Operatory r´ o ˙zniczkowe

Operatory r´ o ˙zniczkowe

Niech V ⊂ R³ bedzie zbiorem otwartym. Przez C_, ^r(V ) oznaczymy przestrze´n p´ol skalar- nych klasy C^r zdefiniowanych na V , za´s przez W^r(V ) przestrze´n p´ol wektorowych klasy r zdefiniowanych na V , r ≥ 0. Rozpatrujemy w R³ kartezja´nski uk lad wsp´o lrzednych._,

• Wprowadzamy operator r´o˙zniczkowy Hamiltona ∇ zwany potocznie operatorem na- bla dzia lajacy z przestrzeni p´_, ol skalarnych klasy C^r do przestrzeni p´ol wektorowych zdefiniowany nastepuj_, aco:_,

∇ : C^r(V ) → W^r−1(V ), r ≥ 1

∇ := ∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z



= ~i ∂

∂x + ~j ∂

∂y + ~k ∂

∂z.

Opertor nabla definiuje gradient pola skalarnego f ∈ C^r(V ), r ≥ 1, tzn.

grad : C^r(V ) 3 f → gradf = ∇f := ∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z



∈ W^r−1(V ).

Jest to mno˙zenie wektora (operator nabla) przez skalar (funkcje)._,

• Drugim operatorem r´o˙zniczkowym jest operator dywergencji dzia lajacy z przestrzeni_, W^r(V ) p´ol wektorowych klasy C^r do przestrzeni p´ol skalarnych C^r−1(V ), r ≥ 1, zdefi- niowany nastepuj_, aco:_,

div : W^r(V ) 3 ~w → div ~w := ∇ · ~w = P_x⁰(x, y, z) + Q⁰_y(x, y, z) + R⁰_z(x, y, z) ∈ C^r−1(V ).

Jest to iloczyn skalarny wektora (operator nabla) przez wektor (pole wektorowe). Dy- wergencje pola wektorowego nazywa si_, e tak˙ze wydajno´_, scia pola wektorowego._,

• Trzecim operatorem r´o˙zniczkowym jest operator rotacji dzia lajacy z przestrzeni p´_, ol wektorowych W^r(V ) do przestrzeni p´ol wektorowych W^r−1(V ) zdefiniowany nastepuj_, aco:_,

rot : W^r(V ) 3 ~w → rot ~w := ∇ × ~w

= ∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z



× [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)]

=      

~i ~j ~k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

P (x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z)      

= [R⁰_y(x, y, z) − Q⁰_z(x, y, z), P_z⁰(x, y, z) − R⁰_x(x, y, z), Q⁰_x(x, y, z) − P_y⁰(x, y, z)].

Jest to iloczyn wektorowy wektora (operatora nabla) przez wektor (pole wektorowe).

Rotacje pola wektorowego nazywa si_, e tak˙ze wirem pola wektorowego._, 1

• Rozpatrujemy pola skalarne klasy C^r, r ≥ 2, zdefiniowane na V . Operator Laplace’a definujemy nastepuj_, aco:_,

4 : C²(V ) 3 f → div(gradf ) = ∇ · (∇f ) =: 4f := ∂²f

∂x² +∂²f

∂y² + ∂²f

∂z².

Definicja 1. Pole wektorowe ~w zdefiniowane na zbiorze V ⊂ R³ nazywamy potencjalnym, je´sli istnieje pole skalarne f klasy C¹ zdefiniowane na V takie, ˙ze gradf = ~w. Wtedy pole skalarne f nazywamy potencja lem pola ~w.

Definicja 2. Pole wektorowe ~w klasy C¹dla k´orego div ~w = 0 nazywamy polem bez´zr´od lowym, natomiast pole ~w klasy C¹ dla kt´orego rot ~w = ~0 nazywamy polem bezwirowym.

Definicja 3. Pole wektorowe ~w, kt´ore jest jednocze´snie bezwirowe i bez´zr´od lowe nazywamy polem harmonicznym. Potencja l f tego pola spe lnia r´ownanie czastkowe II rz_, edu 4f = 0_, zwane r´ownaniem Laplace’a. Funkcje f klasy C_, ² dla kt´orej 4f = 0 nazywamy funkcja_, harmoniczna._,

2