Funkcja wykładnicza

(1)

Funkcja wykładnicza

(2)

Na prezentacji przyjrzymy się dokłdaniej funkcji f (x ) = a^x, gdzie a ∈ R⁺, czyli a jest dodatnią liczbą rzeczywistą.

(3)

Wprowadzenie

Przykładami funkcji wykładniczej są funkcje:

i f (x ) = 3^x,

ii f (x ) = (0.2)^x, iii f (x ) = (1.3)^x, iv f (x ) = 1^x.

Mamy powyżej cztery przykłady funkcji wykładniczej, wszystkie są postaci f (x ) = a^x, ale można je podzielić na trzy kategorie:

f (x ) = a^x, gdzie a > 1, przykłady (i) oraz (iii), f (x ) = a^x, gdzie 0 < a < 1, przykład (ii), f (x ) = a^x, gdzie a = 1.

Przeanalizujemy te przykłady osobno.

(4)

Wprowadzenie

i f (x ) = 3^x, ii f (x ) = (0.2)^x,

iii f (x ) = (1.3)^x, iv f (x ) = 1^x.

(5)

Wprowadzenie

i f (x ) = 3^x, ii f (x ) = (0.2)^x, iii f (x ) = (1.3)^x,

iv f (x ) = 1^x.

(6)

Wprowadzenie

i f (x ) = 3^x, ii f (x ) = (0.2)^x, iii f (x ) = (1.3)^x, iv f (x ) = 1^x.

(7)

Wprowadzenie

(8)

Wprowadzenie

f (x ) = a^x, gdzie a > 1, przykłady (i) oraz (iii),

f (x ) = a^x, gdzie 0 < a < 1, przykład (ii), f (x ) = a^x, gdzie a = 1.

(9)

Wprowadzenie

f (x ) = a^x, gdzie a > 1, przykłady (i) oraz (iii), f (x ) = a^x, gdzie 0 < a < 1, przykład (ii),

f (x ) = a^x, gdzie a = 1.

(10)

Wprowadzenie

(11)

Wprowadzenie

f (x ) = a^x, gdzie a > 1, przykłady (i) oraz (iii), f (x ) = a^x, gdzie 0 < a < 1, przykład (ii),

(12)

Najpierw jednak zadanie wprowadzające (analogiczne do zadań 1.18, 1.19) ze zbioru.

Do wykresu funkcji f (x ) = a^x należy punkt (¹₃, 2). Zapisz wzór tej funkcji.

Sprawa jest bardzo prosta. Dla argumentu x = ¹₃, funkcja przyjmuje wartość y = 2, czyli:

a¹³ = 2 a więc:

√3

a = 2

to daje a = 8, czyli wzór szukanej funkcji to f (x ) = 8^x.

(13)

a¹³ = 2 a więc:

√3

a = 2

(14)

a¹³ = 2 a więc:

√3

a = 2

(15)

a¹³ = 2

a więc:

√3

a = 2

(16)

a¹³ = 2 a więc:

√3

a = 2

(17)

a¹³ = 2 a więc:

√3

a = 2

czyli wzór szukanej funkcji to f (x ) = 8^x.

(18)

a¹³ = 2 a więc:

√3

a = 2

x

(19)

a > 1

Zaczniemy od przypadku f (x ) = a^x, gdzie a > 1.

Na przykład f (x ) = 2^x, g (x ) = 3^x, h(x ) = 5^x.

Zacznijmy analizę od metody chałupniczej, czyli podstawmy różne argumenty pod x i zapiszmy w tabelce:

x -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) 0.25 0.5 1 2 4 8 16

g(x) 0.(1) 0.(3) 1 3 9 27 81 h(x) 0.004 0.02 1 5 25 125 625

(20)

a > 1

Zaczniemy od przypadku f (x ) = a^x, gdzie a > 1. Na przykład f (x ) = 2^x, g (x ) = 3^x, h(x ) = 5^x.

x -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) 0.25 0.5 1 2 4 8 16

g(x) 0.(1) 0.(3) 1 3 9 27 81 h(x) 0.004 0.02 1 5 25 125 625

(21)

a > 1

x -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) 0.25 0.5 1 2 4 8 16

g(x) 0.(1) 0.(3) 1 3 9 27 81 h(x) 0.004 0.02 1 5 25 125 625

(22)

a > 1

x -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) 0.25 0.5 1 2 4 8 16

g(x) 0.(1) 0.(3) 1 3 9 27 81 h(x) 0.004 0.02 1 5 25 125 625

(23)

Wykorzystajmy tabelkę, by narysować wykresy:

(24)

Wykorzystajmy tabelkę, by narysować wykresy:

(25)

a > 1

Jakie mamy obserwacje?

