Projekt pn. "IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK"
realizowany w ramach Poddziaªania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitaª Ludzki
Kurs wyrównawczy - statystyka i prawdopodobie«stwo do przedmiotu: Metody i modele probabilistyczne3 I rok II st. informatyka
Prowadz¡cy: dr Agnieszka Goroncy
5. a«cuchy Markowa
Zad. 5.1 Wyznacz macierz przej±cia dla ªancucha Markowa zilustrowanego grafem
Zad. 5.2 Rozwa»my ªa«cuch Markowa o macierzy przej±cia
P =
0, 5 0, 5 0 0 0, 3 0, 7 0 0 0 0 0, 2 0, 8 0 0 0, 8 0, 2
Narysuj odpowiadaj¡cy jej graf przej±cia.
Zad. 5.3 Pomi¦dzy czterema ponumerowanymi drzewami rozpi¦to lin¦, po której chodzi akrobata. W chwili 0 znajduje si¦ on przy drzewie oznaczonym numerem 1. W chwili 1 rzuca rzeteln¡ monet¡ i przemieszcza si¦ na drzewo nr 2 lub 4, w zale»no±ci od tego, jak spadnie moneta. W chwili 2 ponownie rzuca monet¡, aby zdecydowa¢
w kierunku którego przylegªego drzewa dalej si¦ porusza¢: je»eli wypadnie orzeª, przemieszcza si¦ zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara, je±li reszka, to w stron¦
przeciwn¡. Procedur¦ t¡ powtarza w chwili 3,4, itd. Dla ka»dego n, niech Xn
oznacza numer drzewa, przy którym stoi akrobata w chwili n.
a) Poka», »e (X0, X1, . . .) jest ªa«cuchem Markowa.
Projekt wspóª nansowany przez Uni¦ Europejsk¡ w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego
b) Czy jest on jednorodny?
c) Wyznacz macierz przej±cia rozwa»anego ªa«cucha Markowa.
d) Wyznacz rozkªad pocz¡tkowy µX0 ªa«cucha (X0, X1, . . .). e) Wyznacz rozkªad µX2 w chwili 2.
Zad. 5.4 Niech (Un) b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o tym samym rozkªadzie, P (Un = 1) = P (Un = −1) = 0, 5. Czy
• Xn= Un· Un+1,
• Yn = Un+U2n+1
s¡ ªa«cuchami Markowa?
Zad. 5.5 Sprawd¹, czy ªa«cuch Markowa z zadania 5.2 jest nieprzywiedlny.
Zad. 5.6 Niech S = {1, 2, 3, 4}. Przeprowad¹ klasy kacj¦ stanów ªa«cucha Markowa o macierzy przej±cia
P =
1 0 0 0
0 0, 5 0, 5 0 0 0, 25 0, 75 0 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25
.
Zad. 5.7 Przeprowad¹ klasy kacj¦ stanów ªa«cucha Markowa z zadania 5.1.
Zad. 5.8 Znajd¹ wszystkie rozkªady stacjonarne dla ªa«cucha Markowa o macierzy przej-
±cia
P =
1 3
2
3 0 0
1 4
3
4 0 0
0 0 15 45 0 0 45 15
.
Zad. 5.9 Zaªó»my, »e prognozujemy pogod¦ na dzie« nast¦pny na podstawie stanu ak- tualnego. Niech S = {s1, s2}, gdzie s1-deszcz, s2-sªo«ce b¦dzie przestrzeni¡ sta- nów dla odpowiadaj¡cego takim prognozom ªa«cucha Markowa (Xn)n∈N o macierzy przej±cia postaci
P = 0, 75 0, 25 0, 25 0, 75
.
Zaªó»my, »e ªa«cuch startuje w deszczowy dzie«, tzn. µX0 = (1, 0). a) Udowodnij indukcyjnie, »e dla ka»dego n
µXn = 1
2(1 + 2−n),1
2(1 − 2−n)
. b) Co si¦ dzieje z rozkªadem µXn w granicy gdy n −→ ∞?
Projekt wspóª nansowany przez Uni¦ Europejsk¡ w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego
