3. Funkcja liniowa

(1)

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Inżynieria Środowiska

w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

(2)

3. Funkcja liniowa

Funkcję postaci

f (x) = ax + b,

gdzie a, b ∈ R, a 6= 0 nazywamy funkcją liniową.

Jeśli a > 0, to funkcja liniowa jest rosnąca.

Jeśli a < 0, to funkcja liniowa jest malejąca.

Jeśli a = 0, to funkcja liniowa jest stała.

Wykresem funkcji liniowej jest prosta.

a = tg α, gdzie α jest kątem nachylenia prostej do osi OX a – współczynnik kierunkowy

0 x

y

f(x)=ax+b a>0

b

a

?b

a

0 x

y

f(x)=ax+b a<0 b

a

?b

a

Równanie linowe

ax + b = 0

Gdy a 6= 0, to równanie ma jedno rozwiązanie x = −

_a^b

(równanie oznaczone)

Gdy a = 0, b = 0, to rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista (równanie tożsamościowe) Gdy a = 0, b 6= 0, to brak rozwiązania (równanie sprzeczne)

Nierówności liniowe

ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b 6 0, ax + b > 0

Układ równań liniowych

Układ równań

₍

a

₁

x + b

₁

y = c

₁

a

₂

x + b

₂

y = c

₂

gdzie a

²₁

+b

²₁

6= 0 oraz a

²₂

+b

²₂

6= 0 nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

I sposób – Metoda podstawiania

Z jednego równania wyliczamy jedną niewiadomą w zależności od drugiej i otrzymaną zależność wsta- wiamy do drugiego równania.

II sposób – Metoda przeciwnych współczynników

Mnożymy równania układu przez tak dobrane liczby, aby następnie po dodaniu pomnożonych równań

stronami otrzymać równanie z jedną niewiadomą.

(3)

III sposób – Metoda wyznaczników W = det

"

a

₁

b

₁

a

₂

b

₂

#

= a

₁

b

₂

− a

₂

b

₁

– wyznacznik główny układu

•

Jeśli W 6= 0, to x =

^W_W^x

, y =

^W_W^y

, gdzie

W

_x

= det

"

c

₁

b

₁

c

₂

b

₂

#

, W

_y

= det

"

a

₁

c

₁

a

₂

c

₂

#

•

Jeśli W = 0 i W

_x

6= 0, W

_y

6= 0, to układ nie ma rozwiązania (układ sprzeczny).

•

Jeśli W = 0 i W

_x

= W

_y

= 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA

Wartością bezwzględną (modułem) liczby x ∈ R nazywamy wielkość |x| =

(

x dla x > 0,

−x dla x < 0.

Własności: Jeśli a, b ∈ R, to

•

|a| > 0

•

|a| = | − a|,

•

−|a| 6 a 6 |a|

•

|a · b| = |a| · |b|,

•

|

^a_b

| =

^|a|_|b|

dla b 6= 0,

•

|a + b| 6 |a| + |b|,

•

|a| − |b|

6 |a − b| 6 |a| + |b|,

Jeśli a > 0, to |x| 6 a ⇐⇒ −a 6 x 6 a.

Jeśli a > 0, to |x| > a ⇐⇒ x > a ∨ x 6 −a.

|x − a| =

(

x − a dla x > a,

−(x − a) dla x < a.

Przykładowe zadania

1. Rozwiązać równanie 3x − 5 = 2x + 3.

Rozwiązanie:

Na lewą stronę przenosimy zmienne, a na prawą stałe.

3x − 2x = 3 + 5, zatem x = 8 Odpowiedź: x = 8

2. Rozwiązać nierówność 2x + 3 < 4x − 1.

Rozwiązanie:

Na lewą stronę przenosimy zmienne, a na prawą stałe.

2x − 4x < −1 − 3, czyli −2x < −4, zatem x > 2 (przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną, zmieniamy znak nierówności na przeciwny).

