DER BAUINGENIEUR
7. Jahrgang 5. Februar 1 9 2 6 H eft 6
ÜBER DIE VERTEILUNG DES BO DENDRUCKES UNTER GRÜNDUNGSKÖ RPERN.
Von P rof. D r.-In g . F. K ogler, Freiberg, Sa.
Ü b e rsic h t. Zu der in der Ü berschrift genannten F ra g e wird das zusam mengestellt, w as auf G rund von Versuchen heute als fest
stehend gelten kann. D er A u fsatz unterscheidet zwischen starren und elastischen Gründungskörpern, und gib t fü r beide die V erteilung des Bodendruckes an bei B elastu n g durch eine E in zellast in der M itte, bei gleichmäßig verteilter L a s t und bei R andbelastung des Griindungs-
körpers.
In der letzten Zeit sind an verschiedenen Stellen der Bauingenieurfachliteratur1) Aufsätze erschienen, die sich mit der Berechnung von plattenförmigen Gründungskörpern für die verschiedensten Zwecke befassen und die natürlich'sämtlich auf die Frage stoßen, in w e lc h e r W e is e s ic h u n te r der G r ü n d u n g ss o h le d er G e g e n d r u c k d e s B a u g r u n d e s v e r te ilt. Neben der Voraussetzung einer gleichmäßigen Ver
teilung. des Bodendruckes werden da mancherlei, z. T. etwas eigenartige Annahmen gemacht. Sie im einzelnen zu erörtern, ist hier nicht beabsichtigt; manche von ihnen widersprechen aber der Erfahrung und z. T. auch der statischen Logik so, daß eine Richtigstellung angebracht erscheint, um für die angestellten Berechnungen und für die mannigfach geführten Diskussionen richtigere Grundlagen zu geben. Es dürfte aber auch für weitere Kreise von Wert sein, wenn zur B e a n t w ortung der v o r g e n a n n t e n F r a g e e in m a l d a s z u s a m m e n g e s te llt w ir d , w a s d u r c h V e r s u c h e b is h e r ein w a n d fr e i g e k lä r t is t .
Ajif diesem Gebiete ist noch wenig erforscht, weil die Durchführung der Versuche ganz außerordentliche Schwierig
keiten macht, sowohl hinsichtlich der Meßvorrichtungen, wie auch in der Schaffung der Belastungen und in dem häufigen Auf- und Abbau der Versuchsapparatur. Einige Literatur
quellen sind unten aufgeführt2) ; umfängliche Versuche- in größerem Maßstabe, die die Frage der Druckverteilung in Sand- un d ' K ie s b o d e n , d. h. also in körnigem Baugrunde, unter verschieden gestalteten Belastungskörpern klären sollen, sind im hiesigen Institut für technische Mechanik im Gange;
die Mittel verdanke ich zu einem erheblichen Teile der N ot
gemeinschaft der deutschen Wissenschaft.
1. Starrer G ründungskörper.
Wenn der Belastungskörper sich als Klotz aus Mauerwerk oder Beton darstellt, so kann man ihn mit hinreichender Ge
nauigkeit als starr annehmen; dasselbe kann annähernd gelten für eine sehr starke Gründungsplatte von nicht zu großer Ausdehnung. Unter solcher Voraussetzung liegt zunächst die Vermutung nahe, daß bei mittiger Belastung der Gegendruck des Bodens gegen die Unterfläche des Gründungskörpers sich über diese gleichmäßig verteile. Diese Annahme ist auch an vielen Stellen der oben aufgeführten Aufsätze ausgesprochen oder der weiteren Rechnung zu Grunde gelegt. S ie t r i f f t äber n i c h t zu. Schon bei einem vollkommen starren Be
lastungskörper ist die Verteilung des Bodendruckes etwa so, wie es die Abb. i a und i b andeuten. Der Druck ist in der Mitte am größten, am Rande der Platte aber gleich Null.
Die Annahme, daß Druck und Einsenkung proportional sei, bestätigt sich also hiernach nicht; denn wenn die Annahme gälte, müßte der gleichmäßigen Einsenkung des starren
Gründungskörpers auch eine gleichmäßige Druckverteilung
!i Der Bauingenieur,
1025, S. 5
17. u. 051. — Bauteclmik 1925, S-723 ~ Beton und Eisen IQ25, S. 215 u.
367... ) * e r z a g h i , Erdbaumechanik. — l’roceedings of the
Am.Soc. of 1 Engineers, Papers and Discussions Vol.
46 (1020)p. 935.
entsprechen. Leider kann Genaues über die Gesetze für die Verteilung selbst noch nicht gesagt werden, da sie in hohem
UHr
-=zzZZZS3i
g g P7
Abb. 1 a. Abb. 1 b.
Druckverteilung unter der Sohle eines starren Griindungskörpers.
M a ß e v o n d en p h y s ik a lis c h e n E ig e n s c h a ft e n d e s B o d e n s ab - h ä n g e n . l n e in e r g e w isse n T ie fe u n te r d e r B e la s tu n g s s ö h le is t d u rc h d ie V e r s u c h e ein e
X
Abb. 2. Druckverteilung in einer gewissen Tiefe.
V e r t e ilu n g d e s D r u c k e s g e m ä ß A b b . 2 fe s tg e s te llt w o rd e n .
W e n n m a n d ie V o r a u s s e tz u n g d e r v o llk o m m en en S t a r r h e it d e s B e la s tu n g s k ö r p e r s m a c h t, so is t e s n a tü rlic h g le ic h g ü lt ig , o b d ie se r K ö r p e r
(b zw . d ie P lä t t e ) v o n ö b en - h e r b e la s te t is t d u rch ein e
E in z e lla s t in d e r M itte , d u rc h e in e ü b e r se in e G r u n d r iß flä c h e g le ic h m ä ß ig v e r t e ilt e B e la s t u n g ö d e r d u rc h L a s te n , d ie n u r a m R a n d e d e r B e la s t u n g s flä c h e w ir k e n , a b e r so v e r t e ilt sin d , d a ß ih re R e s u lt ie r e n d e e b e n fa lls im S c h w e r p u n k t d e r B e la s tu n g s flä c h e lie g t.
2
. E la stisc h e r G ründungskörper.
U m so b e d e u t u n g s v o lle r w ir d d ie A r t d e r B e la s t u n g d e s G r ü n d u n g s k ö r p e rs v o n o b en h e r, w e n n w ir ih n n ic h t a ls s t a r r a n n e h m e n , s o n d e rn w e n n e r z. B . p la tte n fö r m ig e G e s t a lt v o n e in e r im B a u w e s e n ü b lich e n S t ä r k e h a t. D a n n b e e in flu ß t d ie V e r b ie g u n g d e r P la t t e n a tü r lic h s t a r k d ie D r u c k v e r t e ilu n g im B a u g r u n d e , und d a d ie V e r b ie g u n g ih re m S in n u n d ih r e r
Abb. 3. Abb. 4.
Druckverteilung unter einem elastischen Gri'mdungskörper
bei mittiger bei Rand-
Belastung.
G rö ß e n a c h v o n d e r A r t d e r B e la s t u n g v o n o b e n h e r a b h ä n g t, so is t a u c h d ie se v o n E in flu ß a u f d ie D r u c k v e r te ilu n g .
a) B e l a s t u n g d e r G r ü n d u n g s p l a t t e d u r c h e i n e E i n z e l l a s t in i h r e r M i t t e . D e r D r u c k in d e r G r ü n d u n g s so h le u n te r d e r P la t t e n m it t e w ir d e n ts p re c h e n d d e r D u r c h b ie g u n g d e r P la t t e noch g rö ß e r, a ls in A b b . 1 a g e z e ic h n e t, e tw a so w ie in A b b . 3 . D e r A b fa ll n ac h den S e ite n h in is t se h r s t ä r k .
Bau 19SG.