Dla x = 0, funkcje mają wartość 1. Nie jest to żadna niespodzianka f (0) = a⁰ = 1.

Im większy argument, tym większa wartość funkcji. To znaczy, że funkcja jest rosnąca.

Pod x możemy podstawić dowolną liczbę (ułamek, 0, ujemną, etc.). Czyli domyślną dziedziną funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste. Jeśli x rośnie do nieskończoności, to wartości funkcji również rosną do nieskończoności. lim_{x →∞}f (x ) = ∞.

Jeśli x maleje do minus nieskończoności, to wartości funkcji dążą do 0. limx →−∞f (x ) = 0.

Funkcja jest zawsze dodatnia. Zbiorem wartości funkcji jest przedział (0, ∞).

(26)

a > 1

Dla x = 0, funkcje mają wartość 1.

Nie jest to żadna niespodzianka f (0) = a⁰ = 1.

(27)

a > 1

(28)

a > 1

Im większy argument, tym większa wartość funkcji.

To znaczy, że funkcja jest rosnąca.

(29)

a > 1

(30)

a > 1

Pod x możemy podstawić dowolną liczbę (ułamek, 0, ujemną, etc.).

Czyli domyślną dziedziną funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste. Jeśli x rośnie do nieskończoności, to wartości funkcji również rosną do nieskończoności. lim_{x →∞}f (x ) = ∞.

(31)

a > 1

Czyli domyślną dziedziną funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste.

Jeśli x rośnie do nieskończoności, to wartości funkcji również rosną do nieskończoności. lim_{x →∞}f (x ) = ∞.

(32)

a > 1

Jeśli x rośnie do nieskończoności, to wartości funkcji również rosną do nieskończoności.

lim_{x →∞}f (x ) = ∞.

(33)

a > 1

(34)

a > 1

Jeśli x maleje do minus nieskończoności, to wartości funkcji dążą do 0.

limx →−∞f (x ) = 0.

(35)

a > 1

Jeśli x maleje do minus nieskończoności, to wartości funkcji dążą do

(36)

a > 1

Zbiorem wartości funkcji jest przedział (0, ∞).

(37)

a > 1

Jeśli x maleje do minus nieskończoności, to wartości funkcji dążą do

(38)

a > 1

Na podstawie tych obserwacji możemy rozwiązać już kilka zadań.

Pamiętajmy jednak, że cały czas rozważamy tylko przypadek f (x ) = a^x, gdzie a > 1.

Uporządkuj w kolejności rosnącej liczby: 7

√3, 7

√2, 7², 7⁻

√6, 7²

√2

Możemy tu rozważyć funkcje f (x ) = 7^x, jest to funkcja wykładnicza postaci f (x ) = a^x, przy czym mamy a > 1 (7 > 1), czyli jest to funkcja rosnąca, im większy argument, tym większa wartość. Uporządkujemy więc najpierw argumenty:

−√ 6 <√

2 <√

3 < 2 < 2√ 2 a więc mamy:

7⁻

√ 6< 7

√ 2 < 7

√

3 < 7² < 7²

√ 2

(39)

a > 1

Uporządkuj w kolejności rosnącej liczby: 7

√3, 7

√2, 7², 7⁻

√6, 7²

√2

−√ 6 <√

2 <√

3 < 2 < 2√ 2 a więc mamy:

7⁻

√ 6< 7

√ 2 < 7

√

3 < 7² < 7²

√ 2

(40)

a > 1

Uporządkuj w kolejności rosnącej liczby:

