Logika Oznaczenia Literatura Wykład I

(1)

Wykład I

Literatura

 Podręczniki

1. G. M. Fitherholz – „Rachunek różniczkowy i całkowy”

2. W. Żakowski – „Matematyka” tom I

 Zbiory zadań

1. W. Krysicki, L. Włodarski – „Analiza matematyczna w zadaniach” tom I i II 2. J. Banaś, Wędrychowicz – „Zbiór zadań z analizy matematycznej”

Oznaczenia

∀ – kwantyfikator ogólny (dla każdego)

∃ – kwantyfikator szczegółowy (istnieje) N – zbiór liczb naturalnych

Z – zbiór liczb całkowitych Q – zbiór liczb wymiernych R – zbiór liczb rzeczywistych C – zbiór liczb zespolonych

ot (x₀) – zbiór wszystkich otoczeń punktu x0

C_{[a ,b ]} – zbiór funkcji ciągłych na przedziale (a , b) i prawostronnie ciągłych w a oraz lewostronnie ciągłych w b

C( A) – zbiór funkcji ciągłych na A D( A) – zbiór funkcji różniczkowych na A

C_❑ⁿ(A) – zbiór funkcji n-krotnie różniczkowalnych w sposób ciągły na A D_❑ⁿ(A) – zbiór funkcji n-krotnie różniczkowalnych na ^A

Logika

(2)

Definicja 1.1 (Zdanie logiczne)

Zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie, któremu można przypisać ocenę prawdy lub fałszu.

Oznaczenia logiczne

p , q – zdania logiczne p∨ q – alternatywa p∧ q – koniunkcja p⟹ q – implikacja p⟺ q – równoważność

p – negacja

Tautologia

Definicja 1.2 (Tautologia)

Prawem logicznym nazywamy zdanie które jest zawsze prawdziwe. Udowadniamy za pomocą tabelki logicznej.

Prawo podwójnego zaprzeczenia: p ⟺ ( p) Prawo wyłączonego środka: p∨ q

Prawo sprzeczności: (p∧ p)

Prawa De Morgana

I prawo: (p∧q )⟺ p∨ q II prawo: (p∨q )⟺ p∧ q Dowód I prawa De Morgana:

p q p∧ q p q (p∧q ) p∨ q ~(p ^ q )  ~p v ~q

1 1 1 0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 1 1 1

1 0 0 0 1 1 0 1

0 0 0 1 1 1 1 1

Twierdzenia

(3)

Twierdzenie: Z ałożenie ⟹T eza Twierdzenie odwrotne: T ⟹ Z Kontrapozycja: T⟹ Z

Prawo transpozycji: (Z ⟹ T )⟺( T ⟹ Z ) Dowód prawa transpozycji:

T Z T Z Z⟹T T⟹ Z (Z ⟹ T )⟺( T ⟹ Z )

0 1 1 0 0 0 1

1 1 0 0 1 1 1

1 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1

Wyrażenia zawierające zmienne, nazywamy formą zdaniową, np.:

x²+y²>0

Zbiory

Definicja 1.3 (Zbiory)

A , B – zbiory

A=B :⟺ ∀_xx∈ A ⟺ x ∈ B A⊂B :⟺ ∀_xx∈ A ⇒ x∈ B

Definicja 1.4 (Działania na zbiorach)

A , B – zbiory

A∪B :={x : x∈ A ∨ x ∈ B} – połączenie (suma)

A ∩B :={x : x∈ A ∧ x ∈ B} – przecięcie (iloczyn)

A ={x : x∈ A ∧ x ∉ B } ¿ – dopełnienie B do A (różnica)

X – przestrzeń

X – dopełnienie zbioru ¿ ^A do przestrzeni X

A × B=

{

(x , y ): x∈ A ∧ x ∈ B

}

– iloczyn kartezjański

(4)

Definicja 1.5 (Rodzina zbiorów, połączenie i przecięcie dowolnej ilości zbiorów)

R⊃I ∋i→ A_i, A_i _{– zbiór}

¿i∈ I A_i=

{

^{x :}^∃i∈ Ix∈ A_i

}

– połączenie

¿i∈ I A_i=

{

^{x :}^∀x∈ Ix∈ A_i

}

– przecięcie

Przykład 1.1

Wyznaczyć:

1. ¿i∈ R A_i 2. ¿i∈ R A_i

Rozwiązanie:

1. ¿i∈ R A_i=(−∞ ,+∞ )

Uzasadnienie:

infi∈ R(−i²−1)=−∞

¿_i_∈R

(

2+i²

)

=+∞

2. ¿i∈ R Ai=(−1, 2)

Uzasadnienie:

inf_{i∈ R}(−i²−1)=−1

¿_i_∈R

(

2+i²

)

=2

A_i=

(

−i²−1,2+i²

)

i∈ R

Wykres prawych końców przedz. A_i

Wykres lewych końców przedz. A_i

(5)

Funkcje

Dana jest funkcja: f : X∋ x → y =f (x)∈Y X – zbiór argumentów

Y – zbiór wartości

y=f(x) – równanie wykresu

Uwaga!

Aby określić funkcję, musimy zadać zbiór argumentów, zbiór wartości i wykres.

