Egzamin (pierwsze podej´scie)
Imie,:
Nazwisko:
Odpowiedzi na pytania z * nale˙zy uzasadnia´c Obliczy´c granice lub stwierdzi´c, ˙ze nie istnieja, 1) limn→+∞ 4n
πnn4
2) limx→0 ex−1 x
3) limx→+∞ exx−1
4) limx→+∞ ln(1+x) x
5) limx→+∞ sin(x) x
6) limx→0 tg(x) x
7) * limx→0
√2+x−√ 2 x
Obliczy´c pochodne 8)
³sin(x) ex
´0
9) (tg(ln(x)))0
10) Wiemy, ˙ze funkcja r´o˙zniczko- walna zeruje sie, tylko w punk- tach -2, 0 i 1. W co najmniej ilu punktach pochodna funkcji musi sie, zerowa´c?
11) * Wiemy, ˙ze druga pochodna funkcji (dwukrotnie r´o˙zniczkowal- nej) jest ujemna. W co najwy˙zej ilu punktach funkcja mo˙ze sie, ze- rowa´c?
12) Wiemy, ˙ze funkcja r´o˙znicz- kowalna jest wypukÃla. W co najwy˙zej ilu punktach pochodna funkcja mo˙ze sie, zerowa´c?
13) Wielomian trzeciego stopnia ma lokalne minimum r´owne -1 i lokalne maksimum r´owne 2 (w pewnych punktach). Ile ma pier- wiastk´ow?
14) Dany jest wielomian czwartego stopnia postaci x4+ ax3+ cx + d.
Wiemy, ˙ze ma w pewnym punkcie lokalne maksimum r´owne 2 oraz.
Ile mo˙ze mie´c pierwiastk´ow?
15) * Dana funkcja f : R → R, taka, ˙ze limx→+∞f0(x) = −2.
Obliczy´c limx→+∞f (x).
16) Poda´c przykÃlad funkcji f : R → R, takiej, ˙ze limx→+∞f0(x) = 0 i limx→+∞f (x) = +∞.
17) Poda´c przykÃlad funkcji f : R → R, takiej, ˙ze limx→+∞f (x) = 0 oraz limx→+∞f0(x) nie istnieje.
Cze,´s´c 2
Imie:
Nazwisko:
18) Wypisa´c 4 pierwsze wyrazy rozwinie,cia Taylora funkcji w punkcie x0 = 0
19) f (x) = e2x
20) f (x) = cos(−x)
21) Dana jest r´o˙zniczkowalna funkcja f : R2 → R. Wiadomo, ˙ze
∂f
∂x(2, 1) = 5 i ∂f∂y(2, 1) = 13.
Czy znamy pochodna,kierunkowa, w kierunku wektora (2, 4)? Ja´sli tak, to ja, obliczy´c.
22) Dana jest funkcja r´o˙zniczko- walna f : R2 → R. W pewnym punkcie grad f = 0 oraz D2f = µ1 1
1 2
¶
. Czy w tym punkcie jest lokalne ekstremum? Jakie?
23) * Dana jest funkcja r´o˙znicz- kowalna f : R3 → R. W pewnym punkcie grad f = 0 oraz D2f =
2 3 1
3 −3 1
1 1 1
. Czy w tym punkcie jest lokalne ekstremum?
Jakie?
24) * Zbi´or A w przestrzeni R3 opisany jest jednym r´ownaniem g(x) = 0. Punkt p nale˙zy do A. Szukamy ekstremum funkcji f : R3 → R na zbiorze A. Czy w p mo˙ze by´c ekstremum je´sli:
grad f (p) = (2, 1, −1), grad g(p) = (−4, 2, 2)?
25) * Zbior A w przestrzeni R4 opisany jest dwoma r´ownaniami g(x) = 0 i h(x) = 0. Punkt p nale˙zy A. Szukamy ekstremum funkcji f : R4 → R. Czy w p mo˙ze by´c ekstremum je´sli:
grad f (p) = (1, 1, 1, 1), grad g(p) = (1, 2, 3, 4), grad h(p) = (4, 3, 2, 1).
26) Cia,gÃla funkcja y(x) speÃlnia r´ownania sin(x + y(x)) + ln(2x − y(x)) = ln(2π) oraz y(π) = 0.
Obliczy´c y0(π).
27) * Obliczy´c caÃlke,nieoznaczona,
R 1
x2+2x+2dx
28) * Obliczy´c pole figury za- wartej pomie,dzy parabolami y = x2 i x = y2.
29) SformuÃlowa´c Twierdzenia:
Darboux
30) Lagrange’a (o warto´sci ´sredniej)
