1. Rodzaje grafów

(1)

Algorytmy grafowe (AGR 320)

semestr letni 2004/2005

Michał Karo ´nski

Wydział Matematyki i Informatyki UAM

(2)

1. Rodzaje grafów

grafy proste multigrafy

grafy skierowane (digrafy)

grafy wa˙zone

(3)

2. Reprezentacje grafów

2.1 Macierz przyległo´sci (s ˛asiedztwa)

Definicja (Macierz przyległo´sci). Dany jest graf G = (V, E)^{, przy}

czym V = {v¹, v², . . . , v_n} jest zbiorem wierzchołków, to n × n

macierz A(G) = (a_ij)^{, gdzie} a_ij jest liczb ˛a kraw ˛edzi ł ˛acz ˛acych wierzchołki v_i ^oraz v_j nazywa si ˛e macierz ˛a przyległo´sci grafu G^.

W przypadku grafu skierowanego a_ij jest liczb ˛a łuków z wierzchołka

v_i ^do v_j^.

(4)

s

s s

s

@@

@@@

v¹ v²

v³

v⁴

v⁵

@@

@@@

Rysunek 1:

Przykład grafu prostego G = (V, E), gdzie V =

(5)

Przykład . Macierz przyległo´sci dla grafu przedstawionego na Rysunku 1.

A(G) =







v¹ v² v³ v⁴ v⁵ v¹ 0 1 0 1 0 v² 1 0 1 1 1 v³ 0 1 0 1 0 v⁴ 1 1 1 0 1 v⁵ 0 1 0 1 0







=







0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0





 .

(6)

macierz przyległo´sci (s ˛asiedztwa) A(G) jest macierz ˛a binarn ˛a (dla grafu prostego)

macierz przyległo´sci wymaga |V |² = n² bitów pami ˛eci je˙zeli w jest długo´sci ˛a słowa maszynowego, to ka˙zdy wiersz macierzy przyległo´sci mo˙zna zapisa´c jako ci ˛ag n bitów w dn/we słowach maszynowych (dxe oznacza

najmniejsz ˛a liczb ˛e całkowit ˛a nie mniejsz ˛a ni˙z x)

graf prosty: A(G) jest symetryczna - n(n − 1)/2 bitów graf skierowany: ndn/we

(7)

2.2 Macierz incydencji

Definicja (Macierz incydencji). Dany jest graf G = (V, E), przy czym

V = {v¹, v², . . . , v_n} jest zbiorem wierzchołków natomiast

E = {e¹, e², . . . , e_m} zbiorem kraw ˛edzie grafu, to macierz

M (G) = (m_ij)1^, 1 6 i 6 n^, 1 6 j 6 m, gdzie liczba

m_ij ∈ {0, 1, 2} oznacza ile razy v_i ^oraz e_j ^{s ˛}a incydentne ( 2 wyst ˛epuje w przypadku p ˛etli), jest macierz ˛a incydencji grafu G^.

(8)

s

s s

s

@@

@@@

v¹ v²

v³

v⁴

v⁵ e¹

e² e³ e⁴

e⁵

@@

@@@

e⁶ e⁷

(9)

Przykład . Macierz incydencji dla grafu przedstawionego na Rysunku 1.

G = (V, E): |V | = 5, |E| = 7, V = {v¹, v², v³, v⁴, v⁵}, E = {e¹, e², e³, e⁴, e⁵, e⁶, e⁷}, e¹ = v¹v², e² = v²v³, e³ = v²v⁵, e⁴ = v³v⁴, e⁵ = v²v⁴, e⁶ = v⁴v⁵, e⁷ = v¹v⁴.

M (G) =







e¹ e² e³ e⁴ e⁵ e⁶ e⁷

v¹ 1 0 0 0 0 0 1

v² 1 1 1 0 1 0 0

v³ 0 1 0 1 0 0 0

v⁴ 0 0 0 1 1 1 1

v⁵ 0 0 1 0 0 1 0







(10)

Macierz incydencji wymaga |V ||E| bitów pami ˛eci, co mo˙ze by´c liczb ˛a wi ˛eksz ˛a ni˙z |V |² bitów zajmowanych przez macierz przyległo´sci, poniewa˙z liczba kraw ˛edzi

|E| jest cz ˛esto wi ˛eksza ni˙z liczba wierzchołków |V |. W niektórych jednak przypadkach mo˙ze by´c

korzystniejsze u˙zycie macierzy incydencji, ni˙z macierzy przyległo´sci pomimo zwi ˛ekszonej zaj ˛eto´sci pami ˛eci.

