ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
Maciej Burnecki zadania z odpowiedziami
listy uproszczone
Spis treści
I Listy zadań 2
1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2
2 Geometria analityczna na płaszczyźnie i krzywe stożkowe 3
3 Liczby zespolone 4
4 Wielomiany i funkcje wymierne 5
5 Macierze i wyznaczniki 6
6 Układy równań liniowych 8
7 Wektory i wartości własne macierzy 9
8 Geometria analityczna w przestrzeni 9
9 Rozkład Cholesky’ego 12
II Przykładowe sprawdziany 12
10 Pierwsze kolokwium 12
11 Drugie kolokwium 13
12 Egzaminy 13
III Odpowiedzi, wskazówki 14
Wyrażenia algebraiczne 14
Geometria analityczna na płaszczyźnie i krzywe stożkowe 15
Liczby zespolone 15
Wielomiany i funkcje wymierne 18
Macierze i wyznaczniki 18
Układy równań liniowych 19
Wektory i wartości własne macierzy 19
Geometria analityczna w przestrzeni 20
Rozkład Cholesky’ego 21
Pierwsze kolokwium 21
Drugie kolokwium 22
Egzaminy 23
Oznaczamy: N = {0, 1, 2, . . .} – zbiór liczb naturalnych, N+ = {1, 2, 3, . . .} – zbiór liczb naturalnych dodatnich, Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . .} – zbiór liczb całkowitych, Q =
nn
m : n ∈ Z ∧ m ∈ N+o
– zbiór liczb wymiernych (ułamków), R – zbiór liczb rzeczywistych.
Część I
Listy zadań
1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna
0 0
1 0
1
1
2 0
2
1
2
2
3 0
3
1
3
2
3
3
. . . Trójkąt Pascala 1. Uprość wyrażenie
(a) a − b a2− 2ab + b2
a b − 1
, (b) b − a a2− b2
b a+ 1
,
(c) a4+ a3b + a2b2 a3− b3
b2 a2 − 1
, (d) a2− b2
a4− a3b + a2b2− ab3+ b4 a6− b6+ ab5− ba5 . 2. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia f (x) wyznacz współczynnik przy α, jeśli
(a) f (x) = (x + sin x)7, α = x4sin3x, (b) f (x) = (1 − ex)10, α = e3x, (c) f (x) =
x4− 1
x2
9
, α = x24, (d) f (x) = 1 x+√3
x
99
, α = x−97−23. 3. Niech n ∈ N. Zapisz w prostszej postaci liczbę
(a)
n
X
k=0
n k
3k
, (b)
n
X
k=0
n k
(−2)k
,
(c)
n
X
k=0
nk(k + 1)(k + 2) . . . n (n − k)! , (d)
n
X
k=0
(−1)k(n − k + 1)(n − k + 2) . . . n
k! · nn−k .
4. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij, że dla n ∈ N zachodzi:
(a) 12+ 22+ 32+ . . . + n2=n(n + 1)(2n + 1)
6 , (b) 4n−1 n2,
(c) liczba 11n+2+ 122n+1 jest podzielna przez 133, (d) 13+ 23+ 33+ . . . + n3= n2(n + 1)2
4 .
Zadania trudniejsze lub na dowodzenie T1. Udowodnij następujące własności symbolu Newtona:
(a)n k
=
n n − k
dla k ¬ n ∈ N, (b)n 0
=n n
= 1 dla n ∈ N,
(c)n 1
=
n n − 1
= n dla n ∈ N+, (d)n k
+
n k + 1
=n + 1 k + 1
dla k < n ∈ N.
T2. Udowodnij następujące twierdzenia:
(a) (a + b)n=
n
X
k=0
n k
· an−k· bk
dla a, b ∈ R, n ∈ N (wzór dwumianowy Newtona),
(b) an− bn = (a − b) ·
n−1
X
k=0
an−1−k· bk dla a, b ∈ R, n ∈ N
(liczba podniesiona do potęgi 0 to 1, a suma po zbiorze pustym to 0), (c) a2n+1+ b2n+1= (a + b) ·
2n
X
k=0
(−1)k· a2n−k· bk dla a, b ∈ R, n ∈ N.
Zapisz, bez używania skrótów w postaci oznaczenia sumy czy symbolu Newtona, wzory z pierwszych dwóch podpunktów dla n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}, a z ostatniego podpunktu dla n ∈ {0, 1, 2, 3}.
2 Geometria analityczna na płaszczyźnie i krzywe stożkowe
1. Wyznacz w mierze łukowej kąt ϕ ∈ [0, π] pomiędzy niezerowymi wektorami u, v (dla dwóch ostatnich przykładów wyniki można otrzymać jako sumy lub różnice odpowiednich kątów), jeśli
(a) u = 1,√
3 , v =
−1,√ 3
, (b) u =
−√ 3, 1
, v =
−1,√ 3
,
(c) u =√
2,√ 2
, v =
−1, −√ 3
, (d) u =
−√ 2, −√
2
, v =√
3, −1 .
2. Wyznacz kąt ϕ przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = (1, 1), B = (√
3, 2 +√
3), C = (1 +√ 3, 2).
3. Oblicz wysokość h opuszczoną z punktu B w trójkącie o wierzchołkach A = (3, 5), B = (0, 6) oraz C = (2, 2).
4. Wyznacz punkt przecięcia S = (x0, y0) oraz kąt ϕ, pod jakim przecinają się proste, określone parametrycznie
x = 2√ 3 −√
3 t y = −5 + t, oraz
x = s y = −1 −√
3 s, gdzie t, s ∈ R.
Krzywe stożkowe
5. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A = (4, 6), B = (5, 5) i C = (−2, −2).
6. Nazwij i opisz równaniem zbiór tych punktów z płaszczyzny, których odległość od punktu A = (1, 2) jest dwa razy większa od odległości od punktu B = (4, 5).
7. Wyznacz równanie takiego okręgu o środku w punkcie S, którego jedną ze stycznych jest prosta przechodząca przez punkty A, B, jeśli
(a) S = (1, −3), A = (−1, 2), B = (2, 4), (b) S = (−2, −1), A = (1, 2), B = (4, 1).
8. Napisz równania tych stycznych do okręgu o równaniu x2+ 2x + y2− 3 = 0, które przecinają się z prostą
√
3 x − y + 1 = 0 pod kątem π 3.
9. Wyznacz półosie, półogniskową, mimośród, wierzchołki, ogniska i kierownice elipsy o równaniu 9x2+ 25y2= 225.
Naszkicuj tę elipsę oraz podaj równanie stycznej do niej w punkcie A =
3,12
5
.