Definicja 1.6 (Dziedzina i przeciwdziedzina)

D_f=

{

^x^{∈ X :∃}y∈ Yy=f (x )

}

^D−1f

={y∈ T :∃x∈ Xy=f ( x) }

Definicja 1.7 (Odwzorowanie) Funkcja f : X -> Y nazywa się odwzorowaniem jeżeli D_f=X

Definicja 1.8 (Iniekcja, suriekcja, bijekcja)

Iniekcja (funkcja różnowartościowa) – jest odwzorowaniem, które dla dowolnych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości.

Tzn. D_f=X∧ ∀_x₁_{, x}₂_∈Xf

(

^x1

)

⁼^f

(

^x2

)

^{⇒ x}1=x₂

Suriekcja – odwzorowanie, przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru Y . Tzn. Df=X∧ ∀_y_∈Y∃_x_{∈ X}: y=f (x )

Bijekcja – funkcja będąca jednocześnie iniekcja i suriekcją. Innymi słowy taka, że każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny.

Definicja 1.9 (Funkcja odwrotna)

Niech: f : x∋ X → y =f (x)∈Y jest bijekcją, wówczas

f⁻¹:Y∋ x → y=f⁻¹(x )∈ X

(6)

jest odwzorowaniem odwrotnym, przy czym

y=f⁻¹(x)⇔ f ( y )=x

Przykład 1.2

Dana jest funkcja f :[0 ,+∞)∋ x → y=x²∈¿ , która jest bijekcją. Określimy funkcję odwrotną do niej:

f⁻¹:¿∋ x → y =f⁻¹(x )∈¿

Z definicji funkcji odwrotnej mamy:

y=f⁻¹(x)⇔ f ( y)=x ⇔ y²=x⇔ y=

√

x dla x ≥ 0

Uwaga!

Wykres funkcji odwrotnej otrzymujemy przez symetrię wykresu funkcji zadanej względem prostej

y=x

y=x y=

√

x y=x²

(7)

Funkcje cyklometryczne

 Funkcja sinus i odwrotna do niej arcussinus

Funkcja sin(x ) nie jest bijekcją (nie istnieje funkcja odwrotna), w związku z czym zawężamy sin(x ) do przedziału

[

⁻²^π^,^π²

] ^.

Wynikiem takiego zabiegu jest funkcja:

sin

[

^−π2 ,π

2

]

^:

[

^−π² ^,^π²

]

∋ x → y=sinx ∈[−1,1]

Natomiast funkcja do niej odwrotna to arcussinus:

arcsin :[−1,1]∋ x→ y=arcsinx∈

[

^−π² ^,^π²

]

y=arcsinx

siny=x

{

^y^x^∈[^∈[−1,1]⁻²^π^,^π²^]

(8)

Przykład 1.3 Rozwiąż równanie:

1. arcsinx=π 4 2. arcsinx=0 3. arcsinx=−3

4 π

ad. 1) Sprawdzamy założenia π

4∈

[

⁻²^π^,^π²

]

^{, x}^∈[−1,1]^zatem

arcsinx=π

4⟺ x=sin π

4⟺ x=

√

²

2 ∈[−1,1]

ad. 2) Sprawdzamy założenia 0 ∈

[

⁻²^π^,^π²

]

^{, x}^∈[−1,1]^zatem

arcsinx=0⟺ x=sin 0 ⟺ x=0∈ [−1,1]

ad. 3) Sprawdzamy założenia −3

4 π∉

[

^−π² ^,^π²

]

zatem równanie jest sprzeczne

arcsinx=−3

4 π⟺ x ∈∅

 Funkcja cosinus i odwrotna do niej arcuscosinus

Funkcja cos (x) nie jest bijekcją (nie istnieje funkcja odwrotna), w związku z czym zawężamy cos (x) do przedziału [0 , π]

.

(9)

cos_[_{o , π}_]:[0 , π ]∋ x → y=cosx∈[−1,1]

Natomiast funkcja do niej odwrotna to arcuscosinus:

arccos :[−1,1]∋ x → y =arc cosx ∈[0, π]

y=arccosx

cosy=x

 Funkcja tangens i odwrotna do niej arcustangens

Funkcja tg(x) nie jest bijekcją (nie istnieje funkcja odwrotna), w związku z czym zawężamy tg(x) do przedziału

(

^−π2 ,π

2

) ^.

tg

(

^−π2 ,π

2

)

^:

(

^−π2 ,π

2

)

∋ x → y=tgxϵ R

Natomiast funkcja do niej odwrotna to arcustangens:

arctg : R∋ x → y =arctgx ∈

(

⁻2^π,π 2

)

y=arctgx

{

^x^y^∈[−1,1]^{∈[0 , π ]}

{

^y^∈^x

⁽

⁻^{∈ R}²^π^,^π²

⁾

(10)

tgy=x

 Funkcja cotangens i odwrotna do niej arcuscotangens

Funkcja ctg(x) nie jest bijekcją (nie istnieje funkcja odwrotna), w związku z czym zawężamy ctg(x) do przedziału (0 , π) .Wynikiem takiego zabiegu jest funkcja:

ctg_{(o ,π )}: xϵ (0 , π )→ y =ctgxϵ R

Natomiast funkcja do niej odwrotna to arcuscotangens:

arcctg : xϵ R → y=arc ctgxϵ (0, π )

y=arcctgx

c tgy=x

{

^y^{∈ (0 , π )}^x^{∈ R}