Macierze incydencji s ˛a szczególnie dogodne przy rozpatrywaniu obwodów elektrycznych i układów przeł ˛aczaj ˛acych.

(11)

2.3 Lista kraw ˛edzi

Innym, cz ˛esto stosowanym sposobem reprezentacji grafu jest wypisanie wszystkich jego kraw ˛edzi jako par wierzchołków. Tak na przykład, graf z Rysunku 1 byłby przedstawiony jako lista nast ˛epuj ˛acych

nieuporz ˛adkowanych par:

(v¹, v²), {v¹, v⁴}, {v², v³}, {v², v⁴}, {v², v⁵}, {v³, v⁴}, {v⁴, v⁵}.

Dla grafu skierowanego, były by to uporz ˛adkowane pary wierzchołków odpowiadaj ˛ace łukom.

(12)

liczba bitów potrzebna do zaetykietowania (etykietami od 1 do n) wierzchołków grafu G jest równa b, gdzie 2^b−1 < n 6 2^b, czyli b = blog2 nc + 1

całkowita zaj ˛eto´s´c pami ˛eci jest równa 2|E|b bitów

ten sposób reprezentacji jest bardziej ekonomiczny ni˙z macierz przyległo´sci, je˙zeli 2|E|b < |V |²

reprezentacja “listowa" jest korzystniejsza dla grafów rzadkich

przechowywanie i przekształcanie grafu w komputerze

(13)

2.4 Dwie tablice liniowe

modyfikacj ˛a listy kraw ˛edzi - przedstawienie grafu za pomoc ˛a dwóch tablic liniowych:

F = (f¹, f², . . . , f_e) , H = (h¹, h², . . . , h_e).

elementy tablic: etykiety wierzchołków, e = |E|

G graf skierowany: i-ty łuk, e_i, prowadzi od wierzchołka f_i, do wierzchołka h_i

G graf nieskierowany: kraw ˛ed´z e_i ł ˛aczy f_i i h_i . dogodna reprezentacja do sortowania w grafach wa˙zonych

(14)

Przykład . Dwie tablice liniowe dla grafu przedstawionego na Rysunku 1.

s

s s

s

@@

@@@

v¹ v²

v³

v⁴ e¹

e² e³ e⁴

e⁵

@@

@

@@

e⁶ e⁷

(15)

2.5 Lista wierzchołków s ˛asiednich (nast ˛epników) efektywna metoda reprezentacji grafów stosowana w przypadku gdy stosunek |E|/|V | nie jest du˙zy

dla ka˙zdego wierzchołka v tworzymy list ˛e (tablic ˛e), której pierwszym elementem jest v; a pozostałymi elementami s ˛a:

wierzchołki b ˛ed ˛ace s ˛asiadami wierzchołka v (w przypadku grafu nieskierowanego)

bezpo´sredni nast ˛epnicy wierzchołka v, tzn.

wierzchołki, do których istnieje łuk z wierzchołka v (w przypadku grafu skierowanego)

(16)

s

s s

s

@@

@@@

v¹ v²

v³

v⁴

v⁵

@@

@@@

v¹ : v², v⁴

v² : v¹, v³, v⁴, v⁵

(17)

1 2

3 4

5

6

1 2 3 4 5 6

6 2

1 1 2 4 2

3 3 2 3 6 5

4 4 5

(18)

1 2

3 4

5

6

1 2 3 4

2

1 2 4

4 6

5

(19)

3. Przeszukiwanie grafów

Znajduj ˛ac si ˛e w pewnym wierzchołku v przeszukujemy wszystkie kraw ˛edzie incydentne do v, a nast ˛epnie

poruszamy si ˛e do pewnego wierzchołka przyległego w. W wierzchołku w przeszukujemy wszystkie kraw ˛edzie incydentne do w. Ten proces prowadzi si ˛e dot ˛ad, a˙z

przeszuka si ˛e wszystkie wierzchołki w grafie. Metod ˛e t ˛e nazywa si ˛e przeszukiwaniem wszerz (ang. breadth-first search, cz ˛esto oznaczane skrótowo BFS).

(20)

zamiast przeszukiwa´c ka˙zd ˛a kraw ˛ed´z incydentn ˛a do wierzchołka v, poruszamy si ˛e do pewnego wierzchołka przyległego w (wierzchołka, w którym dotychczas

jeszcze nie byli´smy), gdy tylko to jest mo˙zliwe, pozostawiaj ˛ac na razie wierzchołek v z by´c mo˙ze

niezbadanymi kraw ˛edziami. Inaczej mówi ˛ac, pod ˛a˙zamy przez graf ´scie˙zk ˛a przechodz ˛ac do nowego

wierzchołka, gdy tylko to jest mo˙zliwe. Taka metoda przeszukiwania grafu, zwana przeszukiwaniem w gł ˛ab (ang. depth-first search, w skrócie DFS) lub metod ˛a powrotu po tej samej ´scie˙zce na grafie.