10. Wyznacz półosie, asymptoty, półogniskową, mimośród, parametr, wierzchołki, ogniska i kierownice hiperboli o równaniu x2− 4y2= 16. Naszkicuj tę hiperbolę oraz podaj równanie stycznej do niej w punkcie A =
4√ 2, 2
. 11. Wyznacz wierzchołek, parametr, ognisko i kierownicę paraboli o równaniu y2− 8x = 0. Naszkicuj tę parabolę
oraz podaj równanie stycznej do niej w punkcie A = (2, 4).
Zadania trudniejsze lub na dowodzenie
Poniżej, symbole u, v ∈ R2 oznaczają wektory, 0 = (0, 0) – wektor zerowy, λ, µ ∈ R – skalary, ◦ – iloczyn skalarny.
T1. Udowodnij następujące własności operacji na wektorach:
(a) (u + v) + w = u + (v + w), (λ · µ) · u = λ · (µ · u) (prawa łączności), (b) 0 + u = u + 0 = u (element neutralny dodawania),
(c) u + v = v + u (przemienność dodawania), (d) u + (−u) = (−u) + u = 0 (element przeciwny), (e) λ · (u + v) = λ · u + λ · v, (λ + µ) · u = λ · u + µ · u (prawa rozdzielności), (f) 1 · u = u.
T2. Udowodnij następujące własności długości wektorów i iloczynu skalarnego:
(a) u ◦ v = v ◦ u (przemienność iloczynu skalarnego), (b) (λ · u) ◦ v = u ◦ (λ · v) = λ · (u ◦ v) (łączność), (c) (u1+ u2) ◦ v = u1◦ v + u2◦ v (rozdzielność iloczynu skalarnego względem dodawania wektorów),
(d) u ◦ u = |u|2, (e) |λ · u| = |λ| · |u|, (f) |u ◦ v| ¬ |u| · |v|, (g) |u + v| ¬ |u| + |v| (nierówność trójkąta).
T3. Wyprowadź wzór na odległość d (P0, l) punktu P0= (x0, y0) ∈ R2od prostej l ⊆ R2, o równaniu Ax+By +C = 0:
d (P0, l) = |Ax0+ By0+ C|
√
A2+ B2 .
3 Liczby zespolone
1. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną (a) z = 1 + i
2 − i, (b) z = 2 + 3i
4 + 5i, (c) z = 5
|4 − 3i| i, (d) z = i − 2 i + |i −√
3|.
2. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a) Re(−2iz + 4) 0, (b) Im(z − i) = Im[(2 − i)z + i], (c) Re z2 = (Im(iz))2− 4, (d) |iz + 2| = |iz − 2i|, (e)
z · (1 − i)2 =
√ 3 + i
·
2z + (1 + i)2i . 3. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną
(a) z = (1 +√ 3i)20
(1 − i)40 , (b) z = (1 + i)40 (√
3 − i)20, (c) z = (√ 3 − i)24 (1 −√
3i)14(1 − i)20, (d) z = (−√
3 + i)12
(1 − i)24 , (e) z = (1 − i√ 3)700 (−1 + i)1400.
4. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek (a) 0 ¬ arg(1 + iz) ¬ π/2, (b) Im z4 < 0, (c) 0 ¬ arg(2 − iz) ¬ π
2, (d) Re z4 0.
5. Wyznacz pole P figury
(a) F =z ∈ C : Im z3 0 ∧ −1 ¬ Im(z) < 0 , (b) F =
z ∈ C : 0 ¬ Im(z) ¬ 1
√3Re(z) ∧ |z| ¬ 2
.
6. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby (a) z = −1, (b) z = i, (c) z = −2 + 2i, (d) z = 1 + i, (e) z = −2√
2.
7. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z liczby (a) z = 81, (b) z = −16, (c) z = −8 + 8√
3 i. (d) Rozwiąż równanie z4= (−1 + 2z)4. 8. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie
(a) z2− 2z + 4 = 0, (b) z2+ 8z + 25 = 0, (c) z2+ 10z + 34 = 0, (d) z2+ (1 + i)z − 2 + 2i = 0, (e) z2+ (−6 + 2i)z − 8 − 6i = 0, (f) 2√
3 z2+ 2√
2 iz + i = 0.
Zadania trudniejsze lub na dowodzenie T1. Udowodnij następujące własności liczb zespolonych:
(a) z · z = |z|2, (b) |z| = |z|, (c) |z1+ z2| ¬ |z1| + |z2| (nierówność trójkąta), (d) |z1· z2| = |z1| · |z2|, (e) |λ · z| = λ · |z| dla λ 0, (f)
z1
z2
=|z1|
|z2| przy z26= 0, (g) a = a dla a ∈ R, (h) z1+ z2= z1+ z2, (i) λ · z = λ · z dla λ ∈ R.
T2. Udowodnij, że
(a) z = |z| · [cos(−ϕ) + i · sin(−ϕ)], gdzie ϕ jest argumentem liczby z ∈ C, (b) (zk) = (z)k dla z ∈ C, k ∈ N.
T3. Udowodnij, że prawdziwa jest także następująca wersja wzoru de Moivre’a:
{ |z| [cos(ϕ) − i sin(ϕ)] }n= |z|n[cos(nϕ) − i sin(nϕ)] , gdzie n ∈ N, ϕ ∈ R, |z| 0.
T4. Udowodnij, że wykres hiperboli o równaniu x2 2 −y2
2 = 1 pochodzi z obrotu o kąt −π
4 wykresu hiperboli y = 1 x.
4 Wielomiany i funkcje wymierne
1. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez Q(x), jeśli
(a) P (x) = x5− x4+ 3x3+ x + 7, Q(x) = x3+ x + 1, (b) P (x) = x4+ 2x3+ x2+ x + 1, Q(x) = x2+ x + 3.
2. Rozłóż wielomian W (x) na nierozkładalne czynniki rzeczywiste, jeśli (a) W (x) = x4+ x3− 3x2− 4x − 4, (b) W (x) = x4+ 2x3− x − 2.
3. Nie wykonując dzielenia (nie obliczając ilorazu), wyznacz resztę R(x) z dzielenia wielomianu P (x) przez Q(x), jeśli (a) P (x) = x4+ x3+ x2+ x + 1, Q(x) = x2− 1, (b) P (x) = x5+ x4− 2, Q(x) = x2+ 4.
