Der Bauingenieur : Zeitschrift für das gesamte Bauwesen, Jg. 6, Heft 23

D E R B A U I N G E N I E U R

1925 H E F T 23. A N Z E IG E N 3

D E R B A U I N G E N I E U R

b e r ic h te t ü b e i d a s G r s a m tg e b ie t d e s B a u w e s e n s , ü b e r B a u s to ff u n d K o n s tru k tio n e n , e r s c h e in t w ö c h e n tlic h u n d k a n n im I n - u n d A u s l a n d e d u r c h ie d e S o rtim e n ts - U ber w ir ts c h a ftlic h e F r a g e n u n d v e r f o lg t a u c h d ie f ü r d e n B a u in g e n ie u r w ich ig en b u c h h a n d lu n g , je d e P o s ta n s ta lt o d e r u e n unterz« ic h n e te n V e rla g b e z o g e n w e rd e n . N o r m u n g s f r a g e n . O r ig in a lb c i.rä g c n e h m e n a n : v ie r c lja h rlic h f ü r d i s I n - u n d A u s la n d 7 53 G o ld m a rk (l" G m . = 10/42 D o lla r D f tv t r u rA . N rt. , - , „ , , , „ n o rd * m e rik a n is c h e r W ä h ru n g ). H ie iz u tr i tt b ei d ir e k te r Z u s te llu n g d u r c h d e n V e rla g P r o f e s s o r D r .- I n g . M ax F ö r s te r . D r e s d e n \ T e ch n isch e. H o c h s c h u le . Bnui «genieur- d a s P o r to bzw. b e im B ez u q e d u r c h d ie P o s t d ie p o s ta lis c h e B e s te llg e b ü h r. E in z e lh e ft P r o f e s s o r D r .- I n g . W . G e h le r, D r e s d e n / G e b ä u d e . G e o rg e B ä h r-S tra ß e 1 G o ld m a rk zu z ü g lich P o rto .

P ro z e s s o r D r .- I n g . E . P r o b s t , K a r ls r u h e i. B., T e c h n is c h e H o c h s c h u le ; M itg lie d e r d es D e u ts c h e n E ise n b au -V « -rb a n d es, d e s D e u ts c h e n B e to n -V e re in s , so w ie R c g .-B a u m s tr. D r .- I n g . W . P c tr y , D i r e k t o r 'd e s D e u ts c h e n B e to n -V e re in s ■ O b e rc a s s e l V ^ r l ^ A n ^ \% r / u g ip ? e ,i s CUrU,eSen habC n ^ d ir e k tc r ü c S te llu u ^ b eim

(S ie g k re is ) P r e is - d e r 'I n la n d - A n z e ig e n : G a n z s e ite n ; ISO G o ld m a rk .

■ D ipl.-Ing. W R e in , L e ite r d e r te c h n . A b te ilu *g d e s D e u ts c h e n E is e n b a u - V e r b a n d e s K lein c A n ze ig en 0,«8 G o ld m a rk f ü r d ie e in s p a ltig e M illim e ter-Z e ile .

B e rlin W 9, L in k stia C e 16, j g __ 26 _ 5 2 m a lig e r W ie d e rh o lu n g in n e rh a lb J a h r e s f r is t

A lle so n stig e n , f ü r d ie S c h iftle itim g b e s tim m te n M itte ilu n g e n , B ü c h e r, Z e it- 10 20 3 0 % N a hlafl. F ü r V o rz u g sse ile n b e s o n d e r e V e re in b a ru n g . S c h riften u sw . w e rd e n ei b e te n ui tc r d e r A d re s s : D ie .U m re c h n u n g d e s G o ld m a r k b - tr a g e s e rfo lg t zum a m tlic h e n B e r lin e r,D o lla rk u r»

S r h r i f t l p i t n m r D p r R a n i n t r a n i p n r “ am T a g e d e s Z a h lu n g s e in g a n g s . 4.20 G olU m ark - 1 D o lla r . D ie Z a h lu n g h a t in n e rh a lb

s c n r i l l i e i i u n g „ D e r I t a u i n g e n i e u r , 5 T a g e n n ac h R e c h n u n g s d a tu m ( f ü r G e le g e n h e itsa n z e ig e n u n d S te lle n g e s u c h e s o fo rt D r e s d e n , T e c h n is c h e F o c h s c h u lc , 1 n m n g e m e u r-G c b a u d e b e i B SJ !lu n S> n u r a u f P o s ts c n e c k k o n to 118935 B erlin J u l i u s S p r i n g e r ab zu g - u n d s p e s e n f r e i zu e rto lg e n . B ei Z a h lu n g s v e iz u g w e rd e n d ie ü u ltc n e n n a n k z in z e n b e r e c h n e t.

G e o r g e ,B ä h r - b tr a ß e 1. K lis c h e e -R ü c k s e n d u n g e n e rfo lg e n zu L a s te n d e s In s e re n te n .

V E R L A G S B U C H H A N D L U N G JULIUS S P R IN G E R T

b

ERLIN W 9 , LIN K-STRASSE 23/24.

F e r n s p r e c h e r : A m i K u rfü rs t 6i<50 —5 3 , D r a h ta n s c h r if t: S p rin g e rb u c h B e rlin .

R e i c h s b a n k - G i r o - K o n t o . D e u t s c h e B a n k , B e r l i n , D e p o s i t e n - K a s s e C . P o s t s c h e c k k o n t e n : f ü r B e z u g v o n Z e i t s c h r i f t e n u n d e i n z e l n e n H e f t e n - Ber l i n N r . 2 0 i 2 0 J u l i u s S p r i n g e r , Be z u g s a b t e i l u n g f ü r Ze i t s c h r i f t e n ; f ü r A n z e i g e n , B e i l a g e n u n d B U c h e r b e z u g : Ber l i n Nr . 118935 J u l i u s S p rin g e r.

I N H A L T

* b e d e u te t A b b ild u n g e n im T e x t.

S e ite S e ite

V om e la s tis c h e n V e rh a lte n d e r G e s te in s w ä n d e in D ru ck - Arbeiten im Sachlieferungsverfahren nach dem Londoner S tollen. V on D r.-In g . H D ö r r , K a r l s r u h e ... 703*. Protokoll. -— Gesetze, Verordnungen, Erlasse. — Recht- S tu d ie n . z u r B e r e c h n u n g u n d K o n s tr u k tio n m e h r s tie lig e r sprechung. — Verbandsmitteilungen Fristgemäße und frist-

S to c k w e rk r a h m e n . V o n P r iv a td o z e n t D r. - In g . lose Lösung des Arbeitsverhäitnisses. — Eine Güterumschlag- G ü n t e r W o r c h , D a r m s t a d t ... . 706* Verkehrswoche. — Kölner Herbstmesse. — Ausstellung Heim K u rze te c h n is c h e B e ric h te ...712 - unc* ' ertagt-

Technische Vorträge gehalten auf der Tagung der Studien- P a t e n t b e r i c h t ... .... . . , . 721 gesellschaft für Automobtlsiraßenbau in München am B ü c h e r b e s p r e c h u n g e n ...721 20. Juli 1925. — Guterbahnhofsanlage in Detroit, Mich. M itte ilu n g e n d e r D e u ts c h e n G e s e lls c h a ft f ü r B a u in g e n ie u r- W ir ts c h a ftlic h e M itte ilu n g e n . . ...717 w e s e n ... , 723

Die Vor fahren.s Vorschrift 0;: für die Ausführung öffentlicher Ortsgruppe Brandenburg. — Adressenänderungen.

D ie L ite r n tu r » c h a u , b e a r b e i t e t u n d g e s a m m e lt v o n R e g .- B a u m e is t e r D ip l.-I n g . G . E h n e r t , D r e s d e n , b e f i n d e t s ic h h in te r d e r T e x t s e i t e 7 1 9

SIEMENS-BAUUNION

G. m . b . H. ♦ K o m m a n d i t g e s e l l s c h a f t

K o m m a n d i t i s t e n : S ie m e n s & H a ls k e A .-Q ., B e rlin * E A Q v o rm . S c h u c k e r t & C o ., N ü rn b e rg * S ie m e n s -S c h u c k e r tw e r k e G .m .b .H ., B erlin

Berlin - Siemensstadt

V e rw a ltu n g s g e b ä u d e D r a h t a n s c h r i f t . S i e m e n s b a u u n i o n B e rlin / F e r n s p r e c h e r: W i l h e l m 7 0 0 0 - 7035 N ie d e rla g e n ln Essen, Z w e ig e rtstra ß e 34, und M ü n c h e n , M affe istraße 1, S to c k h o lm , den Haag, B rü s s e l, M a d r id , M a ila n d , Athen, T iflis , Jaffa, B u e n o s A ir e s , T o kyo

G r u n d w a s s e r a b s e n k u n g . W a sse rk ra fta n la g e n U n terg ru n d b a h n en ♦ U n te rw a sse rtu n n e l » W a s s e r­

v e rso rg u n g ♦ O rts e n tw ä s s e ru n g ♦ U nterfangung en T ie fb o h ru n g e n ♦ E ise n b e to n b a u ♦ Industriebau E is e n b a h n e n .S t r a ß e n b a u * B r ü c k e n b a u .S c h a c h t ­

b au . Sto lle n b au . T u n n e lb a u ♦ Sp ritzb eto n G u ß b e to n ♦ H afen b au ♦ F lu ß b a u

¿ iJ f

ALLGEMEINE BAUMASCHINEN GES.M.B.H.MASCHINENFABR.LEIPZIG86J

FÜR GLEl/AN LAGEN A U / ALLEN /CHIE:

NENARTEN FCIR STAAT/* INDUSTRIE; AN*

/CHLU//'KLEIN:/TRA//EN:“-ORUBEN*

BAHNEN. ZUNGENVORRICHTUNOEN HERZ/TUCKE. WEICH EN/TELLBOCKE FED E RU M/T E LL&&/T EN, PRELLB'O'CKE

KREUZUNGEN

ANZEIGEN D E R B A D IN G E N IE U R

1925 H E F T 23.

DYCKERHOFF A W I O M A N N A .G .

gegr. 1865 gegr. 1865

Krattwork ‘Wisoiittal

B A U U N T E R N E H M U N G S E M E N T W A R E N - F A B R I K E N

S t a m m h a u l B i e b r i c h i . Rh.