(21)

3.1 Przeszukiwanie grafu wszerz (BFS)

G = (V, E) - graf nieskierowanym reprezentowanym w postaci listy wierzchołków s ˛asiednich.

x - ustalony wierzchołek z którego nale˙zy rozpocz ˛a´c przeszukiwanie grafu

I_v - tablica zawieraj ˛aca wierzchołki incydentne z v N I_v liczba elementów w I_v

(22)

1. Ustaw: N umer[x] ← 1, Drzewo ← ∅, P ozostale ← ∅; dopisz x do Kolejki.

2. Je˙zeli Kolejka jest pusta to STOP.

3. Pobierz element z Kolejki i zapisz go jako v.

4. Dla ka˙zdego wierzchołka w incydentnego do v wykonaj:

(a) Je˙zeli N umer[w] = 0, tzn. wierzchołek w

odwiedzamy po raz pierwszy, to nadaj wierzchołkowi w kolejny numer, dopisz w do Kolejki, a kraw ˛ed´z vw dodaj do Drzewo.

(b) Je˙zeli N umer[w] 6= 0, tzn. wierzchołek w ju˙z był

(23)

(G, x)

N umer[x] ← P onumerowano ← 1

N Kolejka ← 1; Kolejka[N Kolejka] ← x

N Kolejka > 0

v ← Kolejka[1]

N Kolejka ← N Kolejka − 1

i ← 1 N Kolejka

Kolejka[i] ← Kolejka[i + 1]

i ← 1 N Iv

w ← I^v[i]

N umer[w] = 0

P onumerowano ← P onumerowano + 1

N umer[w] ← P onumerowano

Drzewo ← Drzewo ∪ {vw}

N Kolejka ← N Kolejka + 1

Kolejka[N Kolejka] ← w

← ∪ {vw}

N umer, Drzewo,

(24)

^" ^#

$ % & ' ( ) * +, +, - . / 0 1 2

G, x

3

$ # % 4 5 #

N umer, Drzewo, ⁶ ⁷ ⁸ ⁷ ⁹ ^:; ^<⁼

2 > 3

N umer[x] ← P onumerowano ← 1

2 ? 3

N Kolejka ← 1; Kolejka[N Kolejka] ← x ² ^@ ³

A ) ' #B

N Kolejka > 0 ² ^C ³

D %











v ← Kolejka[1] ² ^E ³

N Kolejka ← N Kolejka − 1 ² ^F ³

G % &

i ← 1 ⁽ ^% N Kolejka

2 H 3

D %

Kolejka[i] ← Kolejka[i + 1] ² ^I ³

G % &

i ← 1 ⁽ ^% N Iv

2 J 3

D







w ← I^v[i] ² ^> ^K ³

' G

N umer[w] = 0 ² ^> ^> ³







P onumerowano ← P onumerowano + 1 ² ^> ^? ³ N umer[w] ← P onumerowano ² ^> ^@ ³

(25)

Przykład . Przeszukiwanie grafu wszerz

O P Q R S T U V W XY X Z [ \ ] ^

G, x

_

Q P R ` a P

N umer, Drzewo, ^b ^c ^d ^c ^e ^f ^g ^h ⁱ N umer[x] ← P onumerow ← 1

N Kolejka← 1; Kolejka[N Kolejka] ← x

j V T P k

N Kolejka >0

l R











v ← Kolejka[1]

m R S

i ← 1 ^U ^R N Kolejka

l R

m R S

i ← 1 ^U ^R N Iv

l R











w ← I^v[i]

T m

N umer[w] = 0

U V k n











P onumerow ← P onumerow + 1 N umer[w] ← P onumerow Drzewo← Drzewo ∪ {vw}

N Kolejka ← N Kolejka + 1 Kolejka[N Kolejka] ← w

k P o k b c d c e f g h i

← ^b ^c ^d ^c ^e ^f ^g ^h ⁱ∪ {vw}

S k U p S n

(N umer, Drzewo, ^b ^c ^d ^c ^e ^f ^g ^h ⁱ)

q r s tu v w x y s tz

a= 1

b c

d e f g

N umer[a] ← 1 P onumerow← 1

Kolejka← a

← 1

(26)

{ | } ~

G, x

} | ~ |

N umer, Drzewo,

N umer[x] ← P onumerow ← 1

|

N Kolejka >0

~











v ← Kolejka[1]

