6. OBWODY LINIOWE PRĄDU SINUSOIDALNEGO

6. OBWODY LINIOWE PRĄDU SINUSOIDALNEGO

6.1. SYGNAŁY HARMONICZNE

W grupie przebiegów okresowych szczególne znaczenie mają sygnały harmoniczne, tzn. cosinusoidalne i sinusoidalne. Ponieważ jednak

(

)

sin + = ,

nazwiemy je ogólnie sinusoidalnymi (sinusoidalnie-zmiennymi).

Sygnałami harmonicznymi nazywamy sygnały, których przebieg jest sinusoidalną funkcją czasu

Załóżmy, że rozpatrujemy sygnał sinusoidalny w postaci napięcia:

( )

(

)

u = sin ω +Ψ (6.1)

u 0

Ψ u t( )

Um

T/2

T

π 2π

t ωt

W czasie odpowia- dającym jednemu okresowi faza na- pięcia zmienia się o 2π, tzn. ωT = 2π . Na rys. na osi od- ciętych oznaczono skalę czasu i skalę kątową.

gdzie: u(t) - wartość chwilowa napięcia;

Um - wartość maksymalna napięcia (nazywana amplitudą);

Ψu - początkowy kąt fazowy, faza początkowa napięcia w chwili t = 0;

t Ψu

ω + - kąt fazowy, faza napięcia w chwili t;

ω =2π f - pulsacja (częstotliwość kątowa) mierzona w rad/s;

f =1/T - częstotliwość mierzona w Hz, będąca odwrotnością okresu.

Wartość średnia półokresowa napięcia sinusoidalnego wynosi zgodnie ze wzorem (1.6)

( )

T

śr U t dt U U

dt T t T u

U 2 0,637

2 sin

2 ^/2

0 2

/

0

≈

=

=

=

∫ ∫

Wartość skuteczna napięcia sinusoidalnego jest równa wg. (1.8)

( )

T

U U dt t T U

dt t T u

U 0,707

sin 2 1

1

0

2 2 0

2 = = ≈

=

∫ ∫

Oznacza to, że równanie opisujące napięcie harmoniczne możemy przed- stawić jako

( )

(

)

(

)

u = sin ω +Ψ = 2sin ω +Ψ (6.4)

6.2. SYGNAŁ WYKŁADNICZY

Funkcja wykładnicza pełni wyjątkową rolę, ponieważ

• każdy sygnał występujący w praktyce może być zawsze wyrażo- ny w postaci sumy funkcji wykładniczych;

• w przypadku obwodów liniowych odpowiedź obwodu na wymu- szenie wykładnicze jest także wykładnicza.

Przyjmijmy, że sygnał wykładniczy ma postać:

(

)

∈

= ,

)

(t Ae t

x ^st dla (6.5)

Współczynnik s występujący w wykładniku jest zespolony ω

σ j

s = + (6.6)

a zatem x(t)= Ae^(σ+jω)t = Ae^σt e ^jωt (6.7)

Rozpatrzmy szczególne przypadki w zależności od wartości s.

1. Jeżeli s jest liczbą rzeczywistą (tzn. ω = 0) wtedy e t

A t

x( ) = ^σ i ma charakter zależny od wartości σ a) gdy σ < 0, sygnał x(t) ma charak-

ter monotonicznie malejącej funk- cji czasu;

b) gdy σ = 0, sygnał x(t) jest sygna- łem stałym o wartości A;

c) gdy σ > 0, sygnał x(t) ma charak- ter monotonicznie rosnącej funkcji

czasu. ⁰

x t( )

t

A

σ 0>

σ 0<

σ = 0

2. Jeżeli s jest liczbą urojoną (tzn. σ = 0) wtedy

t

e j

A t

x( ) = ^ω

sygnał x(t) może być interpretowany na płaszczyźnie zmiennej ze- spolonej za pomocą tzw. wektora wirującego

obracającego się z prędkością kątową ω w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Położenie tego wektora na płaszczyźnie w danej chwili t określone jest za pomocą kąta ωt.

