w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

(1)

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Inżynieria i Gospodarka Wodna

w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

(2)

15. Geometria analityczna w R

²

1. Wektory

Jeżeli A(x

1

, y

1

), B(x

2

, y

2

) ∈R

²

, wtedy wektor −−→

AB = [x

2

− x

1

, y

2

− y

1

].

Wersorem nazywamy wektor jednostkowy, tzn. wektor o długości 1.

Wektory ⃗i = [1, 0], ⃗j = [0, 1] nazywamy wersorami odpowiednio osi OX, OY . Niech ⃗ u = [x

₁

, y

₁

], ⃗ v = [x

₂

, y

₂

], λ ∈ R.

• ⃗u + ⃗v = [x

1

+ x

₂

, y

₁

+ y

₂

].

• ⃗u − ⃗v = [x

1

− x

2

, y

₁

− y

2

].

• λ⃗u = [λx

1

, λy

₁

].

Długość wektora ⃗ u jest określona wzorem

|⃗x| =

^√

x

²₁

+ y

₁²

.

^x

x

1

2

Iloczyn skalarny wektorów ⃗ u = [x

₁

, y

₁

], ⃗ v = [x

₂

, y

₂

] określamy wzorem

⃗

u ◦ ⃗v = x

1

x

₂

+ y

₁

y

₂

.

Jeżeli ⃗ u i ⃗ v są wektorami niezerowymi, to kąt φ między tymi wektorami możemy wyznaczyć z zależności

cos φ = ⃗ u ◦ ⃗v

|⃗u| · |⃗v| . Jeśli ⃗ u ̸= 0, ⃗v ̸= 0, to:

• ⃗u ∥ ⃗v ⇐⇒ x

1

y

2

= x

2

y

1

,

• ⃗u ⊥ ⃗v ⇐⇒ ⃗u ◦ ⃗v = 0

Pole trójkąta ABC, gdzie A(x

₁

, y

₁

), B(x

₂

, y

₂

), C(x

₃

, y

₃

) wyraża się wzorem

P =

¹₂

det

[

x

₂

− x

1

y

₂

− y

1

x

₃

− x

1

y

₃

− y

1

]¹⁾

.

2. Prosta na płaszczyźnie

Równanie kierunkowe prostej ma postać

l : y = ax + b,

gdzie a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej l.

a = tg α, gdzie α jest kątem nachylenia prostej l do osi OX.

0 x

y

y=ax+b a

l

1) det [a b

c d ]

= ad− bc

(3)

Kątem φ między prostymi nazywamy mniejszy z wyznaczonych przez nie kątów, φ ∈ (0,

^π₂

].

Przyjmujemy, że kąt między prostymi równoległymi jest równy 0.

0 x

y

l l

?

1 2

Weźmy dwie dowolne proste dane równaniami l

₁

: y = a

₁

x + b

₁

, l

₂

: y = a

₂

x + b

₂

.

• l

1

∥ l

2

⇐⇒ a

1

= a

₂

.

• l

1

⊥ l

2

⇐⇒ a

1

· a

2

= −1.

• Kąt φ między prostymi l

1

i l

2

możemy wyznaczyć ze wzoru tg φ =

a

₁

− a

2

1 + a

1

a

2

.

Równanie ogólne prostej

l : Ax + By + C = 0,

gdzie A, B są współrzędnymi wektora prostopadłego do prostej.

Wektor ⃗ n = [A, B] nazywamy wektorem normalnym prostej l.

Równanie prostej przechodzącej przez punkt P (x

0

, y

0

) oraz prostopadłej do niezerowego wektora

⃗ n = [A, B] ma postać

l : A(x − x

0

) + B(y − y

0

) = 0.

Weźmy dwie dowolne proste dane równaniami l

1

: A

1

x + B

1

y + C

1

= 0, l

2

: A

2

x + B

2

y + C

2

= 0.

Wektory normalne tych prostych oznaczmy odpowiednio przez ⃗ n

1

= [A

1

, B

1

] i ⃗ n

2

= [A

2

, B

2

].

Wtedy:

• l

1

∥ l

2

⇐⇒ ⃗n

1

∥ ⃗n

2

.

• l

1

⊥ l

2

⇐⇒ ⃗n

1

⊥ ⃗n

2

.

• Kąt φ między prostymi l

1

i l

₂

możemy wyznaczyć ze wzoru cos φ = |⃗n

1

◦ ⃗n

2

|

|⃗n

1

| · |⃗n

2

| .