~

i ← 1 ^~ N Kolejka

~

i ← 1 ^~ N Iv

~











w ← Iv[i]

N umer[w] = 0











|

← ∪ {vw}

(N umer, Drzewo, )

¡ ¢£ ¤ ¢¥ ¦£ § ¨ © ª «

a

a= 1

b= 2 c= 3

d e f g

v ← a Kolejka ← ∅ N Kolejka ← 0 w ← b

P onumerow ← 2 N umer[b] ← 2

{ | } ~

G, x

} | ~ |

N umer, Drzewo,

|

N Kolejka >0

~











v ← Kolejka[1]

~

i ← 1 ^~ N Kolejka

~

i ← 1 ^~ N Iv

~











w ← Iv[i]

N umer[w] = 0











|

← ∪ {vw}

(N umer, Drzewo, )

(27)

¬ ® ¯ ° ± ² ³ ´ µ¶ µ · ¸ ¹ º »

G, x

¼

® ¯ ½ ¾

N umer, Drzewo, ^¿ ^À ^Á ^À ^Â ^Ã ^Ä

Å Æ

Ç ³ ± È

N Kolejka >0

É ¯











v ← Kolejka[1]

Ê ¯ °

i ← 1 ^² ^¯ N Kolejka

É ¯

Ê ¯ °

i ← 1 ^² ^¯ N Iv

É ¯











w ← Iv[i]

± Ê

N umer[w] = 0

² ³ È Ë











È Ì È ¿ À Á À Â Ã Ä Å Æ

← ^¿ ^À ^Á ^À ^Â ^Ã ^Ä ^Å ^Æ∪ {vw}

° È ² Í ° Ë

(N umer, Drzewo, ^¿ ^À ^Á ^À ^Â ^Ã ^Ä ^Å ^Æ)

Î Ï Ð Ñ Ò ÓÔ Ñ Õ ÓÖ ×Ô Ø Ù Ú Û Ü Ñ

b

a= 1

b= 2 c= 3

d= 4 e= 5 f g

v ← b Kolejka ← c N Kolejka ← 1 w ← a w ← c w ← d

P onumerow← 4 N umer[d] ← 4 Drzewo ← {ab, ac, Kolejka← c, d N Kolejka ← 2

w ← e

P onumerow← 5 N umer[e] ← 5 Drzewo ← {ab, ac, bd, Kolejka← c, d, e N Kolejka ← 3

w ← f

(28)

Ý Þ ß à á â ã ä å æç æ è é ê ë ì

G, x

í

ß Þ à î ï Þ

N umer, Drzewo, ^ð ^ñ ^ò ^ñ ^ó ^ô ^õ

ö ÷

ø ä â Þ ù

N Kolejka >0

ú à











v ← Kolejka[1]

û à á

i ← 1 ^ã ^à N Kolejka

ú à

û à á

i ← 1 ^ã ^à N Iv

ú à











w ← Iv[i]

â û

N umer[w] = 0

ã ä ù ü











ù Þ ý ù ð ñ ò ñ ó ô õ ö ÷

← ^ð ^ñ ^ò ^ñ ^ó ^ô ^õ ^ö ^÷∪ {vw}

á ù ã þ á ü

(N umer, Drzewo, ^ð ^ñ ^ò ^ñ ^ó ^ô ^õ ^ö ^÷)

ÿ

c

a= 1

b= 2 c= 3

d= 4 e= 5 f = 6 g = 7

v ← c Kolejka ← d, e, f N Kolejka← 3 w ← a w ← b w ← f w ← g P onumerow← 7 N umer[g] ← 7

Drzewo← {ab, ac, bd, be, bf, cg}

(29)

G, x

N umer, Drzewo, ^! ^" ^# ^" ^$ ^% ^&

' (

) *

N Kolejka >0

+











v ← Kolejka[1]

,

i ← 1 N Kolejka

+

,

i ← 1 N Iv

+











w ← Iv[i]

,

N umer[w] = 0

* -











* . * ! " # " $ % & ' (

← ^! ^" ^# ^" ^$ ^% ^& ^' ⁽∪ {vw}

* / -

(N umer, Drzewo, ^! ^" ^# ^" ^$ ^% ^& ^' ⁽)

0 1 2 3 4 56 3 7 58 96 : ; < = > 3

d

a= 1

b= 2 c= 3

d= 4 e= 5 f = 6 g = 7

v ← d Kolejka ← e, f, g N Kolejka ← 3 w ← b w ← e

(30)