Czynnik e ^jωt spełnia rolę operatora obrotu,

natomiast A jest modułem wektora.

0 t= 0 A

ωt

ω Ae

jωt

Re Im

Uwzględniając wzór Eulera

t j

t

e^jω =cosω + sinω (6.8)

można wektor wirujący wyrazić za pomocą dwóch składowych

( )

x = ^jω = cosω + sinω (6.9)

Część rzeczywista wektora wirującego przed- stawia sygnał o charakterze cosinusoidalnym

[

]

Re = (6.10)

Część urojona wektora wirującego przed- stawia sygnał o charakterze sinusoidalnym

[

]

Im = (6.11)

Wynika stąd, że naj- częściej spotykane przebiegi wielkości

elektrycznych stanowią szczególne

przypadki sygnału o charakterze wykładniczym.

6.3. OPIS SYMBOLICZNY SYGNAŁU HARMONICZNEGO

Rozpatrzmy ponownie sygnał sinusoidalny w postaci napięcia (6.1):

( )

(

)

u = sin ω +Ψ

Związek pomiędzy wektorem wirującym na płaszczyźnie zmiennej zespolonej a rozpatrywanym sygnałem sinusoidalnym można następująco interpretować graficznie

0

ω

Re Im

u 0

Ψ u t( )

Um

T

t Um ωt

Ψu

u(0)

u(0)

Wartość chwilowa napięcia w chwili t = 0 wynosi

( )

u 0 = sinΨ (6.12)

W chwili tej wektor wirujący o amplitudzie U_m jest nachylony względem osi liczb rzeczywistych pod kątem Ψ_u. Rzut tego wektora na oś liczb uro- jonych wynosi u(0), czyli wartość chwilowa sygnału sinusoidalnego jest równa rzutowi wektora wirującego na oś liczb urojonych.

Analitycznie można to ująć, zgodnie z zależnością (6.11), następująco:

dla każdej chwili t

( )

(

) [

] ^{[ ]}

^{( )}

u = _msin ω +Ψ_u = Im _m ^{j ωt+Ψu} = Im (6.13)

Sygnał sinusoidalny:

u

( )

(

)

(

)

posiada następującą POSTAĆ SYMBOLICZNĄ

(symboliczną wartość chwilową)

u t U_me^{j(ωt Ψu)} U_me^jΨu e^jωt U e^jΨu e^jωt 3 2 1 43

42

1 2

)

( = ⁺ = = (6.14)

Czyli: u(t) =U_me^j(ωt+Ψu) = U_m e^jωt = 2U e^jωt (6.15) UWAGI:

• nie zachodzirówność u

( ) ( )

( ) ( )

• natomiast:

( ) ( ) ( ) [ ]

( )

j t u t t u

u Im

2

* =

= − (6.16)

• Metoda symboliczna zapisu przebiegów sinusoidalnych pozwala traktować je jako przebiegi wykładnicze.

(rzeczywista) wartość chwilowa

amplituda

(wartość max.) wartość skuteczna

Um U

symboliczna amplituda

/postać zespolona amplitudy/

/wskaz amplitudy/

symboliczna wartość skuteczna /wskaz wartości skutecznej/

PRZYKŁAD 6.1

Dla (RZECZYWISTEJ) wartości chwilowej napięcia

( )

(

)

u = 282sin 314 +30^o

Amplituda: U_m = 282V

Wartość skuteczna:

U V

U ^m 200

41 , 1

282

2 = =

=

Pulsacja

s 314 rad ω =

ponieważ ω = 2π f

stąd częstotliwość ^{f 50}

[ ]

14 , 3 2

314

2 =

= ⋅

= π ω Jeśli

f = zatem okres T1

[ ]

50 1 1 = =

=

Faza początkowa Ψ_u =30^o

inaczej _u ^o _o 0,524rad 30 180 =

= π

Ψ

Jej SYMBOLICZNA wartość chwilowa wynosi:

( ) _e

( )

e U t

u( )= _m ^{j ωt+Ψu} = 282 ^{j 314t+30o}

Symboliczna amplituda: U_m =U_m e^jΨu = 282e^j30oV

Symboliczna wartość skuteczna: U e U e e V U ^{m j u j u} 200 ^j30o

2 = =

= ^{Ψ Ψ}

6.4.

