R´ownania r´o˙zniczkowe zwyczajne

R´ ownania r´ o ˙zniczkowe zwyczajne

1 Poj¸ ecia og´ olne

R´ownaniem r´o˙zniczkowym zwyczajnym pierwszego rz¸edu nazywamy r´ownanie postaci

F (x, y, y⁰) = 0, (1)

gdzie y = y(x), x ∈ I ⊂ R, jest funkcj¸a nieznan¸a.

B¸edziemy si¸e pos lugiwa´c r´ownie˙z innymi postaciami r´ownania r´o˙zniczkowego pierwszego rz¸edu, a mianowicie:

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, y⁰ = f (x, y).

Funkcj¸e y = y(x), x ∈ I nazywamy rozwi¸azaniem r´ownania (1), je˙zeli jest r´o˙zniczkowalna w przedziale I oraz

F (x, y(x), y⁰(x)) ≡ 0, x ∈ I.

.

Rozwi¸azanie r´ownania (1) nazywamy tak˙ze ca lk¸a tego r´ownania, a wykres rozwi¸azania nazy- wamy krzyw¸a ca lkow¸a.

Rozwi¸azanie r´ownania (1) mo˙ze by´c tak˙ze podane w postaci uwik lanej Φ(x, y(x)) = 0.

Rodzaje rozwi¸aza´n:

• og´olne - zawiera tyle sta lych dowolnych jaki jest rz¸ad r´ownania,

• szczeg´olne - mo˙zna je otrzyma´c z rozwi¸azania og´olnego przez odpowiedni dob´or sta lych,

• osobliwe - nie da si¸e otrzyma´c z rozwi¸azania og´olnego.

Przyk lad Rozpatrzmy r´ownanie y⁰ = y². Mamy tutaj:

• rozwi¸azanie og´olne: y = −_x+C¹ ,

• rozwi¸azania szczeg´olne: y = −¹_x, y = −_x−1¹ , y = −_x+2¹ ,

• rozwi¸azanie osobliwe: y = 0.

Zagadnienie pocz¸atkowe lub zagadnienie Cauchy’ego polega na wyznaczeniu rozwi¸azania r´ownania y⁰ = f (x, y), kt´ore spe lnia warunek y(x0) = y0. Liczby x0 i y0 nazywamy warto´sciami pocz¸atkowymi, a warunek y(x₀) = y₀ - warunkiem pocz¸atkowym.

Twierdzenie Je˙zeli funkcja f oraz jej pochodna f_y⁰ s¸a ci¸ag le w pewnym obszarze D ⊂ R² oraz (t₀, y₀) ∈ D, to zagadnienie pocz¸atkowe

y⁰ = f (x, y), y(x₀) = y₀ ma dok ladnie jedno rozwi¸azanie. 

Przyk lad Funkcja y(x) = ln(x + 1), x > −1 jest rozwi¸azaniem zagadnienia:

y⁰ = e^−y, y(0) = 0.

2 R´ ownanie r´ o ˙zniczkowe o zmiennych rozdzielonych

R´ownanie r´o˙zniczkowe, kt´ore mo˙zna zapisa´c w postaci

y⁰ = g(x)h(y), (2)

nazywamy r´ownaniem o zmiennych rozdzielonych.

Twierdzenie Je˙zeli funkcje g i h s¸a ci¸ag le, przy czym h(y) 6= 0 dla ka˙zdego y, to rozwi¸azanie r´ownania (2) jest dane wzorem

Z dy h(y) =

Z

g(x)dx + C, gdzie C ∈ R. 

Przyk lad Rozwi¸aza´c r´ownanie y⁰ = ^1−x_y+1. Mamy tutaj

Z

(y + 1)dy = Z

(1 − x)dx, sk¸ad otrzymujemy

(y + 1)²+ (x − 1)² = C.

