NATURWISSENSCHAFTEN
H E R A U SG EG E BE N VON
A R N O L D B E R L I N E R
U N T E R B E S O N D E R E R M I T W I R K U N G V O N HANS SPEMANN IN F R E I B U R G I. B R . ORGAN D E R G ESELLSCH AFT DEUTSCHER N ATURFORSCHER UND Ä R Z T E
UND
ORGAN D ER K A ISE R W ILH ELM -G ESELLSCH AFT Z U R FÖRDERUNG D ER W ISSENSCHAFTEN V E R L A G V O N J U L I U S S P R I N G E R I N B E R L I N W 9
HEFT 42 (S E IT E 8 6 1-8 7 6 ) 16. O K T O B E R 1925 D R EIZEH N TER JAHRGANG
I N H A L T : Die neuere E ntw icklung der geometrischen Optik.
Von Fe l i x Je n t z s c h, B e r l i n ... 861 Ein empfindlicher Indikator für Veränderungen
im Chemismus der Binnengewässer. Von Au g u s t T h ien em an n , P l ö n . ... 868 Be s p r e c h u n g e n :
Ha r t m a n n, Ma x, Biologie und Philosophie.
Von Bruno Bauch, J e n a . ... 870 Gr a e b n e r, P., Die Heide Norddeutschlands und
die sich anschließenden Formationen in biologischer Betrachtung. Von O. Stöcker, Brem erhaven. ... 870 Kü s t e r, E ., Pathologische Pflanzenanatomie,
in ihren Grundzügen dargestellt. Von K . Linsbauer, G raz...871
Ha b e r l a n d t, G., Physiologische Pflanzenana
tomie. Von Friz v. W ettstein. Göttingen. . 872 Bio lo g is ch e Mi t t e il u n g e n: Über die Formwahr
nehmung beim Hunde. Die Rolle des Gesichts-, Geruchs- und Erschütterungssinnes für den Nahrungserwerb von Triton. Chemischer Sinn und Nahrungserwerb bei Nereis virens. Das Zielen bei Tieren (Versuche m it Hühnern). Unter
suchungen der tierischen T riebe...872 Ast r o n o m is c h e Mit t e i l u n g e n: Zur Frage nach
dem Ursprung der grünen Nordlichtlinie . . . 875 Ak a d e m i e b e r ic h t e: N ational A cadem y of Scien
ces, W a s h in g to n ...876
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II D I E N A T U R W I S S E N S C H A F T E N . I Q 2 5 . H eft 42 . 16. Oktober 1025
DIE NATURWI SSE NSC HAF TEN
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DIE NATURWISSENSCHAFTEN
D reizehnter J a h rga n g O ktober 1925 H eft 42
Die neuere Entwicklung der geometrischen Optik1).
V o n Fe l i x Je n t z s c h, B erlin . U m d ie E n tw ic k lu n g slin ien der geom etrisch en
O p tik zu k en n zeich n en u n d die P ro b lem e zu schildern, die g e g e n w ä rtig eine R o lle d a rin sp ie
len, m u ß zu erst k la rg e s te llt u n d u m g re n zt w e r
den, w as eig en tlich geo m etrisch e O p tik h e u te b e d eu tet.
A n sich is t die geo m etrisch e O p tik so a lt w ie die O p tik ü b erh au p t, w a r sie d och die erste F orm , in der op tisch e P ro b lem e ü b e rh a u p t b e h an d e lt w u rd en .
B e i der h eu tigen A u sd eh n u n g d er L eh re vo m L ic h t kö n n te m an e tw a d as g an ze G eb ie t in drei A b te ilu n g e n zerlegen, n äm lich die Strahlungs
theorie, die die E n tste h u n g u n d V e rn ic h tu n g des L ic h te s u n tersu ch t, die geometrische Optik, die sich m it den jen ig en G eb ieten b e fa ß t, in denen d as L ic h t als stra h len fö rm ig a u fg e fa ß t w erd en kan n, und die 'physikalische Optik, die sich m it der N a tu r des L ic h te s b e sch ä ftig t, w ozu noch als G re n zg e b iet die physiologische Optik tre ten w ürde, die d as A u g e u n d das Sehen b eh an d elt.
N a tü rlic h greifen diese G eb iete in ein an d er ü ber. So w ird m an z. B . fü r die geom etrisch e O p tik die G esetze der L ic h ta u sb re itu n g und B e leu ch tu n g, sow ie die zu geh örigen M eß m eth od en in A n sp ru ch nehm en m üssen, die teilw eise au ch d ie ersten K a p ite l jed e r S tra h lu n gsth e o rie zu b ild en pflegen.
D ie b e lie b te G leich se tzu n g v o n geom etrisch er O p tik und T h eo rie der o p tisch en In stru m en te is t ab er d u rch au s n ic h t u n b ed in g t zu lässig. In s beson dere h a t sich b e k a n n tlic h gezeig t, d a ß der L e istu n g sfä h ig k e it d er o p tisch en In stru m en te eine G ren ze g e setzt ist, d u rch die W ellen län g e des zu r A n w en d u n g kom m en d en L ic h tes, so d a ß m an h ier in die p h y sik a lisch e O p tik m it B e u g u n g und In terferen zen k o m m t. S p ä te r fan d m an d an n aber, d a ß n ich t nur an der G ren ze der L eistu n g sfä h ig k e it, sondern stets und ü b era ll die B e u gu n g sth e o rie heran zu zieh en ist, sob ald m an sich R e c h e n sc h a ft üb er die L ic h tv e rte ilu n g in der B ild flä c h e ab legen w ill. D a s g ilt n ich t nur bei der A b b ild u n g vo n K a n te n und inneren G ren zlin ien a ller A rt, sondern a u c h v o n einzelnen P u n k te n ein er hom ogen strah len d en F läch e.
Sod an n is t m an sich n eu erd in gs d eu tlich er als frü h er b e w u ß t gew orden, d aß die m eisten o p tisch en In stru m en te d a zu dienen, B ild e r fü r d as m en sch lich e A u g e zu entw erfen, d a ß m an also die D i- o p trik des A u g e s und die G esetze des Sehens h eran zieh en m u ß . In so w e it es sich u m die L a g e d er P u p ille n und den D reh u n g sp u n k t des A u g e s
x) Antrittsvorlesung an der U niversität Berlin, ge
halten am 27. Juni I925-
h an d elt, w ie b ei der B rille , w erd en solch e F ra g e n n och zu r geom etrisch en O p tik gehören, in so w eit es sich ab er um F ra g e n d er R a u m a n sc h a u u n g (Stereoskopie, b in ok u lares Sehen) od er d as B e w egu ngssehen (Kino) h a n d elt, m u ß m an sie z w a r b ei der T h eorie d er o p tisch en In stru m en te b e h andeln, zu r geom etrisch en O p tik geh ören sie a b er n ich t.