¾ REZYSTOR

Przy występowaniu prądu harmonicznego

( )

(

)

i = sin ω +Ψ (6.17)

w rezystorze o rezystancji R, na jego zaciskach pojawi się napięcie

( )

( )

(

)

(

)

u = = sin ω +Ψ = sin ω +Ψ (6.18) przy czym amplituda przebiegu napięcia

m m RI

U = (6.19)

a faza początkowa

i

u Ψ

Ψ = (6.20)

Czyli przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) wynosi zero.

=0

−

=Ψ_u Ψ_i

ϕ (6.21)

Napięcie na zaciskach idealnego rezystora jest w fazie z prądem

0

u t( ) U_m

ωt i t( ),

Ψ_u Ψ_i

I_m

W POSTACI SYMBOLICZNEJ Symboliczna wartość chwilowa prądu

j i

m t m

mej I I e

I t

i( ) = ^ω gdzie = ^Ψ (6.22)

napięcia

t m j t

m ej U e

I R t i R t

u( )= ( ) = ^ω = ^ω (6.23)

Zatem

m m RI

U = (6.24)

co oznacza, że zgodnie z (6.15) I R

U = I =GU (6.25)

Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładni- czej, otrzymujemy

i

u j

j R Ie

e

U ^Ψ = ^Ψ (6.26)

Z przyrównania modułów w wyrażeniu (6.26) znajdujemy I

R

U = I=GU (6.27)

a z przyrównania argumentów Ψ_u =Ψ_i (6.28)

Pomnożenie wskazu I przez R po- woduje wydłużenie/skrócenie tego wskazu R razy. Wobec tego wskaz napięcia U = RI znajduje się na tej samej prostej co wskaz I

U I Ψ_u=Ψ_i

¾ CEWKA INDUKCYJNA

Przy przepływie prądu w cewce idealnej o indukcyjności L napięcie na jej zaciskach wyraża zależność (2.17)

( ) ( )

dt t i Ld t u =

Przyjmując, że w cewce występuje prąd harmoniczny

( )

(

)

i = sin ω +Ψ (6.29)

napięcie na cewce wynosi

( )

(

)

u ω ω Ψ π ⎟ = ω +Ψ

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= sin

sin 2 (6.30)

Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu napięcia

m

m LI

U =ω (6.31)

natomiast faza początkowa

2 Ψ π

Ψ_u = _i + (6.32)

Czyli przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) cewki in- dukcyjnej wynosi:

2 Ψ π Ψ

ϕ = _u − _i = (6.33)

Napięcie na zaciskach idealnej cewki wyprzedza prąd

o 90^o

0

u t( ),

ωt i t( )

Ψ_i Ψ_u

π/2

Dla cewki indukcyjnej - symboliczna wartość chwilowa prądu

j i

m m t

m ej I I e

I t

i( )= ^ω gdzie = ^Ψ (6.34)

napięcia

( ) ( )

t m

m ej U e

I L dt j

t i Ld t

u = = ω ^ω = ^ω (6.35)

Zatem

m j LIm

U = ω (6.36)

co oznacza, że

I L j

U = ω lub U L I j

ω

= 1 (6.37)

Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładni- czej, otrzymujemy

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= ²

Ψ π

Ψ^u ω ^{j i}

j L Ie

e

U (6.38)