N i e d e r l a s s u n g e n und Interessen­

gemei nsc haf ten an d en wichtigsten P l ä t z e n d e s I n - u n d A u s l a n d e s

B e t e n - u n d M ö r t e lm is c h e r

D. R . P .

die führende Harkel

DER BAUINGENIEUR

6. Jahrgang 11. September 1 92 5 Heft 23

V O M ELA STISCH EN VERH ALTEN DER GESTEIN SW ÄN DE IN D R U C K STO LLE N .

Von Dr.-Ing. II. Dörr, Karlsruhe. •

Ü b ersich t. Die Gesteinswände in einem Stollen dehnen sich hinter dem A usbruch her nach dem Stolleninnern zu. Folgerungen aus diesem V erh alten fü r den D ruckstollenbau.

D e r A u f s a t z v o n D r . W a l c h im „ B a u i n g e n i e u r “ 1 9 2 5 , H e f t 4 , h a t m ic h v e r a n l a ß t , m e i n e A n s c h a u u n g ü b e r d ie U r ­ s a c h e d e r N a c h g i e b i g k e i t f e s t e r G e s t e i n s w ä n d e b e i I n n e n d r u c k i m S t a l l e n h i e r z u v e r ö f f e n t l i c h e n . F ü r d ie P r a x i s i s t d i e L ö s u n g d i e s e r F r a g e d r i n g e n d g e w o r d e n . N a c h i h r e r K l ä r u n g k a n n m a n h o f f e n , d e r S c h w i e r i g k e i t b e i d e r A u s f ü h r u n g H e r r z u w e r d e n . S o l a n g e m a n h i n s i c h t l i c h d e r n a t ü r l i c h e n Z u s a m m e n ­ h ä n g e i m U n k l a r e n / i s t , s i n d a ll e t h e o r e t i s c h e n B e t r a c h t u n g e n , d i e s c h o n a n g e s t e l l t w o r d e n s i n d , z w e c k l o s u n d i s t d e r E r f o lg a l l e r p r a k t i s c h e n M a ß n a h m e n u n s i c h e r .

M a n k a n n e in e G e s t e i n s m a s s e , d i e e in S t o l l e n d u r c h ö r t e r t , a ls e in e A r t M a u e r w e r k a n s e h e n , v o n m e h r o d e r w e n i g e r h o h e n F u g e n u n d R i s s e n d u r c h s e t z t . D i e F u g e n k ö n n e n e n t w e d e r g a n z u n r e g e l m ä ß i g d a s G e s t e i n z e r t e i l e n w ie b e i e in e m Z y k l o p e n ­ m a u e r w e r k , o d e r s ie k ö n n e n , v o r z u g s w e is e i n g a n z b e s t i m m t e n R i c h t u n g e n v e r l a u f e n d , d a s G e b i r g e r e g e l m ä ß i g g e s c h i c h t e t e r ­ s c h e i n e n l a s s e n .

D i e G e s t e i n s m a s s e n s t e h e n in i h r e r n a t ü r l i c h e n L a g e r u n g u n t e r e in e m a l l s e i t i g e n i n n e r e n D r u c k , d e r v o n d e r S c h w e r ­ k r a f t e r z e u g t i s t . I n e i n e r T ie f e h u n t e r d e r O b e r f l ä c h e w i r d a ls o n o r m a l e r w e i s e d e r e l e m e n t a r e I n n e n d r u c k p = y • h h e r r s c h e n .

D o c h k a n n s i c h a u s v e r w i c k e l t e n V o r g ä n g e n b e i m g e o lo g i ­ s c h e n A u f b a u d e s G e b i r g e s 'e in D r u c k a u s g e w i r k t h a b e n , d e r g r ö ß e r o d e r k l e i n e r i s t a l s y h . K l e i n e r w i r d e r z. B . i n j e n e n T e i l e n s e i n , d i e d a d u r c h e n t l a s t e t s i n d , d a ß s i c h d i e ü b e r i h n e n l i e g e n d e n S c h i c h t e n z u G e w ö l b e n v e r s p a n n t h a b e n , d i e d e n D r u c k n a c h d e r S e i t e a b l e i t e n . G r ö ß e r w i r d d e r I n n e n d r u c k in j e n e n Z o n e n s ic h e r w e i s e n , w e l c h e d e r K ä m p f e r d r u c k s o l c h e r E n t l a s t u n g s b o g e n t r i f f t . E s i s t a ls o s e h r w o h l m ö g lic h , d a ß d e r I n n e n d r u c k n i c h t d o r t a m g r ö ß t e n i s t , w o d i e Ü b e r l a g e r u n g d a s h ö c h s t e M a ß z e i g t , s o n d e r n e s k a n n d e r D r u c k s e h r w o h l i n s e i t l i c h e Z o n e n a b g e l e n k t s e in .

W i r d a u s e i n e m s o l c h e n G e b i r g s m a s s i v e in e S t o l l e n ö f f n u n g a u s g e b r o c h e n , s o e r g i b t s i c h n o t w e n d i g e r w e i s e f ü r a ll e R a n d ­ e l e m e n t e d e r Ö f f n u n g e in e D e h n u n g n a c h d e m S t o l l e n i n n e r n z u , f ü r k r e i s r u n d e Ö f f n u n g e n i n r a d i a l e r R i c h t u n g , a l s F o l g e d e r i n n e r e n S p a n n u n g . D i e s e D e h n u n g w i r d u m s o g r ö ß e r , je h ö h e r d e r i n n e r e D r u c k i m G e s t e i n i s t .

D e n k t m a n s i c h a u s d e r R a n d z o n e e in e s S t o l l e n s im m a s s i g e n G e s t e i n e in E l e m e n t a r p r i s m a h e r a u s g e s c h n i t t e n u n d i n e in e m K o o r d i n a t e n s y s t e m s o o r i e n t i e r t , d a ß d i e x - A c h s e p a r a l l e l z u r S t o l l e n a c h s e , d i e y - A c h s e p a r a l l e l z u e i n e m E l e m e n t d e r U m ­ f a n g s l i n i e d e s S t o l l e n q u e r s c h n i t t s u n d d i e z - A c h s e s e n k r e c h t z u r x - y - E b e n e v e r l ä u f t , s o lä ß t s i c h f ü r d i e s e s P r i s m a b e ­ k a n n t l i c h a n s e t z e n , w e n n m a n e i n e n d r e i a c h s i g e n S p a n n u n g s ­ z u s t a n d a n n i m m t :

. I / + ° y \

6‘ = T r ( a ‘ — - m ~ ~ J ... (I w o b e i b e d e u t e t

S2 d i e s p e z if i s c h e D e h n u n g i n d e r z - R i c h t u n g ,

a x , o y, ctz d i e E l e m e n t a r p r e s s u n g e n i n d e n R i c h t u n g e n d e r d r e i H a u p t a c h s e n d e 's P r i s m a s ,

m d i e P o i s s o n s c h e Z a h l, E d e n E l a s t i z i t ä t s m o d u l .

D i e n a c h d e i n S t o l l e n i n n e r n z u in e i n e m b e s t i m m t e n F a l l a u f t r e t e n d e G e s a m t d e h n u n g i s t d u r c h I n t e g r a t i o n d e r E l e ­ m e n t a r d e h n u n g e n z u e r m i t t e l n , v o r a u s g e s e t z t , d a ß e s g e li n g t , d e n V e r l a u f d e r S p a n n u n g s ä n d e r u n g i n d e n Z o n e n u m d e n S t o l l e n h e r u m n a c h d e n d r e i H a u p t a c h s e n m a t h e m a t i s c h z u f a s s e n .

N i m m t m a n e i n m a l a n , d a ß d i e a n a l y t i s c h e D a r s t e l l u n g d e r z u i n t e g r i e r e n d e n F u n k t i o n g e l i n g t , so w i r d in p r a k t i s c h e n F ä l l e n d ie V o r a u s b e r e c h n u n g d e r D e h n u n g s e h r u n s i c h e r , w e il e in G e b i r g e n i e m a l s e in e h o m o g e n e M a s s e i m S i n n e d e r t h e o ­ r e t i s c h e n F e s t i g k e i t s l e h r e i s t , d i e g e n a u d e m H o o k e s c h e n G e s e t z f o l g t . D ie G r ö ß e n m u n d E w e r d e n b e i k e i n e m S t o l l e n ­ b a u — n i c h t e i n m a l a n n ä h e r n d — b e k a n n t s e i n ; s ie w e r d e n a u ß e r d e m m i t d e r Ä n d e r u n g d e s G e s t e i n s c h a r a k t e r s , d e s g e o lo g i s c h e n A l t e r s u n d A u f b a u s w e c h s e l n .

T r o t z d e m v e r l o h n t e s s ic h , d i e t h e o r e t i s c h e n E r g e b n i s s e d e r h i e r h e r g e h ö r e n d e n F o r s c h u n g e n z u b e t r a c h t e n , d a m i t m a n w e n i g s t e n s e r k e n n t , w e lc h e G r ö ß e n v o n E i n f l u ß a u f d ie Q u e r ­ d e h n u n g s in d .

D i e F o r s c h u n g e n a u s d e m G e b i e t e d e r t h e o r e t i s c h e n F e s t i g ­ k e i t s l e h r e , d i e m a n z u R a t e z ie h e n k a n n , b e z i e h e n s ic h a u f e in

n a c h a l l e n R i c h t u n g e n g l e i c h m ä ß i g . d u r c h Z u g b e a n s p r u c h t e s E i s e n b l e c h ; s ie b e a n t w o r t e n d i e F r a g e , w ie d e r S p a n n u n g s ­ w i d e r s t a n d u m e in k r e i s r u n d e s L o c h i n d i e s e m B l e c h s i c h d a r ­ s t e l l t . D e n k e n w i r u n s d i e Z u g s p a n n u n g e n a ls D r u c k s p a n n u n g e n u n d n e h m e n d e n E i n f l u ß d e s E l e m e n t a r d r u c k e s i n d e r R i c h t u n g d e r A c h s e d e s L o c h e s ( x - R i c h t u n g ) n o c h h i n z u , s o h a b e n w i r b e i e in e m S t o l l e n i m G e s t e i n ä h n l i c h e S p a n n u n g s v e r h ä l t n i s s e v o r u n s .