7

√3, 7

√2, 7², 7⁻

√6, 7²

√2

−√ 6 <√

2 <√

3 < 2 < 2√ 2 a więc mamy:

7⁻

√ 6< 7

√ 2 < 7

√

3 < 7² < 7²

√ 2

(41)

a > 1

7

√3, 7

√2, 7², 7⁻

√6, 7²

√2

Możemy tu rozważyć funkcje f (x ) = 7^x, jest to funkcja wykładnicza postaci f (x ) = a^x, przy czym mamy a > 1 (7 > 1),

czyli jest to funkcja rosnąca, im większy argument, tym większa wartość. Uporządkujemy więc najpierw argumenty:

−√ 6 <√

2 <√

3 < 2 < 2√ 2 a więc mamy:

7⁻

√ 6< 7

√ 2 < 7

√

3 < 7² < 7²

√ 2

(42)

a > 1

7

√3, 7

√2, 7², 7⁻

√6, 7²

√2

Możemy tu rozważyć funkcje f (x ) = 7^x, jest to funkcja wykładnicza postaci f (x ) = a^x, przy czym mamy a > 1 (7 > 1), czyli jest to funkcja rosnąca,

im większy argument, tym większa wartość. Uporządkujemy więc najpierw argumenty:

−√ 6 <√

2 <√

3 < 2 < 2√ 2 a więc mamy:

7⁻

√ 6< 7

√ 2 < 7

√

3 < 7² < 7²

√ 2

(43)

a > 1

7

√3, 7

√2, 7², 7⁻

√6, 7²

√2

Możemy tu rozważyć funkcje f (x ) = 7^x, jest to funkcja wykładnicza postaci f (x ) = a^x, przy czym mamy a > 1 (7 > 1), czyli jest to funkcja rosnąca, im większy argument, tym większa wartość.

Uporządkujemy więc najpierw argumenty:

−√ 6 <√

2 <√

3 < 2 < 2√ 2 a więc mamy:

7⁻

√ 6< 7

√ 2 < 7

√

3 < 7² < 7²

√ 2

(44)

a > 1

7

√3, 7

√2, 7², 7⁻

√6, 7²

√2

−√ 6 <√

2 <√

3 < 2 < 2√ 2 a więc mamy:

7⁻

√ 6< 7

√ 2 < 7

√

3 < 7² < 7²

√ 2

(45)

a > 1

7

√3, 7

√2, 7², 7⁻

√6, 7²

√2

a więc mamy:

7⁻

√ 6< 7

√ 2 < 7

√

3 < 7² < 7²

√ 2

(46)

a > 1

7

√3, 7

√2, 7², 7⁻

√6, 7²

√2

−√ 6 <√

2 <√

3 < 2 < 2√ 2

(47)

Zadanie 1.28 (a)

Wyznacz zbiór wartości funkcji f (x ) = 2 3^x + 1.

W mianowniku mamy funkcję 3^x, której zbiór wartości to (0, ∞). W związku z tym zbiór wartości mianownika to (1, ∞). Mianownik jest więc zawsze dodatni, czyli im mniejszy mianownik, tym większa wartość ułamka i vice versa. Ostatecznie cała funkcja będzie miała zbiór wartości (0, 2) (0, gdy mianownik dąży do ∞, a 2, gdy mianownik dąży do 1).

(48)

Zadanie 1.28 (a)

W mianowniku mamy funkcję 3^x, której zbiór wartości to (0, ∞).

W związku z tym zbiór wartości mianownika to (1, ∞). Mianownik jest więc zawsze dodatni, czyli im mniejszy mianownik, tym większa wartość ułamka i vice versa. Ostatecznie cała funkcja będzie miała zbiór wartości (0, 2) (0, gdy mianownik dąży do ∞, a 2, gdy mianownik dąży do 1).

(49)

Zadanie 1.28 (a)

W mianowniku mamy funkcję 3^x, której zbiór wartości to (0, ∞). W związku z tym zbiór wartości mianownika to (1, ∞).

