}.,,+::l#tF- n a ł ( u - F ) ) Wykazać rÓwniez, ze

}.,,+::l#tF- n a ł ( u - F ) ⁾ Wykazać rÓwniez, ze

1 , 1 , 1 ,

l ' z _ 4 Ą - 7 . 8 - 3 J 5

5.2.5. Zna|eźĆ rozwinięcia funkcji hiperbolicznych analogicznie do rozwinięć z zadanla 5 . f .3 .

5.2.6. Zna|ęźć rozwinięcie funkcji (sin z sinh z)-l na ulamki proste.

5.2.7. Wykazać, ze

r o c

(coshz - cosz)-, : \ *,r'f## (i.,' *,oro) '

t , l : l

c l l a ; f n r ( + l + t ' ) , t ' t : 0 , 1 , 2 , . . .

5.2.8. Wykazać , ze jezeli )',, są rÓznymi od zera dodatnimi pierwiastkami rÓwnania tg: - z (Por. zadanie 3.9.16), tcr

Z S I n Z

s i n Z - { c o s i

o o o J , \ -

; - L

_)

5.2.9. Rozwazaj4c całkę

f s i n ( d (

J ((-z)co?T

a Q , ,

gdzie 0 Q,, jest brzegiem kwaclratu o wierzchołkach nx(al T i), wykazać, ze

sinz |oo r ( l\ f-2

a* -,,ł(_|),,L. - (,, * t) ")

5.2.10. Wykazać, ze dla 0 < a < l

+5-

eLt: I 2z cos fxna - 4rn sinfrntt

5.3. Wzor Jensena. Charakterystyka Nevanlinny

5.3.1. Wykazać, zę jezeli / jest funkcją meromorIlcznq w kole K(R) ijeżeli w ko|e K r Ą ( 0 < r < R ) f u n k c j a . f m a m Z e r . . a 1 , a 2 a , , , , g d z i e 0 . | a t | < | a z | < . . . <

| u , , , | < r , o r a z ł r b i e g u n Ó w : b | , b 2 , . . . , b , , , g d z i e 0 = l b r | < | b z | < . . . . | b , | < r , t o zachodzi wz r Jensena'.

2r

I f :f| rłłl r,,

^ / log lf (re")Ve - log l/(0)l + log - log;----.---.- .

2 r J Q ' r ' e ' J e l a l a t . . . a t t t l " l b t h z . . . b , , l

, ,

, W.skctzriwka. Czynnlk'. - o'.

usuwa zero z- a funkcji f i nie zmienia I f (rei')|.

' r(2. - ct)

5.3.2.Wykazać, ze wzÓr Jensena jest prawdziwy rÓwntez i wtedy, gdy na okręgu C(r)

|ezq zera lub bieguny funkcj i f (z').

5.3.3. Jakq postaĆ przybterze wzÓr Jensena, jezeli f (z) ma dla z _ 0 zero lub biegun rzędu )'?

5.3.4. Wyznaczyć całkę

w za\ezności od r d|a funkcji:

(i) .f k) - z3 + 2z ł 3, (ii) / (z) - sin 7, (iii) /(z) - ctg z.

5.3.5. Wykazać, ze gdy wprowadzimy następujqCe oznaczenia:

r r r ^ - * ; l o g x d l a x > 1 , I l o g

" : l o ( - d l a o < x { 1 ,

2,. n(r, f) -|tczba biegunÓw funkcji meromorficznej f (il w kole K (r), z uwzględ- nieniem ich krotności,

3" m(.r, J') - : [1" tog* lf (reio)ldo,

1 T(r. f) - m(r. -f) + I; "':" 0,.

wÓwczas wzÓr Jensena mozna zapisać w postaci / l \

T ( r , f ) - T l r , ; I : log ll'(0)1,

\ J /

przy zatozeniu, ,e J' (z) jest analityczna i r6zna od zera dla z - 0.

T (r, f ) nazywamy charakterystyką Nevanlinny funkcji meromortlcznej l'(e). od- grywa ona podstawową rolę w teorii funkcji meromorficznych.

5.3.6. Podać warunek konieczny i dostatecZny nato, by dla funkcji meromorficznej f (z) całka ,fł" l"e|f @eie )|tlT miata wartość stat4.

5 ą 7 W v z n a c z v ć n ( r f ) n ( r 1 / f ) d | a f ( , \ _ t E z ' .

5.3.Wzor Jensena. Charakterystyka Nevanlinny i 71

tr

cD tr) - -i- / log I f treiq 2 n J )lct0

0

. 72 ..5. Funkcje. m91omorficzne 1funkcje całkowite 5.3.8. Wyznaczyć T(,, .l') dla .t''k): e].

5.3.9. Wykitzać, ze jeśli P(z') _ (tz,l +... ł tttl exp P(l), to

Ttr. J', - !!r" prty

jest wielomianem stopnia n, .f k) =

r --+ *oo.

5,3.10. Wykazać, ie d|a .t''(;) _.^p (+). : c K(l)' jest

r (t'. .t ) - : los Lt'.

5.3.11. Wykazać, zejeśli /(;) jest funkcją analityczną w kole K(R), to Q ( r ) -

jest fulrkcją rosnąc4 i wypukt4 zmiennej log r.

5.3.12. Wykazać, Że jeśli.l.(3) jest funkcj4 analityczną i ogran|CZoną w kole K(1), .f (0) + 0 ijeśli ir(r) _ n(r,IlJ.) oznacza|iczbę Zer tunt<c;i ,f(l) w kole K(r), to l i m , . - , r - p ? ) l o g r - Q .

