Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 1.
19 luty 2019
Ogólne informacje
Prowadzący: Michał Korch, m korch@mimuw.edu.pl, MIMUW, pok. 5310
Strona: www.mimuw.edu.pl/∼m korch/pl/category/teaching/am2wne/
Zasady:
• Ocena z przedmiotu będzie wystawiona na pod- stawie liczby zdobytych punktów. Na egzaminie pisemnym da się ich zdobyć 40, w czasie dwóch kolokwiów w semestrze po 20 punktów a z ćwi- czeń można wynieść maksymalnie 20. Liczy się suma.
• Do egzaminu będą dopuszczeni wszyscy, którzy przychodzą na ćwiczenia (powiedzmy, że 3 nie- obecności są akceptowalne) i zdobędą co najmniej 25/60 punktów z ćwiczeń i kolokwiów.
• Można będzie odpracowywać swoje nadwymiaro- we nieobecności – szczegóły do indywidualnego ustalenia.
• Z 20 punktów do zdobycia za ćwiczenia 5 można zdobyć za prace domowe, 10 za krótkie spraw- dziany, które będą się odbywać raz na 2, 5 tygo- dnia oraz 5 za aktywność podczas ćwiczeń.
Zadania
1. Dana jest funkcja:
f (x) =
−x x ∈ [0, 1)
−1 x ∈ [1, 2) x − 3 x ∈ [2, 4]
.
Sprawdź, czy ta funkcja ma funkcję pierwotną.
Jeśli tak, to znajdź taką funkcję pierwotną F , że F (1) = −1/2.
2. Oblicz:
a) R x4− 2x3+ 4x2+ x − 3
x2 dx,
b) R
√x − x3ex+ x2
x3 dx.
3. Oblicz R sin x cos x dx używając następujących sposobów:
a) przez części dla f (x) = sin x, g(x) = cos x, b) przez części dla f (x) = cos x, g(x) = sin x, c) przez podstawienie y = sin x,
d) przez podstawienie y = cos x,
e) korzystając ze wzoru dwukrotności kąta:
sin x cos x = 12sin(2x).
4. Korzystając z metody całkowania przez części, oblicz:
a) R ln |x| dx, b) R x cos x dx, c) R x2e−xdx.
5. Korzystając z metody całkowania przez podsta- wienie, oblicz:
a) R x√
1 + x2dx, b) R x cos x2dx.
6. Obliczyć:
a) R arcsin x dx, b) R cos3x√
sin x dx, c) R exsin x dx, d) R ln2x dx, e) R x√
1 − x2dx.
1