N a ch der B eu gu n g sth eo rie g ib t es keinen sch ro f
fen Sp ru n g zw isch en H e ll u n d D u n k el, sondern m an h a t einen allm äh lich en Ü b erg an g, so d a ß die F ra g e a u ftr itt, w elch e S telle d enn d as A u g e als G renze b zw . K o n tu r a u ffa ß t. D a z u m u ß m an d ie a lt b ek a n n te K o n tra s tth e o rie des Sehens heranzieh en , w ie sie v o n Kü h l n eu erd in gs a u f o p tisch e I n stru m en te a n g ew an d t w u rd e. A u c h dies geh ö rt n ic h t zu r g eo m etrisch en O p tik .
So sehen w ir denn, d a ß die T h eo rie d er o p tisch en In stru m en te ü b e ra ll u m fassen d er is t und m eh r an H ilfsm itte ln erfo rd ert, als die G eo m etrie zu leisten ve rm ag . Indessen n im m t a u ch d ie so u m gren zte geom etrisch e O p tik im m er n och den grö ß ten T e il v o n der T h eo rie der o p tisch en In stru m en te ein. D en n tro tz aller E in sc h rä n k u n gen d a rf m an die S tra h le n o p tik als M eth od e n ic h t u n tersc h ätzen . D ie F ik tio n v o n S tra h len , die ja in W ir k lic h k e it g a r n ic h t re a lisie rb a r sind und die, w ie ein G e sp en st gerad e in dem A u g e n b lic k sich au f lösen, w o m an sie zu fassen u n d zu isolieren g la u b t, is t u n en d lich w e rtv o ll. D ie m eisten unserer h eu tig en K e n n tn isse a u f dem G eb ie t der o p tisch en A b b ild u n g w äre ohne diese F ik tio n n ic h t zu erreich en gew esen. N u r m u ß m an sich h ü ten , m eh r vo n der S tra h le n o p tik zu erw arten , als eben eine F ik tio n zu leisten verm ag .
E n d lic h g e la n g t m an n och zu einer geometri
schen Optik im engeren Sinne, w en n m an die A n w en d u n g a u f die ein zeln en In stru m en te, also die T h eorie der B rille, der p h o tog ra p h isch en O b je k tiv e , der L u p e, des M ikroskops, der m ed izin isch en H öh len- u n d R ö h ren g u ck er, der S ch ein w erfer und B ild w erfe r, der B e leu ch tu n g sv o rrich tu n g e n fü r alle diese In stru m en te u n d en d lich die T h eo rie des F ern ro h rs in eine besondere „o p tis c h e In stru - m e n ten k u n d e“ v e rw e is t und u n ter der Ü b e r
sc h rift geom etrisch e O p tik n u r die allgem ein en G esetze der o p tisch en A b b ild u n g b eh an d elt. A u c h w ird m an die A u sm essu n g o p tisch er B ild e r als ,,P h o to g ra m m e trie “ b eiseite lassen. F ern er w ird m an die m eteo ro lo gisch e oder a tm o sp h ä risch e O p tik , w en n sie a u ch vie lfa c h rein geo m etrisch e G esetze b e n u tzt, in einen besonderen A b s c h n itt verw eisen m üssen. D a s gleich e w ü rd e ge lten v o n a llen V o rrich tu n g e n und M eth oden zu r U n te r
Nw. 1925. I IO
862 Je n t z s c h: Die neuere E ntw icklung d e r geometrischen O ptik. I" Die N a tu r w issen sch aften
su ch u n g der o p tisch en E ig e n sc h a fte n der in den o p tisch en In stru m en te n a n g ew an d ten M aterialien , sow ie v o n den M eth od en zu r B e stim m u n g d er o p tisch en K o n sta n te n vo n In stru m en te n und P r ü fu n g ih rer F eh ler.
V o n d ieser so u m g ren zten geometrischen Optik im engeren Sinne soll weiterhin ausschließlich die Rede sein.
Verfolgung einzelner Strahlen mit H ilfe des Bre- chungs- und Reflexionsgesetzes.
E s g ib t eine gro ß e A n z a h l v o n A rten , die P r o b lem e dieser geometrischen Optik im engeren Sinne zu b eh an d eln . W o h l die ä lte ste u n d jed en fa lls d ie M eth o d e, d ie die ersten g rö ß eren p ra k tisch en E rfo lg e erzie lt h a t, is t diejen ige, die den L a u f eines ein zeln en L ic h tstra h ls m it H ilfe der B re- ch u n g s- u n d R e fle x io n sg e setze d u rch a lle F lä ch en eines S y s te m s h in d u rch S c h ritt fü r S c h ritt v e r fo lg t. M an b e sch rä n k te sich — en tsp rech en d dem S ta n d d er T e c h n ik — b is in die n eu este Z e it au s
sch ließ lich a u f K u g e lflä c h e n , w o b ei die E b en e n a tü rlic h als S p e zia lfa ll ersch ein t und, w en n m an m eh rere K u g e lflä c h e n h in terein an d er b e tra c h tete, a u f sog. zen trierte S y stem e , d. h. solche, b ei denen säm tlich e K u g e lm itte lp u n k te a u f einer G erad en liegen. D ie B e tr a c h tu n g allgem ein er R o ta tio n s fläch en , sow ie v o n a sp h ärisch en F läch en , die n ic h t m eh r ro ta tio n ssym m etrisch sind, is t erst in n eu e ster Z e it w ic h tig gew ord en . D ie B e h a n d lu n g n ic h tze n trie rte r S y stem e is t ansch ein en d bish er n u r in d er m eteo ro lo gisch en O p tik , z. B . b e i der S cin tilla tio n erford erlich , w äh ren d sie in o p tisch en In stru m en te n a u ß e r b e i d er B e tr a c h tu n g v o n H erstellu n g sfeh lern b ish er k ein e R o lle sp ielte, o b gleich d ie Z e it n ah e sch ein t, w o sie a u ch hierb ei n ö tig sein w ird . E in en A n fa n g ka n n m an in der V erw en d u n g v o n P rism en m it g ekrü m m ten G re n z
fläch en in der S p ek tro sk o p ie u n d v o r allen bei den B rille n erb licken . F ern e r tre te n au ch b e i
sp ielsw eise b ei K in o a p p a ra te n m it o p tisch em A u s gleich solche F ra g e n au f. Im allgem ein en w ird m an fern er n och vo rau sse tze n m üssen, d a ß der B rec h u n g sin d e x zw isch en zw ei G ren zfläch en k o n s ta n t ist. E in e A u sn a h m e b ild e t die m eteo ro logisch e O p tik u n d die D io p trik des m ensch lich en A u ges, w o der B rech u n g sin d e x als k o n tin u ierlich v e rä n d erlich angeseh en w erd en kan n .