4. Rozłóż wielomian zespolony W (z) na czynniki liniowe, jeśli (a) W (z) = z3− 2z2+ 4z − 8, (b) W (z) = z3+ 5z2+ 8z + 6.
5. Rozłóż funkcję wymierną właściwą f (x) na sumę rzeczywistych ułamków prostych, jeśli (a) f (x) = x2+ 3
x3+ 2x2+ 5x + 4, (b) f (x) = −x + 2 x3+ 3x2+ 4x + 4, (c) f (x) = 3x2+ 5x + 1
x3+ 3x2+ 3x + 2, (d) f (x) = 2x3+ 4x2+ 5x + 5 x4+ 3x3+ 3x2+ 3x + 2.
6. Rozłóż funkcję wymierną f (x) na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych, jeśli (a) f (x) = x4− 5x3+ 5x2− 19x − 1
x3− 5x2+ 4x − 20 , (b) f (x) = x5− x4− 5x3− 2x2+ 3x − 2 x3− x2− 5x − 3 . Zadania trudniejsze lub na dowodzenie
an an−1 an−2 . . .
z an z · an+ an−1 z · (z · an+ an−1) + an−2 . . .
. . . a1 a0
. . . z · [. . . z · (z · an+ an−1) + an−2. . .] + a1 z · {z · [. . . z · (z · an+ an−1) + an−2. . .] + a1} + a0=
n
P
k=0
ak· zk = W (z) Schemat Hornera
T1. (a) Udowodnij, że wartość W (z0) wielomianu W (z) w punkcie z0∈ C jest jednocześnie resztą z dzielenia tego wielomianu przez dwumian z − z0.
(b) Wyznacz ilości λn, hn działań, potrzebnych do obliczenia wartości wielomianu W (z) =
n
X
k=0
ak· zk stop- nia n, dwiema metodami: zwykłym sposobem i przy zastosowaniu schematu Hornera. Oblicz granicę
n→∞lim (λn− hn) .
T2. (a) Udowodnij, że każdy wielomian zespolony rozkłada się na iloczyn czynników liniowych. Wskazówka: można skorzystać z zasadniczego twierdzenia algebry.
(b) Wykaż, że liczba zespolona z ∈ C jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy jej sprzężenie z jest pierwiastkiem tego wielomianu.
(c) Udowodnij, że każdy wielomian rzeczywisty rozkłada się na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej dwa.
T3. Załóżmy, że W (x) =
n
X
k=0
ak· xk jest wielomianem o współczynnikach całkowitych ak∈ Z.
(a) Udowodnij, że jeśli W (r) = 0 dla pewnej liczby wymiernej r = l
m ∈ Q, zapisanej w postaci ułamka nieskracalnego, gdzie l ∈ Z, m ∈ N+, to l
a0 (licznik l dzieli a0) oraz m an.
(b) Udowodnij, że jeśli an= 1, to pierwiastkami wymiernymi wielomianu W (x) mogą być tylko liczby całkowite.
(c) Udowodnij, że jeśli liczba całkowita jest pierwiastkiem wielomianu W (x), to jest ona podzielnikiem wyrazu a0.
5 Macierze i wyznaczniki
1 2 3 4 5 6 7 8
·
1 0 0 1 1 0 0 1
=
1·1+2·0+3·1+4·0 1·0+2·1+3·0+4·1 5·1+6·0+7·1+8·0 5·0+6·1+7·0+8·1
=
4 6
12 14
1. Rozwiąż równanie macierzowe
(a) 2 · A − 3 ·
1 2 0
0 1 −1
=
−1 −6 2
0 −1 3
, (b)
0 0 1 1 0 0 0 1 0
·
1 1 0 1 1 0
+ 2 · AT =
1 2
3 3
2 −1
,
(c)
1 2 1
2 1 −1
1 0 1
· AT =
2 4 0
.
2. Trzema sposobami: za pomocą odpowiedniego wzoru, przez rozwinięcie Laplace’a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej, oblicz wyznacznik
(a) W =
1 2 3 5
, (b) W =
−1 7
−2 1
, (c) W =
1 1 1 1 2 2 1 2 4
, (d) W =
8 10 7
9 7 9
5 5 5
.
3. Dwoma sposobami: z użyciem rozwinięcia Laplace’a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej, oblicz wyznacznik
(a) W =
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
, (b) W =
9 4 4 2 5 3 2 4 4 3 1 3 5 5 0 5
.
4. Wyznacz te wartości parametru a ∈ R, dla których macierz A jest nieosobliwa, jeśli
(a) A =
a a 2 a
, (b) A =
a 1 1 1 1 a 1 a 1
, (c) A =
a 1 1 1 1 a 1 1
1 1 1 a
1 1 a 1
.
5. Dwoma sposobami: z pomocą twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej oraz przez przekształcanie razem z ma- cierzą jednostkową, wyznacz macierz odwrotną do macierzy A, jeśli
(a) A =
1 1
−1 4
, (b) A =
1 1 −1
1 −1 1
−1 1 1
, (c) A =
1 1 1 1 2 1 1 1 2
, (d) A =
1 2 1 1 3 1 1 2 2
.
6. Zbadaj, dla jakich parametrów a ∈ R istnieje macierz odwrotna A−1do macierzy A, a następnie wyznacz ogólny wzór na A−1, jeśli
(a) A =
a + 1 2 a + 4 a + 4
, (b) A =
1 1 1 1 2 1 1 1 a
.
7. Wyznacz rząd r(a) macierzy A, jeśli
(a) A =
1 1 2 2 3 4
, (b) A =
1 2 1 4
2 3 2 5
−3 −3 −3 −3
.
8. W zależności od parametru a ∈ R, wyznacz rzędy macierzy z zadania 4.
Zadania trudniejsze lub na dowodzenie
T1. Udowodnij poniższe własności. Symbole A, B, C oznaczają macierze, I – macierz jednostkową, T – transponowanie, liczby λ, µ ∈ C; tam, gdzie potrzeba, zakładamy wykonalność działań.
(a) ATT
= A, (b) (A + B)T = AT + BT, (c) (λ · A)T = λ · AT dla λ ∈ R, (d) (A · B) · C = A · (B · C) (łączność mnożenia macierzy),
(e) λ · (A · B) = (λ · A) · B = A · (λ · B) dla λ ∈ R (łączność mnożenia macierzy i przez skalary),
(f) (λ + µ) · A = λ · A + µ · A (rozdzielność mnożenia macierzy przez skalary względem dodawania skalarów), (g) (A + B) · C = A · C + B · C, A · (B + C) = A · B + A · C
(rozdzielność mnożenia macierzy względem dodawania),
(h) I · A = A, B · I = B (macierze A, B nie muszą być kwadratowe), (i) (A · B)T = BT · AT, (j) AT−1
= A−1T
.