D i e U n t e r s u c h u n g e n g e h e n a u f G r a s h o f z u r ü c k ; m a n f i n d e t s ie a u c h b e i A . F ö p p l , 5 . B d . (1 9 0 7 ), S . 3 5 3 . V e r s u c h e h i e r z u h a t K a r m a n a n g e s t e l l t u n d u n t e r d e m T i t e l „ F e s t i g k e i t s v e r ­ s u c h e u n t e r a l l s e i t i g e m D r u c k “ , B e r l i n 1 9 x 2 , v e r ö f f e n t l i c h t . E i n e v o r z ü g l i c h e D a r s t e l l u n g g i b t K i r s c h i n d e r „ Z e i t s c h r i f t d e s V e r e i n s d e u t s c h e r I n g e n i e u r e “ 1 8 9 8 , S . 7 9 8 ä

W i r d a u s d e m o b e n g e n a n n t e n B l e c h , d e s s e n A u s d e h n u n g n a c h z w e i R i c h t u n g e n u n e n d l i c h g r o ß g e d a c h t i s t , e in e Ö f f n u n g n a c h A b b . x h e r a u s g e s c h n i t t e n ; s o t r i t t e i n e S t ö r u n g i n d e r S p a n n u n g s v e r t e i l u n g u m d a s L o c h h e r u m e i n ; d i e S p a n n u n g a n d e n L o c h r ä n d e r n z e i g t e in a n d r e s B i l d a l s in d e n ü b r i g e n E l e m e n t e n d e r B l e c h e . I m e i n z e l n e n m u ß a u f d i e A r b e i t K i r s c h s v e r w i e s e n w e r d e n o d e r a u c h a u f d e n A u f s a t z v o n P r o f . W . S c h a c h e n m e i e r i m „ B a u i n g e n i e u r “ 1 9 2 2 , H e f t 2 4 .

B a u 1025. 5 1

7 0 4 DÖRR, VOM ELASTISCHEN VERHALTEN D ER GESTEINSW ÄNDE IN DRUCKSTOLLEN.

D U R B A U IN G E N IE U R 1925 H E F T 23.

A ls w ic h t ig s t e s E r g e b n is sei fo lg e n d e s h ie r h e r g e s e t z t : B e z e ic h n e t m a n m it p d ie u r s p r ü n g lic h e , in i B le c h n a c h a lle n R ic h tu n g e n v o r h a n d e n e S p a n n u n g , m it a d en R a d iu s d es L o c h q u e r s c h n it ts u n d m it r d en A b s t a n d d e s M it t e lp u n k t e s e in e s b e lie b ig e n E le m e n ta r p r is m a s v o n d e r x - A c h s e d e s L o c h e s, so w ir d in d ie se m E le m e n ta r p r is m a d ie S p a n n u n g t a n g e n tia l z u e in e m K r e is v o m R a d iu s r :

t iv e n D e h n u n g e n d e n g r ö ß t e n B e it r a g z u r G e s a m td e h n u n g n a c h d e m S to lle n in n e r n zu . D a a b e r im u n b e r ü h r te n G e b ir g e d ie e in z e ln e n E le m e n ta r p r is m e n n a c h a lle n R ic h tu n g e n ein e Z u sa m m e n p re s s u n g a u fw e is e n v o m B e t r a g

- P f e - t » ) m E ’

r a d ia l d a z u :

°y = p ( I + 7 - ) > ...<2

( 3

S p a n n u n g e n c>, u n d a z d a r g e s t e l l t .

A m L o c h r a n d e , w o a = r ist, w ir d d e m n a c h <jy — 2 p,

= o . F ü r a lle P u n k t e is t d ie S u m m e d e r b e id e n S p a n n u n g e n .jy -f- a, — 2 p . In d e r A b b . i is t d e r V e r la u f d e r b e id e n H a u p t-

D ie S p a n n u n g s lin ie n sin d H y p e r b e lä s te m it den A s y m p t o t e n a z = p u n d o y = p . D ie S p a n n u n g s ­ s tö r u n g d u r c h e in so lc h e s L o c h e r s t r e c k t sic h a lso th e o r e t is c h in s U n e n d ­ lic h e , p r a k t is c h w e rd e n je d o c h , d ie A b s t ä n d e d er K u r v e n v o n ih r e n A s y m p ­ t o te n s e h r r a s c h b e ­ d e u tu n g s lo s ; f ü r r == 6 a w ir d oy = 1,028 p u n d o 2 = 0 ,9 72 p ; sie w e ic h e n a lso n u r se h r w e n ig v o m W e r t p a b .

M it I-lilfe d e r G l. (i) soll n u n v e r s u c h t w e rd e n , d a s M a ß d e r zu e rw a r te n d e n D e h n u n g d e r S to lle n w a n d in d e r R ic h tu n g d e s R a d iu s zu s c h ä tz e n . F ü h r t m a n in d ie G l. (1) b e im k r e is ­ ru n d e n D r u c k s to lle n d ie W e r t e crz = p , o y n a c h G l. (2) u n d c z n a c h G l. (3) ein , g ib t d e n V e r lä n g e r u n g e n p o s itiv e , d en V e r ­ k ü rz u n g e n n e g a t iv e V o r z e ic h e n , so is t z u s c h r e ib e n :

Abb. 2.

u

p - f a

I n d en R a n d e le m e n t e n is t o z = o , o y = 2 p, s o m it

ö „ = - 3 P

Ox -j“ <Jy

w ie sie v o m G r ö ß t w e r t T U

Ooz -

n a c h d e m A u s b r u c h d es S to lle n s a b e r in fo lg e d e r o b e n e rö rte rte n S tö r u n g in d e r S p a n n u n g s v e r te ilu n g d ie se Z u sa m m e n p re s s u n g in d e r z - R ic h t u n g b is z u e in e r E n tfe r n u n g v o n e tw a r = 6 a v o n S t o llc n m it t e m e rk lic h n a c h lä ß t , so k o m m t zu d e m B e tr a g , d en d ie p o s it iv e n D e h n u n g e n b is z u m P u n k t S lie fe rn , n o c h ein S u m m a n d h in z u , d e r v o n d e r A b n a h m e d e r n e g a t iv e n D e h n u n g in d e r z - R ic h t u n g h e r r ü h r t.

E in e m a th e m a tis c h g e n a u e L ö s u n g fü r d ie G e s a m td e h n u n g so ll h ie r n ic h t v e r s u c h t w e rd e n , v ie lm e h r sei, u m w e n ig s te n s e in e V o r s t e llu n g v o n d e r G rö ß e n a n o r d n u n g d e r D e h n u n g z u e r­

h a lte n , fo lg e n d e r.Ü b e rs c h la g g e m a c h t. D ie F ig u r S T U d e r A b b . 2 sei a ls D r e ie c k b e tr a c h t e t , a lso a n g e n o m m e n , d a ß d ie p o s itiv e n

'j n D e h n u n g e n g e r a d lin ig v o m H ö c h s t w e r t T U = -f- qj’ p am S to lle n r a n d z u m W e r t N u ll a b n e h m e n . D ie s c h r a ffie r te F lä c h e S T U is t in W ir k lic h k e it k le in e r a ls d a s D r e ie c k S T U . D e r M e h r­

w e r t, d e r sich s o m it fü r d ie a u s d e m D r e ie c k b e r e c h n e te D e h n u n g e r g ib t, m ö g e a ls d e r je n ig e A n t e il a n g e se h e n w e rd e n , d e n die M in d e r u n g d e r n e g a t iv e n D e h n u n g e n u m d a s L o c h h e ru m g e g e n ü b e r d e m A n fa n g s z u s t a n d b r in g t.

W e n n m a n a llg e m e in z u e in e m b e lie b ig e n W e r t m die L ä n g e d e s d ie R a n d z o n e m it p o s it iv e r D e h n u n g n a c h a u ß e n b e­

g r e n z e n d e n R a d iu s m it r ' = g a b e z e ic h n e t, d ie D ic k e d ieser S c h ic h t d e m n a c h m it (g — 1) a, so e r h ä lt m a n d ie G e s a m t­

d e h n u n g n a c h d e m S to lle n in n e r n m it in ro h e r N ä h e r u n g zu

A r —

2 m E (5

(4

m E ’

D ie s is t d ie g r ö ß t e p o s it iv e E le m e n ta r d e h n u n g ; v o m R a n d e a n n im m t sie in d e r z - R ic h t u n g ra s c h a b u n d - w ir d in je n e n E le m e n te n z u N u ll, in d e n e n

P + a y ff* = — m "

is t ; je n s e its d ie se r G re n z e is t sie n e g a t iv u n d n ä h e r t sic h la n g sa m d e m W e r t , d e r im u n b e r ü h r te n G e b ir g s in n e rn v e r h a n d e n ist.

d . h . d e m W e r t

« _ p ( 2 — m) ' .

<J|)Z — m E

I n A b b . 2 s in d d ie b e id e n K u r v e n f ü r a, u n d

1 ^ ' 111

2± .J. z u m W e r t m = 4 v o n d e rs e lb e n N u llin ie n a c h o b en

m *

a u fg e tr a g e n . D ie A b s z is s e ih r e s S c h n it t p u n k t e s S g i b t d ie ä u ß e r e G r e n z e d e r Z o n e m it p o s it iv e r D e h n u n g an , w e il d o r t

= az w ir d . W ie b r e it d ie Z o n e ist, in d e r - ü r t ? L <- CT

m m

is t, h ä n g t v o n m a b ; is t m g r o ß , so b le ib t d ie Z o n e sc h m a l, m it a b n e h m e n d e m m v e r b r e it e r t sie s ic h ; fü r m = 00 w ir d d ie Z o n e n b r e ite N u ll, F ü r m = 4 lie g t d ie G re n z e b e i r = 1,5 4 a, w e lc h e s M a ß d u r c h A b g r e ife n g e fu n d e n is t. D ie s c h r a ffie r te F lä c h e S T U s t e llt d e n V e r la u f d e r p o s itiv e n D e h n u n g e n d a r,

• Y p

4— -A - . r a s C]\ a u f N u ll b e im 1 ni E

P u n k t S sin k e n . D ie s e R a n d z o n e . lie fe r t m it ih r e n p o si-

D ie V e r k ü r z u n g d es D u rc h m e s s e r s is t d a n n g le ic h dem D o p p e lte n d ie se s M a ß e s u n d d ie V e r k ü r z u n g d e s U m fa n g s

A u = 2 7t A r.