Odpowiedź: x > 2

3. Rozwiązać układ równań

(

2x + 3y = −4

5x + 6y = −7

(4)

Rozwiązanie:

I sposób

Z pierwszego równania wyliczamy x i podstawiamy do drugiego 2x = −4 − 3y, stąd x = −2 −

³₂

y

5(−2 −

³₂

y) + 6y = −7

−10 −

¹⁵₂

y + 6y = −7

−

³₂

y = 3, czyli y = −2 Zatem x = −2 −

³₂

(−2) = 1

II sposób

Pierwsze równanie mnożymy przez −2

(

−4x − 6y = 8

5x + 6y = −7

i dodajemy równania stronami. Zatem x = 1

Teraz drugie równanie mnożymy przez −

²₅ (

2x + 3y = −4

−2x −

¹²₅

y =

¹⁴₅

i dodajemy równania stronami. Zatem 3y −

¹²₅

y = −4 +

¹⁴₅

, stąd y = −2

III sposób W = det

"

2 3 5 6

#

= 2 · 6 − 3 · 5 = 12 − 15 = −3 W

_x

= det

"

−4 3

−7 6

#

= −4 · 6 − 3 · (−7) = −24 + 21 = −3 W

_y

= det

"

2 −4 5 −7

#

= 2 · (−7) − (−4) · 5 = −14 + 20 = 6 x =

^W_W^x

=

⁻³₋₃

= 1, y =

^W_W^y

=

₋₃⁶

= −2

Odpowiedź: x = 1, y = −2

4. Rozwiązać układ nierówności

(

2x + 4 > 1

−2 < x − y < 1

Rozwiązanie:

Pierwsza nierówność jest równoważna nierówności x > −

³₂

Druga nierówność jest równoważna nierówności x − 1 < y < x + 2

0 x

y

y=x+2

y=x-1

2 3

? x?

(5)

5. Narysować funkcję y = |x|.

Rozwiązanie:

Rysujemy wykres funkcji y = x i symetrycznie odbijamy względem osi OX tę część, która jest

pod osią.

₀ _x

y

6. Narysować funkcję y = |x − 1|.

Rysujemy wykres funkcji y = x−1 i symetrycznie odbijamy względem osi OX tę część, która jest

pod osią.

₀ _x

y

1

7. Narysować funkcję y = |x| + 2.

Rysujemy wykres funkcji y = |x| i dokonujemy translacji o wektor [0, 2].

0 x

y

2

8. Narysować zbiór będący rozwiązaniem nierówności |x| + |y| < 1.

Rozwiązanie:

Dla x > 0, y > 0 mamy x + y < 1, czyli y < −x + 1 Dla x > 0, y < 0 mamy x − y < 1, czyli y > x − 1 Dla x < 0, y > 0 mamy −x + y < 1, czyli y < x + 1 Dla x < 0, y < 0 mamy −x − y < 1, czyli y > −x − 1

0 x

y

1 1

-1

9. Rozwiązać równanie |x − 5| = x.

Rozwiązanie:

Rozpatrujemy dwa przypadki:

a) x − 5 < 0, czyli x < 5

Wówczas −(x − 5) = x, stąd x =

⁵₂

Sprawdzamy, czy obliczony x należy do przedziału (−∞, 5).

b) x − 5 > 0, czyli x > 5

Wtedy równanie przyjmuje postać x − 5 = x, czyli −5 = 0. Zatem otrzymaliśmy sprzeczność

Odpowiedź: x =

⁵₂

(6)

10. Rozwiązać równanie 2|x| − |x + 1| = 2.

Rozwiązanie:

|x| =

(

−x dla x < 0,

x dla x > 0. |x + 1| =

(

−(x + 1) dla x < −1,

x + 1 dla x > −1.

Dzielimy zbiór liczb rzeczywistych na przedziały, których końcami są liczby −1 i 0.

Rozpatrujemy trzy przypadki:

a) x < −1

Wtedy |x| = −x, |x + 1| = −(x + 1)

Zatem −2x + x + 1 = 2, czyli x = −1, ale nie należy do przedziału (−∞, −1), czyli brak rozwiązań

b) −1 6 x < 0

Wtedy |x| = −x, |x + 1| = x + 1

Zatem −2x − (x + 1) = 2, czyli x = −1, należy do przedziału [−1, 0) c) x > 0

Wtedy |x| = x, |x + 1| = x + 1

Zatem 2x − (x + 1) = 2, czyli x = 3, należy do przedziału [0, +∞) Odpowiedź: x = −1 ∨ x = 3

11. Rozwiązać równanie |1 − x| + 2x + 4 = 0.

Rozwiązanie:

Rozważamy dwa przypadki:

a) 1 − x < 0, czyli x > 1

Wówczas |1 − x| = −(1 − x), zatem −1 + x + 2x + 4 = 0, czyli x = −1, nie należy do przedziału (1, +∞)

b) 1 − x > 0, czyli x 6 1

Wówczas |1 − x| = 1 − x, zatem 1 − x + 2x + 4 = 0, czyli x = −5, należy do przedziału (−∞, 1]