11
102 STEUDING, ZU R PRAXIS DER STATIK IM EISENBETONBAU. D E R B A U IN G E N IE U R 1920 H E F T 0.
B e i g r ö ß e r e r E r s t r e c k u n g d e r P la t t e im V e r g le ic h zu ih re r S t ä r k e k a n n cs V o rk o m m e n , d aß d ie P la t t e sich a m R a n d e v o m B a u g r u n d e a b h e b t, d a ß d e r B o d e n d r u c k sich a ls o g a r n ic h t b is d o r th in e r s t r e c k t .
b) B e i e in e r P l a t t e m i t e i n e r g l e i c h m ä ß i g v e r t e i l t e n B e l a s t u n g v o n o b en h e r w ir d d e r D r u c k in P la t t e n m itte sich g e r in g e r e rg e b e n , a ls im F a lle d e r A b b . i a . A m R a n d e is t e r a u c h h ie r je d e n fa lls g le ich N u ll. G e n a u e re V e r s u c h e lie g e n n o c h n ic h t v o r . M a n k ö n n te sich d e n k e n , d aß d ie P la t t e in ih r e r M itte ein e g a n z g e r in g e V e r b ie g u n g n ac h o b e n h in e r fä h r t , d a d e r B o d e n g e g e n d r u c k in d e r M itte g rö ß e r is t a ls a m R a n d e .
c) W ir k t d ie B e l a s t u n g v o n o b e n h e r n u r l ä n g s d e s R a n d e s d e r P l a t t e (ab e r so, d aß ih r e R e s u ltie r e n d e in P la t t e n
m itte lie g t), so is t d ie V e r te ilu n g d e s B o d e n g e g e n d r u c k e s u n te r d e r P la t t e e t w a d ie in A b b . 4 g e z e ic h n e te . D a s M a x im u m des B o d e n d r u c k e s lie g t n a tü rlic h n ic h t in P la t t e n m it t e , so n d e rn n a h e a m R a n d e , a b e r a u c h n ic h t u n te r d e r B e la s t u n g , so n d ern e t w a s n a c h d e m In n e r n d e r P la t t e zu (A b b . 4). I n P la t t e n m it t e is t d e r D r u c k s e h r g e rin g , e r k a n n d o r t s o g a r N u ll o d e r n e g a tiv w e rd e n , j e n a c h d e m V e r h ä lt n is , in d em d ie G e s a m tb e la s tu n g z u r S t e ifig k e it s z iffe r d e r P la t t e s te h t. D ie V e r t e ilu n g g e m ä ß . A b b . 4 is t d u rc h V e r s u c h e fe s t g e s t e llt ; g e n a u e Z a h le n a n g a b e n k ö n n e n a b e r z u r Z e it n o c h n ic h t g e m a c h t w e rd e n .
D ie h ie s ig e n V e r s u c h e ste h e n m it d e n an a n d e r e n S te lle n a u s g e fü h rte n in g u t e r Ü b e r e in s tim m u n g ; es is t zu h o ffe n , daß a u c h ü b e r d ie noch o ffe n e n F r a g e n b a ld w e it e r e K la r h e it g e s c h a ffe n w e rd e n w ir d .
ZUR PRAXIS DER STATIK IM EISENBETONBAU.
B e i t r a g z u d e n L ö s u n g s v e r f a h r e n m e h r f a c h s t a t i s c h u n b e s t i m m t e r e b e n e r R a h m e n g e b i l d c . Von D r-In g i II. S teu d in g , A ssistent f ü r M echanik, Technische H ochschule B reslau.
E s w ir d v o r a u s g e s e tz t, d aß d ie m a th e m a tis c h e n E ig e n s c h a fte n d es S e ilp o ly g o n s b e z w . d e r S e ilk u r v e a ls g ra p h is c h e s ,, 1 x 1 “ b ez w . g r a p h is c h e In te g r a tio n s m e th o d e u n d sein e B e z ie h u n g e n z u r M o m e n te n lin ie u n d B ie g u n g s lin ie n ach d e r M o h rsch e n T h e o rie e b e n so b e k a n n t sin d , w ie d ie B e r e c h n u n g d e r F o r m ä n d e r u n g n ach d en S ä tz e n d e r v ir t u e lle n u n d den M in im a lp rin z ip ie n d e r w ir k lic h e n F o r m ä n d e r u n g s a r b e it, so daß d e r L e s e r g le ic h e Ü b u n g b e s itz t in d e r B e r e c h n u n g v o n F o r m ä n d e ru n g e n , d . h . v o n B ie g u n g s o rd in a te n u n d W in k e ln n a c h d iese n o b ig e n d re i R e c h n u n g s v e r fa h r e n : d . h . 1 . d e m d ire k te n V e r fa h r e n , 2. d e m je n ig e n d e r v ir t u e lle n A r b e it u n d 3 . d e m je n ig e n d e r w ir k lic h e n A r b e it. E r w ir d d a n n a u c h z u g eb e n m ü ssen , d aß h ie r b e i d a s e rs te b e so n d e rs e in fa c h ist, in sb e so n d e re fü r g e ra d lin ig e G e b ild e , d a s z w e ite sch o n e tw a s u m stä n d lic h e r, u n d d a s d r itte d ie lä n g s te n R e c h n u n g e n e rfo rd e rt. Ü b e r ih re n ä h e re n B e z ie h u n g e n zu e in a n d e r u n d ih r e V o r te ile u n d N a c h te ile w ill ich m ich n ic h t n ä h e r a u s la s s e n , so n d e rn a u c h d ieses a ls b e k a n n t a n n e h m e n , d a sie e rs t in z w e ite r L in ie b e i den B e re c h n u n g e n v o n s ta tis c h u n b e s tim m te n S y s t e m e n in A n w e n d u n g k o m m e n , n ä m lic h e rs t, n a c h d e m d a s S y s t e m s ta tis c h b e s tim m t g e m a c h t w o rd e n ist, z u r B e r e c h n u n g d e r F o r m ä n d e r u n g e n am s ta tis c h b e s tim m t g e m a c h te n S y s t e m z w e c k s A u fs t e llu n g d er E la s t iz it ä t s g le ic h u n g e n .
D e n a llg e m e in e n L ö s u n g s g a n g ein er s ta tis c h u n b e s tim m te n A u fg a b e k a n n m a n in fo lg e n d e S t u fe n e in te ile n :
1 . F e s t s te llu n g d e s G r a d e s d e r s ta tis c h e n U n b e s tim m th e it, 2. V e r w a n d lu n g in e in s ta tis c h b e s tim m te s S y s t e m m it
A n b r in g u n g d e r s ta tis c h u n b e stim m te n K r a ftg r ö ß e n , 3 . F e s ts te llu n g d e r g e o m e trisc h e n Z w a n g s b e d in g u n g e n , 4. A u fs t e llu n g d e r E la s tiz it ä ts g le ic h u n g e n a u f G r u n d d e r
g e o m e trisc h e n Z w a n g s b e d in g u n g e n , 5 . A u flö s u n g d e r E la s tiz it ä t s g le ic h u n g e n .
D ie e rs te S t u fe b ild e t d ie E in le itu n g z u r A u fg a b e u n d soll n u r d e s Z u s a m m e n h a n g e s w e g e n k u rz g e s t r e ift w e rd e n . B e i d e r F e s ts t e llu n g d e s G r a d e s d e r s ta tis c h e n U n b e s tim m th e it k a n n m a n a u f z w e ie rle i W e ise V o rgeh en . M a n lä ß t d ie L a g e r fo rt, z e rle g t d a s G e b ild e in e in zeln e s ta tis c h b e s tim m te T e ile u n d b r in g t a n den S te lle n d e r w e g g e la sse n e n L a g e r u n d a n den g e fü h r t e n S c h n itte n d ie e n tsp re ch e n d e n K r ä f t e a n , w o b e i a u f d ie W e r t ig k e it d e s L a g e r s o d e r d e s S c h n itte s zu a c h te n ist (e in g e sp a n n te s L a g e r — d r e iw e rtig m it z w e i K r ä f t e n u n d ein em M o m e n t, fe s t e s G e le n k la g e r — z w e iw e rtig m it z w e i K r ä f t e n , g le ite n d e s G e le n k la g e r — e in w e rtig m it e in e r K r a f t , S c h n itt d u rch k o n tin u ie r lic h e n S t a b — d r e iw e rtig m it z w e i K r ä f t e n u n d e in em M o m e n t, S c h n it t d u rc h ein G e le n k — z w e iw e rtig m it zw e i K r ä f t e n , S c h n itt d u rc h e in e F u g e — e in w e rtig m it e in e r K r a f t u sw .). Z ä h lt m a n d a n n d ie U n b e k a n n te n u n d d ie v o rh a n d e n e n G le ic h g e w ic h ts g le ic h u n g e n ab , so g ib t d ie D iffe re n z d e n G ra d
d e r U n b e s tim m th e it a n . O d e r m a n lä ß t n u r so v ie l L a g e r fo rt u n d fü h r t n u r so v ie l S c h n itte , b is d a s S y s t e m g e r a d e noch fe s t a b g e s tü tz t is t u n d b e i w e ite re m F o r t fa h r e n b ew e g lich w e rd e n m ü ß te . D ie A n z a h l d e r fo rtg e la s s e n e n L a g e r u n d g e fü h rte n S c h n itte , w o b e i w ie d e r d ie W e rtig k e ite n a b z u z ä h le n sin d , g ib t e b e n fa lls d en G r a d d e r U n b e s tim m th e it a n . S c h lie ß lich w ir d je d e r n ach se in e r in d iv id u e lle n A r b e its w e is e , die je d o c h a u f d ie o b e n a n g e fü h r te n z w e i A r t e n z u rü c k z u fü h re n sein w ir d , d en G r a d d e r U n b e s tim m th e it fe s ts te lle n .
