Zadania domowe z Analizy I.2 – seria 2. (na piatek 16.03.2018)
Zadanie 1. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z > 0 spełniających x + y + z = 1 zachodzi nierówność
3x + 1
x + 1 +3y + 1
y + 1 +3z + 1 z + 1 ¬9
2.
Zadanie 2. Podaj przykład funkcji f mającej pochodną w punkcie a oraz ciągów {xn}, {zn}, dla których granica
n→∞lim
f (xn) − f (zn) xn− zn
jest różna od f0(a) (lub w ogóle nie istnieje).
Zadanie 3. Załóżmy, że f ma pochodną w a, ciągi {xn} i {zn} są zbieżne do a i spełniają xn< a < zn
dla każdego n ∈ N. Udowodnij, że
n→∞lim
f (xn) − f (zn) xn− zn
= f0(a).
Zadanie 4. Niech f (x) =√
x2− 1 na (1, ∞). Wykazać, że f(n)> 0 dla n nieparzystych i f(n)< 0 dla n parzystych.
Zadanie 5. Znajdź zwartą postać sumy
n
X
k=0
n k
sin
x +kπ
2
.
Wskazówka: pochodne exsin x.
1