T2. (permutacyjna definicja wyznacznika) Oznaczmy przez Sn rodzinę permutacji zbioru {1, 2, 3, . . . , n}, gdzie n ∈ N+. Mówimy, że uporządkowana para (i, j), gdzie i, j ∈ {1, 2, 3, . . . , n}, tworzy inwersję dla permutacji σ ∈ Sn,
jeśli i < j oraz σ(i) > σ(j). Permutację σ ∈ Sn nazywamy parzystą, jeśli ilość jej inwersji jest parzysta; w przeciwnym wypadku mówimy o permutacji nieparzystej. Znak sgn(σ) permutacji parzystej określamy jako 1, a nieparzystej jako −1. Wyznacznik macierzy A stopnia n możemy określić następująco:
det (A) = X
σ∈Sn
sgn(σ) · aσ(1) 1· aσ(2) 2· aσ(3) 3· . . . · aσ(n) n .
(a) Wykorzystując permutacyjną definicję wyznacznika, wyprowadź wzory na obliczanie wyznaczników stopni 2 (iloczyny wyrazów na przekątnych, z odpowiednimi znakami) i 3 (wzór Sarrusa).
(b) Wzór na obliczanie wyznaczników stopnia dwa ma dwa składniki, a stopnia trzy składników sześć. Ile ogólnie powinien mieć składników wzór na obliczanie wyznaczników stopnia n ∈ N+?
T3. (aksjomatyczna definicja wyznacznika) Wyznacznik macierzy kwadratowej można określić aksjomatycznie, jako funkcję det : Mn(K) → K, gdzie dla nas K = R lub K = C, spełniającą poniższe trzy warunki; stosujemy zapis macierzy za pomocą kolumn:
• det (k1 k2 . . . ki−1 ki+ λ · k0i ki+1. . . kn) = det (k1 k2 . . . ki−1 ki ki+1. . . kn) +λ · det (k1 k2 . . . ki−1k0i ki+1. . . kn) dla i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}, λ ∈ K (mówimy, że wyznacznik jest funkcją wieloliniową),
• det (A) = 0 dla macierzy A o dwóch takich samych kolumnach oraz
• det(I) = 1 (bez tego założenia mielibyśmy wyznacznik określony z dokładnością do stałej).
Wykorzystując aksjomatyczną definicję wyznacznika udowodnij, że
(a) zamiana miejscami dwóch kolumn powoduje pomnożenie wynacznika przez −1, (b) wyznacznik macierzy o zerowej kolumnie wynosi 0,
(c) stałą można wyłączyć z kolumny przed wyznacznik,
(d) dodanie kolumny pomnożonej przez stałą do innej kolumny nie zmienia wyznacznika.
6 Układy równań liniowych
1. Rozwiąż układ równań
(a)
x + y = 3
x − 3y = −5, (b)
x + y + z = 0 x − y + z = 0 x + y − z = 2,
(c)
x + y + z − t = 4 x + y − z + t = −4 x − y + z + t = 2
−x + y + z + t = −2,
(d)
−x − y + z + t = 4 x − y − z + t = 0 x − y − z − t = −8,
(e)
x + y + z = 1 2x + y + 2z = 1 3x + 2y + 3z = 3.
Pierwsze dwa przykłady rozwiąż trzema sposobami: metodą eliminacji Gaussa, ze wzorów Cramera i metodą macierzy odwrotnej.
2. W zależności od parametru a ∈ R, rozwiąż układ równań
(a)
2x + 3y = 8
2x − ay = 8, (b)
(a + 6)x + y + 2z = 4 x + (a + 5)y + 2z = 4 x + 2z = 4,
(c)
ax + 2ay + 3az = 4
ax + (3a − 1)y + 6az = 7 − a ax + 2ay + (4a + 2)z = 6.
3. Wyznacz te wartości parametru a ∈ R, dla których poniższy układ równań ma przynajmniej jedno rozwiązanie:
(a)
2x + 3y = a2
−8x − 12y = −36, (b)
x + y + 4z = a 4x − 2y − 2z = 5 7x + y + 10z = 8.
4. W zależności od parametru a ∈ R, określ ilość rozwiązań układu
(a)
x + 2y = 1
7x + ay = a, (b)
x + y + az = 1 x + ay + z = a ax + y + z = −a − 1,
(c)
(a − 1)x + (a − 1)y + (a − 1)z = 0 (2a − 2)x + (3a − 4)y + (4a − 7)z = 2 (3a − 3)x + (4a − 5)y + (6a − 11)z = 4.
Zadania trudniejsze lub na dowodzenie
T1. Udowodnij wzór na rozwiązywanie układów równań metodą macierzy odwrotnej: X = A−1· B. Sformułuj wy- korzystywane twierdzenia.
T2. Korzystając z przedstawienia macierzy odwrotnej za pomocą dopełnień algebraicznych, wyprowadź wzory Cra- mera.
T3. Rozważmy układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi i załóżmy, że wszystkie wyznaczniki wystę- pujące we wzorach Cramera się zerują, to znaczy W = W1= W2= W3= 0.
(a) Jaki z tego można wyciągnąć wniosek?
(b) Czy układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań?
T4. Udowodnij istnienie rozkładu funkcji wymiernej właściwej f (x) = a · x2+ b · x + c
(x − r) (x + p · x + q), gdzie a, b, c, r, p, q ∈ R,
∆ = p2− 4q < 0, na sumę rzeczywistych ułamków prostych oraz podaj współczynniki dla tego rozkładu.
7 Wektory i wartości własne macierzy
1. Dla macierzy A ∈ M2(C), wyznacz wartości własne λ ∈ C i odpowiadające im przykłady wektorów własnych v ∈ C2, jeśli
(a) A =
2 1 4 5
, (b) A =
1 3 2 2
, (c) A =
1 −1 2 −1
, (d) A =
7 2
−17 −3
.