Mianownik jest więc zawsze dodatni, czyli im mniejszy mianownik, tym większa wartość ułamka i vice versa. Ostatecznie cała funkcja będzie miała zbiór wartości (0, 2) (0, gdy mianownik dąży do ∞, a 2, gdy mianownik dąży do 1).

(50)

Zadanie 1.28 (a)

W mianowniku mamy funkcję 3^x, której zbiór wartości to (0, ∞). W związku z tym zbiór wartości mianownika to (1, ∞). Mianownik jest więc zawsze dodatni, czyli im mniejszy mianownik, tym większa wartość ułamka i vice versa.

Ostatecznie cała funkcja będzie miała zbiór wartości (0, 2) (0, gdy mianownik dąży do ∞, a 2, gdy mianownik dąży do 1).

(51)

Zadanie 1.28 (a)

W mianowniku mamy funkcję 3^x, której zbiór wartości to (0, ∞). W związku z tym zbiór wartości mianownika to (1, ∞). Mianownik jest więc zawsze dodatni, czyli im mniejszy mianownik, tym większa wartość ułamka i vice versa. Ostatecznie cała funkcja będzie miała zbiór wartości (0, 2) (0, gdy mianownik dąży do ∞, a 2, gdy mianownik dąży do 1).

(52)

Zadanie 1.28 (b)

Wyznacz zbiór wartości funkcji f (x ) = 2^x + 4 2^x + 1.

Najpierw trochę przekształcimy naszą funkcję, by łatwiej ją było przeanalizować:

f (x ) = 2^x+ 4

2^x+ 1 = 2^x + 1 + 3

2^x + 1 = 1 + 3 2^x+ 1

Teraz zadanie jest analogiczne do poprzedniego. 2^x+ 1 przyjmuje wartości w przedziale (1, ∞), czyli wyrażenie 3

2^x + 1 przyjmuje wartości w przedziale (0, 3), ostatecznie zbiorem wartości naszej funkcji będzie przedział (1, 4).

(53)

Zadanie 1.28 (b)

f (x ) = 2^x+ 4

2^x+ 1 = 2^x + 1 + 3

2^x + 1 = 1 + 3 2^x+ 1

(54)

Zadanie 1.28 (b)

f (x ) = 2^x+ 4

2^x+ 1 = 2^x+ 1 + 3

2^x + 1 = 1 + 3 2^x+ 1

(55)

Zadanie 1.28 (b)

f (x ) = 2^x+ 4

2^x+ 1 = 2^x+ 1 + 3

2^x + 1 = 1 + 3 2^x+ 1 Teraz zadanie jest analogiczne do poprzedniego.

2^x+ 1 przyjmuje wartości w przedziale (1, ∞), czyli wyrażenie 3

(56)

Zadanie 1.28 (b)

f (x ) = 2^x+ 4

2^x+ 1 = 2^x+ 1 + 3

2^x + 1 = 1 + 3 2^x+ 1

2^x + 1 przyjmuje wartości w przedziale (0, 3),

ostatecznie zbiorem wartości naszej funkcji będzie przedział (1, 4).

(57)

Zadanie 1.28 (b)

f (x ) = 2^x+ 4

2^x+ 1 = 2^x+ 1 + 3

2^x + 1 = 1 + 3 2^x+ 1

2^x + 1 przyjmuje wartości w

(58)

Zadanie 1.27 (b)

Wyznacz zbiór wartości funkcji f (x ) = −36^x − 4 · 6^x − 5.

Mam nadzieję, że pierwszy krok jest dosyć intuicyjny- podstawimy t = 6^x, to sprawi, że będziemy mieli:

f (t) = −t²− 4t − 5

Wiemy przy tym, że t ∈ (0, ∞) (bo 6^x może tylko takie wartości

przyjmować). Przypominamy sobie teraz funkcję kwadratową: a = −1 < 0, czyli ramiona do dołu. Współrzędne wierzchołka to ^−b_2a = −2 oraz

−∆ 4a = −1.

(59)

Zadanie 1.27 (b)

Mam nadzieję, że pierwszy krok jest dosyć intuicyjny

- podstawimy t = 6^x, to sprawi, że będziemy mieli:

f (t) = −t²− 4t − 5

−∆ 4a = −1.