D ie n äch stliegen d e M eth ode, den L a u f eines ein zeln en S tra h ls in d e ra rt d efin ierten S y stem e n zu verfo lgen , is t die trig on o m etrisch e. Sie geh ört fü r den K o n stru k te u r o p tisch er S y ste m e zum tä g lic h e n B ro t. D ie K o n stru k tio n solch er S y stem e is t au ch h e u te n och m e ist n ich ts anderes als ein rech n erisch es T ato n n e m en t. N ach d em m an einen B ild s tra h l b e stim m t h a t, der zu einem gegeben en O b je k ts tra h l geh ört, fü h rt m an dieselbe R e ch n u n g fü r einen b e n a ch b a rten S tra h l d urch, d er e n t
w ed er v o m ersten O b je k tp u n k t u n ter einer anderen N eig u n g oder v o n einem and eren O b je k tp u n k t u n ter derselben N e igu n g au sgeh t. T r ifft er im zw e ite n F a lle n ic h t an die gew ü n sch te Stelle, so
w erd en die K o n sta n te n des o p tisch en S ystem s, also die K rü m m u n g srad ien , die D ic k e n oder d ie B rech u n g sin d ices solan ge ve rä n d ert, b is das b e a b sic h tig te R e s u lta t erreich t ist. N a tü rlich v e r fü g t ein g e ü b ter R e ch n er d a b ei ü b er gew isse E r fah ru n g ssä tze, d och im G ru n d e b le ib t es ein P ro b ieren .
Ü b rig en s k a n n m an au ch s t a t t d er R ech n u n g ein zeich n erisch es V erfa h re n anw en den, das ab er m eist seh r v ie l u n gen au er sein w ird.
E in e A r t U m k eh r der D u rch rec h n u n g der S tra h len k a n n m an in der B e stim m u n g vo n E in fa llsp u n k te n erb licken . A u g en sch ein lich k an n m an au ch O b je k t- und B ild p u n k t, beid e, a ls gegeben ansehen (etw a A u g e u n d L ic h tq u elle ) und fragen , w elch en W e g der L ic h tstr a h l v e rfo lg t h ab en m u ß , in sbesondere w o er die b rech en d e oder spiegelnde F lä c h e t r ifft (G la n zp u n k t, In cid e n zp u n k t). D e r
a rtig e F ra g e ste llu n g e n tre ten in der m eteo ro logisch en O p tik au f, ab er au ch in der O p tik des tä g lic h e n L eb en s, w en n m an e tw a irg en d w elch e R e fle x e u n tersu ch en w ill.
N eb en der trig o n o m etrisch en D u rch rec h n u n g lä u ft die a n a ly tisc h e B e re ch n u n g seit a lter Z e it einher. F rü h er b e sch rä n k te m an sich au ssch ließ lich a u f k lein e W in k e l. W ie sich au s der R eih en e n tw ic k lu n g fü r S in u s u n d K o sin u s ergib t, k a n n m an in d er T a t b is zu N eigu n gen v o n zirk a 6 G ra d die trig o n o m etrisch en F u n k tio n e n d u rch den W in k e l selb st b zw . d u rch die E in h e it ersetzen . D a n n w erd en alle F o rm eln seh r v e re in fa ch t und m an k a n n rein a lg eb raisch vorgeh en . B e sc h rä n k t m an sich n och w eiter a u f die v o n einem einzigen A c h sen p u n k t ausgeh en den S tra h len , so w u rd e d ie A u fg a b e im w esen tlich en b ereits im 18. J a h r
h u n d e rt gelöst. M an w u ß te d a m als schon, d a ß in folge der vo ra u sg ese tzten K u g e lg e s ta lt der b re chenden F läch en n ic h t a lle B ild stra h len in einem P u n k t v e re in ig t w erden , a u ch w en n m an nur A c h sen p u n kte als O b je k te n im m t, sondern d aß eine A b w e ic h u n g a u f tritt, die u m so g rö ß er w ird , je g rö ß er die N eig u n g der v o m O b je k tp u n k t a u s
gehenden S tra h le n w ird . M an n an n te das ,,sp h ä risch e A b e r ra tio n “ . In teressa n t ist, d aß bereits-
L e o n h a r d E u l e r den E in flu ß u n tersu ch te, den das V e rh ä ltn is der b eid en K rü m m u n g e n ein e r L in se a u f die G rö ß e d ieser A b e rra tio n h a t. E r g a b b ereits die K rü m m u n g sv erh ä ltn isse fü r die L in se k le in ster A b e rra tio n an. A u c h e n td e c k te er schon 17 6 1, d a ß m an d u rch K o m b in atio n en m eh rerer L in sen diese A b w e ic h u n g g än zlich heben kan n , und z w a r b ra u c h t m an b ei einem B rech u n g s
in d e x v o n n = 1,55 im gan zen 4 L in sen . D iese E n td e c k u n g g eriet ja h rh u n d e rte la n g in V e r gessen heit. E r s t im J ah re 1902 w u rd e , sie v o n M. v o n R o h r und A . K ö n i g ein zw eites M al ge
m a c h t und fü h rte zu r K o n stru k tio n der sog.
M on och rom aten .
N a tü rlic h ließ m an diese B e sc h rä n k u n g au f A ch sen p u n k te g eleg en tlich fallen u n d b em erkte a u ch in d er T a t schon sehr frü h F eh ler anderer A r t fü r P u n k te a u ß e rh a lb der A c h se ; w oh l rein
H eft 42. 1 16. 10. 1925J
Je n t z s c h: Die neuere E ntw icklung der geometrischen O ptik. 863
erfah ru n g sg em ä ß an den ersten op tisch en W e r k zeugen, in sbesond ere den O ku laren. D ie ersten V o rsch lä ge, solche F eh ler ebenso w ie a u ch die A b e rra tio n d u rch v o n d er K u g elfo rm a b w eich en d e L in sen und S p iegel zu beheben, w aren rein sp e k u la tiv . E r s t a ls d ie T e c h n ik h an d w erk sm ä ß ig au s vie len L in sen zu sam m en gesetzte O b je k tiv e schon lan g e lieferte, w u rd e au ch die th eoretisch e B e h a n d lu n g d ieser au ß era ch sialen F eh ler in A n g riff genom m en.
E in e w esen tlich h öh ere S tu fe erreichte die E n t w ick lu n g ab er m it einem S ch la g e d u rch die A r b eiten des A stro n o m en L . Se i d e l (1856), dessen D a rste llu n g d er A b b ild u n g sfeh le r au ch h e u te n och als m aß geb en d b e tr a c h te t w ird .
