3 + ε₂(x)



x⁴



−1

2+ ₄(x)

 = lim

x→0

8

3 + ε₂(x)

−1

2 + ε₄(x)

= −16 3

Uwaga: Wybranie odpowiedniego stopnia wielomianu zastępującego funkcję wymaga pew- nej wprawy. Jeśli stopień ten będzie za mały, wtedy przy obliczaniu granicy pojawi się symbol nieznaczony z nieznaną funkcją ε(x) i wtedy nie możemy obliczyć granicy. Należy wtedy po- wtórzyć obliczenia z wyższym stopniem wielomianu. Jeśli stopień będzie za duży - wtedy dostaniemy obliczymy granicę, ale potrzeba więcej obliczeń. W powyższym przykładzie są zastosowane wielomiany o najniższych stopniach umożliwiające obliczenie granicy.

4