(60)

Zadanie 1.27 (b)

f (t) = −t²− 4t − 5

−∆ 4a = −1.

(61)

Zadanie 1.27 (b)

f (t) = −t²− 4t − 5

Wiemy przy tym, że t ∈ (0, ∞) (bo 6^x może tylko takie wartości przyjmować).

Przypominamy sobie teraz funkcję kwadratową: a = −1 < 0, czyli ramiona do dołu. Współrzędne wierzchołka to ^−b_2a = −2 oraz

−∆ 4a = −1.

(62)

Zadanie 1.27 (b)

f (t) = −t²− 4t − 5

Wiemy przy tym, że t ∈ (0, ∞) (bo 6^x może tylko takie wartości przyjmować). Przypominamy sobie teraz funkcję kwadratową:

a = −1 < 0, czyli ramiona do dołu. Współrzędne wierzchołka to ^−b_2a = −2 oraz

−∆ 4a = −1.

(63)

Zadanie 1.27 (b)

f (t) = −t²− 4t − 5

przyjmować). Przypominamy sobie teraz funkcję kwadratową: a = −1 < 0, czyli ramiona do dołu.

Współrzędne wierzchołka to ^−b_2a = −2 oraz

−∆ 4a = −1.

(64)

Zadanie 1.27 (b)

f (t) = −t²− 4t − 5

−∆

4a = −1.

(65)

Zadanie 1.27 (b)

Wykres tej funkcji kwadratowej przedstawia się tak:

Nas interesuje tylko niebieska część (gdyż t ∈ (0, ∞)), więc ostatecznie zbiór wartości to (−∞, −5).

(66)

Zadanie 1.27 (b)

Nas interesuje tylko niebieska część (gdyż t ∈ (0, ∞)), więc ostatecznie zbiór wartości to (−∞, −5).

(67)

Zadanie 1.27 (b)

(68)

Tu krótka, ale ważna, uwaga. Niebieska część wykresu funkcji kwadratowej to nie jest wykres naszej funkcji f (x ) (w szczególności dziedziną naszej funkcji f (x ) są liczby rzeczywiste), ale dzięki niej możemy odczytać zbiór wartości funkcji f (x ).

(69)

Zadanie 1.29 (b)

Wyznacz zbiór wartości funkcji f (x ) = 2^−x²⁺⁹ dla x ∈ h−1, 1i.

Zrobimy podstawienie t = −x²+ 9. Otrzymamy wtedy funkcję f (t) = 2^t, ona jest bardzo prosta do analizy, musimy jedynie ustalić jej dziedzinę. Skoro x ∈ h−1, 1i, to t = −x²+ 9 ∈ h8, 9i (tu już nie wchodziłem w szczegóły, to prosta funkcja kwadratowa, mam nadzieję, że wszyscy rozumieją skąd te wartości). Wracamy do f (t) = 2^t, naszą dziedziną jest t ∈ h8, 9i, a 2^t jest funkcją rosnącą, więc jej zbiór wartości to będzie h2⁸, 2⁹i, czyli h256, 512i.

(70)

Zadanie 1.29 (b)

Zrobimy podstawienie t = −x²+ 9.

Otrzymamy wtedy funkcję f (t) = 2^t, ona jest bardzo prosta do analizy, musimy jedynie ustalić jej dziedzinę. Skoro x ∈ h−1, 1i, to t = −x²+ 9 ∈ h8, 9i (tu już nie wchodziłem w szczegóły, to prosta funkcja kwadratowa, mam nadzieję, że wszyscy rozumieją skąd te wartości). Wracamy do f (t) = 2^t, naszą dziedziną jest t ∈ h8, 9i, a 2^t jest funkcją rosnącą, więc jej zbiór wartości to będzie h2⁸, 2⁹i, czyli h256, 512i.