Z w ei V o ra rb e iten m u ß te n fre ilich n och ge
le iste t w erden. N ä m lich ein erseits eine E rw e ite ru n g des K o n stru k tio n sm a teria ls d u rch die M ö glich k eit, G läser der versch ied en sten B re c h u n g und D isp e r
sion zu verw en d en . D a zu w a r erford erlich , diese G rö ß en zu m essen und im S p ek tru m a u f b e stim m te L in ie n festzu leg en . D a s leistete Fr a u n h o f e r. Z w eiten s m u ß ten gew isse allgem ein e E ig e n sch aften der o p tisch en S y stem e b e k a n n t u n d h in reichend g e k lä rt sind, w ie die B e g riffe der B ren n w eiten , der B ren n p u n k te , der H a u p tp u n k te , der V erg rö ß eru n g usw . D a s leistete Ga u s s. E r s t Ga u s s brachte die A rb e ite n seiner V o rg ä n g e r zu einem gew issen A b sc h lu ß , v o r allem d ad u rch , d a ß er au ch b e lie b ig d ick e S y stem e b e h an d e lte u n d zeigte, d aß m an jed es o p tisch e S y s te m (w enigstens so w e it es au s R o ta tio n sflä c h e n besteh t) in G ed a n ken ersetzen ka n n durch eine ein zeln e brechende F lä c h e oder d u rch eine L in se vo n versch w in d en d er D ic k e u n d eine V ersch ie b u n g . D ie T h eo rie v o n Ga u s s, die a b so lu t fu n d a m e n ta l is t, g ilt a b er n u r solan ge als m an hin reich end k lein e W in k e l h a t, also n u r in einem fad en fö rm igen R a u m län gs der A ch se.
M an p fle g t d esh alb v o m GAUssschen S tra h le n geb iet zu sprech en im G eg en satz zum SEiDELschen S tra h le n g eb ie t, w o au ch h öh ere Glieder der R e ih e n en tw ic k lu n g fü r Sin us u n d K o sin u s b e rü c k s ic h tig t w erden.
D ie S eid eis che Fehlertheorie.
D ie SEiDELSche Fehlertheorie brachte in die teilweise schon früher bekannten Fehler zum ersten Male ein System herein und zeigte den inneren Zusam menhang zwischen ihnen. E s ergab sich zunächst eine Verringerung in der Zahl der Fehler.
E n tw ickelt man nämlich den Sinus eines auf
tretenden W inkels in eine Reihe etw a
sin<p = +
und lä ß t d an n alle höheren G lied er fort, so e n t
s te h t au gensch ein lich die GAUSSSche D io p trik . N im m t m an n och das n äch ste G lied m it, so h a t es sich ein geb ü rgert, in diesem F a lle vo n der T h eo rie der F eh ler d ritte r O rd n u n g zu sprechen, und entsprech en d bei M itn ah m e w eiterer G lied er vo n dem F eh ler fü n fte r O rdn un g, sieb en ter O rd
nun g usw ., so d a ß also n u r u n gerad e F e h le r
ordnungen Vorkommen.
E n tw ic k e lt m an n u n in den trig o n o m e trisch en F orm eln fü r die B ild s tra h le n d ie vo rk o m m en d en W u rzeln und trig o n o m e trisch en F u n k tio n e n je w eils b is zu G lied ern g leich er O rd n u n g, so k a n n m an au ch die B e stim m u n g sstü ck e dieses B ild strah ls (etw a die S ch n ittw e iten ) d a rstellen aus einem ersten G lied, das der feh lerfreien G a u s s sehen id ealen A b b ild u n g e n tsp rich t u n d m in d esten s einem w eiteren, das die F eh ler a u sd rü ck t. W ü rd e m an die K o e ffizien te n dieser w eiteren G lied er zu N u ll m achen, so w ären d an n die F e h le r beh oben und je n ach d em ein B ild d ritte r, fü n fte r oder h öh erer O rd n u n g zu sta n d e gekom m en. D ie A u f gab e diese K o e ffizien te n aus den R a d ien , B r e ch u n g sverh ältn issen und A b stä n d en zu b estim m en , h a t nun L . S e i d e l in vo llk o m m en er W eise ge
lö st. D ie H a u p tsc h w ie rig k e it la g n atü rlich in der ric h tig en W a h l d er E n tw ic k lu n g sv a ria b e in . D a s große V erd ie n st S e i d e l s lie g t u n ter anderem darin , die V a ria b ein so g e w ä h lt zu h ab en , d aß die K o e ffiz ie n te n d ritte r O rd n u n g eines aus m eh reren F lä c h en besteh en d en S y stem s sich ein fa c h a d d itiv au s den E in ze lk o effizie n te n d er ein zeln en F lä c h en zu sam m en setzen lassen. D iese d u rch die E n tw ic k lu n g n ach den SEiDELschen V a ria b ein fest d efin ierten K o e ffiz ie n te n b e ze ich n et m an h eu te allgem ein als die S e i d e l sehen B ild fehler u n d b ezeich n et sie ihm zu E h ren m it S x, S 2, S3 usw . E r zeigte, d a ß es b ei den G lied ern d ritte n G rad es fü n f u n ab h än gig e K o e ffizien te n g ib t, also fü n f B ild feh ler d ritte r O rdn un g, n äm lich die sph ärisch e A b w eich u n g , die K o m a , den A stig m a tism u s, die B ild fe ld W ölbung und die V erzeich n u n g.
G eh t m an ein G lied w eiter, so g e lan g t m an zu den B ild feh lern fü n fte r O rd n u n g, v o n denen es neun g ib t. E s sind d ie sp h ärisch e A b erra tio n zw eiter S tu fe, die K o m a zw eiter S tu fe, der F lü gelfeh ler, die seitlich e sp h ärisch e A b erra tio n , d er P fe il
feh ler, die seitlich e K o m a , zw ei A rte n der seitlich en B ild w ö lb u n g und die seitlich e V erzeich n u n g. D iese U n tersu ch u n g der G lied er fü n fte r O rd n u n g is t erst 1921 zu einem gew issen A b sc h lu ß ge lan g t (durch S o n n e n f e l d ) . B is d ah in w u rd e n och v o n m a ß geb en d er S eite geleh rt, d aß es n ich t neun, sondern zw ö lf B ild feh ler fü n fte r O rd n u n g gebe.
W ä h ren d m an v o r Se i d e l und au ch n och lan g e n ach ih m — ja bis in die n eu este Z e it h in ein — einzelne F eh ler h erau sgriff, e tw a die sph ärisch e A b e rra tio n n äh er u n tersu ch te, bisw eilen b is zu sehr h ohen O rd n u n gen, w ird m an n ich t ü b er
sehen dürfen, d a ß diese F eh ler m eist in einem in n eren Z u sam m en h an g stehen.
D e sh a lb k n ü p fen neuere U n tersu ch u n gen an die F ra g e an, w ie sich die F eh lerreste ändern, w en n n ich t alle K o e ffizien te n zum V ersch w in d en g e b ra c h t w erden , sondern n u r einige. B eisp iels
w eise, w ie w irk t die K o m a , w enn der A stig m atism u s beh oben ist? M anch m al finden sich au ch S p ezia l
anford eru ngen , w ie e tw a b ei K a m e ra o b je k tiv e n fü r die A u fn a h m e vo n S p ek tren oder die A b b ild u n g
Je n t z s c h: Die neuere E ntw icklung d e r geometrischen O ptik.
v o n T eilu n gen , w o n u r die ta n g e n tie lle B ild w ö lb u n g zu b elieb en is t und m an a u f A stig m a tis m u s k ein e R ü c k s ic h t zu nehm en b ra u ch t, w o d u rch sich fü r die an d eren B ild fe h le r g ü n stige M ö g lich k eite n bieten .