D ie D e h n u n g is t a lso v o r a lle m a b h ä n g ig v o n m u n d E , a b e r a u c h v o n d e r W e ite d e r Ö ffn u n g ; sie is t d e m R a d iu s a u n m itte l­

b a r p r o p o r tio n a l.

W ie g r o ß b e i e in e r G e b ir g s m a s s e m u n d E s in d u n d in w ie w e it d ie se M a sse d e m H o o k e s c h e n G e s e tz fo lg t, l ä ß t sic h s c h w e r e r m itte ln ; j e w e ic h e r d a s G e s te in , j e b r e ite r d ie R is s e u n d F u g e n z w is c h e n d e n B ä n k e n sin d , u m so k le in e r w e r d e n d ie W e r t e sein.

F ü r e in G e s te in s m a s s iv , d a s n ic h t se h r d ic h t u n d v o n g ro ß e r F e s t ig k e it is t, s c h e in t m ir m = 4 e in b r a u c h b a r e r S c h ä tz u n g s ­ w e r t z u sein ; im lo c k e re n G e b ir g e is t e r w o h l n o c h z u g r o ß .

Ü b e r d ie Z a h l E sin d w ir e in s tw e ile n e b e n fa lls n o c h im U n ­ k la re n , D ie e in z ig e n m ir b e k a n n te n Z a h le n w e r te , d ie m an h ie r v e r g l e i c h s w e i s e z u R ä t e z ie h e n k a n n , sin d d ie a u s den

„ V e r s u c h e n ü b e r d ie D r u c k e la s t iz it ä t u n d D r u c k fe s tig k e it v o n M a u e r w e r k “ v o n O tt o G r a f ( B e rlin 1924, V . E r n s t & S oh n ).

G r a f u n te r s u c h te d ie D r u c k e la s t iz it ä t v o n M a u erstein en u n d M a u e r w e rk s k ö rp e r n , d ie t e ils m it K a lk m ö r t e l, t e ils m it Z e m e n tm ö r te l h e r g e s t e llt w a r e n . D ie M a u e r s te in e w a r e n in der H a u p t s a c h e B e to n s te in e in v e r s c h ie d e n e n M is c h u n g s v e r h ä lt­

n isse n , d ie F u g e n s t ä r k e b e tr u g 1 c m ; d ie Q u e r s c h n itte d er g e p r e ß te n S ä u le n w a r e n z u 2 5 ,7 /2 5 ,7 c m g e w ä h lt . D ie M a u er­

s te in e lie fe r te n b e i e in e m M is c h u n g s v e r h ä ltn is 1 Z e m e n t : 5 S an d : 7 K ie s E la s t iz itä t s z if f e r n , d ie v o n rd 200 000 k g / c m 2 a u f rd 15 0 0 0 0 k g / cm 2 a b n a h m e n , w en n , d ie P r e s s u n g v o n 1 a u f 28. k g / c m 2 a n s tie g . D ie S ä u le n a u s d ie se n S te in e n , m it K a lk m ö r t e l (1 K a l k : 4 S a n d ) g e m a u e r t, e r g a b e n e in e Z a h l E d e r g e s a m te n V e r k ü r z u n g e n , d ie v o n 24 000 a u f 10 200 kg/cm - s a n k , a ls d ie P r e s s u n g v o n 0,8 a u f z u le t z t 2 7 ,5 k g / c m 2 stieg.

D a s A l t e r d e r S ä u le w a r h ie r b e i d r e i M o n a te . D ie m it Z e m e n t­

m ö r te l 1 : 3 g e m a u e r te n P f e ile r z e ig te n b e i e in e r v o n 0 ,5 bis 49 k g / c m 2 g e s te ig e r te n P r e s s u n g e in e A b n a h m e d e r Z a h l E

D E R B A U I N G E N I E U R

1925 H E F T 23. DÖRR, VOM ELASTISCH EN VERHALTEN D ER GESTEINSW ÄNDE IN DRUCKSTOLLEN.

705

v o n n 8 900 a u f 47 500 k g / c m 2 b e i e in e m A lt e r v o n 28 T a g e n . D ie Z a h le n s in d d e r Z u s a m m e n s te llu n g 5, S . 15 d e r G rä ts c h e n V e r ö ffe n t lic h u n g e n tn o m m e n . D ie T a b e lle a u f S . 19 d o rt z e ig t fü r e in e a n d e re V e r s u c h s g r u p p e u n g e fä h r d a s g le ic h e B ild . A u s d e n V e r s u c h e n G r a fs d a r f a u c h f ü r d ie E la s t iz it ä t s z if f e r e in e s G e b ir g s m a s s iv s w o h l g e s c h lo s s e n w e rd e n , d a ß sie m it d e r H ö h e d e r P r e s s u n g v e r ä n d e r lic h ist, u n d d a ß sie b e i e in ig e r­

m a ß e n h o h e r Ü b e r la g e r u n g m e ist k le in e r a ls d ie fü r M a u e r­

w e r k in K a lk m ö r t e l g e fu n d e n e sein w ird , w e n n es sic h n ic h t g e ra d e u m se h r fe s te n F e ls h a n d e lt, w e il m e ist d ie F u g e n fü llu n g g e rin g e re F e s t ig k e it h a b e n w ir d a ls ein d r e i M o n a te a lte r K a lk s a n d m ö r te l u n d w e il e in e P r e s s u n g 30 — 50 k g / c m 2 sch o n b ei e tw a 150 — 200 m Ü b e r la g e r u n g e r r e ic h t is t.

A ls B e is p ie l se i g e w ä h lt e in k r e is r u n d e r S to lle n m it:

Ü b e r la g e r u n g s h ö h e h = 200 m , G e s te in s g e w ic h t 7 = 2 t/ m 3, R a d iu s d es A u s b r u c h s a = 2,4 m ,

E la s t iz it ä t s z if f e r E = 30 000 k g / cm 2 = 300 000 t/m 2, P o is s o n s c h e Z a h l m = 4,

s o m it q = 1,5 4 n a c h A b b . 2.

M it d ie se n W e r te n e r h ä lt m a n n a c h G l. (5) ein e V e r k ü r z u n g d es R a d iu s n a c h d e m A u s b r u c h v o n

A r = 3 ' 2 ■ 20° • °,54 • 2,4 2 -4 -3 0 0 000 A r = 0,65 mm, A u rr 3,9 nun.

=2 0,00065 m,

D a m it is t w e n ig s te n s e in A n h a lt fü r d ie G rö ß e n o r d n u n g d er G e b ir g s d e h n u n g g e w o n n e n . D a ß th e o r e tis c h d a s M a ß b e i g e ­ n a u e r I n t e g r a t io n v ie lle ic h t u m 15 — 20 v H sic h ä n d e rn w ü rd e , f ä l l t in A n b e t r a c h t d e r U n s ic h e rh e it, m it d e r d ie W e r te m u n d E b e h a f t e t sin d , n ic h t in s G e w ic h t. E is t zie m lic h g ro ß g e w ä h lt w o rd e n .

M a n e r k e n n t, d a ß d e r in n e re W a s s e r d r u c k n u r e i n e n T e i l d i e s e r D e h n u n g z u r ü c k z u d r ä n g e n b r a u c h t, u m d en B e to n m a n t e l zu m R e iß e n z u b rin g e n , d e n n d ie e la s tis c h e Z u g d e h n u n g d e s B e to n s i s t w e s e n tlic h k le in e r a ls d ie se s M a ß .

B e im p r a k tis c h e n S to lle n b a u k o m m t u n g ü n s tig e rw e is e h in z u , d a ß es b is h e u t e n o c h n ic h t g e lu n g e n is t, e in e B a u w e is e zu fin d e n , d ie a m g a n z e n U m fa n g — n a m e n tlic h im S c h e ite l — e in e n d r u c k s ic h e re n , h o h lr a u m lo s e n A n s c h lu ß d e s B e to n - o d e r M a u e r w e r k s m a n te ls a n d ie G e s te in s w a n d g e w ä h r le is te t. I s t d ie se r A n s c h lu ß m a n g e lh a ft, so k a n n d e r B e to n m a n t e l sch o n ze r s p r u n g e n sein , b e v o r d e r W a s s e r d r u c k d a s g e d e h n te G e ste in z u r ü c k p r e ß t .

H ie r z u k o m m t n o c h , d a ß b e im A u s s p r e n g e n d es S to lle n s n ie m a ls d ie g e o m e tr is c h e K r e is fo r m e r z ie lt w e rd e n k a n n , d a ß d ie S to lle n w ä n d e d u r c h d ie S p re n g s c h ü s s e g e lo c k e r t u n d u n ­ r e g e lm ä ß ig a u fg e ris s e n w e rd e n , so d a ß d ie E la s tiz itä ts g r ö ß e n m u n d E a m S to lle n r a n d e u n g ü n s tig b e e in flu ß t w e rd e n m ü ssen.

