SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 12, 2014-01-10
Całka Riemanna
Niech f :< a, b >→ R będzie dowolną funkcją. Przeprowadzamy następującą konstrukcję:
1. Ustalamy dowolną liczbę naturalną n ∈ N 2. Wybieramy liczbę kn∈ N
3. Dzielimy przedział < a, b > na kn części wybierając liczby: a = x0, x1 < x2 < · · · <
xkn = b. (Liczby xi powinny mieć dwa indeksy xn,i, dla uproszczenia notacji używamy tylko jednego). Układ tych liczb nazywamy podziałem przedziału < a, b >
4. Liczbę δn= max
i=0,1,...kn−1(xi+1− xi) - długość największego z przedziałów na które dzielimy przedział < a, b > nazywamy średnicą podziału.
5. W każdym z przedziałów < xi, xi+1> wybieramy liczbę ξi ∈< xi, xi+1> , i = 0, 1, . . . kn−1 . Układ tych liczb nazywamy wartościowaniem. (Liczby te powinny mieć dwa indeksy ξn,i).
6. Definiujemy sumę Riemanna Sn =
kn−1
X
i=0
f (ξi)(xi+1− xi) . Jeżeli f > 0 to jest to suma pól prostokątów o szerokości małych przedziałów i wysokości równej wartości funkcji f w odpowiednim punkcie. Widać, że suma ta jest przybliżeniem pola pod wykresem funkcji.
7. Zakładamy, że granica ciągu lim
n→∞δn = 0 i obliczamy granicę lim
n→∞Sn. Jeżeli ta granica istnieje i nie zależy od wyboru ciągu podziałów i ciągu wartościowań to mówimy, że istnieje całka Riemanna funkcji f na przedziale < a, b > i :
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞Sn. Funkcję dla której istnieje całka Riemanna nazywamy funkcją całko- walną.
Jeżeli granica ta nie istnieje, to mówimy, że całka Riemanna z tej funkcji na przedziale
< a, b > nie istnieje.
Uwaga: Jeżeli funkcja f jest nieujemna i istnieje całka Riemanna to całka ta jest polem obszaru leżącego między osią OX a wykresem funkcji, czyli polem zbioru: {(x, y) : a ¬ x ¬ b, 0 ¬ y ¬ f (x)} . Aby udowodnić to musimy skorzystać z definicji pola powierzchni zbioru, Definicja ta jest bardzo zbliżona do konstrukcji całki Riemanna.
Twierdzenie: Jeśli istnieje całka Riemanna
b
Z
a
f (x)dx to funkcja f jest ograniczona na przedziale < a, b >.
Korzystanie bezpośrednio z definicji całki Riemanna jest niezbyt wygodne ze względu na dużą dowolność konstrukcji (dowolny ciąg podziałów i wartościowań). Zwykle wygodniej jest korzystać z następujących pojęć:
Niech f :< a, b >→ R będzie funkcją ograniczoną. Jeżeli w konstrukcji całki Riemanna zastąpimy Sn przez:
Sn=
kn−1
X
i=0
sup
ξ∈<xi,xi+1>
f (ξ)(xi+1− xi) to okazuje się, że granica lim
n→∞Sn istnieje. Granicą tę nazywamy całką górną Riemanna i oznaczamy:
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞Sn
Podobnie, jeżeli w konstrukcji całki Riemanna zastąpimy Sn przez:
Sn=
kn−1
X
i=0
ξ∈<xinfi,xi+1>f (ξ)(xi+1− xi) to okazuje się, że granica lim
n→∞Sn istnieje. Granicą tę nazywamy całką dolną Riemanna i oznaczamy:
b
Z
a
f (x)dx = lim
n→∞Sn
Uwaga: W konstrukcji całki górnej i dolnej nie jest potrzebne wartościowanie.
Wniosek 1: Dla każdej funkcji ograniczonej na przedziale isnieją całka górna i całka dolna Riemanna.
Wniosek 2: Aby obliczyć całkę górną lub dolną Riemanna wystarczy wziąć pod uwagę tylko jeden ciąg podziałów.