F ü r die p ra k tisc h e K o n str u k tio n is t es n a tü r lic h k ein esw egs d as B este, e tw a die K o e ffiz ie n te n d r itt e r O rd n u n g ga n z zu m V ersch w in d e n zu b rin g e n , w a s au ch m e ist g a r n ic h t m ö glich ist, so n d ern m an w ird versu ch en , sie e n tg e ge n g ese tzt g leich d er Sum m e der G lied er h öh erer O rd n u n g zu m achen.
Ü b e rh a u p t d a rf m an sich n ic h t vo rste llen , d a ß e tw a d er A u s d ru c k „sp h ä ris c h k o rrig ie rt“ zu b e d eu ten h ä tte , d a ß n u n ga r kein e sp h ärisch e A b w eich u n g vo rh a n d e n ist. V ie lm e h r h e iß t d as nur, d a ß die S c h n ittw e ite fü r einen S tra h l en d lich er N e ig u n g m it d er eines a xe n n a h en S tra h le s z u sam m en fällt. F ü r die zw isch en liegen d en N eigu n gen h a t die S c h n ittw e ite and ere W e rte . D iese im a ll
gem ein en gerin gen A b w e ich u n g e n w erd en „ Z w i
sch en feh ler“ oder „Z o n e n fe h le r“ , k u rz „ Z o n e n “ g en an n t. D a s E n tsp re ch e n d e g ilt n a tü rlic h fü r d ie and eren F eh ler.
A u c h m u ß h ier e rw ä h n t w erd en , d a ß d ie b is h erigen B e tra c h tu n g e n sä m tlic h n u r fü r m on o
ch ro m atisch es L ic h t oder n u r fü r S p ieg elsy stem e gelten , d a ß ab er b ei L in sen w egen der D isp ersion des B re c h u n g sin d e x n och F arb en a b w e ich u n g e n h in zu trete n . D ie e in fac h e A c h ro m a tisieru n g ist b e k a n n tlic h z u e rst'd e m en glisch en O p tik e r J . Do l- l a n d 1758 g e g lü c k t. D ie G esch ic h te ih rer a ll
m äh lich en V erb esse ru n g ste h t in engem Z u sa m m en h ä n ge m it der E n tw ic k lu n g des o p tisch en G lases.
A u c h u n te r A c h ro m a tisieru n g v e rs te h t m an nur, d a ß z. B . d ie S c h n ittw e ite fü r zw ei F a rb e n gleich e W e rte an n im m t, fü r d a zw isch e n u n d a u ß e rh a lb lieg en d e F a rb e n b le ib t eine A b w e ic h u n g ü b rig, d as sog. „se k u n d ä re S p e k tr u m " . D a a u ch alle B ild fe h le r c h ro m atisch e V a ria tio n au fw eisen , er
fo rd e rt die B e frie d ig u n g dieser säm tlich en B e d in gu n gen m e ist m eh r V a ria b le , als in der Z a h l d er K o n stru k tio n se lem e n te zu r V e r fü g u n g stehen, g a n z ab geseh en d a vo n , d a ß au ch d ie V a ria tio n s b re ite der le tzteren im allg em ein en n ic h t h in reich t.
D e sh a lb m u ß m an sich fa s t stets d a m it b egn ü gen , in d er F eh ler k u rv e d iejen ig en G eb iete au fzu su ch en , w o w en igsten s M in im a a u f treten . M an sp rich t d a n n v o n „ s ta b ile r K o rr e k tio n “ .
Ü b e r die th eoretisch e B e h a n d lu n g d er F a r b feh ler is t h ier n ic h t v ie l zu sagen. S o w eit die g eo m etrisch e O p tik in F ra g e k o m m t, is t die T h eo rie w o h l abgesch lossen. E in e en d g ü ltige E r led ig u n g k a n n ab er n u r a u f d em B o d en der B e u g u n g sth e o rie gelingen.
Im ü b rigen e rsch ö p ft sich d ieser ga n ze Z w eig d er geo m etrisch en O p tik d arin , die R e s u lta te v o n
Se i d e l e n tw ed er neu a b zu le iten od er a u f S o n d er
fä lle an zu w en d en und d a d u rch geleg en tlich zu vere in fa ch e n oder en d lich n och G lied er h öh erer O rd n u n g h in zu zu fü g en .
So w ertvoll und schön auch die Se i d e lsehe
r Die N atu r- [wissenschaften
Fehlertheorie ist, so d a rf m an d o ch n ic h t vergessen, d a ß sie im m er n u r b ei B e sc h rä n k u n g a u f die n ie d rig ste n G lied er g ilt. F ü r die h eu tig en In s tru m en te m u ß m an a b er fa s t stets h öh ere A n sp rü ch e stellen .
B e im M ik ro sko p z. B . is t z w a r d as G esich ts
feld seh r k lein , d a fü r sind a b er die L ic h tb ü n d e l seh r w e it g eö ffn et. F ü r A b e rra tio n u n d K o m a w ü rd e h ier kein e n och so w e it fo rtg e fü h rte R e ih e n e n tw ic k lu n g gen ügen, w ird d o ch d er h a lb e Ö ffn u n gs
w in k el b is ü b e r 7 0 0 groß.
A n d ererseits w erd en in einem p h o tog rap h isch en O b je k tiv m it seh r enger B le n d e z w a r A b e rra tio n und K o m a eine gerin ge R o lle spielen. W egen der g ew ü n sch ten A b b ild u n g a u sg e d eh n ter F lä c h en k a n n m an a b er A stig m a tism u s u n d B ild w ö lb u n g n ic h t m eh r in ein er geschlossenen W eise b e han d eln .
W e il m an sow oh l beim M ik ro sk o p eine A u s d eh n u n g des G esich tsfeld es, w ie n och m ehr b eim p h o to g ra p h isch en O b je k tiv , eine S teig eru n g der H e llig k e it, also V e rg rö ß e ru n g d er Ö ffn u n g , w ü n sch t, re ic h t in a llen d iesen F ä lle n die SEiDELsche D a r s te llu n g n u r in erster A n n äh eru n g, zu r sog. „ V o r re ch n u n g “ aus. D a n a c h m u ß m an d o ch w ieder, so lä stig es ist, zu r trig o n o m e trisch en D u rc h rech n u n g, d. h. zum rech n erisch en P ro b ieren greifen.