D ie S t u fe n 2 u n d 3 , w e lc h e a m b e ste n im Z u sa m m e n h a n g b esp ro ch e n w e rd e n , b ild e n d en e ig e n tlic h e n K e r n d e r L ö su n g , u n d d e re n B e h a n d lu n g is t d e r H a u p t z w e c k d e r vo rlie g e n d e n A r b e it. E s w ir d je d e m a u s e ig e n e r E r fa h r u n g w o h l b e k a n n t sein , w ie w ic h tig es is t, h ie r d a s R ic h t ig e zu tr e ffe n . E i n h ier u n g e sc h ic k t g e m a c h te r A n s a tz z ie h t ein e so u m s tä n d lic h e R e c h n u n g n a c h sich , d aß e in e so n st g a n z e in fa c h e A u fg a b e zu un
ü b e rw in d lic h e n S c h w ie rig k e ite n fü h rt. I n d e r P r a x i s g re ift m a n s o g a r zu e in em in sb e so n d e re fü r d en E is e n b e to n b a u sehr ü b le n M itte l, in d e m m an d u rc h A n b r in g u n g v o n F u g e n , G e
le n k e n o d e r A b ä n d e r u n g d e r v o n s e lb s t g e g e b e n e n L a g e r u n g im w irk lic h e n B a u w e r k den G r a d d e r U n b e s tim m th e it v e r m in d e r t.
E i n g a n z fa ls c h e s P r in z ip , d e n n d ie R e c h n u n g is t fü r d a s B a u w e rk u n d n ic h t u m g e k e h rt, z u m a l d ie g rö ß e re U n z e rs tö rb a r k e it u n d W ir ts c h a ftlic h k e it d e s E is e n b e to n b a u e s g e g e n ü b e r a n d e re r B a u w e is e g e r a d e in d e r K o n t in u it ä t a lle r s e in e r T e ile als G a n z e s lie g t. D ie w e g e n T e m p e r a tu r ä n d e r u n g n o tw e n d ig e n und d a m it v o n s e lb s t g e g e b e n e n T re n n fu g e n b le ib e n n a tü rlic h a u s
g e sch lo sse n . D ie n o tw e n d ig e Ü b u n g , d ie m a n , w ie b e i je d e r A r b e it, a u c h h ie rb e i sich a n e ig n e n m u ß , w ir d z u m T e il ü b e r
s c h ä tz t, d e n n so v ie l sc h e in b a r v e r s c h ie d e n e M ö g lich k e ite n sich ein em U n e rfa h re n e n h ie r b ie te n , la s s e n sich , s tre n g ge
n o m m en , a lle a u f n u r zw e i w e se n tlic h v e r s c h ie d e n e M eth od en u n d ih re K o m b in a tio n z u rü c k fü h re n .
D ie e in e g e h t so v o r, d aß sie d ie ü b e rflü s s ig e n L a g e r w eg
lä ß t u n d d a fü r a ls s ta tis c h u n b e s tim m te G rö ß e n d ie A u fla g e r k r ä ft e o d e r M o m e n te a n b rin g t. Z . B . : b e im T r ä g e r a u f drei S tü tz e n lä ß t m a n d ie m ittle r e S t ü t z e fo r t u n d s e tz t d ie A u fla g e r k r a ft a ls s ta tis c h u n b e s tim m te G rö ß e a n ; b e im o ffe n e n R a h m e n (A b b . 1) m a c h t m a n d ie ein e S t ü t z e v e r s c h ie b b a r u n d setzt d en H o riz o n ta ls c h u b a n . B e i m e h rs tie lig e n R a h m e n (A b b . 2) g e h t m a n a n a lo g v o r . H ie rz u m u ß m a n a u c h d a s A u fsch n e id en e in e s R a h m e n s im M itte lfe ld (A b b . 3) m it A n b r in g u n g d e r drei G r ö ß e n : N o r m a lk r a ft , Q u e rk ra ft, M o m e n t re c h n e n . A ls geo
m e trisc h e Z w a n g s b e d in g u n g e n tre te n h ie r d ie vo rg e sch rie b e n e n V e r s c h ie b u n g e n u n d W in k e lä n d e r u n g e n a n d e n b ese itigte n L a g e r n o d e r an den g e fü h rte n S c h n itte n a u f. D ie s e s erfo rd e rt a lso d ie B e r e c h n u n g v o n B ie g u n g s o rd in a te n u n d W in k e ln an den e n tsp re c h e n d e n S te lle n . D ie s e M e th o d e so ll h ie r kurz d ie „ M e th o d e d e r W e g la s su n g der A u f la g e r “ g e n a n n t w erd en.
HEU B A U IN G E N IE U R
¡920 H E F T 0. STEUDING, ZU R PRA X IS D ER STA TIK IM EISENBETONBAU.
103
D ie a n d e r e M e th o d e b e h ä lt z u m U n te rs c h ie d v o n d e r ersteren d ie L a g e r , s o w e it e s fe s t e G e le n k la g e r sin d , b ei, lä ß t jedoch d ie E in s p a n n u n g e n s e lb s t fo r t u n d e rs e tz t sie d u rch G elenke, d a n n u n t e r b r ic h t sie d ie K o n t in u it ä t d e s S ta b g e b ild e s an den L a g e r n u n d d en E c k e n , u m d o r t e b e n fa lls G e le n k e e in zuführen (also n ic h t in F e ld m it t e u n d k e in e v o lls tä n d ig e n Sch n itte w ie b e i d e r e rs te n M e th o d e ). A ls s ta tis c h u n b e s tim m te Größen fü h rt sie a n d en e in g e se tz te n G e le n k e n M o m e n te ein,
d . h . fü r d ie B e h a n d lu n g d e r S t u fe n 2 u n d 3, k e in b e s o n d e re s G e s c h ic k e rfo rd e r lic h , fa lls m a n s ich im m e r k o n s e q u e n t a n d ie e in z ig in A n w e n d u n g k o m m e n d e G e le 'n k m e th o d e h ä lt . D a n n s c h ru m p fe n d ie v e r m e in tlic h v ie le n M ö g lic h k e ite n a u f d ie e in z ig e n s ich m it z w in g e n d e r N o t w e n d ig k e it v o n s e lb s t e rg e b e n d e n z u sa m m e n .
E s is t n u n d e r B e w e is fü r d ie Ü b e rle g e n h e it d e r G e le n k m e th o d e g e g e n ü b e r d e r a n d e r e n zu e rb rin g e n . E r so ll g a n z
Abb. 3.
H J L M l H,
D
Abb. 2. Abb. 3.
Ml
'/////, y/////.
Abb. 4. Erste M ethode.
J L
Cz
M1 Mz M3
y/.
Abb. 5. Zweite Methode.
— m — 5s.
-OL----
- l -
die als S tü tz m o m e n te , E in s p a n n u n g s momente u n d E c k m o m e n t e b e z e ic h n e t werden. D ie g e o m e tris c h e n Z w a n g s bedingungen b e s te h e n h ie r d a rin , daß die W in k e l z w isc h e n d en a m Gelenk a n sto ß e n d e n S t ä b e n e rh a lte n bleiben m ü ssen , b z w . b e s tim m te W in k elän d eru n g en v o rg e s c h rie b e n sind. E s m ü sse n a ls o n u r W in k e l
änderungen e r m it t e lt w e rd e n . D ie se M ethode, soll a ls d ie „ G e le n k
m ethode“ b e z e ic h n e t w e rd e n . D ie a u s ih r e n ts p rin g e n d e n R echnun gen fü h re n zu d e n M o m e n te n g le ic h u n g e n b z w . zu den M o m e n te n sätze n .
D iese z w e ite M e th o d e ist n u n d e r e rs te n s o w e it ü b e rle g e n , daß e ig en tlich n u r sie a lle in a n g e w a n d t w e rd e n d ü rfte , a b g e sehen vo n e in ig e n A u sn a h m e n , b e i d e n e n d ie e rs te zu m T e il mit der zw e ite n k o m b in ie r t w ir d , w o b e i je d o c h d ie G e le n k m ethode im m d r d ie z u g ru n d e g e le g te b le ib e n m uß .
B e im k o n tin u ie r lic h e n T r ä g e r a u f m e h re re n S t ü tz e n is t dies je d e m k la r . B e i W e g la s se n d e r S t ü tz e n w ir d d ie B e rechnung ein D in g d e r U n m ö g lic h k e it. N a c h d e r z w e ite n M ethode is t d ie L ö s u n g s p ie le n d u n d fü h r t zu d en C la p e y ro n - schen G le ich u n g e n o d e r D re i-M o m e n te n -S ä tz e n . Ü b e r h a u p t ist in diesem F a ll d ie G e le n k m e th o d e zu g r o ß e r V o llk o m m e n h e it au sge arb e ite t.