(71)

Zadanie 1.29 (b)

Zrobimy podstawienie t = −x²+ 9. Otrzymamy wtedy funkcję f (t) = 2^t, ona jest bardzo prosta do analizy,

musimy jedynie ustalić jej dziedzinę. Skoro x ∈ h−1, 1i, to t = −x²+ 9 ∈ h8, 9i (tu już nie wchodziłem w szczegóły, to prosta funkcja kwadratowa, mam nadzieję, że wszyscy rozumieją skąd te wartości). Wracamy do f (t) = 2^t, naszą dziedziną jest t ∈ h8, 9i, a 2^t jest funkcją rosnącą, więc jej zbiór wartości to będzie h2⁸, 2⁹i, czyli h256, 512i.

(72)

Zadanie 1.29 (b)

Zrobimy podstawienie t = −x²+ 9. Otrzymamy wtedy funkcję f (t) = 2^t, ona jest bardzo prosta do analizy, musimy jedynie ustalić jej dziedzinę.

Skoro x ∈ h−1, 1i, to t = −x²+ 9 ∈ h8, 9i (tu już nie wchodziłem w szczegóły, to prosta funkcja kwadratowa, mam nadzieję, że wszyscy rozumieją skąd te wartości). Wracamy do f (t) = 2^t, naszą dziedziną jest t ∈ h8, 9i, a 2^t jest funkcją rosnącą, więc jej zbiór wartości to będzie h2⁸, 2⁹i, czyli h256, 512i.

(73)

Zadanie 1.29 (b)

Skoro x ∈ h−1, 1i, to t = −x²+ 9 ∈ h8, 9i (tu już nie wchodziłem w szczegóły, to prosta funkcja kwadratowa, mam nadzieję, że wszyscy rozumieją skąd te wartości).

Wracamy do f (t) = 2^t, naszą dziedziną jest t ∈ h8, 9i, a 2^t jest funkcją rosnącą, więc jej zbiór wartości to będzie h2⁸, 2⁹i, czyli h256, 512i.

(74)

Zadanie 1.29 (b)

Skoro x ∈ h−1, 1i, to t = −x²+ 9 ∈ h8, 9i (tu już nie wchodziłem w szczegóły, to prosta funkcja kwadratowa, mam nadzieję, że wszyscy rozumieją skąd te wartości). Wracamy do f (t) = 2^t,

naszą dziedziną jest t ∈ h8, 9i, a 2^t jest funkcją rosnącą, więc jej zbiór wartości to będzie h2⁸, 2⁹i, czyli h256, 512i.

(75)

Zadanie 1.29 (b)

Skoro x ∈ h−1, 1i, to t = −x²+ 9 ∈ h8, 9i (tu już nie wchodziłem w szczegóły, to prosta funkcja kwadratowa, mam nadzieję, że wszyscy rozumieją skąd te wartości). Wracamy do f (t) = 2^t, naszą dziedziną jest t ∈ h8, 9i, a 2^t jest funkcją rosnącą,

więc jej zbiór wartości to będzie h2⁸, 2⁹i, czyli h256, 512i.

(76)

Zadanie 1.29 (b)

Skoro x ∈ h−1, 1i, to t = −x²+ 9 ∈ h8, 9i (tu już nie wchodziłem w szczegóły, to prosta funkcja kwadratowa, mam nadzieję, że wszyscy rozumieją skąd te wartości). Wracamy do f (t) = 2^t, naszą dziedziną jest t ∈ h8, 9i, a 2^t jest funkcją rosnącą, więc jej zbiór wartości to będzie h2⁸, 2⁹i, czyli h256, 512i.

(77)

0 < a < 1

Teraz przejdziemy do przypadku f (x ) = a^x, gdzie 0 < a < 1.

Przykłady to f (x ) = (0.5)^x, g (x ) = (¹₃)^x, h(x ) = (0.2)^x.

Moglibyśmy postąpić tak, jak w przypadku a > 1, czyli zrobić tabelkę i na jej podstawie narysować wykres. Spójrzmy jednak na to troszkę inaczej. Porównajmy funkcje f₁(x ) = (0.5)^x i znaną nam już f₂(x ) = 2^x, mamy:

f1(x ) =

1 2

x

= (2⁻¹)^x = 2^−x = f2(−x )

Co to oznacza? Oznacza to, że wykres funkcji f₁(x ) powstał poprzez zastosowanie symetrii osiowej względem osi Y na wykresie f2(x ) (reflection in y -axis).