E in w eites F eld in n erh a lb d er geom etrisch en nehm en d esh alb A rb e ite n ein, d ie diese D u rc h re ch n u n g e rleich tern sollen . E rw ä h n t seien au ß er den m ehr elem en taren F o rm eln d er B e rech n u n g des A stig m a tism u s lä n g s eines S tra h les v o r allem n och d ie M eth od en zu r D u rch rec h n u n g w in d sch iefer S tra h le n u n d die vie lfa c h e n D ifferen zen form eln. L e tz te re b ezw eck en , die o ft sehr z e it
ra u b en d e v o lls tä n d ig e D u rch rec h n u n g d er S tra h len n u r g a n z w en ige M ale a u sfü h ren zu m üssen u n d dan n einen b e n a ch b a rten S tra h l oder denselben S tra h l b ei k lein er Ä n d e ru n g d er K o n stru k tio n s elem en te so fo rt algeb raisch e rm itteln zu können.
D ie Sinusbedingung.
S eh r n ü tzlic h is t b ei dieser D u rch rec h n u n g s
m eth o d e, d a ß m an d a n k Er n s t Ab b e seit 1872 in d er sog. Sinusbedingung ein K o n tr o llm itte l b e sitzt, d as n ic h t a u f irg en d w elch e A n n äh eru n g b e sc h rä n k t ist, sondern gan z allgem ein fü r b elieb ig gro ß e Ö ffn u n gen g ilt. W e n n n äm lich nach B e
hebung d er sp h ärisch en A b e rra tio n d as V erh ä ltn is zw isch en dem Sin us des W in k e ls, den ein o b je k t
seitig er S tra h l m it der A ch se b ild e t, und dem Sin us des entsprech en d en W in k e ls a u f der B ild seite fü r a lle v o r kom m en d en N eig u n g en d asselbe ist, so w ird n ic h t n u r ein P u n k t a u f d er A ch se, sondern ein F läch en ele m e n t sen k rech t zu r A ch se sch a rf u n d feh lerfrei a b g eb ild et. M an n en n t diesen Z u sta n d b e k a n n tlic h Aplanatismus. Ab b e
zeig te b ereits, d a ß b ei einem gegeben en S y stem diese B e d in g u n g n u r fü r ein ein ziges P u n k te p a a r e rfü llt sein kan n .
D ieser S in u ssatz, d er ü b rigen s sch on aus a ll
gem einen energetisch en B e tra c h tu n g e n fo lgt, is t
Heft 42. 1
16. 10. 1925 J J
e n t z s c h: Die neuere Entw icklung der geometrischen O ptik. 865
g le ic h z e itig die B e d in g u n g fü r A u fh e b u n g der K o m a sow ie in etw a s b esch rän k tem Sinne fü r B e s e itig u n g d er V erzeich n u n g .
V o n In teresse is t neuerd ings die F ra g e ge
w orden, w elch e B e d e u tu n g eig en tlich dem S in u s
sa tz in n ew o h n t, w en n die sph ärisch e A b w e ich u n g nicht b eh o b en ist. W e n n schon in der A ch se sp h ärisch e A b e rra tio n vo rh a n d en ist, so so llte s elb stv e rstä n d lic h eine sch a rfe A b b ild u n g eines kleinen F lä ch en stü ck ch en s erst re c h t u n m ö glich sein. E s z e ig t sich ab er, d a ß eine so v e ra llg e m ein erte S in u sb ed in g u n g im m er noch den Sin n h a t, d as bei ih rer E rfü llu n g die A b b ild u n g eines seitlich der A ch se gelegen en P u n k te s n ic h t w esen t
lich sch lech ter als die des A ch sen p u n k tes selb st ist. M an n en n t diesen Z u sta n d die Isoplanasie
( L i h o t z k i 1919)- D ie K o m a in d er N ä h e d er A ch se is t d a m it behoben.
D iese gan zen S ä tze scheinen n u n S o n d erfälle eines seh r allgem ein en G esetzes zu sein, d as T . T . Sm i t h 1923 an g egeb en h a t u n d d a s er K o sin u sg esetz n en n t. E s k a n n d a n a ch ga n z a ll
gem ein d as V e rh a lte n v o n S tra h le n in d er N a c h b a r
sc h a ft eines gegeben en S tra h ls b e stim m t w erd en , w ie a u ch d as S y s te m b esch affen sein m a g u n d ob A b w e ich u n g e n vo rh a n d en sind oder n ich t.
D ie Kaustik.
A u ssch lag g e b en d is t es n a tü rlic h b e i d er t r i g o n o m etrisch en D u rch rech n u n g , d a ß m an n ic h t irg en d w elch e b elieb ig en ve re in ze lte n S tra h le n v e r fo lg t, sondern die w irk lic h w ich tig e n a u sw ä h lt.
D e sh a lb b e sch ä ftig e n sich v ie le U n tersu ch u n g en zu r geo m etrisch en O p tik a u ch in n eu ester Z e it m it der F ra g e , ob es n ic h t z. B . b ei einem M ik ro s k o p o b je k tiv g e n ü g t, a u ß e r einem A ch sen stra h l nu r n och einen w eiteren S tra h l zu u n tersu ch en . E s is t k la r, d a ß d as n ic h t d er ä u ß e rste R a n d stra h l sein k a n n , sondern d a ß m an ein e m ittle re Zone au ssu ch en w ird , u m ein m ö g lich st gro ß en B e reich v o n N eig u n g en b e u rte ile n zu kö n n en . In d es k a n n die restlo se B e a n tw o rtu n g d ieser F ra g e w o h l n u r vo n d er B eu g u n g sth e o rie g e liefe rt w erd en .
W ill m an an d ererseits S tra h le n b ü n d e l gro ß er en d lich er N eigu n gen u n tersu ch en , z. B . in ein em P h o to o b je k tiv , so is t ersich tlich d erjen ige S tra h l, d er e tw a au f die M itte d er ersten L in se fä llt, k ein esw egs ken n zeich n en d fü r die A b b ild u n g in d ieser R ic h tu n g , w ird er d och im allg em ein en re c h t u n sy m m etrisch zu dem S c h w e rp u n k t des ü b e r
h a u p t d u rch gelassenen B ü n d e ls lieg en . V e r fo lg t m an alle S tra h len des B ü n d e ls a u f der B ild se ite b is zu ih rem S c h n ittp u n k t m itein an d er, so k a n n m an le ic h t die ein hü llen de K u r v e od er v ie lm e h r F lä c h e zeich n en b zw . berech n en , die sog. K austik.
D iese k a u stisc h e F lä c h e h a t im allg em ein en eine S p itze, in d er eine S tra h le n v erein ig u n g h öh erer O rd n u n g s ta ttfin d e t. D e r sy m m etrisc h d u rch diese S p itze gehende S tra h l is t als d er eig en tlich e T rä g e r des B ild e s anzuseh en. M eist w ird es ge
n ügen, ih n allein zu berechn en . D e r diesem B ild s tra h l a u f d er O b je k tse ite en tsp rech en d e S tra h l
sch n eid et die A ch se in d er M itte der sog. n a tü r
lichen B le n d e “ , die so zu fu n d am en ta ler B e d e u tu n g fü r die B e re ch n u n g ge la n g t. D iese V erh ä ltn isse sind zu erst v o n Gl e i c h e n 1903 e rk a n n t w ord en un d w erden seitd em fo rtg e s e tz t u n tersu ch t.