Z przyrównania modułów w wyrażeniu (6.38) znajdujemy I

X I L

U =ω = _L U B U

I = L = _L ω

1 (6.39)

reaktancja indukcyjna susceptancja indukcyjna

a z przyrównania argumentów

2 Ψ π

Ψ_u = _i + (6.40)

Pomnożenie wskazu I przez jωL powoduje wydłużenie/skrócenie wskazu I i jego obrót o 90^o „w przód”

2 Ψ π Ψ

ϕ = _u − _i =

U

I

Ψ_i Ψ_u

ϕ π= /2

PRZYKŁAD 6.2

Obliczyć rzeczywistą wartość chwilową prądu płynącego przez cewkę o indukcyjności L=0,2H, gdy

( )

(

)

u_L =141sin 100 +40^o u t_L( ) i t_L( ) L

Symboliczna amplituda napięcia: U_Lm =141e^j40oV

Symboliczna wartość skuteczna napięcia: ^U_L ^{ej40o 100ej40o}

[ ]

2

141 =

=

Reaktancja indukcyjna: X_L = Lω =100⋅0,2= 20

[ ]

Susceptancja indukcyjna:

[ ]

X B L

L

L 0,05

20 1 1

1 = = =

= ω

Zgodnie z (6.37)

(

)

o o o

j j

j j j

L L L

L e e

e e j

e jX

U U L

I j ^{40 90 50}

90 40 40

20 5 100 20

100 20

100

1 = = = = ₋ = ₋

= ω inaczej

(

)

o o

o j j j j

j

L L L

L L

e e

e e

e j

U jB L U

j L U

I j

50 40

90 40

90

40 0,05 100 5 5

100 05 , 0

1 1

− +

−

− ⋅ = =

=

⋅

−

=

=

−

=

−

=

= ω ω

Czyli symboliczna amplituda prądu: I_Lm =5 2e^−j50o

[ ]

( )

(

)

i_L =5 2 sin 100 −50^o

¾ KONDENSATOR

Gdy istnieje napięcie u(t) na zaciskach idealnego kondensatora o po- jemności C, to prąd płynący przez kondensator opisuje zależność (2.13)

( ) ( )

dt t u C d t i =

Przyjmując, że na zaciskach kondensatora występuje napięcie

( )

(

)

u = sin ω +Ψ (6.41)

prąd płynący przez kondensator wynosi

( )

(

)

i ω ω Ψ π ⎟ = ω +Ψ

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= sin

sin 2 (6.42)

Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu prądu

m

m CU

I =ω (6.43)

natomiast faza początkowa

2 Ψ π

Ψ_i = _u + (6.44)

Zatem przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) kondensa- tora wynosi:

2 Ψ π

Ψ

ϕ = _u − _i = − (6.45)

Prąd płynący przez idealny kondensator

wyprzedza napięcie o 90^o

0

u t( ),

ωt i t( )

Ψ_i Ψ_u π/2

Dla kondensatora - symboliczna wartość chwilowa napięcia

j i

m t m

mej U U e

U t

u( ) = ^ω gdzie = ^Ψ (6.46)

prądu

( ) ( )

t m

m ej I e

U C dt j

t u C d t

i = = ω ^ω = ^ω (6.47)

Zatem

m j CUm

I = ω (6.48)

co oznacza, że

U C j

I = ω lub I C U j

ω

= 1 (6.49)

Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładni- czej, otrzymujemy

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= ²

Ψ π Ψⁱ ω ^{j u}

j CU e

e

I (6.50)

Z przyrównania modułów, znajdujemy U B U C

I =ω = _C I X I

U = C = _C ω

1 (6.51)

susceptancja pojemnościowa reaktancja pojemnościowa

a z przyrównania argumentów

2 Ψ π

Ψ_i = _u + (6.52)

Pomnożenie wskazu I przez 1/jωC powoduje wydłuże- nie/skrócenie wskazu I i jego obrót o 90^o „wstecz”

2 Ψ π

Ψ

ϕ = _u − _i = −

U I

Ψ_i

Ψ_u

ϕ π =- /2

6.5.