D a g e g e n w ir d b e i d e r B e h a n d lu n g v o n R a h m e n g e b ild e n im m er noch v o rw ie g e n d d ie e r s t e M e th o d e a n g e w a n d t. V e r einzelt tre te n w o h l a u c h K o m b in a t io n e n b e id e r, a b e r m it V o rh e rrsch aft d e r e rs te n a u f. D ie A n w e n d u n g d e r G e le n k m ethode, die h ie r a u c h z u r g r ö ß te n E in fa c h h e it fü h r t , is t k a u m bekannt. D a ic li in v ie le n p r a k tis c h e n A n w e n d u n g e n in den letzten v ie r J a h r e n b e i S y s t e m e n b is z u r z w a n z ig fa c h e n u n d m ehr s ta tis c h e n U n b e s tim m th e it m it d ie s e r G e le n k m e th o d e im m er am b e ste n a u s g e k o m m e n b in , so m ö c h te ich so g a r b e haupten, daß d ie G e le n k m e th o d e ü b e r h a u p t d ie e in z ig e a n w endbare is t, g e n a u so, w ie b e im k o n tin u ie r lic h e n T r ä g e r , bezüglich d essen d iese B e h a u p t u n g je d e m u n b e d in g t e in le u c h te n d Sem m uß. Je d o c h so ll d ie a u fg e s te llte B e h a u p t u n g s p ä t e r noch streng b e g rü n d e t w e rd e n . In fo lg e d e s s e n is t a u c h fü r den s c h w ie rigsten f e i l d e r L ö s u n g e in e r s t a tis c h u n b e s tim m te n A u fg a b e ,
a llg e m e in g e fü h r t u n d z u g le ich a n e in em e in fa c h e n B e is p ie l e r lä u t e r t w e rd e n (A b b . 4 u. 5).
E r s t e n s : B e i d e r e rs te re n M e th o d e b le ib e n g r ö ß e r e S y s t e m t e ile im Z u s a m m e n h a n g . B e i d e r z w e i
te n w ir d d a s S y s t e m in e in z eln e S t ä b e z e r le g t . D e m z u fo lg e w ir d d ie B e r e c h n u n g d e r F o r m ä n d e ru n g e n im e rs te n F a l l a n d en g r ö ß e r e n k o m p liz ie r te r e n T e ile n u m s tä n d lic h e r A u sfalle n a ls im z w e ite n F a l l a n d en e in zeln e n S t ä b e n .
Z w e ite n s sin d im e rs te n F a l l V e r s c h ie b u n g e n , d a g e g e n im z w e ite n n u r W in k e lä n d e r u n g e n zu b e re c h n e n , w a s e b e n fa lls e in fa c h e r e R e c h n u n g e n e r fo r d e r t. In s b e s o n d e r e , w e n n m an h ie r b e i d ie d ir e k t e n M o h rsc h e n S ä t z e ü b e r S e ilp o ly g o n u n d B ie g u n g s lin ie a n w e n d e t.
D r it te n s lä ß t sich b e i B e n u tz u n g d e r G e le n k m e th o d e ein ih r e ig e n tü m lic h e r u n d w e s e n tlic h e r K u n s t g r if f a n w e n d e n u n d e tw a v o r h a n d e n e S y m m e t r ie b e s s e r a u s n u tz e n .
A u f d ie B e d e u t u n g d ie se s K u n s t g r if fe s , d e r v o n s e lb s t a u s d e r M e th o d e fo lg t , w e is e ich n o c h m a ls b e s o n d e r s h in . E r b e s te h t d a rin , d aß m a n z u r W a h ru n g d e r S y m m e t r ie in d e r R e c h n u n g , a u c h w e n n d a s S y s t e m u n s y m m e tr is c h is t, d a s S y s t e m m e h r a ls g e r a d e s t a tis c h b e s tim m t, d. h . n o c h b e w e g lic h m a c h t. E s e r h ä lt d a n n e in e o d e r n ö tig e n fa lls m e h re re B e w e g u n g s fr e ih e ite n .
Z . B . w ir d m a n b e ; m n e b e n s k iz z ie rte n R a h m e n (A b b . 6) n ic h t ein , so n d e rn z w e i G e le n k e u n d z w e i M o m e n te M x u n d M 2 e in fü h re n u n d d a d u rc h e in e B e w e g u n g s fr e ih e it e rh a lte n , die d u rch d e n W in k e l e g e k e n n z e ic h n e t w e rd e n s o ll. M a n e r h ä lt d a n n s t a t t e in e r d r e i U n b e k a n n te M p M2 u n d e , h a t je d o c h d a fü r zw e i E la s t iz it ä t s g le ic h u n g e n u n d e in e G le ic h g e w ic h ts g le ic h u n g .
E l a s t i z i t ä t s g l e i c h u n g e n . 1 . L in k e E c k e s t e if:
M ,h
Mt l Mo'l
3 E J 1 3 E J 1 6 E J
P ab (1 + b) 61
E j
11*
104
STEUDING, ZU R PRAXIS DER STATIK IM EISENBETONBAU. D E R B A U IN G E N IE U R 1926 HEKT 6.2. R e c h t e E c k e s t e if:
_M,
1_ M.,
1Mo h _ _ P ab
(1+ ot) 6 E J + 3 E J + 3 KJ + E -
61KJ
3 . G le ic h g e w ic h ts g le ic h u n g a m R ie g e l:m, 'jm
h h -
M an k a n n d ie c in g e fiih r tc U n b e k a n n te e so fo rt b e i A u fs te llu n g d e r E la s tiz it ä ts g le ic h u n g e n e lim in ie re n , w en n m an j e z w ei E c k e n z u s a m m e n fa ß t, a ls o :
1 . L in k e E c k e p lu s re c h te E c k e b le ib en e rh a lte n = 1 S 0 0 : M ,h (Mt + M o)l . Moh _ P a b
3 E j ‘ - 2 E J + ~3 E J “ 2 E J
2 . G le ic h g e w ic h ts g le ic h u n g :
Mi = M2
so d aß m a n b ei e in ig e r Ü b u n g a u c h fü r k o m p liz ie rte re S t a b g e b ild e s o fo r t d u rc h p a a rw e ise Z u s a m m e n fa s s u n g d e r W in k e l, w ie sie d u rc h d en A u fb a u d e s R a h m e n s g e g e b e n sin d , d ie E la s tiz it ä ts g le ic h u n g e n oh n e d ie fü r d ie F r e ih e it s g r a d e e in g e fü h rte n W in k e l e a n s c h re ib e n k a n n . T u t m a n d a s n ich t, so w ir d d ie R e c h n u n g a u c h n ic h t e rs c h w e rt, d en n d u rch p a a r w eise s Z u s a m m e n fa s s e n d e r G le ic h u n g e n sin d d ie e a u c h so fo rt
b e s tim m th e it is t h ie r b e i u m d ie H ä lf t e g e s u n k e n , d e n n im F a l l b sin d d ie M o m e n te lin k s g le ic h den en re c h ts u n d im F a lle c d ie je n ig e n lin k s g le ic h den n e g a tiv e n re c h ts . W ir h a b e n also im v o rlie g e n d e n fü n ffa c h s ta tis c h u n b e s tim m te n S y s t e m s ta tt fü n f se ch s U n b e k a n n te e in g e fü h r t, d a fü r a b e r so gle ich a u f drei re d u z ie rt. A b e r a u c h b e i fe h le n d e r S y m m e t r ie w ir d d ie L ö su n g d e r se ch s G le ic h u n g e n v i e l e in fa c h e r w e rd e n , d a sie einen s y m m e trisc h e re n A u fb a u h a b e n a ls irg e n d w ie a n d e r s a u fg e s te llte fü n f G le ic h u n g e n .
A llg e m e in w ir d in den m e iste n p r a k tis c h e n F ä lle n S y m m e trie g e g e b e n o d e r h e rb e iz u fü h r e n se in u n d s o m it d e r G rad d e r U n b e s tim m th e it w e se n tlic h v e r r in g e r t w e rd e n k ö n n e n , ohne sich a u f a n g e n ä h e r t e R e c h n u n g e n e in z u la sse n . D ie s g i lt für a lle ü b lich e n B e la s t u n g s fä lle , w ie E ig e n g e w ic h t o d e r stän d ig e L a s t , V e r k e h r s la s t, W in d u n d T e m p e r a t u r . B e i W in d b e re c h n u n g e n k a n n m a n d en e in se itig e n W in d a u f D r u c k - u n d S a u g s e ite v e r te ile n u n d h a t d a n n n u r d en sc h ie fsy m m e trisc h e n F a ll zu re c h n e n , w o g e g e n m a n s o n s t d ie K o m b in a t io n der b e id e n F ä lle a n w e n d e n m ü ß te . A u c h in d en F ä lle n v o n K n o te n b e la s tu n g e n ; b e i d e n e n d ie B e r ü c k s ic h tig u n g d e r N o r m a lk r ä fte u n d L ä n g s d e h n u n g e n d e r S t ä b e e rfo rd e rlic h w ir d , lä ß t sie sich a m b e ste n a n w e n d e n .