D ie n äh ere B e tr a c h tu n g d er K a u s tik e n ü b e r
h a u p t h a t seit 100 Jah ren im w esen tlich en g eru h t, d a m an sich keinen p ra k tisch e n E rfo lg d a v o n v e r sp rach . E s is t ab er anzun eh m en , d a ß sie w egen ih rer nahen B e zie h u n g zu r W e llen flä ch e n och einm al zu erh öh ter B e d e u tu n g gelan gen w erd en .
D ie Strahlenbegrenzung.
D ie n atü rlich e B len d e Gl e i c h e n s m a g h ier (anders als in der h istorisch en E n tw ick lu n g ) ü b er
leiten zu der F ra ge, w elch e B e d e u tu n g die B len d en ü b erh au p t fü r die o p tisch e A b b ild u n g b esitzen .
D e r erste, der sich sy ste m a tisch m it ih rer W irk u n g b e fa ß te, w a r w o h l He l m h o l t z. E r fü h rte z. B . die B e g riffe E in tritts p u p ille und A u s tritts p u p ille eines op tisch en S y stem s ein und e rk a n n te ih re B e d e u tu n g fü r die P e rsp ek tiv e . D o ch rü h rt fa s t der gesam te In h a lt der h eu tigen L eh re v o n den B len d en vo n Er n s t Ab b e her.
N u r w en ige Z u sä tze stam m en aus n euerer Z e it v o n v o n Ro h r, so d a ß dies g an ze G eb ie t w oh l a ls gew isserm aßen abgesch lossen gelten kan n . E rw e ite ru n g en sind v ie lle ic h t n och zu e rw arten b ei der A n w en d u n g a u f ein zeln e In stru m en te m it m ehreren A p e rtu rb len d e n u n d m ehreren G esich ts
feld b len d en .
U rsp rü n g lich n ah m m an an, d aß d ie d u rch die M itte der B len d en gehenden S trah len , als sog.
H a u p tstra h le n , d iejen ig en sind, die allein und v o lls tä n d ig den S tra h le n g a n g des o p tisch en G eräts bestim m en. D a s t r ifft n a tü rlich fü r seitlich e B ild p u n k te n ic h t im m er zu, so d a ß die B e d eu tu n g der L e h re v o n der S tra h le n b e gren zu n g d ad u rch etw a s e in g e sch rän k t w ird .
E in e and ere S eite der B le n d e n w irk u n g is t ihr E in flu ß a u f die Helligkeit der o p tisch en B ild e r.
B e i seh r kleinen S eh w in keln gelten h ier die ein fach en geom etrisch en S ä tze n ic h t m ehr ohne w eiteres, d a dann die S tru k tu r der N e tz h a u t b zw . d er p h o tog rap h isch en P la t t e eine R o lle sp ielt, so d a ß sich h ier Ü b e rg än ge zu r p h ysiolo g isch en O p tik einerseits, zu r P h o to ch em ie and ererseits h erau sstellen , die geg e n w ä rtig n och b e a rb e ite t w erd en . B e i d er B e re ch n u n g d er H e llig k e it eines m it Z erstreu u n gsk reisen a b g eb ild eten G eg en stan d es k o m m t m an zu r F ra g e der K o n tr a s t
w irk u n g .
F ern e r sind die F ra g e n , w ie die Bildgüte v o n der B le n d e n ö ffn u n g a b h ä n g t, n och n ich t restlo s erled ig t, d och g e h ö rt d as n ic h t m ehr v o ll zu r geo m etrisch en O p tik , d a h ier b ereits die B e u g u n g eine m aß geb en d e R o lle spielt.
D ie le tz te S eite der B len d en w irk u n g, n äm lich ih re B e n u tz u n g zu r fläch en h a fte n D a rste llu n g eines rä u m lich en G egen stan d es is t als L eh re v o n d er Perspektive rein geo m etrisch er N a tu r und d a rf w oh l als e rled ig t gelten.
8 6 6 Je n t z s c h: Die neuere E ntw icklung der geometrischen O ptik.
[ Die N atur
wissenschaften
D ie kollineare Abbildung.
D ie Ga u s s sehe T h eorie d er A b b ild u n g is t so ele g a n t u n d ein fach , d a ß die V e r m u tu n g n ah e lag, d a ß die d a rin e n tw ic k elte n allg em ein en L a g e- und G rö ß eb ezieh u n g en ü b e rh a u p t n ic h t p h y sik a lisc h er N a tu r seien, sondern n u r v o n gew issen m a th e m a tisch en V o ra u ssetzu n gen ab h än g en . In der T a t ze ig te Er n s t Ab b e s e it ca. 1872 in seinen V o rlesu n g en , d a ß m an n och n ic h t ein m al das B rech u n g sg esetz b ra u c h t, u m zu d iesen B ezieh u n g en zu gelan gen , sondern d a ß die A n n a h m e gen ü gt, d a ß ü b e rh a u p t eine p u n k tu e lle A b b ild u n g v o r lieg t. W en n m an n u r a n n im m t, d a ß a lle in einem O b je k tra u m v o n einem P u n k t au sgeh en d en S tra h len in d em B ild ra u m , dessen L a g e zu m O b je k t
ra u m b elieb ig sein d a rf, w ied e r in ein em P u n k te v e re in ig t w erd en , so b e ste h t b ereits eine gew isse V e r w a n d tsc h a ft zw isch en b eid en R ä u m e n , die d er M a th e m a tik e r p ro je k tiv is c h od er k o llin ea r n en n t. Ih re a n a ly tisc h e B e h a n d lu n g d u rch Ab b e
lie fe rt oh n e w eiteres die B e g riffe v o n B ren n p u n k t, B ren n w eite, H a u p tp u n k t, K n o te n p u n k t, fern er die A b b ild u n g sg le ich u n g e n m it den B e griffen d er re ch tlä u fig e n u n d rü ck lä u fig e n , sow ie der rech tw en d ig en und rü ck w en d ig e n , u n d d er k o lle k tiv e n u n d d isp an sive n A b b ild u n g , fern er die L o n g itu d in a l- od er T iefen V ergrößerun g, die L a te ra lv e rg rö ß e ru n g , die W in k e lv e rg rö ß e ru n g b zw . d as K o n v e rg e n zv e rh ä ltn is u n d die B ezieh u n gen zw isch en ihn en . F ern e r ergeb en sich ohne w eiteres die B e g riffe d er b ren n p u n k tslo sen od er telesk o - pisch en A b b ild u n g , sow ie ein fach e G ese tze üb er d ie Z u sa m m en setzu n g m eh rerer A b b ild u n g en .