? @ A B C D E F G HI H J K L M N

G, x

O

A @ B P Q @

N umer, Drzewo, ^R ^S ^T ^S ^U ^V ^W

X Y

Z F D @ [

N Kolejka >0

\ B











v ← Kolejka[1]

] B C

i ← 1 ^E ^B N Kolejka

\ B

] B C

i ← 1 ^E ^B N Iv

\ B











w ← Iv[i]

D ]

N umer[w] = 0

E F [ ^











[ @ _ [ R S T S U V W X Y

← ^R ^S ^T ^S ^U ^V ^W ^X ^Y∪ {vw}

C [ E ` C ^

(N umer, Drzewo, ^R ^S ^T ^S ^U ^V ^W ^X ^Y)

a b c d e fg d h fi jg k l m n o d

e

a= 1

b= 2 c= 3

d= 4 e= 5 f = 6 g = 7

v ← e Kolejka ← f, g N Kolejka ← 2 w ← b w ← d w ← f

(31)

p q r s t u v w x yz y { | } ~

G, x

r q s q

N umer, Drzewo,

w u q

N Kolejka >0

s











v ← Kolejka[1]

s t

i ← 1 ^v ^s N Kolejka

s

s t

i ← 1 ^v ^s N Iv

s











w ← Iv[i]

u

N umer[w] = 0

v w











q

← ∪ {vw}

t v t

(N umer, Drzewo, )

f

a= 1

b= 2 c= 3

d= 4 e= 5 f = 6 g = 7

v ← f Kolejka← g N Kolejka ← 1 w ← b w ← c w ← g

(32)

G, x

±

£ ¢ ¤ ² ³ ¢

N umer, Drzewo, ^´ ^µ ^¶ ^µ ^· ^¸ ^¹

º »

¼ ¨ ¦ ¢ ½

N Kolejka >0

¾ ¤











v ← Kolejka[1]

¿ ¤ ¥

i ← 1 ^§ ^¤ N Kolejka

¾ ¤

¿ ¤ ¥

i ← 1 ^§ ^¤ N Iv

¾ ¤











w ← Iv[i]

¦ ¿

N umer[w] = 0

§ ¨ ½ À











½ ¢ Á ½ ´ µ ¶ µ · ¸ ¹ º »

← ^´ ^µ ^¶ ^µ ^· ^¸ ^¹ ^º ^»∪ {vw}

¥ ½ § Â ¥ À

(N umer, Drzewo, ^´ ^µ ^¶ ^µ ^· ^¸ ^¹ ^º ^»)

Ã Ä Å Æ Ç ÈÉ Æ Ê ÈË ÌÉ Í Î Ï Ð Ñ Æ

g

a= 1

b= 2 c= 3

d= 4 e= 5 f = 6 g = 7

v ← g Kolejka← ∅ N Kolejka ← 0 w ← c w ← f

(33)

3.2 Przeszukiwanie grafu w gł ˛ab (DFS)

G = (V, E) - graf nieskierowanym reprezentowanym w postaci listy wierzchołków s ˛asiednich.

x - ustalony wierzchołek z którego nale˙zy rozpocz ˛a´c przeszukiwanie grafu

I_v - tablica zawieraj ˛aca wierzchołki incydentne z v, N I_v liczba elementów w I_v

Stos - tablica przechowuj ˛aca ci ˛ag wierzchołków

umo˙zliwiaj ˛aca “powrót", N Stos - liczba wierzchołków w Stos

(34)

1. Ustaw v ← x, i ← 0, Drzewo ← ∅, P ozostale ← ∅. 2. Ustaw i ← i + 1, N umer(v) ← i.

3. Poszukaj nieprzebytej kraw ˛edzi incydentnej do wierzchołka v.

Je˙zeli nie ma takiej kraw ˛edzi (tzn. po ka˙zdej kraw ˛edzi incydentnej do v ju˙z przeszli´smy), to przejd´z do kroku 5.

Wybierz pierwsz ˛a nieprzebyt ˛a kraw ˛ed´z incydentn ˛a do

(35)

4. Jeste´smy teraz w wierzchołku w.

Je˙zeli w jest wierzchołkiem, w którym jeszcze nie byli´smy podczas tego szukania (tzn. N umer(w) jest nieokre´slony), to dodaj kraw ˛ed´z vw do zbioru Drzewo. Ustaw v ← w i przejd´z do kroku 2.

Je˙zeli w jest wierzchołkiem, w którym ju˙z wcze´sniej

byli´smy (tzn. N umer(w) < N umer(v)), to dodaj kraw ˛ed´z vw do zbioru P ozostale. Przejd´z do kroku 3. Jeste´smy wi ˛ec z powrotem w wierzchołku v.