Prawo Ohma

Symboliczna wartość skuteczna napięcia U dwójnika równa się iloczynowi impedancji dwójnika Z i wartości skutecznej prądu I w nim płynącego:

I Z

U = (6.53)

Impedancja (opór zespolony) Z charakteryzuje przewodnictwo elek- tryczne dwójnika przy przepływie prądu sinusoidalnego.

Podstawiając w (6.53) symboliczne wartości skuteczne w postaci wy- kładniczej, otrzymujemy

( _{u i})

i

u j

j j

I e U e

I e U I

Z U _Ψ ^{Ψ Ψ}

Ψ = −

=

= (6.54)

czyli: ^{= Z =}

(

)

I

Z U , arg (6.55)

Zatem Z = Z e^jϕ Z = R+ jX (6.56)

rezystancja reaktancja

Impedancję Z można przedsta- wić geometrycznie na płasz- czyźnie zmiennej zespolonej za pomocą trójkąta impedancji.

Z ϕ Im

Re R

X

Prawo Ohma można także przedstawić następująco:

Symboliczna wartość skuteczna prądu I płynącego przez dwójnik równa się iloczynowi admitancji dwójnika Y i wartości skutecznej napięcia U na jego zaciskach:

U Y

I = (6.57)

Admitancja (przewodność zespolona – jej jednostką jest simens S) dwój- nika równa się odwrotności jego impedancji:

Y = Z1 (6.58)

co oznacza, że

ϕ ^jϕ

j e

e Z

Y = Z 1 = 1 ⁻

(6.59)

czyli: = = Y = −ϕ

U I

Y Z1 , arg

(6.60) Zatem Y =Y e^−jϕ Y =G + jB (6.61)

konduktancja susceptancja

Admitancję Y można przedsta- wić geometrycznie na płasz- czyźnie zmiennej zespolonej za pomocą trójkąta admitancji.

Y -ϕ Im

Re G

B

I prawo Kirchhoffa - prądowe prawo Kirchhoffa (PPK) Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych prądów i_n(t) we wszystkich gałęziach dołączonych do jed- nego, dowolnie wybranego węzła obwodu jest w każdej chwili czasu równa zeru:

∑

=

n

k

k k

t i t

1

0 ) λ (

Λ

gdzie: λ_k = ±1 („+” jeśli prąd elektryczny ma zwrot do węzła; „-” jeśli zwrot jest przeciwny, od węzła)

Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (6.62a) oraz sym- bolicznych wartości skutecznych (6.62b) odpowiednich prądów:

∑

=

n

k

k m kI

1

λ 0 (6.62a)

∑

=

=

n

k

k k I

1

λ 0 (6.62b)

PRZYKŁAD 6.3

Znane są symboliczne wartości skuteczne prądów

j o

e I₁ =1 ⁰

j o

e I₂ =3 ⁹⁰

j o

e I₃ = 2 2 ^{− 45} Obliczyć prąd I₄

I 3

I ₄ I ₂ I 1

Zgodnie z (6.62b) : I₁− I₂ − I₃ − I₄ =0

zatem I₄ = I₁ −I₂ −I₃ =1e ^j0o−3e ^j90o−2 2 e^−j45o

(

)

3

1− j − − j = − j − + j =− − j

=

j o

e ¹³⁵ 2 ⁻

=

II prawo Kirchhoffa - napięciowe prawo Kirchhoffa (NPK) Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych napięć u_n(t) na wszystkich elementach, tworzących dowol- nie wybrane oczko obwodu jest w każdej chwili czasu rów- na zeru:

∑

=

n

k k k

t u t

1

0 ) ν (

Λ

gdzie: ν_k = ±1 („+” jeśli zwrot napicia jest zgodny z przyjętym za dodatni kie- runkiem obiegu oczka; „-” jeśli jest przeciwny)

Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (6.63a) oraz sym- bolicznych wartości skutecznych (6.63b) odpowiednich napięć

∑

=

n

k

k m kU

1

ν 0 (6.63a)

∑

=

=

n

k

k kU

1

ν 0 (6.63b)

PRZYKŁAD 6.4

Dla (6.63) u₁

( )

( )

( )

( )

( )

6.6.