D ie G esetze d er ko llin ea ren A b b ild u n g w u rd en a u c h sy n th e tisc h e n tw ic k e lt, so beson d ers e in geh end v o n Bö g e r 1920, w o b e i die M a ß v e rh ä lt- n isse n u r als Sonderfälle* v o n L ag eb e zie h u n g e n er
scheinen. N eu es k a n n sich d a b ei gegen ü b er Ab b e
n a tü rlic h n ic h t ergeben, d o ch m a g es als ein V o r te il erscheinen, w en n R e c h n u n g m it K o o rd in a te n d u rch b lo ß e A n sc h a u u n g e rse tz t w ird .
D ies g a n ze S y s te m d er k o llin ea ren A b b ild u n g v e rlie rt n u n a b er d a d u rch erh eb lich an W e rt, d a ß es p h y s ik a lis c h n ic h t zu realisieren ist. In n erh a lb des GAUSSschen fad en fö rm igen R a u m e s g ilt es n a tü r
lich ohne w eiteres. D a d u rc h v e rfü h rt, h a t m an a b e r die K o llin e a tio n b is v o r k u rzem stets au ch als Id e a l d er A b b ild u n g ü b e rh a u p t a u fg e fa ß t u n d die A b w e ich u n g e n der ta tsä c h lic h e n A b b ild u n g als F e h le r b ezeich n et. DieseX D a rs te llu n g fin d e t sich b is h eute' in fa s t a llen L eh rb ü ch ern , a b er die p h y - sik a lisc h e jR e a lisie ru n g fü r g rö ß ere W in k e l is t n ich t n u r p ra k tis c h u n m ö glich , sondern ab geseh en vo n tr iv ia le n F ä lle n m it den a llg em ein en S ä tze n vo n Fe r m a t u n d Ma l u s g a r n ic h t zu verein b aren , also sch on p rin zip ie ll u n m ö glich , w ie m an e rst v e r h ä ltn is m ä ß ig s p ä t e rk a n n t h a t.
E s b lieb d em sch w ed isch en O p h th alm o lo g e n Gu l l s t r a n d V orb eh alten , zu zeigen , d a ß die K o llin e a tio n — u n a b h ä n g ig v o n ih rer R e a lisie rb a r
k e it — a u ch n ic h t als Id e a l d er o p tisch en A b b ild u n g h in g e ste llt w erd en k a n n , d a es n ic h t m ö g lich
ist, die reellen T a tsa c h e n als A b w e ic h u n g v o n diesem Id ea l k o n seq u e n t d a rzu stellen . Sch on b ei d er B re c h u n g u n ter sch iefem L ic h te in fa ll gen ü gt n ic h t eine ein h eitlich e ko llin ea re A b b ild u n g , son dern m an m u ß m it zw ei versch ied en en rechnen, en tsp rech en d d er s a g itta le n od er äq u ato ria len u n d der m erid io n alen oder ta n g e n tia len B ild fläch e.
A u c h d an n le rn t m an n u r den A b b ild u n g sv o rg a n g kennen, so w eit derselb e b e stim m t is t d u rch S tra h len, die in d er M eridianeben e v e rla u fe n od er d u rch eine a u f d ieser sen k rech t steh en d en L in ie gezogen sind. D iese S tra h le n b ild en a b er n a tü rlich nur einen u n en d lich k lein en T e il d er g esam ten b ei der A b b ild u n g v o rk o m m e n d en S trah len m en ge.
Strahlensysteme.
N a c h einem schon 1662 v o n P . Fe r m a t a u f
g estellten S a tz is t die S u m m e d er W ege, die ein S tra h l v o n einem O b je k tp u n k t zu einem B ild p u n k t d u rch lä u ft, d er sog. ,,L ic h tw e g “ oder die
„o p tis c h e W e g lä n g e “ ein M in im u m ( — gen au er ge
s a g t ein E x tre m u m . D o c h is t d er F a ll eines M a x i
m um s p ra k tis c h seh r selten — ). S te h t n u n ein B ü n d e l v o n L ic h tstr a h le n zu ein er F lä c h e u n d in fo lg ed essen zu allen P a ra lle lflä c h e n sen krech t (N orm alen b ü n d el), so b e h ä lt es diese E ig e n sc h a ft n ach b e lie b ig v ie len B rech u n g en u n d Spiegelu n gen bei. D e r L ic h tw e g zw isch en zw ei solchen F läch en is t fü r a lle S tra h le n d erselbe. D ieser 1810 vo n Ma l u s g efu n d en e S a tz liefe rte in V e rb in d u n g m it den G ru n d zü g en d er a llg em ein en F lä ch en th e o rie den A u s g a n g s p u n k t fü r d ie 1845 v o n I. C. S tu r m gegeben e D a rs te llu n g v o n d er K o n stitu tio n v o n S tra h len b ü n d eln . D a n a c h sollen säm tlich e S tra h len eines B ü n d e ls b is a u f G rö ß en zw e ite r O rd n u n g d u rch zw ei zu ein an d er u n d zu m H a u p tstra h l des B ü n d e ls sen k rech ten G erad en , die sog. B re n n linien, gehen. D iese D a rs te llu n g w u rd e zu r G ru n d la g e d er T h e o rie des A stig m a tism u s.
T ro tzd e m sie sich a u f die E lem en te d er F lä c h e n th eorie m it d er L eh re v o n den b eid en H a u p t
krü m m u n g en b eru fen k a n n , is t diese D a rste llu n g fü r die V erh ä ltn isse in o p tisch en S tra h len b ü n d eln d och n ic h t ric h tig . E s is t eins d er H a u p tergeb n isse der n eu eren geo m etrisch en O p tik , dies erk a n n t zu h ab en . A b e r es w ird w o h l n och la n g e d auern, b is die STURMsche D a rs te llu n g a u s den L eh rb ü ch ern v e rsch w in d et.
O ffe n b a r is t es gan z w illk ü rlic h , gerad e zw ei zu m H a u p tstra h le sen k rech te G erad en an S telle irg en d w elch er and eren L in ie n a u szu w ä h len . N im m t m an G rö ß en h ö h erer O rd n u n g m it, so lä ß t sich zeigen, d a ß z w a r die sen k rech ten d ie ih n en zu g e sch riebene B e d e u tu n g b isw eilen b esitzen , d a ß diese a b er eb en sow oh l a u ch a u f an d ere L in ien fa lle n kan n , w ie d a ß ü b e rh a u p t kein e L in ie n v o n d er v e rla n g te n E ig e n s c h a ft v o rh a n d e n zu sein b ra u ch ten .
A l lv a r Gu l l s t r a n d h a t d an n ca. 1906 w eiter g e ze ig t, d a ß ga n z allg em ein in o p tisch en S y stem en eine A b b ild u n g n ic h t v o n P u n k te n , sondern vo n L in ie n s ta ttfin d e t. A u f jed e r b elieb igen O b je k t
