8. Funkcja wykładnicza

(1)

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Inżynieria Środowiska

w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

(2)

8. Funkcja wykładnicza

Funkcję postaci

f (x) = a

^x

, gdzie a ∈ R

+

nazywamy funkcją wykładniczą.

y

0 x

y = a

1

x

a>1

y

0 x

y = a 1

x

0<a<1

WŁASNOŚCI:

• dziedzina R;

• zbiór wartości R

+

, gdy a ̸= 1;

• funkcja różnowartościowa, gdy a ̸= 1;

• jeśli a > 1, to funkcja jest rosnąca;

• jeśli a = 1, to funkcja jest stała;

• jeśli 0 < a < 1, to funkcja jest malejąca.

Równanie wykładnicze

a

^{f (x)}

= a

^g(x)

⇐⇒ f(x) = g(x).

Nierówności wykładnicze Jeśli 0 < a < 1, to

a

^{f (x)}

> a

^g(x)

⇐⇒ f(x) < g(x).

Jeśli 0 < a < 1, to

a

^{f (x)}

> a

^g(x)

⇐⇒ f(x) 6 g(x).

Jeśli a > 1, to

a

^{f (x)}

> a

^g(x)

⇐⇒ f(x) > g(x).

Jeśli a > 1, to

a

^{f (x)}

> a

^g(x)

⇐⇒ f(x) > g(x).

Przykładowe zadania

1. Rozwiązać równanie 4 · 2

^x²

= 2

^3x

. Rozwiązanie:

Należy doprowadzić potęgi w równaniu do jednakowych podstaw.

2

²

· 2

^x²

= 2

^3x

2

^2+x²

= 2

^3x

2

(3)

x

²

− 3x + 2 = 0

∆ = 1, x

₁

= 1, x

₂

= 2 Odpowiedź: x ∈ {1, 2}.

2. Rozwiązać równanie 25

^x

− 5

^x+1

+ 5 = 5

^x

. Rozwiązanie:

Należy doprowadzić potęgi w równaniu do jednakowych podstaw.

(5

²

)

^x

− 5

^x

· 5 + 5 = 5

^x

(5

^x

)

²

− 5 · 5

^x

+ 5 = 5

^x

(5

^x

)

²

− 6 · 5

^x

+ 5 = 0

Wprowadzamy pomocniczą zmienną 5

^x

= t > 0 t

²

− 6t + 5 = 0

∆ = 16, t

₁

= 1, t

₂

= 5 Czyli

5

^x

= 1, stąd 5

^x

= 5

⁰

, więc x = 0 5

^x

= 5, stąd 5

^x

= 5

¹

, więc x = 1 Odpowiedź: x ∈ {0, 1}.

3. Rozwiązać równanie 9

^x

+ 6

^x

= 2 · 4

^x

. Rozwiązanie:

(3

²

)

^x

+ (2 · 3)

^x

= 2 · (2

²

)

^x

(3

^x

)

²

+ 2

^x

· 3

^x

= 2 · (2

^x

)

²

Dzielimy obie strony równania przez 2

^x

· 3

^x (3

2

)_x

+ 1 = 2 ·

⁽²₃⁾^x

Wprowadzamy pomocniczą zmienną

(3

2

)_x

= t > 0, czyli

(2

3

)_x

=

¹_t

. Stąd t + 1 =

²_t

Mnożymy obie strony równania przez t t

²

+ t − 2 = 0

∆ = 9, t

1

= −2, t

2

= 1 (t

1

< 0, czyli nie spełnia założenia) Stąd

(3 2

)_x

= 1,

(3

2

)_x

=

(3

2

)₀

, stąd x = 0.

Odpowiedź: x = 0.

4. Rozwiązać nierówność 3

^x²⁻³

< 9

^x

. Rozwiązanie:

3

^x²⁻³

< 3

^2x

stąd x

²

− 3 < 2x x

²

− 2x − 3 < 0

∆ = 16, x

₁

= −1, x

2

= 3

-1 3 x

Odpowiedź: x ∈ (−1, 3).

(4)

5. Rozwiązać nierówność 2

^2x+4

− 4

^x

> 15.

Rozwiązanie:

2

^2x

· 2

⁴

− 4

^x

> 15 4

^x

· 16 − 4

^x

> 15 15 · 4

^x

> 15

Dzielimy obie strony nierówności przez 15 4

^x

> 1

4

^x

> 4

⁰

stąd x > 0

Odpowiedź: x ∈ (0, +∞).

6. Rozwiązać nierówność

(1

2

)_4x₋₁

<

(1 4

)_x+3

. Rozwiązanie:

(1 2

)_4x₋₁

<

(1 2

)_2(x+3)

Zatem 4x − 1 > 2(x + 3) (bo

¹₂

∈ (0, 1)).

2x > 7 x >

⁷₂

Odpowiedź: x ∈ (

⁷₂

, + ∞).

7. Rozwiązać nierówność 2

^x+2

− 5

^x+1

> 20 · 5

^x

. Rozwiązanie:

2

^x

· 2

²

− 5

^x

· 5 > 20 · 5

^x

2

^x

· 4 > 25 · 5

^x

Dzielimy obie strony nierówności przez 5

^x

· 4

(2

5

)_x

>

²⁵₄ (2

5

)_x

>

⁽⁵₂⁾² (2

5

)_x

>

⁽²₅⁾⁻²

Zatem x 6 −2 (bo

²₅

∈ (0, 1)).

Odpowiedź: x ∈ (−∞, −2].

Zadania

Naszkicować wykres podanej funkcji przekształcając wykres odpowiedniej funkcji elementarnej.

1. f (x) = e

^−x

+ 2.

2. f (x) =

⁽¹₂⁾^x⁻¹

− 2.

3. f (x) = 3

^x⁻¹

. 4. f (x) = 1 −

⁽¹₄⁾^x

.

5. f (x) = 5 · 4

^−x

. 6. f (x) = −|3

^x

− 2|.

7. f (x) = 5

^|x|+4

.

8. f (x) = −2|4

^x⁻¹

− 3|.

(5)

Rozwiązać równanie:

9. 8

^x

= √ 2.

10. 3

^x²⁺³

= 9

^2x

. 11. ( √

2 )

^2x+4

= 8

^x²

. 12. 5

^x⁻¹

= 3

¹^−x

.

13. 4

^√^x⁻²

+ 16 = 10 · 2

^√^x⁻²

.

14. 4

^x+^√^x²⁻²

− 5 · 2

^x⁻¹⁺^√^x²⁻²

= 6.

15. 27

^x

· 9

^2x

· 3

^3x

= 243.

16. 5

^x

− 25 · 5

^−x

= 24.

17. 49

^x

− 6 · 7

^x

+ 5 = 0.

18. 2

^|x|

+ 2

^|x−1|

= 6.

19. Przy jakich wartościach parametru m równanie

(m + 1)9

^x

− 4m · 3

^x

+ m + 1 = 0 ma dwa rozwiązania?

Rozwiązać nierówność:

20. 3

^2x⁻¹

> 27.

21. 3

^x

< (

¹₃

)

^x

.

22. 2

^x+1

+ 5 · 2

^x⁻¹

6 9.

23. 4

^x

− 3 · 2

^x+1

+ 8 6 0.

24. 7

^x

6 7

^x¹

.

25. 8

^x

− 2 > 18 · 4

^x⁻¹

− 3 · 2

^x+1

. 26.

(1 2

)_x+3

6

⁽¹₈⁾^2x⁻³

.

27. (2

^x+2

)

²

+ 4 · 2

^x+3

− 48 > 0.

28.

(1 2

)¹^−x

|x|

6 1.