E in w e ite r e r V o r t e il d e r G e le n k m e th o d e b e s t e h t d arin, d aß sie n u r d ie E c k m o m e n te a ls s ta tis c h u n b e s tim m te G rößen e in fü h r t u n d so m it u n m itte lb a r zu den g e s u c h te n B ie g u n g s-
r X
M1 ^r
Mz M3 Mzr
M1Ś
7 Mz -M3'1 1
MZ
Abb. 7. a u s g e s o n d e rt, u n d m a n m uß n u r d ie G le ic h u n g e n n o ch ein m a l a b sc h re ib e n .
A llg e m e in b e tr a c h te t, w ir d m an b e i d e n R a h m e n g e b ild e n so v i e l G e le n k e e in fü h re n , a ls d ie S y m m e t r ie e rfo rd e rt, u n d d a d u rc h e in e A n z a h l F r e ih e it s g r a d e e rh a lte n . M a n e rh ä lt a u c h d e m z u fo lg e u m d ie se lb e A n z a h l m e h r U n b e k a n n te , d a m a n a n je d e m e in g e fü h rte n G e le n k ein M o m e n t a n z u se tz e n h a t.
D a fü r h a t m a n g e n a u so v ie l E la s t iz it ä ts g le ic h u n g e n a ls d e r G r a d d e r s ta tis c h e n U n b e s tim m th e it ist, u n d au ß e rd e m n o c h so v i e l G le ic h g e w ic h ts g le ic h u n g e n a ls F r e ih e its g r a d e h in - z u g e k o m m e n sin d .
M a n h a t a ls o w ie d e r e in v o lls t ä n d ig e s G le ic h u n g ss y s te m . D ie V o r te ile d e r S y m m e t r ie sin d h ie r b e i so b e d e u te n d , d aß d ie g e r in g e A n z a h l d e r h in z u k o m m e n d e n U n b e k a n n te n , in s
b e so n d e re b e i h o c h g r a d ig e r U n b e s tim m th e it, k a u m e m p fu n d e n w ir d . D a fü r w ir d d ie A u flö s u n g d e r G le ic h u n g e n in fo lg e d e r ih n e n d a d u rc h e rte ilte n s y m m e trisc h e n E ig e n s c h a fte n se h r v e r e in fa c h t. D ie g a n z e B e d e u t u n g d e r d u rch d ie G e le n k m e th o d e v o n s e lb s t g e fo rd e rte n E in fü h r u n g v o n B e w e g u n g s fr e ih e ite n k a n n m a n n u r b e i d e r p e rsö n lic h e n A n w e n d u n g e rk e n n e n . H ie rz u is t noch zu b e m e rk e n , d aß m an a u f d ie g e o m e trisc h e n B e z ie h u n g e n zw isch e n d en ein zeln e n B e w e g u n g s fr e ih e ite n zu a c h te n h a t.
D ie A u s n u t z u n g e tw a v o rh a n d e n e r S y m m e tr ie g e s c h ie h t d u rc h K o m b in a t io n d e s s y m m e trisc h e n u n d s c h ie fsy m m e tris c h e n F a lle s . F ia t m a n z. B . d a s v o rlie g e n d e S y s t e m a , A b b . 7 , fü r ein e E in z e lla s t P a n d e r S te lle x zu b e re ch n e n (A u fs te llu n g d e r E in flu ß lin ie n u sw .), so b r in g t m a n a n d e r s y m m e trisc h e n S te lle x v o n r e c h ts d ie se lb e L a s t an u n d b e re c h n e t den s y m m e trisc h e n F a l l b . S o d a n n b rin g t m an a n d e rse lb e n S t e lle ein e gleich gro ß e e n tg e g e n g e s e tz te K r a f t P a n u n d b e re c h n e t d a s s c h ie fs y m m e tris c h e S y s t e m c. D ie g e fo rd e rte L ö s u n g is t d ie K o m b in a tio n d ie se r b e id e n F ä lle = b + c
D e r G r a d d e r s ta tis c h e n U n
m o m e n te n fü h rt. S ie lie fe r t im g e n a u e n A n a lo g o n zu m kon tin u ie rlic h e n T r ä g e r s t a t t d e r d r e ig lie d rig e n M o m e n te n g le ic h u n g e n v ie r- , fü n f- u n d h ö h e rg lie d r ig e M o m e n te n g le ic h u n g e n . D ie in d e r L i t e r a t u r so v ie lfa c h b e h a n d e lte n V ier- u n d h ö h e re n M o m e n te n sä tz e e rs tre b e n d a sse lb e Z ie l, sin d jedoch n ic h t so re in u n d k o n se q u e n t a u s g e a r b e ite t u n d d r in g e n nicht b is zu d e r a u s d e r G e le n k m e th o d e n o tw e n d ig flie ß e n d e n E in fü h ru n g v o n B e w e g u n g s fr e ih e ite n d u rch .
Ü b e r d e n K e r n d e r L ö s u n g , S t u fe 2 u n d 3, w ä r e hierm it d a s W e se n tlic h s te z u r S p r a c h e g e k o m m e n . D a n u n d ie G e
le n k m e th o d e ih re V o rz ü g e a u c h a u f S t u fe 4 e rs tr e c k t, so muß d ie se au ch noch b e sp ro c h e n w e rd e n .
B e i d e r A u fs te llu n g d e r E la s tiz itä t s g le ic h u n g e n a u f G rund d e r g e o m e tris c h e n Z w a n g s b e d in g u n g e n k a n n m a n , u n g e a ch te t d e r v e rsc h ie d e n e n B e h a n d lu n g s w e is e n d e r v o rh e rg e h e n d en S tu fe n , d re i v e rs c h ie d e n e W e g e e in sc h la g e n . M a n k a n n , wie in d e r E in le it u n g e rw ä h n t w o rd e n ist, d ie F o rm ä n d e ru n g e n n ach den d re i V e r fa h r e n , d e m d ire k te n , d e m je n ig e n d e r virtu e lle n un d d e r w irk lic h e n A r b e it, b e re c h n e n .
V o rw ie g e n d w ir d d ie v ir t u e lle F o r m ä n d e r u n g s a r b e it ge
b r a u c h t. I h r e R e c h n u n g s m e th o d e n sin d zu g ro ß e r V o llk o m m e n h e it im a llg e m e in e n w ie im sp e z ie lle n a u s g e a r b e ite t, w a s vielleicht m it d a z u b e ig e tra g e n h a t , d aß sich d ie „ M e th o d e d e r W eg
la s s u n g d e r A u fla g e r “ so fe s t e in g e b ü rg e rt h a t, d a m a n bei g e n ü g e n d e m G e s c h ic k im m e r noch m it ih r g u t au skom m en k a n n .
V e r e in z e lt w ir d a u c h n a c h d e r w ir k lic h e n F o rm ä n d e ru n g s a r b e it g e re c h n e t, d a sie, w e n n a u c h se h r a llg e m e in , je d o c h etw as u m s tä n d lic h e r is t u n d a u f d ie v ir t u e lle z u r ü c k g e fü h rt w ird.
D a s d ire k te V e r fa h r e n w ir d b e i k o m p liz ie rte re n R a h m e n g e b ild e n f a s t g a r n ic h t a n g e w a n d t.
N u n w e is t a b e r d ie G e le n k m e th o d e g e r a d e a u f d a s d irekte R e c h n u n g s v e r fa h r e n h in .
DER H A U IN G E N IE U R
1826 H E l'T 6. STEUDING, ZUR PRAXIS D ER STA TIK IM EISENBETONBAU.
105
Durch Einführung der Bewegungsfreiheiten muß bei der virtuellen Arbeit auch die Arbeit infolge der willkürlichen B e
wegungen berücksichtigt werden. Bei der wirklichen Arbeit hat man dann Minimumaufgaben m it Nebenbedingungen (das sind die hinzu kommenden Gleichgewichtsgleichungen), so daß durch Einführung der so nützlichen Bewegungsfreiheiten diese beiden Rechnungsverfahren erschwert werden, demzufolge wieder rückwirkend man bei der Verwandlung eines statisch unbestimmten System s in ein statisch bestim mtes nicht bis zur Beweglichkeit des Systems vorgedrungen ist. Obgleich diese Schwierigkeiten wohl überwunden werden könnten, so werden sie doch den Grund zur Beibehaltung der Auflager
methode nebst dem Rechnungsverfahren nach der virtuellen Formänderungsarbeit geliefert haben.