Odległość punktu P (x

0

, y

0

) od prostej l : Ax + By + C = 0 wyraża się wzorem

d =

^|Ax√⁰^+By⁰^+C^| A²+B²

. Równanie odcinkowe prostej ma postać

x a + y

b = 1,

gdzie a, b ̸= 0. Prosta ta przecina osie OX, OY układu współrzędnych odpowiednio w punktach

(a, 0), (0, b).

^x

y

(4)

Równanie kanoniczne prostej przechodzącej przez punkt P (x

₀

, y

₀

) oraz równoległej do niezerowego wektora ⃗ u = [a, b] ma postać

l : x − x

0

a = y − y

0

b . Wektor ⃗ u nazywamy wektorem kierunkowym prostej l.

Uwaga! W mianownikach mogą pojawiać się zera, bo kreska nie jest tu symbolem dzielenia, tylko proporcji.

Weźmy dwie dowolne proste dane równaniami l

1

:

^x^−x_a ¹

1

=

^y^−y_b ¹

1

, l

2

:

^x^−x_a ²

2

=

^y^−y_b ²

2

.

Wektory kierunkowe tych prostych oznaczmy odpowiednio przez ⃗ u

1

= [a

1

, b

1

] i ⃗ u

2

= [a

2

, b

2

]. Wtedy:

• l

1

∥ l

2

⇐⇒ ⃗u

1

∥ ⃗u

2

.

• l

1

⊥ l

2

⇐⇒ ⃗u

1

⊥ ⃗u

2

.

• Kąt φ między prostymi l

1

i l

₂

możemy wyznaczyć ze wzoru cos φ = |⃗u

1

◦ ⃗u

2

|

|⃗u

1

| · |⃗u

2

| .

Równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P (x

₀

, y

₀

) oraz równoległej do niezerowego wektora ⃗ u = [a, b] ma postać

l :

{

x = x

0

+ at

y = y

₀

+ b t, gdzie t ∈ R.

3. Okrąg, elipsa

Równanie okręgu o środku w punkcie S(a, b) i promieniu r ma postać

(x − a)

²

+ (y − b)

²

= r

²

.

(a,b) y

x

Równanie elipsy o ogniskach a, b i środku w punkcie S(0, 0) jest postaci x

²

a

²

+ y

²

b

²

= 1.

y

a x b

Zadania

1. Obliczyć odległość punktów A i B, jeżeli A( −3, 1), B(1, 7).

2. Wyznaczyć pole kwadratu ABCD, jeśli A(2, 3) i C(1, 2).

(5)

3. Na osi OY znaleźć punkt równo oddalony od początku układu i od punktu A(4, 8).

4. Wyznaczyć współrzędne środka odcinka AB, jeśli A(2, 5) i B( −4, 1).

5. Dane są punkty A(3, −1) i B(2, 1). Wyznaczyć punkt symetryczny do A względem punktu B.

6. Które z punktów A(1, 1), B(−1, 2), C(2, 1) leżą na prostej x + 2y − 3 = 0?

7. Dla jakich wartości parametru m prosta mx − y + 1 = 0 jest równoległa do osi OX?

8. Dla jakich wartości współczynników A i B prosta Ax + By + 1 = 0 tworzy z osią OX kąt 45

^◦

? 9. Przez punkt A(4, 6) poprowadzić prostą odcinającą na osiach odcinki jednakowej długości.

10. Przez punkt A(2, −1) poprowadzić prostą równoległą do prostej 2x + 3y + 2 = 0.

11. Wyznaczyć kąt między prostymi: 2x + y = 0, 3x − y − 4 = 0.

12. Dany jest wierzchołek kwadratu A(1, −3) i jedna z jego przekątnych y = 2x. Wyznaczyć równania boków kwadratu.

13. Przez początek układu współrzędnych poprowadzić prostą oddaloną od punktu (3, 4) o √ 5.

14. Napisać równanie okręgu o środku S( −4, 3) i promieniu 5.

15. Napisać równanie okręgu o środku S( −2, 1) i przechodzącego przez początek układu.

16. Napisać równanie okręgu o środku leżącym na prostej x + y − 7 = 0 i przechodzącego przez punkty A(0, 0) i B(1, 7).

17. Napisać równanie okręgu przechodzącego przez punkt (1, 0) i stycznego do prostych 2x + y + 2 = 0 oraz 2x + y − 18 = 0.