Zadania trudniejsze lub na dowodzenie
T1. Załóżmy, że macierz A = (aij) ∈ Mn(C) ma n parami różnych wartości własnych λ1, λ2, . . . , λn ∈ C, którym odpowiadają kolejno wektory własne v1, v2, . . . , vn ∈ Cn. Macierz D = (dij) ∈ Mn(C), gdzie dii = λi dla i ∈ {1, 2, . . . n}, dij= 0 dla i 6= j ∈ {1, 2, . . . n}, nazywamy postacią diagonalną macierzy A. Rozważmy macierz C = (v1 v2 . . . vn) ∈ Mn(C), utworzoną z wpisanych kolumnami powyższych wektorów własnych. Udowodnij, że
• macierz Dk = (αij) jest diagonalna oraz αii= λki dla k ∈ N,
• macierz eD = (βij) jest diagonalna oraz βii = eλi, gdzie eksponentę eB macierzy B ∈ Mn(C) określamy jako eB=
∞
X
k=0
Bk k! = lim
m→∞
m
X
k=0
Bk k! ,
• A · C = C · D,
• macierz C jest odwracalna (dowód ten można opuścić, jeśli nie była przerabiana liniowa niezależność wek- torów i jej związek z wyznacznikami),
• A = C · D · C−1,
• Ak= C · Dk· C−1 dla k ∈ N,
• eA= C · eD· C−1.
T2. Wyznacz eksponenty macierzy z zadania 1.
8 Geometria analityczna w przestrzeni
Trzy iloczyny 1. Wyznacz te wartości parametru a ∈ R, dla których
(a) równoległościan o trzech kolejnych wierzchołkach podstawy A = (−5, 2, 1), B = (2, 1, 2), C = (3, a2, 3) i wierzchołku E = (−a − 5, 4, −18) nad A, jest prostopadłościanem,
(b) kąt pomiędzy wektorami u = (a, −16, 4) oraz v = (2a, 1, −4) jest prosty, (c) wektory u = 1, a2, 1 oraz v = (3, 12, 3) są równoległe.
2. Wyznacz pole P
(a) równoległoboku o kolejnych wierzchołkach A = (2, 2, 4), B = (0, −2, −2), C = (2, 1, 2),
(b) równoległoboku o środku w punkcie O = (2, 1, 2) i końcach jednego z boków A = (2, 2, 4), B = (0, −2, −2), (c) trójkąta o wierzchołkach A = (−2, −2, −4), B = (0, 2, 2), C = (−2, −1, −2).
3. Wyznacz objętość V
(a) czworościanu o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (2, 2, 2), C = (1, −2, −2) i D = (−1, 1, −1),
(b) równoległościanu rozpiętego na wektorach u = (1, 1, 1) , v = (1, 1, 2) oraz w = (−1, −1, 3) × (1, 2, 3).
Równania prostych i płaszczyzn
4. Podaj
(a) równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkty A = (−1, 1, 1), B = (0, 1, 2), C = (3, 0, 5), (b) równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym
x = 1 + t + s y = 2 + t − s z = 1 + t + s,
(c) równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym
x = 1 + t + s y = −t + s z = 1 − t + 2s, (d) równanie parametryczne płaszczyzny o równaniu ogólnym x + y + 2z + 1 = 0,
(e) równanie parametryczne prostej o równaniu krawędziowym
x + y + z − 1 = 0 x + 2y + 3z − 2 = 0,
(f) równanie krawędziowe prostej o równaniu parametrycznym
x = 1 + t y = 2 − t z = 4 + t,
(g) równanie ogólne płaszczyzny zawierającej proste m :
x = −1 + t y = 1 z = 1 + t
oraz l :
x = 3 − s y = s z = 5 − s;
wyznacz punkt przecięcia tych prostych,
(h) równanie parametryczne prostej prostopadłej do prostych m :
x = t y = 1 z = 1 + t,
l :
x = −s y = 2 + s z = 1 − s, w punkcie ich przecięcia.
Odległości
5. Wyznacz odległość d(P, π) punktu P od płaszczyzny π, jeśli
(a) P = (−2, 1, 3), π : x + 2y + 2z − 3 = 0, (b) P = (1, 2, 1), π :
x = 1 + t + s y = 2 + s z = −1 − t + s.
6. Wyznacz odległość d(P, l) punktu P od prostej l, jeśli
(a) P = (2, 3, 4), l :
x = 1 + t y = 2 + t z = 3 − t,
. (b) P =
−5 2, −1
2, 1
, l :
x + y + z + 5 = 0 x − y − z + 2 = 0.
Rzuty
7. Wyznacz rzut prostopadły P0 punktu P = (2, 2, 1) na
(a) prostą l :
x = 1 + t y = 3 + t z = −1 − 2t,
(b) prostą l :
x − 2y − 3z + 1 = 0 x − y + z = 0,
(c) płaszczyznę π : x + 2y − 3z + 4 = 0, (d) płaszczyznę π :
x = 1 + 2t − s y = −11 + t + s z = t.
a następnie odbicie symetryczne P00 punktu P względem powyższych prostych i płaszczyzn.
8. Wyznacz rzut prostopadły P0 punktu P = (0, 4, 2) na prostą
(a) l :
x + y + z − 3 = 0
x + 2y + z − 6 = 0, (b) l :
x = −1 + 2t y = 3 z = 1 − 2t.
9. Wyznacz odbicie symetryczne P00 punktu P = (6, 5, 5) względem płaszczyzny π : 2x + 2y + z − 7 = 0.
Kąty 10. Wyznacz kąt ϕ pomiędzy
(a) prostymi l :
x = 1 +
√2 2 t y = 2 −
√ 2 2 t z = t
oraz m :
x = 1 +
√2 2 −
√2 2 s y = 2 +
√ 2 2 −
√ 2 2 s z = 1 − s,
(b) płaszczyznami π1:
x = 1 + t + s y = t − s z = t + s
oraz π2: y − z − 1 = 0,
(c) prostą l :
x + y + z + 2 = 0
x − y + z + 3 = 0 i płaszczyzną π : x + y + 5 = 0.
Zadania trudniejsze lub na dowodzenie T1. Określmy iloczyn skalarny u ◦ v ∈ R wektorów u, v ∈ R3geometrycznie,
u ◦ v = |u| · |v| · cos(ϕ),
gdzie ϕ ∈ [0, π] jest niezorientowanym kątem (tzn. kolejność wektorów nie ma znaczenia) pomiędzy niezerowymi wektorami u i v; ponadto przyjmujemy 0 ◦ v = u ◦ 0 = 0. Udowodnij analityczny wzór na iloczyn skalarny:
u ◦ v = u1v1+ u2v2+ u3v3, gdzie u = (u1, u2, u3) , v = (v1, v2, v3) .