Dagegen fallen diese Schwierigkeiten bei der Verbindung der Gelenkmethode m it dem direkten R'echnungsverfahren weg.
Abgesehen davon, daß man bei dem direkten Verfahren durch Anwendung der Mohrschcn Sätze die Auswertung der Integrale vom Typus
A l M '
J EJ~
bei der virtuellen Arbeit oder vom Typus
9i M3
9
P y 2 E J
bei der wirklichen, umgeht, liegt demnach der Vorzug des direkten Verfahrens in seiner Anpassung an die Gelenkmcthode.
Da man in dieser nur die Win- kcländerung zwischen zwei Stä
ben braucht (Abb. 8), die sich aus den einzelnen Biegungs
winkeln a. und ß und dem Ver
schiebungswinkel e •zusammen-
Abb. 8.
setzt, so reduziert sich die ganze Kenntnis auf den einen Mohrschen Satz, daß „der Winkel zwischen Tangente und Sehne am Ende einer Biegungslinie durch den fingierten Auflager
druck der Momentenflache, als fingierte Belastung aufgefaßt, dargestellt wird“, also
M , I M o l . VC
3 | J + 6 E J + E j
ist, wo VI den Anteil der bekannten Momentenfläche angibt
¡a u, , , a ■_ i ,, b g + b> ) .
Die Aufstellung der Elastizitätsgleichungen auf irgend eine andere Weise kann also kaum noch, einfacher werden, als bei Benutzung der Gelenkmethode in Verbindung mit dem direkten Rechnungsverfahren.
Stufe 5 bildet den Schluß der" Lösung einer statisch un
bestimmten Aufgabe und soll hier auch noch kurz gestreift werden, da die Gelenkmethode ihren günstigen Einfluß auch auf die Auflösung der Gleichungen erstreckt. Denn durch sie erhalten die Gleichungen am ausgeprägtesten die für jede Aufgabe charakteristischen Eigenschaften. Auch w eist sie durch die mechanischen und geometrischen Eigenschaften, des Systems ganz von selbst auf die zweckmäßigste Behandlung der Glei
chungen" hin. Im übrigen bleiben alle in der Literatur ent
wickelten allgemeinen und speziellen Verfahren zur Auflösung der Elastizitätsgleichungen von der vorliegenden Betrachtung unberührt. Es kann also in dieser Hinsicht hier nichts Neues hinzugefügt werden als die Bemerkung, daß es wiederum die Gelenkmethode ist, welche ihre Gleichungen der Anwendung
und Ausarbeitung von speziellen' Auflösungsmethoden am zu
gänglichsten macht.
Bei räumlichen Rahmensystemen läßt sich die Gelenk- methode ebenfalls anwenden, so daß die ganze Betrachtung, in entsprechender Weise auf räumliche Gebilde übertragen, auch im Raume ihre Gültigkeit behält.
Jedoch bleibt ihre Anwendung auf gerade Stäbe beschränkt, da für krumme Stäbe die Verfahren der virtuellen Form- änderungsarbeit vorzuziehen sind, obgleich man auch hier die direkten Eormänderungsformeln für krumme Stäbe anwenden könnte.
Dann werden mit ihr auch solche System e nicht behandelt werden können, die bei ihrer konsequenten Durchführung eine zu große Anzahl von Bewegungsfreiheiten erhalten, wo
durch wieder der ganze Rechnungsgang unübersichtlich und umständlich wird. Ihre Schwäche liegt demnach m it in der notwendigen Einführung der Bewegungsfreiheiten, wodurch ihrer Anwendung eine Grenze gesetzt wird. Solche Systeme lassen sich dann nach den anderen üblichen Methoden viel geschickter lösen.
Überhaupt läßt sich kaum ein beliebig gegebenes System durch die Anwendung nur einer rein und konsequent durch
geführten Methode bequem lösen, falls es ihr nicht besonders angepaßt ist. Man erreicht dagegen die größte Einfachheit durch eine geschickte Kombination der beiden Gelenk- und Auflagermethoden in Verbindung mit dem direkten und dem Rcchnungsverfahren der virtuellen Arbeit. Für diese Kombination lassen sich jedoch keine allgemeinen Regeln aufstellen, da sie durch jeden einzelnen Fall bedingt ist und nur durch Übung die zu jedem bestimmten Fall gehörige charakteristische einfachste Behandlung gefunden werden kann.
Deshalb konnten auch in dieser kurzen und allgemein gehaltenen Betrachtung über die Gclenkmethode nicht alle ihre speziellen Anwendungsmöglichkeiten und Kunstgriffe, die am besten an jeder einzelnen Aufgabe ihre Erläuterung finden, aufgeführt werden. Ich will mit dieser Arbeit nur die Anregung zu einer größeren Anwendung dieser Methode, die mir bei vielen aus der Baupraxis stammenden Aufgaben gute Dienste geleistet hat, auf die ihr besonders zugänglichen Rahmengebilde und zu ihrer weiteren Ausarbeitung auf benachbarten Gebieten gegeben haben.
D a die erwähnten praktischen Aufgaben hierzu von einer anderen Seite in einer recht ausführlichen Behandlung noch veröffentlicht werden, so begnüge ich mich hier m it einem ein
fachen Schulbeispiel.
B e i s p i e l f ür d i e r e i n e A n w e n d u n g der Ge l e n k m e t h o d e .
1. Das System (Abb. io) ist neunfach statisch unbestimmt.
2. Es wird durch Einführung von Gelenken an den Stellen der steifen Ecken und Einspannungen in ein statisch bestimmtes
P
m it zwei Bewegungsfreiheiten verwandelt (Abb. n ) . Die B e
wegungsfreiheiten sind durch die Winkel s 1 und e 2 gekenn
zeichnet und unter Berücksichtigung der geometrischen Be-
106
S T EUDING, ZUR P RA X IS D ER STA TIK IM EISENBETONBAU. D E R B A U IN G E N IE U R 1926 H E F T 6.Ziehungen gleich in Abb. i i eingetragen. Sodann werden die statisch unbestimmten Momente an den Gelenken angebracht.
3. Die geometrischen Zwangsbedingungen bestehen darin, daß die m it Nummern versehenen Ecken erhalten bleiben
müssen, also die Summe aller Winkeländerungen an jeder Ecke verschwinden muß.
4. An Hand der Abb. 1 1 kann man dann die folgenden Formänderungsgleichungen anschreiben, unter Benutzung des im T exte erwähnten Mohrschen Satzes.
_M,h, } 3 Ë J
M 2 h ,
6 E J
+ e, = o
2)
i »16 E J
M p h j M-_, 1, . M g l j j 17 1 "* 6 E J
3 E J + 3 E j ‘ <h = — P a b ( l , + b)
6 1, E J
3< M +
M
4 )
( M 3 - M 4) h 2
3 ‘ i ,(Ma — M4* ho
M s h o h .
3 E J 1 3 E J 1 6 E J h 2
5) - 6 E J
M 5- h »
_ » L = c
r 3 E J 1 h ,
(M:t — M4) h? ! M, l.j , AI,; lo
6 )
6 E J 3 E J
1 i” is ■? 1 * + H ^t + 3~ Ej
( M 7 -
+ 3 E J " + # J S l h 5
Mi 1 2 1 m _i Me 1*4 1
6 E J ” c 17
Mg 1*4
3 E J
M 7 t
6
E J ' S E ]
M 7 h 4 . h , 6 E ~ J 1 1 Ï 7
E J2a _ E2h4 -
3 E J
Mgl h3 M„ hs
6 E J
8)
9)
( M 7 - M 8 ) b 3 , M o h a
6 E j 3 E J
6 E J '
( M 7 - M g ) h 3
3 E J
t Je
4. Mio lj _ n
+ ■> I 6 E J 2 - 0
10
)
Mb6 E J
?_ _}- ^ 1 0 's _j_ _M*o
M 10 Ik, 1 Mn
3 E J
•*3 3 E J
3 E J
M,, 1*3
6 E J
M,ll,3 + ea = o
" > 3 E j ~ e~
ii + 2 ):
M' 3 T + JI=(3 i : r + 2 - w ) + M> x r = = -
P a b (lt - f b) Jo l i 'o J "
2> f + 3):
M I Jo
Ml 3 5 + M ’ (2 ho ¡o J + w h .] 0 J 1 10 J
)
= _ _ w [ 0 l+ b )^ i + ll+ a ] i Jo J~
(2
3) + 4) :
“ ■ T r + SI> (3
t t+ 2 T Jf ) - 3 T + 3 ^ ho Jn
M33
5 ) 4) - 5) :
h
2Jo
_ P a b ( ! ,- { - a) J 0
li »o J
lo J
Mi (3 ho Jo
T j ) #
ho Jo
loJ^ M,;
'2
Jo
fa lo J
( 3
= 0 (4
£ + 6) _ j > £ :
h o 2 J o | TV, J l 2 2 J o
M „ -2 JU I ><
Lh-22Jo I „ hh2J 0 I2 Jü \
TUho2 Jo
2T O ' + MH
2hl Io J +
2T T J“ + T r ) ~ M# T O
W ^ + 2 ^ + 2 ® + T ^ - $ f )
I M h32 J 0 h32 J 0
+ M s T O _ M 9 T O
H c d f h i + d ) J 0 h* lo T
(S
. M5 h2 , h , _ P a b f l t - j - a V
" t 'a frh i 1 ff. — 6 1, E J
6 ) + 7 ) + 8):
M) T T + Ms (2 1 4 + 3 T T " ) + 3r? (3 T T + 3 TT")
t
h3J 0
.h3Jo
_H c d J 0 8 3 ToT + 9 3 T T “ - 3 ~ T T “
8 ) — 9 ) :
h? Jo 'h Jo I
3Jo _
v T ” (6
0 ( 7
H c d (h j-j-d) ' ö h . E J h, , lia .