Twierdzenie: Całka Riemanna
b
Z
a
f (x)dx istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy
b
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (x)dx . Wtedy
b
Z
a
f (x)dx =
b
Z
a
f (x)dx
Przykład: Obliczyć całkę Riemanna
1
Z
0
xdx
Funkcja f (x) = x jest ograniczona na przedziale < 0, 1 > . Istnieją więc całka górna i całka dolna Riemanna. Obliczymy je korzystając z następującego ciągu podziałów:
kn = n xi = i
n , i = 0, 1, 2, . . . n (podział na równe części) δn= 1
n → 0 Sn =
n−1
X
i=0
sup
ξ∈<ni,i+1n >
ξ
· (i + 1 n − i
n) =
n−1
X
i=0
i + 1 n · 1
n = 1 n2 ·
n−1
X
i=0
(i + 1) = 1
n2 · 1 + n 2 · n = n + 1
2n → 1 Stąd: 2
Z1
0
xdx = 1 2 Podobnie:
Sn=
n−1
X
i=0
inf
ξ∈<ni,i+1n >
ξ
!
· (i + 1 n − i
n) =
n−1
X
i=0
i n·1
n = 1 n2·
n−1
X
i=0
i = 1
n2·0 + n − 1
2 · n = n − 1 2n → 1
2 Stąd:
1
Z
0
xdx = 1 2
Ponieważ całka górna i całka dolna Riemanna są sobie równe, więc całka Riemanna istnieje i jest równa:
1
Z
0
xdx = 1 2
Uwaga: Zbiór pod wykresem funkcji to trójkąt, a otrzymany wynik jest polem tego trójkąta.
Przykład 2: Obliczyć całkę Riemanna
Z1
0
f (x)dx , gdzie funkcja
f (x) =
( 1 dla x ∈ Q 0 dla x /∈ Q
Funkcja f (x) jest ograniczona na przedziale < 0, 1 > . Istnieją więc całka górna i całka dolna Riemanna. Obliczymy je korzystając z następującego ciągu podziałów:
kn = n xi = i
n , i = 0, 1, 2, . . . n (podział na równe części) δn= 1
n → 0 Sn=
n−1
X
i=0
sup
ξ∈<ni,i+1n >
f (ξ)
· (i + 1 n − i
n) =
n−1
X
i=0
1 · 1
n = 1 → 1 Stąd:
1
Z
0
f (x)dx = 1
Sn=
n−1
X
i=0
inf
ξ∈<ni,i+1n >
f (ξ)
!
· (i + 1 n − i
n) =
n−1
X
i=0
0 · 1
n = 0 → 0 Stąd:
Z1
0
f (x)dx = 0
Ponieważ całka górna i dolna Riemanna nie są sobie równe, więc całka Riemanna
1
Z
0
f (x)dx nie istnieje.
Podstawowe własności całki Riemanna
Jeśli f, g :< a, b >→ R są całkowalne, to poniższe całki istnieją i są równe:
Zb
a
kf (x)dx = k
Zb
a
f (x)dx
Zb
a
(f (x) + g(x))dx =
Zb
a
f (x)dx +
Zb
a
g(x)dx
Zb
a
(f (x) − g(x))dx =
Zb
a
f (x)dx −
Zb
a
g(x)dx
Jeśli f, g :< a, b >→ R , istnieje całka
b
Z
a
f (x)dx oraz zbiór {x ∈< a, b >: g(x) 6= f (x)} jest skończony, to istnieje poniższa całka i jest równa:
Zb
a
g(x)dx =
Zb
a
f (x)dx
Uwaga: Własność ta oznacza, że zmiana wartości funkcji w skończonej liczbie punktów nie wpływa na całkę Riemanna. Możemy więc obliczać całki z funkcji które nie są określone na skończonym pozbiorze przedziału < a, b > rozszerzając dziedzinę funkcji na cały przedział i przyjmując w dodatkowych punktach wartości dowolne.