¾ Połączenie SZEREGOWE n dwójników

I Z I Z I

Z I

Z I Z U

U U U

n

k k n

n = + + + = =

+ + +

=

∑

=1 2

1 2

1 K K (6.64)

∑

= ⁿ

k

Zk

Z

1

(6.65)

¾ Połączenie RÓWNOLEGŁE n dwójników

U Y U Y U

Y U

Y U Y I

I I I

n

k k n

n = + + + = =

+ + +

=

∑

=1 2

1 2

1 K K (6.66)

∑

∑

=

= ⁿ

k k

n

k

k Z Z

Y Y

1 1

1

lub 1 (6.67)

6.7.

¾ Obwód SZEREGOWY RLC

R L C

Wartość

impedancji elementu napięcia na elemencie

R Z_R = R U_R = RI

L Z_L = jωL= jX_L U_L = jωLI = jX_L I

C C jXC

j C

Z = − = − ω

1 I jX I

j C C I

U_C = j =− = − _C

ω ω

1 1

Ponieważ

( )

[

]

(

)

L j R I

Z

U ⎥ = + _L − _C = +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

=

= ω ω¹ (6.68)

Zatem:

( )

2 2

2 1

X R

X X

C R L

R

Z ⎟⎟ = + _L − _C = +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

= ω ω (6.69)

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

= R

arctg X R

X arctg X

R L C arctg

Z ω ω ^{L C}

ϕ

1

arg (6.70)

W zależności od parametrów L i C oraz częstotliwości, reaktancja X we wzorze (6.68) X = X_L − X_C może być:

a) X >0 gdy X_L > X_C

wówczas ϕ >0, napięcie wyprzedza prąd

obwód ma charakter indukcyjny

b) X =0 gdy X_L = X_C

wówczas 0ϕ = , napięcie i prąd są w fazie

obwód ma charakter rezystancyjny

c) X <0 gdy X_L < X_C

wówczas ϕ < 0, napięcie opóźnia się względem prądu

obwód ma charakter pojemnościowy

Z

ϕ>0

I U_R

U_L U_C

U

ϕ>0

jX R

U_R I

U_L U_C U=

Z U_R I

U_L

U_C U

ϕ<0

jX R

a) b) c)

ϕ<0

¾ Obwód RÓWNOLEGŁY RLC

R L C

Wartość

admitancji elementu prądu w elemencie

R Y_R = G I_R =GU

L L L L

j X B

L j j

Y = − 1 = − = − 1

ω U j L^{U jB U}

L

I_L = j = − = − _L ω

ω

1 1

C C C C

j X B

j C j

Y = ω = = 1 I_C = jωCU = jB_CU Ponieważ

( )

[

]

(

)

C j G U

Y

I ⎥ = + _C − _L = +

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

=

= ω ω¹ (6.71)

Zatem:

( )

2 2

2 1

B G

B B

L G C

G

Y ⎟⎟ = + _C − _L = +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

= ω ω (6.72)

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ −

= G

arctg B G

B arctg B

G C L arctg

Y ω ω^{1 C L}

arg (6.73)

W zależności od parametrów L i C oraz częstotliwości, susceptancja B we wzorze (6.71) B= B_C − B_L może być:

a) B >0 gdy B_C > B_L

wówczas 0ϕ < , prąd wyprzedza napięcie

obwód ma charakter pojemnościowy

b) B =0 gdy B_C = B_L

wówczas 0ϕ = , prąd i napięcie są w fazie

obwód ma charakter rezystancyjny

c) B<0 gdy B_C < B_L

wówczas ϕ >0, prąd opóźnia się względem napięcia

obwód ma charakter indukcyjny

Y

ϕ>0 U

I_R

I_L I_C

I

ϕ<0

jB G

I_R I=

ϕ<0

a) b) c)

