8. Funkcja wykładnicza

(1)

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Biotechnologia

w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

(2)

8. Funkcja wykładnicza

Niech a będzie stałą, a > 0. Funkcję postaci

f (x) = a

^x

nazywamy funkcją wykładniczą. Poniżej przedstawiono wykres funkcji wykładniczej, gdy a > 1 oraz gdy 0 < a < 1. Jeśli a = 1, to funkcja jest stała, f (x) = 1.

y

0 x

y = a

1

x

a>1

y

0 x

y = a 1

x

0<a<1

WŁASNOŚCI:

• dziedzina: R;

• zbiór wartości: R

+

, gdy a ̸= 1 oraz {1} gdy a = 1;

• funkcja różnowartościowa, gdy a ̸= 1;

• jeśli a > 1, to f jest rosnąca;

• jeśli a = 1, to f jest stała;

• jeśli 0 < a < 1, to f jest malejąca.

8.1. Równania wykładnicze

Równanie wykładnicze to równanie postaci

a

^{f (x)}

= a

^g(x)

.

Jeśli a ̸= 1, to z różnowartościowości f wynika, że jest ono równoważne równaniu f (x) = g(x).

Jeśli a = 1, to równanie jest spełnione przez wszystkie liczby z dziedziny równania.

8.2. Nierówności wykładnicze

Nierówność wykładnicza jest postaci

a

^{f (x)}

< a

^g(x)

(ew. 6, >, >).

Zachodzą następujące własności:

Jeśli a > 1, to

a

^{f (x)}

< a

^g(x)

⇐⇒ f(x) < g(x), co oznacza, że kierunek nierówności zostaje zachowany.

Jeśli a < 1, to

a

^{f (x)}

> a

^g(x)

⇐⇒ f(x) < g(x),

co oznacza, że kierunek nierówności zmieniony zostaje na przeciwny.

(3)

Analogiczne własności zachodzą, gdy nierówność wyjściowa jest 6, >, >.

Jeśli zaś a = 1 oraz nierówność wyjściowa zawierała < lub >, to jest ona sprzeczna.

Jeśli w nierówności wyjściowej było > lub 6, to jest ona spełniona przez wszystkie liczby z dziedziny nierówności.

Funkcja f (x) = e

^x

Funkcja wykładnicza, która ma w podstawie liczbę Eulera e, jest postaci f (x) = e

^x

. Ponieważ e ≈ 2, 718.., > 1, jest to funkcja rosnąca. Odgrywa ona szczególna rolę w analizie matematycznej oraz w zastosowaniach matematyki.

8.3. Przykładowe zadania 1. Rozwiązać równanie

⁴₄^x26

= 2

^2x

.

Rozwiązanie:

Należy doprowadzić potęgi w równaniu do jednakowych podstaw.

4

^x²⁻⁶

= 4

^x

stąd x

²

− 6 = x

∆ = 25, x

1

= −2, x

2

= 3 Odpowiedź: x ∈ {−2, 3}.

2. Rozwiązać równanie 7

^5x

− 7

^5x⁻¹

= 6.

Rozwiązanie:

Wyciągamy przed nawias 7

^5x

7

^5x

(1 −

¹₇

) = 6, czyli 7

^5x

·

⁶₇

= 6.

Stąd 7

^5x

= 7, co jest równoważne 5x = 1, czyli x =

¹₅

. Odpowiedź: x =

¹₅

.

3. Rozwiązać równanie 3

^x+1

+ 18 · 3

^−x

= 29.

Rozwiązanie:

Wprowadzamy niewiadomą pomocniczą 3

^x

= t > 0 3t +

¹⁸_t

= 29

Po pomnożeniu stronami przez t otrzymujemy 3t

²

− 29t + 18 = 0

∆ = 625, t

1

= 9, t

2

=

²₃

Czyli

3

^x

= 9 ∨ 3

^x

=

²₃

, stąd x = 2 ∨ x = log

32 3

Odpowiedź: x ∈ {2, log

3 2 3

}.

4. Rozwiązać nierówność 25

^x−1

> 625

^x

. Rozwiązanie:

Doprowadzamy obie strony nierówności do tych samych podstaw 5

^2x⁻²

> 5

^4x

, co jest równoważne 2x − 2 > 4x, gdyż funkcja f(x) = 5

^x

jest rosnąca.

−2x > 2, czyli x 6 −1.

Odpowiedź: x ∈ (−∞, −1].

(4)

5. Rozwiązać nierówność e

^x²⁻⁹

< 4

^x²⁻⁹

. Rozwiązanie:

Dzielimy obie strony nierówności przez 4

^x²⁻⁹

. (

₄^e

)

^x²⁻⁹

< 1,

(

₄^e

)

^x²⁻⁹

< (

^e₄

)

⁰

.

Ponieważ

^e₄

< 1, więc ta nierówność jest równoważna nierówności x

²

− 9 > 0.