D e r I n g e n ie u r d e r P r a x is k a n n a b e r e in s tw e ile n a u s den o b e n s te h e n d e n B e tr a c h t u n g e n fo lg e n d e S c h lü s se zie h e n :

I n je d e m S to lle n m u ß u n m it t e lb a r b e im A u s b ru c h ein e D e h n u n g d e s G e s te in s n a c h d e m S to lle n in n e r n z u e in tre te n , als n o tw e n d ig e F o lg e d e r u m d e n S to lle n h e ru m h e rrsc h e n d e n S p a n n u n g e n . D ie s e D e h n u n g w ä c h s t m it d e m S to lle n d u r c h ­ m e sse r u n d d e m I n n e n d r u c k im G e s te in , also im a llg em e in en m it z u n e h m e n d e r Ü b e r la g e r u n g d e s S to lle n s . D o c h k ö n n e n d ie te k to n is c h e n S p a n n u n g e n g e le g e n tlic h so v e rla u fe n , d a ß d ie Ü b e r la g e r u n g d e s S to lle n s k e in sich e re s M a ß fü r d e n zu e rw a r te n d e n G e b ir g s d r u c k d a r s te llt. D ie Q u e rd e h n u n g is t u m g e k e h r t p r o p o r tio n a l d e r P o is s o n s c h e n Z a h l m u n d d er E la s t iz it ä t s z if f e r E d e s G e s te in s .

D ie W e rtm e s s e r m u n d E sin d g le ic h m ä ß ig u n sich e re G rö ß e n . Ü b e r s c h r e ite n d ie Q u e r d e h n u n g e n n a c h d e in S to lle n in n e rn z u d ie f ü r d a s b e tr e ffe n d e G e s te in z u l ä s s i g e D e h n u n g , so b r ic h t d a s G e s te in . D a s A b s p r in g e n u n d A b b lä t t e r n d es F e ls e n s im S to lle n a u s b r u c h is t e in e lä n g s t b e o b a c h te te , u n te r d em N a m e n „ B e r g s c h l ä g e “ b e k a n n te E rs c h e in u n g .

H a t im m a ssig e n , s ta n d fe s te n G e b ir g e h in t e r d e m A u s b r u c h h e r d ie g a n z e Q u e r d e h n u n g sic h a u s g e w ir k t, h a t a lso d a s

e la s tisc h e G le ic h g e w ic h t sich e in g e s te llt, b e v o r d ie A u s k le id u n g e in g e b a u t ist, so b le ib t d ie A u s k le id u n g d e s S to lle n s o d e r T u n n e ls o h n e G e b ir g s d r u c k . D ie A u s m a u e r u n g h a t th e o r e tis c h n u r ih r e ig e n e s G e w ic h t z u tr a g e n . B e i T u n n e ln , d ie o h n e in n e rn Ü b e r d r u c k b le ib e n , is t d ie se T a t s a c h e o h n e p r a k tis c h e F o lg e n . B e im S to lle n a b er, d e r n a c h h e r W a s s e r u n te r D r u c k v o n in n e n z u fü h r e n h a t , lie g e n d ie D in g e a n d e rs.

I s t d ie A u s k le id u n g a u s n ic h t z u g fe s te m B a u s t o f f h e r g e s te llt, so b e la s t e t d e r W a s s e r d r u c k d ie v o r h e r s t a r k n a c h d e m S to lle n ­ in n e rn zu g e d e h n te n R a n d z o n e n , w o e in e v e r h ä lt n is m ä ß ig g e ­ rin g e P r e s s u n g g e n ü g t, d ie D e h n u n g w e n ig s te n s te ilw e is e r ü c k ­ g ä n g ig z u m a c h e n . D ie b e im Z u r ü c k d r ä n g e n d e s G e b ir g e s sich e in s te lle n d e V e r lä n g e r u n g d e r U m fa n g s lin ie d e r S to lle n a u s ­ k le id u n g k a n n Z u g ris s e b rin g e n , d u r c h d ie d a s D r u c k w a s s e r e n tw e ic h t. E in D r u c k s to lle n w ir d h in s ic h tlic h d e r W a s s e r­

d ic h t ig k e it u m so g e s ic h e r te r sein , j e k o m p a k t e r d a s G e s te in u n d j e g e rin g e r sein e Ü b e r la g e r u n g is t. J e tie fe r m a n m it d e m S to lle n u n te r d ie O b e r flä c h e k o m m t, u m so v o r s ic h tig e r m u ß m a n w e g e n d e r W a s s e r v e r lu s te a u s Z u g ris s e n im S to lle n m a n te l sein .

F ü r d ie P la n u n g u n d A u s d e h n u n g e in e s S to lle n s im s t a n d ­ festen G e b ir g e l ä ß t Sich d a ra u s fo lg e rn , d a ß m a n d e n S to lle n , w en n es m ö g lich ist, n ic h t in Z o n e n m it h o h e m G e b ir g s d r u c k fü h re n so ll. U m d a s Z u rü c k g e h e n d e r D e h n u n g n ic h t g e ­ fä h rlic h fü r d ie S to lle n a u s k le id u n g w e r d e n z u la sse n , w ird m a n g u t tu n , h o h e n W a s s e r d r u c k im tie flie g e n d e n S to lle n zu v e rm e id e n . D a s M a ß d e r b e im S to lle n b a u e in tre te n d e n G e s te in s d e h n u n g u n d n a m e n tlic h d ie Z e i t , in n e r h a lb d e r sie sich a u s w ir k t, s o llte m a n d u rc h B e o b a c h tu n g e n f e s t ­ z u s te lle n su ch en , d a m it n ach u n d n a c h E r fa h r u n g s w e r te fü r d ie v e rs c h ie d e n s te n V e r h ä ltn is s e Z u sa m m e n k o m m en , a u s d en en m a n fü r N e u a n la g e n N u t z e n z ie h e n w ird . D ie D e h n u n g w ir d sich u n m it t e lb a r a n d e r S to lle n b r u s t b e m e r k b a r m a c h e n u n d m it d e m F o r ts c h r e ite n d e s A u s b r u c h s a llm ä h lic h ih r e n v o lle n W e r t e rre ic h e n . W ä h lt m a n a n g e e ig n e te n S te lle n am U m fa n g d e s S to lle n s — a n n ä h e r n d in E b e n e n n o r m a l z u r S to lle n a c h s e — je w e ils e in ig e F e s t p u n k t e , so la ss e n sic h w o h l d u rch M e ssu n g in g e e ig n e te n Z e ita b s tä n d e n d ie B e w e g u n g e n n a c h d em S to lle n in n e r n z u fe s ts te lle n u n d d a r a u s S c h lü s se z ie h e n a u f d ie G rö ß e n p , m , E u n d d a s M a ß d e r u n te r d em W a s s e r d r u c k z u e rw a r te n d e n Z u r ü c k d r ä n g u n g . D ie n a c h tr ä g ­ lic h e n M e ssu n g en d e r A u s d e h n u n g d es S to lle n u m fa n g s u n te r d em Ü b e r d r u c k v o n in n en , w ie sie in d e n le t z t e n J a h re n w ie d e r h o lt m it g r o ß e n K o s t e n a n g e s te llt w o r d e n sin d , h a b e n v o n d iesem G e s ic h ts p u n k t a u s n u r b e d in g te n W e r t , d a d ie so e r­

m it t e lt e D e h n u n g n a c h a u ß e n im m e r n u r e in T e il d e r sch o n v o r h a n d e n e n G e s te in s d e h n u n g n a c h d e m In n e r n sein w ird . A m e in fa c h s te n w ä r e n a tü r lic h d ie L ö s u n g d e s P r o b le m s , w en n m a n im s ta n d e w ä r e , d ie ' D e h n u n g d e s G e b ir g e s n a c h d e m S to lle n in n e r n z u v e r h ü te n . A lle in ein E in b a u , d e r d ie se K r ä f t e a u fn e h m e n k ö n n te , is t w ir t s c h a ft lic h u n d a u s fü h ru n g s te c h n is c h u n d e n k b a r .

V o n B e d e u tu n g k a n n d ie G e s c h w in d ig k e it sein , m it d e r d ie g a n z e D e h n u n g v e r lä u f t . S ie w ir d w o h l in v e rs c h ie d e n e n G e s te in s a r te n v e rs c h ie d e n sein . W e n n e in m a l B e o b a c h tu n g e n ü b e r d ie Z e its p a n n e v o rlie g e n , in n e rh a lb d e r d ie V e r fo rm u n g sich v o llz ie h t, so k ö n n te m a n , fa lls e tw a d ie le t z t e n R e s te d er D e h n u n g sich la n g s a m g e n u g a u s w ir k e n , d a ra n d e n k e n , d ie S to lle n a u s k le id u n g so ra s c h a ls m ö g lich d e m A u s b r u c h fo lg e n z u la ssen , u n d sie a u s h o c h w e r tig e m Z e m e n t h e rz u s te lle n . M an k ö n n te d a n n v ie lle ic h t n o c h A n fa n g s d r u c k s p a n n u n g e n im B e t o n ­ m a n te l e rh a lte n , d ie seh r e r w ü n s c h t w ä re n .

B e i seh r tie fe n L a g e n d e r S to lle n ö ffn u n g , w o d ie D e h n u n g d e s G e s te in s d ie B r u c h g r e n z e e rre ic h t, m ü sse n d ie S to lle n w ä n d e sich a n d e rs v e r h a lt e n . U m d ie S to lle n ö ffn u n g h e ru m , w o d ie S p a n n u n g az z u N u ll w ird , w ir d d a s G e s te in z e r d r ü c k t. D ie Z e rs tö ru n g w ir d a b e r m it d e r E n tfe r n u n g v o n d e r S to lle n w a n d n a c h d e m G e b ir g s in n e rn z u ziem lich r a s c h a b n e h m e n . W ir h a b e n es d a n n fü r d ie a u ß e r h a lb d e r z e r d r ü c k te n u n d n ach d e m S to lle n zu g e d e h n te n Z o n e lie g e n d e n G e s te in s p r is m e n a n n ä h e r n d m it je n e m d re ia c h s ig e n S p a n n u n g s z u s ta n d e zu tu n ,

5 4*

706

WORCH, STU D IEN ZU R BERECHNUNG MEHRSTIELIGER STOCKW ERKRAHM EN. D E R B A U IN G E N IE U R 1025 H E F T 23.

d e r v o r d e r S tö r u n g d u r c h d e n A u s b r u c h v o r h a n d e n w a r . In d ie se m Z u s ta n d is t die. G e s te in s fe s tig k e it b e k a n n tlic h v ie l h ö h e r a ls d ie W ü r fe lfe s tig k e it. D a s G e s te in k a n n sich s o g a r w ie e in p la s tis c h e r K ö r p e r v e r h a lte n , o h n e z u b re c h e n 1). D a je d o c h in so g r o ß e r T ie fe D r u c k s to lle n fü r W a s s e r fü h r u n g so g u t w ie n ie m a ls V o rk o m m e n w e rd e n , so ll a u f d ie F r a g e , w ie m a n sich d ie se r E r s c h e in u n g g e g e n ü b e r p r a k t is c h z u v e r h a lt e n h a b e , n ic h t n ä h e r e in g e g a n g e n w e r d e n /

D a s V e r h a lte n d e s G e b ir g e s, w ie es so eb e n k u r z a n g e g e b e n w o r d e n ist, g le ic h t a b e r d e n V o r g ä n g e n , d ie w ir im g e b r ä c h e n G e b i r g e sc h o n b e i g e rin g e re r Ü b e r la g e r u n g b e o b a c h te n .