I_L I_C

I_L I_C

I_R I

U U

ϕ>0

Y jB

G

PRZYKŁAD 6.5

Obliczyć symboliczną wartość skuteczną prądu i napięcia każdego elementu obwodu – sporządzić wykres wskazowy – dane:

t t

u( )= 75 2sinω R1= R2= XL= 1 Ω, X_C= 2 Ω.

C L

u(t)

0) Napięcie na zaciskach obwodu U = 75e^{j 0o}V 1) Aby obliczyć prąd I₁

Wyznacza się impedancję obwodu

L C

[ ]

2

1 1

1 R jX j

Z = − _C = −

[ ]

2

2 2 j

X j R

X j Z R

L

L = +

= +

[ ]

2 1

1 Z j

Z

Z = + = −

oraz korzysta z prawa Ohma: ^j

[ ]

j e Z

I U

j o

25 5 25

, 1 5 , 1

75 ⁰ = +

= −

=

2) Oblicza się napięcia na

a) rezystorze R₁ : ^U_R1 = ^R1^I1 =²⁵+ ^j25

[ ]

b) kondensatorze: U_C = − jX_C I₁ =50− j50

[ ]

lub = Z₁ I₁ =75− j25

[ ]

[ ]

C L

u(t)

4) Oblicza się prądy w

a) rezystorze R2 : ^j

[ ]

R

I U 25

2

2 = 2 =

b) cewce:

[ ]

jX I U

L 2 25

3 = =

5) Wykres wskazowy tworzy się przyjmując następującą kolejność ryso- wania:

1. U₂

2. I₂ (w fazie z U₂)

3. I₃ (opóźniony względem U₂ o 90^o) 4. I₁ (równy I₂+I₃)

5. U_R1 (w fazie z I₁)

6. U_C (opóźnione względem I₁ o 90^o) 7. U₁ (równe U_R1+U_C)

8. U (równe U₁+U₂)

6.8.

Twierdzenie Thevenina

(o zastępczym źródle/generatorze napięciowym) Dowolny aktywny dwójnik klasy SLS można zastąpić ob- wodem równoważnym, złożonym z szeregowego połącze- nia idealnego źródła napięcia o napięciu źródłowym U₀ i impedancji wewnętrznej ZW, przy czym:

- napięcie źródłowe U₀ jest równe napięciu na rozwartych zaciskach dwójnika (napięciu stanu jałowego USJ)

- impedancja wewnętrzna Z_W, jest równa impedancji za- stępczej (impedancji wejściowej Z_AB) dwójnika pasywne- go (bezźródłowego) otrzymanego po wyzerowaniu w wewnętrznej strukturze dwójnika aktywnego wszystkich autonomicznych źródeł energii.

DA

A

B

A

B A

B

DA

A

B

DP

Wyznaczenie: oraz

Twierdzenie Nortona

(o zastępczym źródle/generatorze prądowym) Dowolny aktywny dwójnik klasy SLS można zastąpić ob- wodem równoważnym, złożonym z równoległego połącze- nia idealnego źródła prądu o prądzie źródłowym I_Z i admi- tancji wewnętrznej YW, przy czym:

- prąd źródłowy IZ jest równy prądowi płynącemu przez zwarte zaciski dwójnika (prądowi stanu zwarcia I_SZ)

- admitancja wewnętrzna YW, jest równa admitancji za- stępczej (admitancji wejściowej Y_AB) dwójnika pasywne- go (bezźródłowego) otrzymanego po wyzerowaniu w wewnętrznej strukturze dwójnika aktywnego wszystkich autonomicznych źródeł energii.

DA

A

B

A

B

DA

A

B

DP

Wyznaczenie: oraz

A

B