Odpowiedź: x = 5

12. Rozwiązać nierówność |2x + 1| 6 3.

Rozwiązanie:

−3 6 2x + 1 6 3

−4 6 2x 6 2

−2 6 x 6 1

Odpowiedź: x ∈ [−2, 1]

13. Rozwiązać nierówność |3x − 2| > 4.

Rozwiązanie:

3x − 2 > 4 ∨ 3x − 2 < −4 3x > 6 ∨ 3x < −2

x > 2 ∨ x < −

²₃

Odpowiedź: x ∈ (−∞, −

²₃

) ∪ (2, +∞)

(7)

14. Rozwiązać nierówność |4 − 2x| < |x|.

Rozwiązanie:

|x| =

(

−x dla x < 0,

x dla x > 0. |4 − 2x| =

(

−(4 − 2x) dla x > 2,

4 − 2x dla x 6 2.

Dzielimy zbiór liczb rzeczywistych na przedziały, których końcami są liczby 0 i 2.

Rozpatrujemy trzy przypadki:

a) x < 0

Wówczas |4 − 2x| = 4 − 2x, |x| = −x

Nierówność przyjmuje wtedy postać 4 − 2x < −x. Zatem x > 4. Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy, że x ∈ ∅.

b) 0 6 x < 2

Wówczas |4 − 2x| = 4 − 2x, |x| = x

Nierówność przyjmuje wtedy postać 4 − 2x < x, zatem x >

⁴₃

. Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy, że x ∈ (

⁴₃

, 2).

c) x > 2

Wówczas |4 − 2x| = −(4 − 2x), |x| = x

Nierówność przyjmuje wtedy postać −4 + 2x < x, zatem x < 4. Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy, że x ∈ [2, 4).

Rozwiązaniem jest suma przedziałów x ∈ (

⁴₃

, 2) i x ∈ [2, 4).

Odpowiedź: x ∈ (

⁴₃

, 4)

Zadania

1. Napisać równanie funkcji liniowej przechodzącej przez punkty o współrzędnych: A(3, −4), B(−2, 1).

2. Napisać wzór funkcji liniowej, która przechodzi przez punkt P (1, 3) i jest nachylona do osi OX pod kątem 60

^◦

.

3. Dla jakich wartości parametru m funkcja f (x) = (2 −

³₂

m)x − 1 jest rosnąca?

4. Dla jakiej wartości parametru m miejscem zerowym funkcji f (x) = (4m − 2)x + 2 jest liczba 3?

Rozwiązać równanie:

5. 1 − 2 √

5x = 3 √ 5.

6. (x + 5)(5 − x) = 5x − x

²

.

7. (x + 3)(x − 3) = x(x + 9) − 9(x + 1).

8. ( √

2 − x)

²

− (x − 2 √

2)

²

+ 6 = 0.

9. (

¹₂

x + 2)(2 −

¹₂

x) + (x +

¹₂

x)

²

= 0.

10. (x − 3)(x + 4) − 2(3x − 2) = (x − 4)

²

.

11. 5(x − 1)

²

− 2(x + 3)

²

= 3(x + 2)

²

− 7(6x − 1).

Rozwiązać nierówność:

12. 3x − [7 − (5 − 4x)] − (x − 8) > 0.

13. (4x + 1)

²

+ (3x + 2)

²

< (5x + 2)

²

. 14. (2x − 3)(3 + 2x) 6 (2x − 1)

²

.

15. (2 √

3 − x)

²

> (x − 3 √ 3)

²

. 16. (3x + 5)

²

− 9(x − 2)

²

< 0.

17. 4(3 − x)

²

< −3 − (2x + 3)(3 − 2x).

(8)

Rozwiązać układ równań:

18.

(

x + 2y = 11

5x − 3y = 3 19.

(

3x + 2y = 9 2x + y = 7 20.

(

6x + 7y = 8 7x + 9y = 5

21.

(

2x − y = 7

4(x + 1) + 2y = 18 22.

(

4x − 3y = −3

−12x + 3y = 5

23.

(

2x − y = x + 1 y = x − 1

24.

(

7x − 3y = 10 4x + y = 3 25.

(

|x + 1| + 5y = 3

2 − |y| + x = 1 26.

(