U n t e r g e b r ä c h e m G e b ir g e so lle n d ie E r d - u n d G e b irg s - m a sse n v e r s t a n d e n w e r d e n , d ie a u s m e h r o d e r w e n ig e r lo sen H a u fw e r k e n v o n G e s te in s tr ü m m e r n u n d d e re n V e r w it t e r u n g s ­ p r o d u k t e n b e s te h e n . Ü b e rw ie g e n d ie G e s te in s trü m m e r , so s p r ic h t m a n v o n S c h o tte r , K ie s , S a n d ; sin d d ie fe in s tk ö rn ig e n V e r w it t e r u n g s p r o d u k t e d ie H a u p tm a s s e , so h a t m a n es z u tu n m it L e h m , L e t t e n , T o n , K la i. D ie z u le t z t g e n a n n te n B o d e n ­ b e s ta n d te ile w e r d e n m e ist a ls e in e A r t K it t m a s s e w ir k e n ; m an p fle g t d a n n v o n e in e r „ K o h ä s i o n “ im G e b ir g e z u sp rec h en . D e r B e g r if f „ K o h ä s i o n “ b e d e u t e t a b e r w e it e r n ic h ts , a ls d a ß d ie se M a sse n ein e g e w is s e F e s t i g k e i t im S in n e d e r F e s t ig k e it s ­ le h re h a b e n . D ie F e s t ig k e it w ir d in d e r R e g e l z a h le n m ä ß ig g e r in g sein , a b e r d o c h W e r t e a u fw e is e n k ö n n e n , d ie m a n als Z u g - o d e r D r u c k fe s tig k e ite n m e sse n k a n n ,, w ie an e in e m n a t ü r ­ lic h e n o d e r k ü n s t lic h e n S te in .

B e i d e n th e o r e tis c h e n B e tr a c h t u n g e n ü b e r d ie in n e re n , in e in e m E r d h a u f w e r k a u ftr e te n d e n S p a n n u n g e n w ir d d ie se

„ F e s t i g k e i t “ m e is t v e r n a c h lä s s ig t, w e il sie z u k le in u n d u n s ic h e r is t, a ls d a ß e s sic h f ü r g e w ö h n lic h e Z w e c k e lo h n te , sie z u b e ­ a c h te n . P r a k t is c h s p ie lt sie a b e r b e i E r d a r b e it e n e in e R o lle . W e n n in e in e r B a u g r u b e , e in e m E in s c h n it t , d ie E r d w ä n d e n a c h d e m A u s h u b m e h re re M e te r h o c h o h n e A b s p r ie ß u n g s te h e n b le ib e n , so h a t d e r B o d e n e in e „ F e s t i g k e i t “ .

W ir d d u r c h e in s o lc h e s G e b ir g e e in S to lle n g e tr ie b e n , so k a n n b e i g e r in g e r Ü b e fla g e r u n g s h ö h e d ie B e r g fe s tig k e it u n te r U m s tä n d e n so g r o ß sein , d a ß d ie U lm e n s te h e n b le ib e n , also

J) Vgl. hierzu „Schweiz. Bauz. 1923, S. 16S; Aufsatz von Maillart

„Der Einfluß der Überlagerungshöhe auf die Bemessung des Mauerwerks tiefliegender Tunnel“.

n ic h t z e r d r ü c k t w e rd e n . A u c h d e r F i r s t d r u c k w ir d d a n n n u r e in e n k le in e n W e r t a u fw e is e n .

M a n k a n n in d ie se n e in fa c h e n F ä lle n u n te r A u ß e r a c h t la s s u n g d e r „ B e r g f e s t i g k e i t “ d ie G e b ir g s m a s s e n a ls lo se s H a u fw e r k b e ­ t r a c h t e n u n d d e n z u e rw a r te n d e n F i r s t d r u c k re c h n e ris c h b e ­ s tim m e n . D ie m a th e m a tis c h e n E n tw ic k lu n g e n d a z u fin d e t m a n in m e in e m A u f s a t z „ E r d d r u c k a u f d ie A u s k le id u n g in S to lle n u n d T u n n e ln “ in d e r „ B a u t e c h n i k “ 1924, H e f t 50.

B e i g r ö ß e r e n T ie fe n w ir d d u r c h d ie B e la s t u n g m it d e m e ig e n e n G e w ic h t d ie G e b ir g s p re s s u n g g r ö ß e r a ls d ie B e r g f e s t ig ­ k e it ; d ie D e h n u n g e n a m S to lle n u m fa n g ü b e rs c h r e ite n d ie z u ­ lä ss ig e n M a ß e, d. h . d ie E r d e w ir d in d ie S to lle n ö ffn u n g h in e in ­ g e p r e ß t. A u c h h ie r w ir d sich in fo lg e d e s W id e rs ta n d e s , d e n d ie w e ic h e n d e n S c h ic h te n in r a d ia le r R ic h t u n g n a c h a u ß e n fo r t ­ s c h r e ite n d e n tw ic k e ln , e in e g e w is s e ! S e lb s th e m m u n g g e lte n d m a c h e n . S ie is t n a tü r lic h v ie l k le in e r a ls b e im z e r d rü c k te n F e l S e n u n d w o h l s e lte n so g r o ß , d a ß sie a lle in e in e n Z u ­ s a m m e n b ru c h z u v e r h in d e r n v e r m ö c h te .

B e i T u n n e ln o d e r S to lle n f ü r d en V e r k e h r is t in d iesen F ä lle n e in e d r u c k fe s te A u s k le id u n g e rfo rd e rlic h .

B e i e in e m w a s s e r fü h r e n d e n S to lle n m it I n n e n d r u c k in ein em g e b r ä c h e n G e b ir g e k a n n d e r A u ß e n d r u c k g rö ß e r, g le ic h o d e r k le in e r a ls d e r s p ä te r e I n n e n d r u c k d e s W a s s e r s sein , je d e n fa lls e r h ä lt m a n im G e b ir g s d r u c k e in e seh r e rw ü n s c h te K r a f t , d ie d e m in n e re n Ü b e r d r u c k g a n z o d e r te ilw e is e d a s ,G le ic h g e w ic h t h a lt e n k a n n .

A u s d ie se n Ü b e r le g u n g e n fo lg t , d a ß es u n te r U m s tä n d e n z w e c k m ä ß ig e r ist, e in e n D r u c k s to lle n d u r c h l o s e M a s s e n zu fü h r e n a ls d u r c h fe s te s G e s te in , d a m a n im lo se n G e b ir g e v ie l e h e r m it e in e m t ä t ig e n D r u c k v o n a u ß e n re c h n e n k a n n a ls im F e ls e n m it e in e m a u s re ic h e n d e n W id e r s ta n d .

A lle r d in g s d a r f m a n n ic h t v e r k e n n e n , d a ß es seh r s c h w ie rig is t u n d b le ib e n w ird , d e n t ä t ig e n D r u c k lo c k e r e r M a sse n v o n a u ß e n m it b r a u c h b a r e r A n n ä h e r u n g z u b e stim m e n , u n d d a ß ein s o lc h e r S to lle n in d e r A u s fü h r u n g s e h r t e u e r w e r d e n k a n n . D ie V e r h ä ltn is s e m ü ß te n so lie g e n , d a ß d e r t ä t i g e D r u c k v o n a u ß e n d a u e r n d b e s te h e n b le ib t, d . h . d a ß e r n ic h t a ls t ä t ig e r D r u c k in fo lg e S e lb s ts p e r r u n g v e r s c h w in d e t u n d n u r ein e W id e r ­ s ta n d s g r ö ß e ü b r ig b le ib t . D e n n z u r E r z e u g u n g e in e s W id e r ­ s ta n d e s g e h ö r t e in e g e w is s e B e w e g u n g , d . h . e in e D e h n u n g , d ie u n te r U m s tä n d e n g e n ü g t, d en S to lle n m a n te l z u z e rre iß e n .

STUDIEN ZUR B E R E C H N U N G UND K O N STR U K TIO N M EH RSTIELIGER STO C K W E R K R A H M E N .

Von Privatdozant Dr.-Ing. Günter Worch, Darmstadt.

( F o r t s e tz u n g v o n S e ite 684.) K a p i t e l I V .

U n t e r s u c h u n g d e r S y s t e m e A 2 u n d B 2.

D ie U n te r s u c h u n g d e r S y s t e m e A 2 u n d B 2 k ö n n e n w ir in e in e m b e h a n d e ln , d e n n d e r - G a n g d e r s e lb e n so w ie au ch d e r a llg e m e in e A u fb a u d e r e n ts te h e n d e n E la s tiz itä ts g le ic h u n g e n is t g e n a u d e r s e lb e .

A ls s ta tis c h u n b e s tim m te H a u p t s y s t e m e w ä h le n w ir d ie in d e n v o r ig e n K a p it e ln b e h a n d e lte n T r a g w e r k e A 1 u n d B 1.

B e i m S t o c k w e r k e n e r g e b e n sich d a n n 2 m s ta tis c h u n b e ­ s tim m te G r ö ß e n Y (v g l. A b b . 18).