+62
H c d (h4 + c) 6 h4 E J
M7 2
9) + 10) :
T + M
+ Mio
(
1 0 ) + 1 1 ) :2 ^ ° - + 3
■o J
T M _ m, , T Jo
3
t t+ 2
o J / ‘'"j l o J
+ 3 t j " ) + 1 3
T Jo \
Af h3Jo lo J
h3 Jo
= 0
*0 J = 0
(8
( 9
Zu diesen neun Elastizitätsgleichungen kommen noch zwei Gleichgewichtsgleichungen, die man am oberen und unteren Riegel gegen Verschiebung in wagerechter Richtung aufzu
stellen hat, hinzu.
M, M2 M:t - M4
h, h, ' h2
_ M5 , Mg __ .Hjd
1, 't~ 1. — u (10
Mg h4
M7 M7 - M g
Mg , Mio.
h3 + h3
■ h;) “ : h4 ; ' •^'n fi 1Durch paarweises Zusammenfassen der Gleichungen werden die e ausgesondert, was auch gleich bei Aufstellung der Glei
chungen durch eine entsprechende Zusammenfassung der gleichungen bietet keine Schwierigkeiten. Sic wird genau so, E ck en an H and der Abb. 1 1 geschehen konnte. M ultipliziert wie die vorhergehende Rechnung, an Hand der Abb. ix durch
Diese letzten zwei Gleichungen sind noch mit 1„ zu multi
plizieren.
5. D ie z a h le n m ä ß ig e Auflösung d ie s e r e lf M om enten-
man die Gleichungen mit dem F aktor 6 E Jp bekommt nacheinanderfolgende zweckmäßigste Aussonderung der ein-
¡0 ’ zelnen Momente durchgeführt. Auch kann jede einzelne Glei- man sofort die fertigen Elastizitätsgleichungen für die Momente, chung an Hand der Abb. 1 1 leicht nachgeprüft werden.
DER B A U IN G E N IE U R
1 0 2 0 .H E B T 5. GRÜN, DER ZEITR A FFER IM ZEMENTLABORATORIUM.
107
E s so ll noch e in B e is p ie l fü r d ie k o m b in ie r t e A n w e n d u n g der G clcn lcm eth o d e h in z u g e fü g t w e rd e n (A b b . 12 ) . D a s S y s t e m w ird n a c h A b b . 1 3 in e in s t a t is c h b e s tim m te s m it e in e r B e w e g u n g sfre ih eit v e r w a n d e lt . S o d a n n w ir d z u r A u sn u tz u n g der v o rh a n d e n e n S y m m e t r ie d e r g e g e b e n e B e la s t u n g s fa ll a u s
dem sj'm m e trisc h e n und
y s c h ie fsy m m e tr is c h e n
r _____ z u s a m m e n g e s e tz t.
B e im s y m m e trisc h e n F a l l (A b b . 14 ) w ird z u n ä c h s t m it H ilfe d e r
c l *
1
h
\
* V
v//\ X/////////////Z&V / / / / / Z / ' / / / /
D ie A u fs te llu n g d ie se r M o m e n te n g le ic h u n g e n b ie te t g e g e n ü b e r d e m e rs te n B e is p ie l n ic h ts N e u e s u n d w ir d d e s h a lb h ie r w e g g e la sse n .
• Z u m S c h lu ß w ill ich noch d en V e r w a n d lu n g s g a n g e in er fü r d ie P r a x is g e re c h n e te n A u fg a b e a ls B e is p ie l fü r d ie z u le tz t im T e x t e rw ä h n te n , je d e m S p e z ia lfa ll e ig e n tü m lic h e n g ü n s tig s te n K o m b in a tio n e n k u rz m itte ile n .
D a s i5 f a c h s ta tis c h u n b e s tim m te S y s t e m (A b b . 16) w ir d in e in s ta tis c h b e s tim m te s (A b b . 17 ) v e r w a n d e lt. B e i A u sn u tz u n g d e r S y m m e t r ie d u rc h A n w e n d u n g d e s s y m m e trisc h e n und.
s c h ie fsy m m e tr is c h e n F a lle s h a t m an d a n n n u r noch a c h t U u -
Abb. 1 2.
V i
5 3
Abb. 1 3.
7//^//////y///z1///\/////////////////////////////\///////////////\'///, Abb. 1 6.
r - / -
Abb. 1 8.
üblichen V e r fa h r e n d e r v ir t u e lle n A r b e it d ie W in k e lä n d e r u n g a am F u ß en d e d e s B o g e n s u n d d ie S e h n e n ä n d e ru n g A 1 a u s gedrückt. S o d a n n s c h r e ib t m a n g e n a u so, w ie im e rste n Beispiel, d ie fü n f E la s tiz itä ts g le ic h u n g e n fü r d ie fü n f in A b b . 1 3 num erierten E c k e n a n , w o b e i fü r e d e r am B o g e n g e fu n d e n e A u sdruck zu se tz e n u n d b e i E c k e 1 d ie am B o g e n g e fu n d e n e W in kelän d eru n g a zu b e n u tz e n is t. D ie s e c h ste G le ic h u n g is t die G le ic h g e w ic h tsg le ic h u n g a m R ie g e l d e s s e itlic h e n R a h m e n s .
B e im s c h ie fs y m m e tr is c h e n F a l l (A b b . 15 ) w ir d a u s S y m m e triegründen I-I = o u n d zl 1 — o. D a je t z t s w illk ü rlic h b le ib t, schreibt m a n d ie v ie r E la s t iz it ä t s g lc ic h u n g e n fü r d ie v ie r paarw eise z u s a m m e n g e fa ß te n E c k e n 1 — 3, 3 — 2, 2 — 4, 4 — 5, an , wobei e h e r a u s fä llt . D ie fü n ft e G le ic h u n g is t w ie d e r d ie G le ic h gew ichtsgleich u n g a m s e itlic h e n R ie g e l.
b e k a n n te z, x , zv z2, z3, z4, x 3, x 2. D ie g e o m e tris c h e n Z w a n g s b e d in g u n g e n b e ste h e n d a rin , d a ß d ie E c k e n x, 2 , 3, 4, 5 zw isch e n d en e in zeln en z e rle g te n S t ä b e n u n d d e m B o g e n e r h a lte n b le ib e n , u n d d a ß d ie w a g e re c h te n V e rs c h ie b u n g e n a m B o g e n u n d d e r in n e re n S t ü tz e u n d d ie a n d en b eid en S tü tz e n an d en g e g e n ü b e rlie g e n d e n S te lle n , w o d ie R ie g e l a n - g e sch lo sse n sin d , g le ic h se in m ü sse n . D r ü c k t m a n z u n ä c h s t a m B o g e n d ie W in k e lä n d e r u n g u n d V e r s c h ie b u n g m it H ilfe d e r v ir tu e lle n F o r m ä n d e r u n g s a r b e it a u s, so k a n n m a n d a n n s o fo r t d ie fe r tig e n E la s t iz it ä t s g le ic h u n g e n a n H a n d d e r z u r A b b . 1 7 g e z e ic h n e te n M o m e n tc n flä c h e n m it H ilfe d e r ü b rig e n M o h rsclie n S ä t z e d ir e k t a n s c h re ib e n . Z . B . w ir d fü r d ie S t ü t z e d ie g e s u c h te W in k e lä n d e r u n g ß d u rc h d en I n h a lt d e r M o m e n te n flä c h e un d d ie D u r c h b ie g u n g f d u rc h d a s s ta t is c h e M o m e n t d e r'M o m e n te n - flä c h e , b ez o g e n a u f d en E n d p u n k t A , a u s g e d r ü c k t.
D E R Z E I T R A F F E R I M Z E M E N T L A B O R A T O R I U M . V on D r. llic h a v d G r ü n , D ü s s e ld o r f.