Twierdzenie Je˙zeli funkcje g i h s¸a ci¸ag le odpowiednio w przedzia lach (a; b) i (c; d), przy czym h(y) 6= 0 dla ka˙zdego y ∈ (c; d) oraz x₀ ∈ (a; b), y₀ ∈ (c; d), to zagadnienie pocz¸atkowe

y⁰ = g(x)h(y), y(x₀) = y₀,

ma dok ladnie jedno rozwi¸azanie. 

Przyk lad Rozwi¸aza´c zagadnienie y⁰ = ^1−x_y+1, y(1) = 0.

Rozwi¸azanie og´olne tego r´ownania jest dane wzorem (y + 1)²+ (x − 1)² = C.

K lad¸ac x = 1 i y = 0, otrzymujemy C = 1, a wi¸ec rozwi¸azanie zagadnienia jest postaci (y + 1)²+ (x − 1)² = 1.

3 R´ ownanie r´ o ˙zniczkowe liniowe

R´ownanie r´o˙zniczkowe, kt´ore mo˙zna zapisa´c w postaci

y⁰ + p(x)y = q(x), (3)

nazywamy r´ownaniem liniowym pierwszego rz¸edu. Je˙zeli q(x) = 0, to r´ownanie nazywamy liniowym jednorodnym. W przeciwnym przypadku nazywamy je r´ownaniem liniowym niejed- norodnym.

Twierdzenie Je˙zeli funkcja p jest ci¸ag la, to rozwi¸azanie r´ownania jednorodnego (3) jest dane wzorem

y(x) = C exp



− Z

p(x)dx



, (4)

gdzie C jest dowoln¸a sta l¸a rzeczywist¸a. 

Przyk lad Rozwi¸aza´c r´ownanie y⁰− y tg x = 0.

R´ownanie mo˙zna zapisa´c w postaci

y⁰ +− sin x

cos x · y = 0,

sk¸ad wynika, ˙ze p(x) = ^{− sin x}_{cos x} oraz R p(x)dx = R ^{− sin x}_{cos x} dx = ln cos x, co oznacza, ˙ze y(x) = C exp (− ln cos x) = C

cos x.

Rozwi¸azanie dane wzorem (4) jest rozwi¸azaniem og´olnym r´ownania jednorodnego (RORJ).

Rozwi¸azanie og´olne r´ownania niejednorodnego (RORN) tworzy si¸e wed lug schematu RORN = RORJ + RSRN,

gdzie RSRN - rozwi¸azanie szczeg´olne r´ownania niejednorodnego.

Aby otrzyma´c RSRN mo˙zna zastosowa´c jedn¸a z metod:

• metoda uzmienniania sta lej,

• metoda przewidywa´n (wsp´o lczynnik´ow nieoznaczonych).

Metoda uzmienniania sta lej

Aby otrzyma´c RSRN w RORJ zast¸epuje si¸e sta l¸a C przez funkcj¸e C(x). Wyznaczenie tej funkcji daje RSRN.

Przyk lad Rozwi¸aza´c r´ownanie y⁰− y tg x = _{cos x}¹ .

RORJ tego r´ownania jest postaci y(x) = _{cos x}^C . Przyjmujemy y(x) = C(x)

cos x, st¸ad

y⁰(x) = C⁰(x) cos x + C(x) sin x cos²x

i po wstawieniu do r´ownania otrzymamy C⁰(x) = 1, czyli C(x) = x. Oznacza to, ˙ze RSRN jest postaci:

y(x) = x cos x, a zatem ostatecznie RORN jest dane wzorem

y(x) = C

cos x + x

cos x = C + x cos x . Metoda przewidywa´n

Metoda ta polega na odgadni¸eciu RSRN w zale˙zno´sci od postaci funkcji q. Metod¸e t¸e stosu- jemy w´owczas, gdy funkcja p jest sta la, a ponadto funkcja q jest b¸ad´z wielomianem W_n(x), b¸ad´z funkcj¸a typu ae^bx, b¸ad´z sum¸a postaci α cos ωx + β sin ωx, b¸ad´z kombinacj¸a funkcji tych danych typ´ow. W ka˙zdym z wymienionych przypadk´ow RSRN nale˙zy przewidzie´c w tej samej postaci co funkcja q, zachowuj¸ac odpowiednio stopie´n wielomianu, liczb¸e ω oraz liczb¸e b, przyjmuj¸ac w miejsce pozosta lych sta lych (wsp´o lczynniki wielomianu, α, β, a) pewne sta le (A, B, C, ...), kt´ore wyznaczymy z r´ownania.