O h n e d a ß m a n d ie M o m e n te n flä c h e n ’ fü r d ie e in zeln en Z u s tä n d e Y = — 1 a u fz u tr a g e n b r a u c h t, e r k e n n t m a n , d a ß sic h d ie se fü r d ie Z u s tä n d e Y j = — 1 u n d Y [ ==/. — 1 n u r ü b e r d ie S tä b e d e s L te n u n d d e s (i -f- i ) t e n S to c k w e r k e s e r­

s tr e c k e n . S o m it k a n n m a n w ie d e r d a s s c h e m a tis c h e B ild d e r 2 m E la s t iz it ä t s g ie ic h u n g e n d ir e k t a n s c h re ib e n .

D ie E la s t iz itä t s g le ic h u n g e n e r g e b e n sich a ls s e c h s g lie d r ig e G le ic h u n g e n , u n d z w a r -e rs c h e in e n d ie U n b e k a n n te n in z w e i a u fe in a n d e r fo lg e n d e n G le ic h u n g e n im m e r g le ic h a r t ig . F ü r .d ie L ö s u n g e m p fie h lt e s sich , w ie d e r ä h n lic h w ie frü h e r , a b w e c h s e ln d r e c h ts u n d lin k s e in e n d e r v e r s c h w in d e n d e n [i k ] - W e r t e h in z u g e fü g t zu d e n k e n . A u f d ie se W e is e e r h a lt e n w ir d a n n

w ie d e r e in S y s t e m s ie b e n g lie d r ig e r G le ic h u n g e n (v g l. d ie b e id e n s t a r k a u s g e z o g e n e n , t r e p p e n fö r m ig e n L in ie n in d e m S c h e m a a u f S e ite 684), d e ss e n L ö s u n g n a c h e in e m d e r b e k a n n te n V e r fa h r e n le ic h t v o r g e n o m m e n w e r d e n k a n n .

W e is e n d ie b e h a n d e lte n S y s t e m e A 2 u n d B 2 S y m m e tr ie z u r M itte a u f, so w ä h l t m a n d ie U n b e k a n n te n z w e c k m ä ß ig fo lg e n d e r m a ß e n (v g l. A b b . 19);

Y n = Mo + Mq ‘

Yi -=•

2 M

1

-f- M)

Y r =■

m ; — mj

Y , ^m] -T M l

Y :

m — 1 Y mi ! =

B e i d ie s e r W a h l d e r s ta tis c h u n b e s tim m te n G r ö ß e n e r­

s t r e c k e n sic h d ie M o m e n te n flä c h e n fü r d ie Z u s tä n d e Y i = — I u n d Y ; = — 1 e b e n fa lls n u r ü b e r d ie S t ä b e d e s i-te n u n d

D E R K A tf lN C E N lE U R

1925 H E F T 23. WORCH, STU D IEN ZUR BERECHNUNG MEHRSTIELIGER STOCKW ERKRAHMEN. 7 0 7

(i + i ) t e n S to c k w e r k s . E b e n s o le u c h t e t w o h l o h n e w e ite r e s ein, u n b e s tim m te s H a u p ts y s te m . I m g a n z e n h a b e n w ir d a n n d a ß d ie M o m e n te n flä c h e n fü r d ie Z u s t ä n d e Y = — i s y m m e - m (n + i) n e u h in z u tr e te n d e U n b e k a n n t e ; a ls s ta tis c h u n b e- trisc h u n d f ü r d ie Z u s tä n d e Y ' = — i a n tis y m m e tr is c h sin d s tim m te G rö ß e n w ä h le n w ir d ie M o m e n te a n d e n S t ü t z e n fü ß e n .

Yi+1 V f Yi ><■

yL H

y}.

w m

Abb. 18.

^ <Ym-i

>. < YUi

f < YC-i v < K r

y:

Mn-l'Xr

Ml

>

4

^{-i V f}

Ml V f Ml

w m

^ Mm.-f

Mo m m m w m w ß m w m

Abb. 19.

Yoi ,.>k Yu-

Yoa-vM— > k > k — ¿ k — > k >k Yn,c-o

Y°i V f — — V f

A bb. 20.

Yno

(v g l. h ie r z u d ie B e r e c h n u n g d e s s y m m e tr is c h e n T r a g w e r k e s im v o r ig e n A b s c h n itt) . D e r A u f b a u d e r E la s tiz itä ts g le ic h u n g e n e r g ib t sich d a n n s c h e m a tis c h d a r g e s t e llt w ie fo lg t:

D ie M o m e n te n flä c h e n fü r d ie Z u s tä n d e Yoi = — i , Y i j = — i u sw . b is Y o i = — i e r s tr e c k e n sic h w ie d e r n u r ü b e r d ie S t ä b e d e? i-te n u n d d es (i + i ) t e n S to c k w e r k e s . D e r

A u fb a u d e r q u a d r a tis c h e n M a ­ t r ix d ie s e r m (n -)- i) E la s t iz it ä t s ­ g le ic h u n g e n h a t d a n n fo lg e n d e s A u s s e h e n (sieh e S e ite 708).

M a n e r k e n n t, d a ß d ie A n ­ z a h l d e r [. . ] - W e r t e in e in e r R e ih e le d ig lic h v o n d e r G rö ß e d e r Z a h l n a b h ä n g t, w ä h r e n d d ie g e s a m te A n z a h l d e r zu e r m it ­ t e ln d e n [. . ] - W e r te so w o h l v o n n a ls a u c h v o n m a b h ä n g ig is t.

B e s it z t d a s S y s t e m S y m ­ m e tr ie z u r M itte , so e m p fie h lt sich w ie d e r fo lg e n d e W a h l d e r s ta tis c h u n b e s tim m te n G rö ß e n :

Mo, + Mui 0i = ---2 —

M n - f M(n — 1) i

Y 0i = -

Y» = -

u sw . M o i — M n i

M

h

.-

W ir g e la n g e n a lso zu d e m ä u ß e r s t e in fa c h e n R e s u lt a t z w e ie r v o n e in a n d e r u n a b h ä n g ig e r S y s te m e d r e ig lie d r ig e r G le ic h u n g e n .

H in s ic h tlic h d e r z a h le n m ä ß ig e n B e s tim m u n g d e r [ik ]- W e r t e , d e r r e c h t e n S e ite n N b z w . N ' u n d , n a c h E r m itt lu n g d e r U n b e k a n n te n Y u n d Y ' , d e r B e r e c h n u n g d e r ü b r ig e n s ta tis c h e n G r ö ß e n S v e r w e is e ic h a u f d a s b e r e it s im A b s c h n it t I I G e s a g te .

K a p i t e l V .

D i e B e r e c h n u n g d e s a l l s e i t s v e r s p a n n t e n S t o c k - w e r k r a h m e n s .

I n d ie se m A b s c h n it t e w o lle n w ir d e n Ü b e r g a n g v o n d em S y s t e m B 1 (A b b . 3) z u d e m a lls e its v e r s p a n n t e n S t o c k w e r k ­ r a h m e n (A b b . 1) z e ig e n . D a s S y s t e m B 1 d ie n t a ls s ta tis c h

u sw .,

w o b e i u n te r M d ie S t ü t z e n fu ß ­ m o m e n te v e r s t a n d e n sin d , d ie w ir in A b b . 20 m it Y b e z e ic h n e t h a b e n .

D ie M o m e n te n flä c h e n fü r d ie Z u s tä n d e Y = — 1 w e r d e n d a n n w ie d e r s y m m e tr is c h , w ä h ­ re n d d ie f ü r Y ' = — 1 e in e a n ti- s y m m e tr is c h e F o r m a u fw e is e n . D ie m (n + x) E la s t iz itä t s g le i­

c h u n g e n s p a lte n sich in fo lg e d ie s e r W a h l d e r U n b e k a n n te n in z w e i v o n e in a n d e r u n a b h ä n g ig e G le ic h u n g s g r u p p e n , v o n d e n e n je d e d en A u fb a u d e s fü r d e n a llg e m e in e n (u n sy m m e trisc h en ) F a ll a u f­

g e s t e llt e n S c h e m a s h a t, je d o c h n u r d ie h a lb e A n z a h l v o n G le ic h u n g e n a u fw e is t.

B e i d e n ü b lic h e n G e b ä u d e n , b e s o n d e r s w e n n d ie se s y m m e ­ tris c h a u s g e fü h r t w e r d e n , l ä ß t sich e in e g e n a u e A u flö s u n g d ie se r E la s tiz itä ts g le ic h u n g e n z a h le n m ä ß ig n o ch r e c h t g u t d u rc h fü h re n .

So e r h a lte n w ir z. B . fü r e in m o d e rn e s H o c h h a u s n ach A b b . 21 u n t e r d e r V o ra u s s e tz u n g , d a ß S y m m e tr ie z u r M itte v o r lie g t, z w e i v o n e in a n d e r u n a b h ä n g ig e G ru p p e n v o n je 16 s e c h s g lie d r ig e n G le ic h u n g e n , d e r e n L ö s u n g e n z. B . m it d e m v o n .M ü lle r -B re s la u fü r s ie b e n g lie d r ig e G le ic h u n g e n

708

3

3 I

’"-T l

+

WORCH. STU D IEN ZU R BERECHNUNG MEHRSTIELIGER STOCKW ERKRAHM EN. D E R B A U IN G E N IE U R 1025 H E F T 23.

+

+

II I M I I | I I I | I

I N I I

U I I I

Loo

■ 10

(r— 1)0 rO (n 1)0

Yn L11

( r — 1) 1

(n — 1) l nl Y 0 ( i- 1 ) v

Y ( r - 1) 0 - 1)

JJJi

u M

r ( i — 1)

l (n - 1 ) 0 - 1 ) 1 n ( i — 1)

I M I _{0 i}

! I I

•II

u (r — 1)1 Y .;

I I Y ni

L 0(1+ U 1 rQ + 1)

[ ( r - 1)0 + 1)

Y r0 + 1)

‘ ( n - 1)0 + 1)

II

L nfi + 1) 0(m — 1) l(m - 1) Y,(r-l)(m -l)

[ (n -D (m -l) Y;_{n(m — 1)}

a u fg e s te llte n R e c h e n s c h e m a v e r h ä lt n is m ä ß ig le ic h t u n d ü b e r­

s ic h tlic h a u s g e fü h r t w e r d e n k a n n . B e d e n k t m a n , d a ß d ie s e s S y s t e m 7 2 -fa ch s ta tis c h u n b e s tim m t is t, a lso zu d e n seh r h o c h g r a d ig s ta tis c h u n b e s tim m te n S y s te m e n z ä h lt , so m u ß m a n d ie se L ö s u n g s m e th o d e a ls r e c h t e le g a n t u n d e in fa c h b e z e ic h n e n .