T2. Określmy iloczyn wektorowy u × v ∈ R3wektorów u, v ∈ R3geometrycznie, jako wektor spełniający następujące trzy warunki:
• |u × v| = |u| · |v| · sin(ϕ), gdzie ϕ ∈ [0, π] jest niezorientowanym kątem (tzn. kolejność wektorów nie ma znaczenia) pomiędzy niezerowymi wektorami u i v; jeśli któryś z tych wektorów jest zerowy, to przyjmujemy u × v = 0,
• wektor u × v jest prostopadły do każdego z wektorów u, v,
• układ u, v, u × v jest prawoskrętny, o ile wektory u, v nie są równoległe.
Wyprowadź analityczny wzór na iloczyn wektorowy:
u × v =
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
=
u2 u3
v2 v3
, −
u1 u3
v1 v3
,
u1 u2
v1 v2
,
gdzie i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) są wersorami osi układu współrzędnych, u = (u1, u2, u3) , v = (v1, v2, v3) .
T3. Określmy iloczyn mieszany (u, v, w) ∈ R wektorów u, v, w ∈ R3geometrycznie, wzorem (u, v, w) = u ◦ (v × w) .
Wyprowadź analityczny wzór na iloczyn mieszany:
(u, v, w) =
u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3
,
gdzie u = (u1, u2, u3) , v = (v1, v2, v3) , w = (w1, w2, w3) . T4. Wyprowadź
(a) wzór na odległość d (P0, π) punktu P0= (x0, y0, z0) ∈ R3od płaszczyzny π o równaniu Ax+By+Cz+D = 0:
d (P0, π) = |Ax0+ By0+ Cz0+ D|
√
A2+ B2+ C2 ,
(b) wzór na odległość d (P0, l) punktu P0∈ R3 od prostej l przechodzącej przez punkty P16= P2∈ R3:
d (P0, l) =
−−−→P1P2×−−−→
P1P0
−−−→P1P2
.
9 Rozkład Cholesky’ego
Materiał z tego rozdziału wymagany jest tylko na Wydziale Budownictwa.
1. Sprawdź, czy poniższe macierze kwadratowe są symetryczne i dodatnio określone:
(a) A1=
1 1 1 2
, (b) A2=
4 2 2 5
, (c) A3=
1 1 3 1 2 2 3 2 11
, (d) A4=
4 4 2 4 5 3 2 3 6
?
2. W przypadku pozytywnej odpowiedzi na pytanie z poprzedniego zadania, za pomocą rozkładu Cholesky’ego Ai = Li(Li)T dla i ∈ {1, 2, 3, 4}, gdzie Li jest macierzą trójkątną dolną o dodatnich wyrazach na głównej przekątnej, oblicz wyznacznik det(Ai), wyznacz macierz odwrotną A−1i oraz rozwiąż układ AiXi= Bi, jeśli
(a) B1=
5 8
, (b) B2=
6
−1
, (c) B3=
7 5 25
, (d) B4=
−10
−12
−19
.
Część II
Przykładowe sprawdziany
Uwaga: zadania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału.
10 Pierwsze kolokwium
Zestaw A
1. Oblicz wysokość trójkąta 4ABC o podstawieBC, jeśli A = (−2, 2), B = (2, 4) oraz C = (7, 1).
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = (−√ 3 + i)25 (1 − i)50 . 3. Rozłóż funkcję wymierną właściwą f (x) = 2x2+ 5
x3+ 4x − 5 na sumę rzeczywistych ułamków prostych.
Zestaw B
1. Wyznacz w mierze łukowej kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = (2, 6), B = (3, 7) oraz C =
2 −√
3, 6 +√ 3
.
2. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną z = (1 − i√ 3)50 (−1 + i)100.
3. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną f (x) = 3x2+ 6x + 3 x3+ 3x2+ 3x + 2.
11 Drugie kolokwium
Zestaw A
1. Wyznacz te wartości parametru p ∈ R, dla których istnieje macierz odwrotna A−1do macierzy A =
1 p 4
−2 −4 −8
2p 8 16
, a następnie podaj wzór na A−1.
2. W zależności od parametru q ∈ R, rozwiąż układ równań
2q2x + y + z = 2 + 2q x + 2y + 2z = 6 2x + 2y + z = 7.
3. Niech P = (1, 1, 3) oraz prosta l będzie dana układem równań
x + y + 2z − 6 = 0 x + z − 2 = 0.
Wyznacz rzut prostopadły punktu P na prostą l oraz odległość tego punktu od prostej l.
Zestaw B
1. Dla macierzy A =
0 1 1 1 0 1 1 1 0
wyznacz rząd r(A), wartości i wektory własne.
2. W zależności od parametru λ ∈ C, określ ilość rozwiązań układu
x + λ2y + z = 0 x + y + t =√
2 i λ x + z + t = 2 y + z + t = 2.
3. Wyznacz te wartości parametru p ∈ R, dla których
prosta l :
x = 1 + t y = 1 − 2pt z = −2 + t
jest prostopadła do płaszczyzny π :
x = 1 + u + s y = u + 2s z = 1 + u + 3s.
Dodatkowo, znajdź rzut prostopadły punktu P = (1, 1, −2) na płaszczyznę π oraz odbicie symetryczne P wzglę- dem π.
12 Egzaminy
Zestaw A
1. Rozwiąż w zbiorze liczb zespolonych równanie z3= (1 + 2 z)3 . Wyniki podaj w postaci algebraicznej.
2. Rozwiąż równanie macierzowe
1 1 0
1 1 −1
1 −1 1
· A =
1 −1 −1
1 1 0
T
.
3. W zależności od parametru a ∈ R, określ ilość rozwiązań układu
x + 2y + z = 1 2x + y = 1
−x + a2y + z = 1 + a.
4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy A =
1 1 −1
1 1 −1
1 −1 1
.
5. Wyznacz rzut prostopadły punktu P = (1, 1, 1) na prostą l :
x + y + z − 2 = 0 x + z − 1 = 0.
Zestaw B
1. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie z3= (−1 + 2z)3. Wyniki podaj w postaci algebraicznej.
2. Rozwiąż równanie macierzowe AT·
1 1 0
1 1 −1
1 −1 1
T
=
1 −1 −1
1 1 0
.
3. W zależności od parametru a ∈ R, określ ilość rozwiązań układu
6x + 3y + z = 2 4x + y = 1
−2x + a2y + z = 1 + a.
4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy A =
1 1 −1
1 1 −1
1 −1 1
.
5. Wyznacz odbicie symetryczne punktu P = (1, −1, 1) względem płaszczyzny x + y + z + 1 = 0.
Zestaw C
1. Równanie z2+ (1 + i)z + i 2 +1
4 = 0 rozwiąż zbiorze liczb zespolonych. Wyniki podaj w postaci algebraicznej.