Post¸epowanie takie obja´snimy na przyk ladach.

Przyk lad Rozwi¸aza´c r´ownanie y⁰+ 4y = x³.

RORJ tego r´ownania jest postaci y(x) = Ce^−4x. Poniewa˙z q(x) = x³, RSRN przewidujemy w postaci y(x) = Ax³+ Bx²+ Cx + D. St¸ad y⁰(x) = 3Ax²+ 2Bx + C, a wi¸ec

4Ax³+ (3A + 4B)x²+ (2B + 4C)x + (C + 4D) = x³

Powy˙zsza r´owno´s´c jest spe lniona je˙zeli



















4A = 1 3A + 4B = 0 2B + 4C = 0 C + 4D = 0

Powy˙zszy uk lad ma rozwi¸azanie A = ¹₄, B = −₁₆³, C = ₃₂³, D = −₁₂₈³ . Tak wi¸ec RSRN jest dane wzorem

y(x) = 1

4x³− 3

16x²+ 3

32x − 3 128, a zatem RORN jest postaci

y(x) = Ce^−4x+1

4x³− 3

16x²+ 3

32x − 3 128. Przyk lad Rozwi¸aza´c r´ownanie y⁰+ 3y = − cos 3x.

RORJ tego r´ownania jest postaci y(x) = Ce^−3x. Poniewa˙z q(x) = − cos 3x, RSRN przewidu- jemy w postaci

y(x) = A sin 3x + B cos 3x.

Wobec

y⁰(x) = 3A cos 3x − 3B sin 3x otrzymujemy

3A cos 3x − 3B sin 3x + 3A sin 3x + 3B cos 3x = − cos 3x, sk¸ad mamy uk lad







3A + 3B = −1 A − B = 0 kt´ory ma rozwi¸azanie A = B = −¹₆.

Tak wi¸ec RSRN jest dane wzorem y(x) = −1

6sin 3x − 1

6cos 3x, a zatem RORN jest postaci

y(x) = Ce^−3x− 1

6sin 3x − 1

6cos 3x.

Przyk lad Rozwi¸aza´c r´ownanie y⁰+ 2y = xe^x.

RORJ tego r´ownania jest postaci y(x) = Ce^−2x. Poniewa˙z q(x) = xe^x, RSRN przewidujemy w postaci

y(x) = (Ax + B)e^x.

Wobec

y⁰(x) = Ae^x+ (Ax + B)e^x otrzymujemy

Ae^x+ (Ax + B)e^x+ 2(Ax + B)e^x = xe^x, sk¸ad mamy uk lad







3A = 1 A + 3B = 0 kt´ory ma rozwi¸azanie A = ¹₃, B = −¹₉.

Tak wi¸ec RSRN jest dane wzorem

y(x) = 1 3x +1

9

 e^x, a zatem RORN jest postaci

y(x) = Ce^−2x+ 1 3x + 1

9

 e^x.

Twierdzenie Je˙zeli funkcje p i q s¸a ci¸ag le w przedziale (a; b) oraz x₀ ∈ (a; b), y₀ ∈ R, to zagadnienie pocz¸atkowe

y⁰ + p(x)y = q(x), y(x₀) = y₀, ma dok ladnie jedno rozwi¸azanie.

Przyk lad Rozwi¸aza´c zagadnienie y⁰cos x − y sin x = 1, y(0) = 1.

Rozwi¸azanie og´olne tego r´ownania jest dane wzorem y(x) = C + x

cos x .

K lad¸ac x = 0 i y = 1, otrzymujemy C = 1, a wi¸ec rozwi¸azanie zagadnienia jest postaci y(x) = 1 + x

cos x.