W ir d d e r W e r t n g r o ß (z. B . 5, 6, 7 u sw .), so g e s t a lt e t sich d ie s t r e n g e L ö s u n g d e r e n ts te h e n d e n E la s t iz itä t s g le ic h u n g e n

sch o n e r h e b lic h s c h w ie r ig e r . I n d ie s e m F a ll e m p fie h lt e s sich, n o ch e in e b z w . m e h r e r e w e it e r e B e r e c h n u n g s s tu fe n e in z u ­ s c h a lte n .

Z u m B e is p ie l s o ll d e r in A b b . 22 d a r g e s t e llt e u n s y m m e ­ tris c h e S to c k w e r k r a h m e n b e r e c h n e t w e r d e n .

W ir w ä h le n d ie U n b e k a n n t e n so, d a ß d a s s ta tis c h u n b e ­ s tim m te H a u p t s y s t e m b e r e it s a u s z w e i m e h r s tie lig e n S to c k ­ w e r k r a h m e n b e s t e h t (v g l. A b b . 23).

D E R B A U IN G E N IE U R

1025 H E F T 23. WORCH, STUDIER ZU R BERECHNUNG MEHRSTIELIGER STOCKW ERKRAHM EN. 7 0 9

D ie B e r e c h n u n g d e s s ta tis c h u n b e s tim m te n H a u p t ­ s y s te m s e r fo lg t a u f d ie e b e n a n g e g e b e n e W e is e . Z u r E r m itt lu n g d e r s ta tis c h u n b e s tim m te n G rö ß e n Y s te h e n u n s n u n n e u n G le ic h u n g e n m it n eu n U n b e k a n n te n z u r V e r ­ fü g u n g .

I s t d a s S y s t e m s y m m e tr is c h z u r M it t e , so lä ß t sic h d u rch e in e b e s o n d e r e W a h l d e r s ta tis c h u n b e s tim m te n G rö ß e n ,

R a u m m a n g e ls h a lb e r sin d n u r d ie w ic h t ig s t e n D a t e n d e r Z a h le n r e c h n u n g a n g e g e b e n . E b e n s o sin d a ls B e la s t u n g s ­ z u s tä n d e h ie r n u r b e t r a c h t e t :

1. E ig e n g e w ic h t : fü r d a s u n t e r e S t o c k w e r k g , — 2 ,1 t/m , fü r d ie b e id e n a n d e r e n S t o c k w e r k e g 2 = g3 = 1,4 t/m , 2. W in d d r u c k : w = 0,625 t a u f 1 m H ö h e .

f

---^

^w

---

¹

3

0 1 2 3 V

5

6 7 0

yyyyyyyyyyy■'/////y.Z///Z////.Z////////Z/AW#MY////////\y///////yWs Abb. 22.

F ü r a n d e r e B c la s tu n g s z u s t ä n d e is t d ie B e r e c h n u n g e n ts p r e c h e n d d u r c h ­ z u fü h r e n .

1 n

10 0

r 6,0 »

6 .0 21

. T w>)

t i e s e s \2.v i : t s 21

'v.iidnsT'

<1.565,0 1

( W . . )

5!

I 2.21601t Jf|

~To.1SS613)

l—-______{- 5.0}k o_____ ' _ . . _ _{- 6.0} cn _ i

Abb. 24.

e n ts p r e c h e n d d e n b is h e r b e i S y m m e tr ie v e r w e n d e te n A n s ä tz e n , d ie R e c h e n a r b e it n o c h v e r e in fa c h e n .

W ir d b e i e in e r s e h r g r o ß e n Z a h l d e r s ta tis c h u n b e s tim m te n G rö ß e n d ie e rfo r d e r lic h e R e c h e n a r b e it a llz u g r o ß o d e r w ill m a n sich a u s ir g e n d w e lc h e n G rü n d e n n u r a u f e in e ü b e r s c h lä g ­ lic h e B e r e c h n u n g b e s c h r ä n k e n (z. B . fü r d e n e rs te n R e c h n u n g s ­ g a n g ), so e m p fie h lt e s sich , v o n fo lg e n d e m R e c h n u n g s y e r fa h r e n

G e b r a u c h z u m a c h e n . '

W ie m a n w o h l s o fo r t ü b e r s ie h t, w e r d e n d ie M o m e n te n - flä c h e n fü r ir g e n d e in e n Z u s ta n d Y = — 1 s e h r ra s c h k le in e r, je w e it e r m a n sic h v o n d e m b e la s t e t e n T e il e n tfe r n t. In fo lg e d e sse n w e r d e n a u c h d ie [. .] - W e r t e im m e r k le in e r w e r d e n , j e w e it e r sie v o n d e r H a u p td ia g o n a le d e r q u a d r a t is c h e n M a tr ix e n tfe r n t sin d . E s l i e g t n u n n a h e , d ie s e k le in e n [. ,] - W e r t e zu v e r n a c h ­ lä s s ig e n u n d so n ä h e r u n g s w e is e zu e in e r e in fa c h e r e n L ö s u n g d e r E la s t iz itä t s g le ic h u n g e n z u g e la n g e n .

A n h a n g :

D u r c h r e c h n u n g e i n e s Z a h l e n b e i s p i e l e s ' ) . D ie p r a k tis c h e A n w e n d u n g d e r in d e n b is h e rig e n A b ­ s c h n itte n a u s g e fü h r te n R e c h n u n g s v e r fa h r e n so ll j e t z t an e in e m Z a h le n b e is p ie l g e z e ig t w e r d e n , u n d z w a r w ä h le n w ir h ie rz u d e n in A b b . 24 d a r g e s te llte n v ie r s t ie lig e n s y m m e tr isc h e n S to c k w e r k r a h m e n . D ie s e s T r a g w e r k w o lle n w ir so w o h l äls S y s t e m A 1, A 2, B 1 u n d B 2, a ls a u c h a ls a lls e its v e r s p a n n te n S t o c k w e r k r a h m e n d u r c h r e c h n e n .

I n d e r A b b . 24 sin d in d e r lin k e n H ä lfte d ie T r ä g h e it s ­ m o m e n te J d e r e in z e ln e n S t ä b e e in g e t r a g e n , d ie Z a h le n in d e r r e c h te n H ä lf t e sin d d ie r e d u z ie r te n L ä n g e n 1' = 1 jC d e r e in ­ z e ln e n S t ä b e u n d d a r u n t e r in K la m m e r n d ie W e r t e — , die in d e r B e r e c h n u n g r e c h t h ä u f ig V o r k o m m e n .

H in s ic h tlic h d e r V o r z e ic h e n d e r B ie g u n g s m o m e n te w o llen w ir v e r e in b a r e n , d a ß a lle d ie je n ig e n M o m e n te , d ie a n d e r g e ­ s t r ic h e lt e n S t a b s e it e Z u g e r z e u g e n , a ls p o s itiv , d ie a n d e re n als n e g a t iv in d ie R e c h n u n g e in g e fü h r t w e r d e n .

A bb. 25.

Momentenlläche infolge Zustand X = — I am statisch unbestimmten Hauptsystem.

7) Die Kontrolle der Zahlenwerte dieses Beispieles hat H err Dipl.- Ing. O. S t a h l nach den in meiner Abhandlung: „Über Rechenproben bei der Berechnung vielfach statisch unbesümmter Systeme“ (diese Zeit­

schrift, 1925, S. 554—559) angegebenen Verfahren durchgeführt.

A b s c h n i t t 1.

D a s T r a g w e r k (A b b . 24) i s t a l s S y s t e m A 1 a u s g e b i l d e t . A ls s ta tis c h u n b e s tim m te G rö ß e n w ä h le n w ir d ie M o ­ m e n te X j , X 2 u n d

X a in d e n ste ife n >

K n o te n p u n k t e n ' 3 1, 32 u n d 33 (v g l. A b b . 6.) D ie M o m e n te n - flä c h e fü r ein en Z u s ta n d X = — 1 e r s t r e c k t sich n u r ü b e r d ie S tä b e d e s b e tr e ffe n d e n S t o c k w e r k s ; d a n u n in je d e m R ie g e l d ie T r ä g ­

h e itsm o m e n te a u f d ie g e s a m te L ä n g e k o n s ta n t sind , so sin d d ie M o m e n te n flä c h e n fü r a lle d r e i .Z u ­ s tä n d e X = — 1 e in a n d e r g le ic h , u n d z w a r e rg e b e n sie sich d u rc h e in ­ fa c h e s A n s e tz e n e in e r C la p e y ro n - sc h e n G le ic h u n g (v g l. A b b . 25).

S o m it e r h a lt e n w ir d ie [ . . ] - W c r t e d e r q u a d ra tis c h e n M a tr ix z u :

[ i i ] = + 2 - 3,886816 + 0,758679(2,0 — 0 ,1 7 8 5 7 1 ) = :+ 9,155512 [22] = + 2 • 6,163 708 + 1,66 . . . (2,0— 0,178 571) = + 15,363 130 [3 3] = + 2-20.833 • - + I .6 6 . . . 12,0 — 0,178571) = + 44,702381

E r m itt lu n g d e r B e la s t u n g s g lie d e r Z , b is Z 3 : 1. fü r E i g e n g e w i c h t : -

D ie M o m e n te n llä c h e fü r E ig e n g e w ic h t a m G r u n d s y s te m (v g l. A b b . 7) l ä ß t sich s o fo r t a n g e b e n (A b b . 26).

Abb. 26. Momentenlläche infolge

■Eigengewicht am Grundsystem.