(78)

0 < a < 1

Teraz przejdziemy do przypadku f (x ) = a^x, gdzie 0 < a < 1.Przykłady to f (x ) = (0.5)^x, g (x ) = (¹₃)^x, h(x ) = (0.2)^x.

Moglibyśmy postąpić tak, jak w przypadku a > 1, czyli zrobić tabelkę i na jej podstawie narysować wykres. Spójrzmy jednak na to troszkę inaczej. Porównajmy funkcje f₁(x ) = (0.5)^x i znaną nam już f₂(x ) = 2^x, mamy:

f1(x ) =

1 2

x

= (2⁻¹)^x = 2^−x = f2(−x )

(79)

0 < a < 1

Moglibyśmy postąpić tak, jak w przypadku a > 1, czyli zrobić tabelkę i na jej podstawie narysować wykres.

Spójrzmy jednak na to troszkę inaczej. Porównajmy funkcje f₁(x ) = (0.5)^x i znaną nam już f₂(x ) = 2^x, mamy:

f1(x ) =

1 2

x

= (2⁻¹)^x = 2^−x = f2(−x )

(80)

0 < a < 1

Moglibyśmy postąpić tak, jak w przypadku a > 1, czyli zrobić tabelkę i na jej podstawie narysować wykres. Spójrzmy jednak na to troszkę inaczej.

Porównajmy funkcje f₁(x ) = (0.5)^x i znaną nam już f₂(x ) = 2^x,

mamy:

f1(x ) =

1 2

x

= (2⁻¹)^x = 2^−x = f2(−x )

(81)

0 < a < 1

Porównajmy funkcje f₁(x ) = (0.5)^x i znaną nam już f₂(x ) = 2^x, mamy:

f1(x ) =

1 2

x

= (2⁻¹)^x = 2^−x = f2(−x ) Co to oznacza?

Oznacza to, że wykres funkcji f₁(x ) powstał poprzez zastosowanie symetrii osiowej względem osi Y na wykresie f2(x ) (reflection in y -axis).

(82)

0 < a < 1

Porównajmy funkcje f₁(x ) = (0.5)^x i znaną nam już f₂(x ) = 2^x, mamy:

f1(x ) =

1 2

x

= (2⁻¹)^x = 2^−x = f2(−x )

Co to oznacza? Oznacza to, że wykres funkcji f1(x ) powstał poprzez zastosowanie symetrii osiowej względem osi Y na wykresie f2(x ) (reflection

(83)

0 < a < 1

Wykresy funkcji f (x ) = (0.5)^x, g (x ) = (¹₃)^x, h(x ) = (0.2)^x przedstawiają się następująco (przerywaną linią wykresy funkcji 2^x, 3^x i 5^x):

(84)

0 < a < 1

Wykresy funkcji f (x ) = (0.5)^x, g (x ) = (¹₃)^x, h(x ) = (0.2)^x przedstawiają się następująco (przerywaną linią wykresy funkcji 2^x, 3^x i 5^x):

(85)

0 < a < 1

Są dosyć podobne, ale jest kilka różnic: Dla x = 0, funkcje mają wartość 1.

Im większy argument, tym mniejsza wartość funkcji. To znaczy, że funkcja jest malejąca.

Dziedziną funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste.

Jeśli x rośnie do nieskończoności, to wartości funkcji maleje do 0. limx →∞f (x ) = 0.

Jeśli x maleje do minus nieskończoności, to wartości funkcji rośnie do nieskończoności. lim_{x →−∞}f (x ) = ∞.

(86)

0 < a < 1

Jakie mamy obserwacje? Są dosyć podobne, ale jest kilka różnic:

(87)

0 < a < 1

(88)

0 < a < 1

Im większy argument, tym mniejsza wartość funkcji.

To znaczy, że funkcja jest malejąca.

(89)

0 < a < 1

(90)

0 < a < 1

(91)

0 < a < 1

Jeśli x rośnie do nieskończoności, to wartości funkcji maleje do 0.

limx →∞f (x ) = 0.