M itte ilu n g e n a u s d e m „ F o r s c h u n g s in s t it u t d e r H ü t te n z e m e n t - In d u s tr ie , D ü s s e ld o rf, 1 9 2 5 “ . B e i F e s t s t e llu n g v o n T re ib e r s c h e in u n g e n an Z e m e n t u n d
Buton k örp ern m u ß te s ich b is h e r d ie B e o b a c h t u n g d a r a u f b e schränken, d en Z u s t a n d d e r K ö r p e r in d en v e r s c h ie d e n e n Stadien d e r Z e r s tö r u n g fc s tz u s te lle n . E in e F ix ie r u n g d e r einzelnen Z u s tä n d e w a r n a tü rlic h d u rc h d a s L ic h t b ild m ö g lich . B eson ders g u t g e la n g es, d ie E in w ir k u n g d e s T re ib e n s zu zeigen, w en n s te ts d ie g le ic h e n K ö r p e r v o n d e r g le ic h e n S e ite gezeigt w u rd e n , e in e M a ß n a h m e , d ie ich in d e r jü n g s t e n Z e it stets d u rc h g e fü h rt h a b e . A b e r a u c h d ie se A r b e its w e is e k o n n te auf die D a u e r n ic h t b e frie d ig e n , d a n a t u r g e m ä ß d ie g le ic h e n B e - le u c h tu u g sv e rh ä ltn isse n ic h t im m e r zu e rh a lte n w a re n u n d d ie an gesch äd igten K ö r p e r b eim u n v e rm e id lic h e n H in - u n d H e r tragen zu r A u fn a h m e le ic h t b e s c h ä d ig t w u r d e n , b e s o n d e rs
w e n n d e r Z u s a m m e n h a n g d e s B e t o n s d u rc h d a s T re ib e n sch o n g e s t ö r t w a r . S e lb s t b e i s o r g f ä lt ig s t e r A r b e its w e is e k o n n te d ie se A r t d e r P h o t o g r a p h ie in b e s tim m te n lä n g e r e n Z w is c h e n rä u m e n k e in e in h e itlic h e s B ild g e b e n ü b e r d a s T e m p o , in w e lc h e m d ie T re ib e r s c h e in u n g e n a u ft r a t e n .
D e s h a lb w u r d e d e r Z e it r a ffe r , w e lc h e r n e u e rd in g s z u r A u f n a h m e v o n w a c h s e n d e n P fla n z e n m it E r f o lg b e n u tz t w ir d , h e ra n g e z o g e n , u m d ie L ü c k e , w e lc h e h ie r b e i B e o b a c h t u n g d e r T re ib e r s c h e in u n g e n k la f ft , zu sc h lie ß e n . M it d e m Z e it r a f fe r m u ß te e s m ö g lic h sein , d ie fü r u n s e r A u g e in fo lg e ih r e r L a n g s a m k e it u n s ic h tb a re n T r e ib e r s c h e in u n g e n a u c h e in em g rö ß e re n P u b lik u m s ic h tb a r zu m a c h e n : E i n e A u :w e r t u n g d e r e in zeln e n F ilm b ild e r lie ß E in b lic k e e rh o ffe n in d e n M e ch a -
GRÜN, DER ZEITRAFFER IM ZEMENTLABORATORIUM. D E R B A U IN G E N IE U R 1926 H E F T 0.
n ism u s d e r T re ib v o r g ä n g e lin d d ie G e s c h w in d ig k e it d e r R iß b ild u n g .
D ie A u fn a h m e n m it d em Z e it r a ffe r w e rd e n b e k a n n t
lich in d e r W e ise ' v o r g e n o m m e n , d aß in b e s tim m te n z e itlich e n Z w is c h e n rä u m e n , d e re n D a u e r ein V ie lfa c h e s d e r Z w isc h e n - rä u m e b ei d e r n o rm a le n K in o a u fn a h m e b e tr a g e n , A u f n a h m e n g e m a c h t un d d iese d a n n in e in em W ie d e rg a b c - a p p a r a t in n o r m a le r G e s c h w in d ig k e it a b la u fe n g e la sse n w e rd e n . A u f d iese W e ise g e lin g t es, V o rg ä n g e , d ie sich so la n g s a m a b sp ie - lcn , d aß b ei d e r B e o b a c h tu n g e in e B e w e g u n g n ic h t fe stz u - ste llc n ist, b e w e g lic h v o r z u fü h re n . D ie z e itlic h e A b w ic k lu n g w ir d a lso v o n v ie le n S tu n d e n a u f w e n ig e M in u te n z u s a m m e n g e d rä n g t.
„ Z e i t r a f f e r “ . D ie S c h w ie r ig k e it b ei d e r A u fn a h m e v o n T re ib - c rsc h c in u n g c n la g in d e m g a n z a u ß e ro r d e n tlic h u n re g e lm ä ß ig un d o ft s p ä te n E in t r e t e n d e rs e lb e n . W a r d ie A u fn a h m e ein es b e lie b ig e n K ö r p e r s , v o n w e lc h e m T r e ib e n e r w a r t e t w u r d e , e in m al b eg o n n e n , so m u ß te sie fo r tg e s e t z t w e rd e n u n d es k o n n te d e r F a l l c in tre te n , d aß v ie le 10 0 m F ilm v e r g e u d e t w a r e n , che die g e w ü n sc h te n T re ib e r s c h e in u n g e n b e g a n n e n .
N a c h v ie le n V e r s u c h e n g e la n g es, e in en K a lk t r e i b e r her- z u stc llc n , d e r z ie m lich g e n a u 24 S tu n d e n n a c h d e r A n fe r t ig u n g a n fin g zu tre ib e n . V o n d ie se m T r e ib e r w u r d e n u n e in N o r m e n k ö rp e r e in g c s c h la g c n u n d d ie A u fn a h m e d e sse lb e n k u rz v o r dem Z e it p u n k t d e r e r w a r te te n T re ib e rsc h e in u n g e n b e g o n n e n (A b b . 1).
A ls Z w is c h e n ra u m z w isch e n d en e in z e ln e n A u fn a h m e n w u r d e ein e M in u te g e w ä h lt.
D e r K ö r p e r fin g n ach 4 5 M in u te n an zu tre ib e n und zw ar, tr a te n d ie R is s e g a n z p lö tz lic h a u f.
N a c h u n g e fä h r 4 S tu n d e n w a r d e r T r e ib v o r g a n g in der H a u p ts a c h e a b g e sc h lo sse n . D e r K ö r p e r w a r v o llk o m m e n vo n N c tz ris s e n d u rc h z o g e n u n d d u r c h a u s z e rm ü rb t. A b b ild u n g 1.
z e ig t den u n v e r ä n d e r te n K ö r p e r ; es is t g e r a d e ein S tä b c h e n a u f den K ö r p e r a u fg e s e tz t, u m zu z e ig en , d aß e r d e m E in d rin g e n ein es fe ste n K ö r p e r s W id e r s ta n d le is te t . A b b ild u n g 2, 3 u n d 4 z e ig t d a s a llm ä h lic h e Z e r tre ib e n d es K ö r p e r s . B e i A b b ild u n g 5 is t d e r T r e ib v o r g a n g b e r e its a b g e sc h lo ss e n . E s is t w ie d e r m it ein em S t a b g e z e ig t, d aß n u n m e h r d e r K ö r p e r e rw e ic h t is t und ein em e in d rin g e n d e n G e g e n s ta n d k e in e n W id e r s ta n d en tg e g e n -
T a b e l l e I .
A bb. 8. Stück des Filmstreifens in natürlicher Größe.
A b b ild u n g en 1— 7.
Abb. I zeigt den unzerstörten Körper, der einem eindringenden Stab W iderstand entgegensetzt.
Bei Abb. 2 —4 sind allmählich sich verstärkende Netzrisse zu erkennen, bis schließlich bei Abb. 5 —7 der K örper sich
zermürbt.
R iß I B r e ite j L ä n g e
mm I ----
R iß 2 K ö r p e r
B r e ite 1 H ö h e —
mm mm
1,0 2
1 . 5
2,0 Klafft Klafft
0 0 100 7 1 , 1
0 ,5
..
, *
- 10 -
” 1 0 ,5
1,0 iS* ” ■■
1,0 2 i S + 1 7 , 5 7 2 .5
.. 7 3 .2
1,02 Netzrissig iö o 7 3 .2
,, 1 0 0 ,5 7 3 .5
i ,5 ,, ,,
.» 7 4 .9
i ,75 1 0 1 ,2 ,,
2 2 - 102 7 6 ,0
-•75
1 0 2 ,5 7 7 .0Klafft , ,
Klafft 1 0 3 ,7 7 7 .0
.. 105 7 8 ,0
3 . 5 , 7 8 ,4