Stąd x < −3 ∨ x > 3.

Odpowiedź: x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, +∞).

6. Rozwiązać nierówność 2

^2x+4

− 4

^x

< 15.

Rozwiązanie:

2

^2x

· 2

⁴

− 4

^x

< 15 4

^x

· 16 − 4

^x

< 15 15 · 4

^x

< 15

Dzielimy obie strony nierówności przez 15 4

^x

< 1

4

^x

< 4

⁰

stąd x < 0

Odpowiedź: x ∈ (−∞, 0).

7. Rozwiązać nierówność

(1

2

)_4x²_−15x+13

<

(1 2

)₄_−3x

. Rozwiązanie:

Nierówność ta jest równoważna 4x

²

− 15x + 13 > 4 − 3x.

Ponieważ ∆ = 0 oraz jedynym rozwiązaniem równania 4x

²

− 15x + 13 = 4 − 3x jest x

0

=

³₂

, więc nierówność spełniają wszystkie liczby różne od

³₂

.

Odpowiedź: x ∈ R\{

³₂

}.

8. Rozwiązać nierówność 5 · 4

^x

− 7 · 10

^x

+ 2 · 25

^x

> 0.

Rozwiązanie:

Dokonujemy przekształceń nierówności: 5 · 2

^2x

− 7 · 2

^x

· 5

^x

+ 2 · 5

^2x

> 0 5 · 2

^2x

− 5 · 2

^x

· 5

^x

− 2 · 2

^x

· 5

^x

+ 2 · 5

^2x

> 0

5 · 2

^x

(2

^x

− 5

^x

) + 2 · 5

^x

(5

^x

− 2

^x

) > 0 (2

^x

− 5

^x

) · (2 · 5

^x

− 5 · 2

^x

) > 0

Nierówność ta jest równoważna alternatywie:

(

(2

^x

− 5

^x

) > 0 ∧ (2 · 5

^x

− 5 · 2

^x

) > 0

⁾

∨

⁽

(2

^x

− 5

^x

) < 0 ∧ (2 · 5

^x

− 5 · 2

^x

) < 0

⁾

. Dzielimy każdą z czterech nierówności przez 5

^x

.

Pierwszy składnik alternatywy jest postaci

(

²₅

)

^x

> 1 ∧ (

²₅

)

^x

>

²₅

, czyli x < 0 ∧ x < 1. Stąd x < 0.

Drugi składnik alternatywy jest postaci

(

²₅

)

^x

> 1 ∧ (

²₅

)

^x

>

²₅

, czyli x > 0 ∧ x > 1. Stąd x > 1.

Rozwiązaniem jest: x < 0 ∨ x > 1.

Odpowiedź: x ∈ (−∞, 0) ∪ (1, +∞).

(5)

8.4. Zadania

Naszkicować wykres podanej funkcji przekształcając wykres odpowiedniej funkcji elementarnej:

1. f (x) = e

^−x

. 2. f (x) = e

^−2x

+ 1.

3. f (x) = e

^x⁻¹

+ 3.

4. f (x) = |e

^x

− 2|.

5. f (x) =

⁽¹₃⁾^x+2

− 1.

6. f (x) = 4

^x⁻⁵

.

7. f (x) = 1 − (

¹₆

)

^x

. 8. f (x) = 2 · 3

^−x

. 9. f (x) = −|2

^x

− 1|.

10. f (x) = 3

^|x−1|+4

. 11. f (x) = −2|4

^x+2

− 3|.

Rozwiązać równanie:

12. 3

^5x⁻⁸

= 9

^x⁻³

. 13. 0, 125 · 4

^2x⁻³

=

⁽

√2 8

)_−x

. 14. 6

^x²⁺²

= 6

^3x

.

15.

⁽³₄⁾^x⁻¹

·

⁽⁴₃⁾^x¹

=

₁₆⁹

. 16. 2

^x+3

− 2

^x

= 72.

17. 3

^2x+2

+ 3

^2x

= 30.

18. 49

^x

− 6 · 7

^x

+ 5 = 0.

19. 2

^x

+ 12 · 2

^−x

= 9

¹₂

. 20. 11

^x⁻⁷

= 17

⁷^−x

. 21. 2

^|x|

+ 2

^|x−1|

= 6.

Zapisać nierówność między m i n, jeśli 22. 8

^m

< 8

ⁿ

.

23. 1, 2

^m

> 1, 2

ⁿ

.

24. (

^e₃

)

^m

> (

^e₃

)

ⁿ

. 25. (

⁴₅^·e

)

^m

> (

⁴₅^·e

)

ⁿ

. 26. Dana jest nierówność

7

^|x|+1

− 7

^|x|−1

< 336.

Wyznaczyć

a) najmniejszą liczbę całkowitą, b) najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią spełniającą tę nierówność.