2. Oblicz wysokość czworościanu ABCD o podstawie 4ABC, jeśli A = (1, 2, 1), B = (2, 3, 2), C = (0, 1, 1), D = (2, 4, 1).
3. Metodą macierzy odwrotnej rozwiąż układ równań
y + z = 2 x + y = 2 x + z = 4,
z trzema niewiadomymi x, y, z.
4. Wyznacz wartości i wektory własne macierzy B =
1 4 3 2
.
5. W zależności od parametru a ∈ R, określ rząd macierzy Da=
a 1 −1 1 1
a 2 1 1 0
2 1 a 1 1
1 0 a 1 0
2 3 0 2 1
.
Część III
Odpowiedzi, wskazówki
Wyrażenia algebraiczne
1. (a) 1
b, (b) −1
a, (c) −a − b, (d) 1.
2. (a) a4=7 3
= 35, (b) a3= −10 3
= −120, (c) a2=9 2
= 36, (d) a1=99 1
= 99.
3. (a) 4n, (b) (−1)n, (c) (1 + n)n, (d) 1 − n n
n
.
4. Najpierw, przez podstawienie sprawdź, że teza zachodzi dla n = 1; prawdziwe zatem jest twierdzenie T1. Na- stępnie, z prawdziwości twierdzeń T1, T2, . . . , Tn (może wystarczyć użycie tylko Tn), wywnioskuj prawdziwość twierdzenia Tn+1, gdzie n ∈ N+.
Geometria analityczna na płaszczyźnie i krzywe stożkowe
1. (a) ϕ =π
3, (b) ϕ = π
6, (c) ϕ =11
12π, (d) ϕ = 7 12π.
2. Kąt ϕ jest prosty, ϕ = π
2. 3. h =√
10. 4. ϕ = π
6. 5. (x − 1)2+ (y − 2)2= 25.
6. Okrąg (zwany okręgiem Apoloniusza), o równaniu (x − 5)2+ (y − 6)2= 8.
7. (a) (x − 1)2+ (y + 3)2=192
13, (b) (x + 2)2+ (y + 1)2=122 10. 8. y = −2, y = 2, y = −√
3 x +√ 3 +√
14, y = −√ 3 x +√
3 −√ 14.
9. Półosie a = 5, b = 3, półogniskowa c =p
a2− b2= 4, mimośród e = c a= 4
5, wierzchołki (5, 0), (0, 3), (−5, 0), (0, −3), ogniska F1 = (c, 0) = (4, 0), F2 = (−c, 0) = (−4, 0), kierownice x = a2
c = 25
4 , x = −a2
c = −25
4 ; styczna jest określona ogólnie równaniem x0(x − x0)
a2 +y0(y − y0)
b2 = 0, co w tym przypadku daje prostą y = −9 20x + 15
4 . 10. Półosie a = 4, b = 2, asymptoty y = b
ax = 1
2x, y = −b
ax = −1
2x, półogniskowa c = p
a2+ b2 = 2√ 5, mimośród e = c
a =
√ 5
2 , parametr 2p = 2b2
a = 2, wierzchołki (4, 0), (−4, 0), ogniska F1= (c, 0) = (2√
5, 0), F2= (−c, 0) = (−2√
5, 0), kierownice x = a2 c = 8√
5
5 , x = −a2
c = −8√ 5
5 ; styczna jest określona ogólnie równaniem x0(x − x0)
a2 −y0(y − y0)
b2 = 0, co w tym przypadku daje prostą y =
√2 2 x − 2.
11. Wierzchołek (0, 0), parametr 2p = 8, ognisko F = p 2, 0
= (2, 0), kierownica x = −p
2 = −2; styczna jest określona ogólnie równaniem y0(y − y0) = 2p(x − x0), co w tym przypadku daje prostą y = x + 2.
Liczby zespolone
1. (a) z = 1 5 +3
5i, (b) z = 23 41+ 2
41i,
(c) z = −i, (d) z = −1.
2. (a) półpłaszczyzna y −2,
(b) prosta y = 1 3x − 2
3,
(c) zbiór będący sumą prostych prostych y = 2, y = −2,
(d) prosta y = x,
(e) okrąg o środku w punkcie 4 3, 0
i promieniu 2 3.
3. (a) z = −1 2+
√3
2 i, (b) z = −1 2 −
√3
2 i, (c) z = 1 2−
√3
2 i, (d) z = 1, (e) z = −1 2 +
√3 2 i.
4. (a) Zbiór A składa się z liczb zespolonych z, spełniających trzy warunki: Re(z) 0, Im(z) ¬ 1 oraz z 6= i (przesunięta o wektor e2= (0, 1) czwarta ćwiartka układu współrzędnych, z brzegiem i bez punktu (0, 1)),
(b) arg(z) ∈π 4,π
2
∪ 3π 4 , π
∪ 5π 4 ,3π
2
∪ 7π 4 , 2π
, co przedstawia sumę wnętrz czterech kątów.
(c) Jest to zbiór {z ∈ C : Rez ¬ 0 ∧ Imz −2 ∧ z 6= −2i}.
(d) arg(z) ∈h
−π 8,π
8
i∪ 3π 8 ,5π
8
∪ 7π 8 ,9π
8
∪ 11π 8 ,13π
8
lub z = 0, co na płaszczyźnie jest sumą czterech kątów, wraz z brzegami.
5. (a) P =
√3 3 ,
(b) P = π 3.
6. (a) w0= 1 2 +
√ 3
2 i, w1= −1, w2= 1 2 −
√ 3
2 i, (b) w0=
√ 3 2 +1
2i, w1= −
√ 3 2 +1
2i, w2= −i,
(c) w0= 1 + i, w1= −1 2−
√3
2 + −1 2 +
√3 2
!
i, w2= −1 2 +
√3
2 + −1 2−
√3 2
! i,
(d) w0= 1 +√ 3 2√3
2 +
√3 − 1 2√3
2 i, w1= −1
√3
2 + 1
√3
2i, w2= 1 −√ 3 2√3
2 −1 +√ 3 2√3
2 i.