Jeśli f :< a, b >→ R , oraz c ∈ (a, b) to:
Zb
a
f (x)dx =
Zc
a
f (x)dx +
Zb
c
f (x)dx
przy czym całka z lewej strony istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją obie całki z prawej strony.
Uwaga: Własność ta oznacza, że jeżeli podzielimy przedział na dwa przedziały to całka po sumie tych przedziałów będzie równa sumie całek po każdym z przedziałów. Wielkości o takich własnościach nazywamy addytywnymi (względem zbioru) i często oblicza się je za pomocą całki, np.: długość, pole powierzchni, objętość, masa, moment statyczny, moment bezwładności, potencjał elektrostatyczny, i.t.p.
Definicja: Jeżeli a > b i f :< b , a >→ R to definiujemy:
b
Z
a
f (x)dx = −
a
Z
b
f (x)dx
podobnie definiujemy
a
Z
a
f (x)dx = 0
Twierdzenie: Niech f :< a, b >→ R będzie funkcją ciągłą. Wtedy funkcja f jest całkowalna na < a, b > .
Twierdzenie: Niech f :< a, b >→ R będzie funkcją całkowalną. Wtedy funkcja:
F (x) =
x
Z
a
f (t)dt jest dobrze określona na przedziale x ∈< a, b >. Funkcja ta ma następujące własności:
1. F (x) jest ciągła
2. Jeżeli f jest ciągła w x ∈< a, b > to F jest różniczkowalna w x i F0(x) = f (x) Wynika stąd:
Twierdzenie: Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego Niech f :< a, b >→ R będzie funkcją ciągłą. Wtedy:
1. Istnieje funkcja pierwotna F0(x) = f (x) , ∀x ∈< a, b > (czyli całka nieoznaczona) 2. Całka Riemanna
Zb
a
f (x)dx = F (b) − F (a) , dla dowolnej funkcji pierwotnej F .
Uwaga: Twierdzenie to łączy całkę Riemanna, która ma dobrą interpretację geometryczną, ale jest trudna w obliczaniu z całką nieoznaczoną, łatwiejszą w obliczaniu.
Przykład: Obliczyć
π
Z
0
sin xdx
Funkcja f (x) = sin x jest ciągła na przedziale < 0, π > . Funkcją pierwotną jest F (x) =
− cos x. Stąd
π
Z
0
sin xdx = F (π) − F (0) = − cos π − (− cos 0) = 2 Stosuje się zwykle poniższy zapis:
Zπ
0
sin xdx = [− cos x]π0 = − cos π − (− cos 0) = 2
Uwaga: Wynik jest polem pod wykresem funkcji y = sin x , x ∈< 0, π >
Przykład: Obliczyć
Z1
0
x2dx
1
Z
0
x2dx =
1 3x3
1 0
= 1
3 − 0 = 1 3
Uwaga: Wynik jest polem figury ograniczonej parabolą: y = x2 , x ∈< 0, 1 > i osią Ox
Dalsze własności całki Riemanna:
Twierdzenie: Jeżeli f, g :< a , b >→ R są całkowalne, oraz f ¬ g to:
b
Z
a
f (x)dx ¬
b
Z
a
g(x)dx
Przykład: Pokazać, że
ln 2
Z
0
ex
x + 100dx ¬ 1 100 Mamy: ex
x + 100 ¬ ex
100 dla x ∈< 0, ln 2 > . Stąd:
ln 2
Z
0
ex
x + 100dx ¬
ln 2
Z
0
ex
100dx = 1 100
hexiln 2
0 = 1
100(2 − 1) = 1 100
Uwaga: Jeżeli f jest ciągła na odpowiednim przedziale (< a , b > lub < b , a >) i F jest funkcją pierwotną f to wzór:
b
Z
a
f (x)dx = F (b) − F (a)
zachodzi dla: dowolnych a, b ( a < b , a = b , a > b) Przykład: Obliczyć
0
Z
1
8x3dx
Z0
1
8x3dx =h2x4i0
1 = 0 − 2 = −2