5.3.13. Wykazać, zejeśli .f (ł) jest f-unkcją irnalityczni1 nie znikaj4cą iclentycznie i ogra- niczonq w kole K(|), ktÓrej zera'\ s4 al,(ł',,aj przy CZym O < |tt| < |az| <

|as| < . , a ponadto kazde z zer rr,, wypisane jest z oclpowiedni4 krotnością, to (i) istnieje granica lim la taz . . .a,,1 # O, przy czym

(ii) szereg I:,(t - la,,l) jest zb\ezny.

5.3.14. Zał zmy, ze f-unkcje 9k,), {l() s4 analityCZne i ograniczone w kole ,((l) o r a z z e d l a k a z d e g o n a t u r a l n e g o l l m a m y Q @ , , ) : , l , ( ' , , , , 1 , p r Z y C Z y m I c t , , | <

0 < |ul| < |azl . .. . oraz':,(l - |u,,|) _ * o c . W y k a z a Ć , , e Q _ !/.

5.4. lloczy ny nieskonczone

Ilrlc:'l'll ltie,sko c:'tln\, p1p2...P,,... : I-Il 1 Ptt D&7'ywamy z,biez,n-l,lll, jeśli co najwyzej sktl czona |iczba czynnik<iw 7l1 .jcst r(lwna zeru ijezeli cir1g iloczynciw czynniktiw nie znita1qcyctr dqzy dograrricy rÓznej od zera.

Dla iloczynu nieskcl czonego zbieznego mamy lim p,,: I i z tego powclclu iloczyn nieskonczony zapisujellly w ptlstaci fil't| łtt,,). Iloczyn niesko czclny fILl (| +ti,,), l+ tt,, f ().jest zbiezny l roz- biezny wrazz szcregienl ILog( | *tl,,). Warunkienl clo'statecznym zbieżności iloczynu II),r I lct,,) jest zbiezność szeregu fi' lrl,,l.

Jezcli Iu,,(:,)} je.st ciągiern funkcji analitycznych w obszarze G ort1z |tt,,(r)l < A,, d|ttkazi1ego : u . G . , p | . z ) v C 7 ' y | 1 1 I , L ' A , , < * r c . t t , i l t l c z y n n i , r | ł r t , , ( ; ) ] j e s t zbiezl"lywobszarzeGiprzeclstawia f.unkc.ię anaIityczną w tyln clbsz.arze.

I T

- I lug l.l'{re'' )1,10

zTt J

5 , 4 . 1 . W y k a z a ć , z e j e ś | i | \ , , , , | 2 n lb\einości iloczyntl fl(l * lt,,) jest zbiezność Szeregu L,,,,.

5.4.2.Wykazać, ze jeśli 11tt: (-|),')..n Szereg ':, lt,, jest zblezny, podczas g.

Jtt

i|tlczyn fIL' (| ł tt,,) .jest rozbtezny.

5 . 4 . 3 . W y k a z a ć . z e

ri, fl), (, - i) : I (ii) fl;r:* I - i. tiiir U)' (r

5.4.4. Wykazać . ze lloczYn fllo(l + :2,.) jest zbieŻny clo (l - ;)-' 5.4.5. Wyznaczyć obszary zbtezności i|oczynÓw lrieskoriczonyclr:

(i) fll' [' * (;)'] (ii) n:, [' * (' * i)" ."],

+ !-]Ę) : '

p r z y l:l < l.

5 . 4 . 6 . Z a ł Ó z m y , z e { u , , } j e s t c i ą g i e m | i c z b z e s p o l o n y c h , t a k i m z e : | e L , | <

( t t :1 , 2 . . . . ) . u r , # r r , , p r z y m f n o r a z t; : , ( l - 1 " , , 1 2 ) < * o o '

Wykazać.zeil<,lczyn I[: -# jest zbiezny W kole K(l) i przedstawia w ty kole funkcjęę(:) analityczną,r wnz1 zeru tylko clla l _ 1tI 0t : |,2,...) ispełniają

r l i e r Ó w n o ś ć | ę ( z ) | < l d l a . c K ( l ) . 5.4.7. Wykazać , ze l|oczyn fI:' (' * ;)

.;ego granica jest funkcj4 catkowit4.

|Vskuz yvka. Wykazać, ze |(l - .).. _ l 5 '4,8. Wykazać , ze ciqg funkcyjny

(iv) [1), (' * +). '"'

ę-: ltt 1est zbiezny w całej pŁaszczyŹnle t

| . l r 1 2 d l a l z l < l .

- h,,(:')

/u (z) jest tunkcj4 całkowit4

: ( : . | l ) t : + 2 1 . . . 1 ; { ł ) n ! exp(z log n)

jest zbiezny w całej p|aszczyźnie i ze jego granica

z e r u je d y n i e d l a a - 0, -1, -2, ...

5.4.g (ccl.). Dowieść, ze gdy f (z) _ Ur(;)] l. wtedy

( i ) rf(z) - I-(z+ l), (ii) dla rz naturalnych f ( n ) - ( n - l ) ! .

5.5. Rozkład funkcji calkowitej na czynniki pierwsze

Kazdy wiclomian o zerach (). rl1 . . . . ' (Itt @t * 0 clla t - l . . . . , n) nloze być przedstirwi()lly w p()S]

i l o c z y n u / - \ / - \

, ł : ( ( t - . ) ( ' - ; )

Weierstrass cltlwi dł istnierria analclgicznego rtlzktaclu clla tlowo|nej funkcji całkowitej rłraz lnoŻ ści skonstr.ttclwania funkcji całkowite.i o z gÓry zaclanych z-eraclł, jezcli tylko nie rnają tlne rv sktlticz'on<