Wskazówka: cos π 12 =
s
1 + cos 2 ·12π
2 =
p2 +√ 3
2 = 1 +√ 3 2√
2 , sin π 12 =
√3 − 1 2√
2 . (e) w0=
√2 2 + i
√6
2 , w1= −√ 2, w2=
√2 2 − i
√6 2 . 7. (a) z = 3 ∨ z = 3i ∨ z = −3 ∨ z = −3i, (b) z =√
2 +√
2i ∨ z = −√ 2 +√
2i ∨ z = −√ 2 −√
2i ∨ z =√ 2 −√
2i, (c) z =√
3 + i ∨ z = −1 +√
3i ∨ z = −√
3 − i ∨ z = 1 −√
3i. (d) z ∈
1,2
5−1 5i,1
3,2 5 +1
5i
.
8. (a) z ∈n 1 +√
3 i, 1 −√ 3 io
, (b) z ∈ {−4 + 3 i, −4 − 3 i}, (c) z ∈ {−5 + 3 i, −5 − 3 i},
(d) z = 1 − i ∨ z = −2, (e) z = 7 − i ∨ z = −1 − i, (f) z =−√ 3
6 +3 −√ 6 6 i ∨ z =
√3
6 −3 +√ 6 6 i.
Wielomiany i funkcje wymierne
1. (a) I(x) = x2− x + 2, R(x) = 5, (b) I(x) = x2+ x − 3, R(x) = x + 10.
2. (a) W (x) = (x + 2)(x − 2) x2+ x + 1, (b) W (x) = (x − 1)(x + 2)(x2+ x + 1).
3. (a) R(x) = 2x + 3, (b) R(x) = 16x + 14.
4. (a) W (z) = (z − 2)(z + 2i)(z − 2i), (b) W (z) = (z + 3)(z + 1 + i)(z + 1 − i).
5. (a) f (x) = −1
x2+ x + 4 + 1
x + 1, (b) f (x) = −x
x2+ x + 2+ 1
x + 2, (c) f (x) = 2x
x2+ x + 1+ 1 x + 2, (d) f (x) = 1
x + 1+ 1
x + 2+ 1 x2+ 1. 6. (a) f (x) = x + 1
x − 5 + 1
x2+ 4, (b) f (x) = x2+ 1
(x + 1)2+ 1 x − 3.
Macierze i wyznaczniki
1. (a) A =
1 0 1 0 1 0
, (b) A =
0 1 1
1 1 −1
, (c) A = 1 1 −1 .
2. (a) W = −1, (b) W = 13, (c) W = 2, (d) W = −10.
3. (a) W = 1, (b) W = −5.
4. (a) a ∈ R \ {0, 2}, (b) a ∈ R \ {−2, 1}, (c) a ∈ R \ {−3, 1}.
5. (a) A−1=
4 5 −15
1 5
1 5
!
, (b) A−1=
1 2
1
2 0
1 2 0 12 0 12 12
, (c) A−1=
3 −1 −1
−1 1 0
−1 0 1
,
(d) A−1=
4 −2 −1
−1 1 0
−1 0 1
.
6. (a) Macierz odwrotna istnieje dla a ∈ R \ {1, −4}, wtedy A−1=
1
a−1 −(a−1)(a+4)2
−1 a−1
a+1 (a−1)(a+4)
! ,
(b) macierz odwrotna istnieje dla a ∈ R \ {1}, wtedy A−1=
2a−1
a−1 −1 a−1−1
−1 1 0
−1
a−1 0 a−11
.
7. (a) r(A) = 2, (b) r(A) = 2.
8. (a) r(A) = 2 dla a ∈ R \ {0, 2}, r(A) = 1 dla a ∈ {0, 2},
(b) r(B) = 3 dla a ∈ R \ {−2, 1}, r(B) = 2 dla a = −2, r(B) = 1 dla a = 1.
(c) r(C) = 4 dla a ∈ R \ {−3, 1}, r(C) = 3 dla a = −3, r(C) = 1 dla a = 1.
Układy równań liniowych
1. (a) x = 1, y = 2, (b) x = 1, y = 0, z = −1, (c) x = 1, y = −1, z = 2, t = −2.
(d) y = 2, t = 4, z = x + 2, z ∈ R – dowolne, (e) układ sprzeczny (brak rozwiązań).
2. (a) Dla a ∈ R \ {−3} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = 4, y = 0, a dla a = −3 nieskończenie wiele rozwiązań postaci
x = 4 −32y y ∈ R,
(b) dla a ∈ R \ {−5} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie x = y = 0, z = 2, a dla a = −5 nieskończenie wiele rozwiązań postaci
x = 4 − 2z y = 0 z ∈ R,
(c) dla a ∈ {−2, 0} układ jest sprzeczny,
dla a = 1 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci
x = 2 − 2r y = r
z = 23, gdzie r ∈ R, dla a ∈ R \ {−2, 0, 1} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie
x = 2a2+ 4a − 4
a(a + 2) , y = −a2− 3a + 6
a(a + 2) , z = 2 a + 2. 3. (a) a = −3 lub a = 3, (b) a = 1.
4. (a) Dla a ∈ R \ {14} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, dla a = 14 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań), (b) dla a ∈ R \ {−2, 1} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, dla a = −2 nieskończenie wiele rozwiązań, dla
a = 1 jest sprzeczny (nie ma rozwiązań),
(c) dla a ∈ R \ {1, 2, 3} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, dla a ∈ {1, 2} nieskończenie wiele rozwiązań, dla a = 3 jest sprzeczny.
Wektory i wartości własne macierzy
1. (a) Wartości własnej λ1 = 1 odpowiadają wektory własne postaci u = (α, −α), na przykład u1 = (1, −1), wartości własnej λ1 = 6 odpowiadają wektory własne postaci v = (α, 4α), na przykład v1 = (1, 4), gdzie α ∈ C \ {0},
(b) wartości własnej λ1= 4 odpowiadają wektory własne postaci u = (α, α), na przykład u1= (1, 1), wartości własnej λ1 = −1 odpowiadają wektory własne postaci v = (3α, −2α), na przykład v1 = (3, −2), gdzie α ∈ C \ {0},
(c) wartości własnej λ1= i odpowiadają wektory własne postaci u = (α, (1 − i)α), na przykład u1= (1, 1 − i), wartości własnej λ2 = −i odpowiadają wektory własne postaci v = (α, (1 + i)α), na przykład v1 = (1, 1 + i), gdzie α ∈ C \ {0},
(d) wartości własnej λ1 = 2 + 3i odpowiadają wektory własne postaci u = (2α, (−5 + 3i)α), na przykład u1= (2, −5 + 3i), wartości własnej λ2= 2 − 3i odpowiadają wektory własne postaci v = (2α, (−5 − 3i)α), na przykład v1= (2, −5 − 3i), gdzie α ∈ C \ {0}.
