2 Idea ly

(tylko) Konspekt wyk ladu Algebra I

: Pier´scienie 2019

http://www.mimuw.edu.pl/%7Eaweber v.26.1.2020

Notatki zawieraja_,odsy lacze do podre_,cznik´ow

[AMcD] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction To Commutative Algebra (wiele wyda´n) [BB] A. Bia lynicki-Birula, Zarys algebry, Bibl.Mat. 63, PWN, Warszawa 1987

[BT] A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I (skrypt)

http://www.mimuw.edu.pl/%7Eaboj/algebra/algnowa13.pdf [Br] J. Browkin, Teoria cia l, Bibl.Mat.49, PWN, Warszawa 1977 [Is] I. M. Isaacs, Algebra: A Graduate Course

1 Pier´ scienie

1.1 Definicja pier´scienia przemiennego z 1: (R, +, ·, 0, 1) 1.2 Jedyno´s´c jedynki, a · 0 = 0

1.3 Niekt´ore elementy definicji pier´scienia bywaja_,opuszczane (przemienno´s´c, jedynka, a nawet cza- sami la_,czno´s´c mno˙zenia).

1.4 Macierze kwadratowe nad ustalonym cia lem (pier´scie´n nieprzemienny z 1) 1.5 Pier´scie´n grupowy (dla grupy sko´nczonej)

Z(G) = F unkcje(G,Z) 3X

g∈G

age^g.

e^g· e^h:= e^gh.

Mno˙zenie w pier´scieniu grupowym mo˙zna zapisa´c jako splot funkcji na grupie f1∗ f₂(g) = X

h∈G

f1(h)f2(h⁻¹g) .

Mno˙zenie jest nieprzemienne je´sli grupa jest nieprzemienna.

1.6 Funkcje na przestrzeni topologicznej o no´sniku zwartym C₀(X;_R) (nie ma 1 je´sli X nie jest zwarta)

1.7 Przyk lady pier´scieni (od tej pory be_,da_,tylko pier´scienie przemienne z 1):

Z,Z[i], Z[√

2], Zn, cia la.

1.8 Podpier´scie´n. Podpier´scienie Q: - Z[1/p],

- Z(p)

1.9 Pier´scie´n wielomian´ow_Z[x],_K[x], pier´scie´n szereg´ow formalnych_Z[[x]],_K[[x]], pier´scie´n szereg´ow Laurenta _K((x)), _K[], ² = 0

1.10 Pier´scie´n funkcji wielomianowych naKⁿ 1.11 Pier´scie´n liczb p-adycznych _Z^∧_p

Z

∧

p →→ . . . →→_Zpn+1→→_Zpⁿ →→ . . . →→_Zp2 →→_Zp→→ 0

1.12 Pier´scienie funkcji rzeczywistych (cia_,g lych, g ladkich, ograniczonych) na U ⊂_Rⁿ. 1.13 Elementy specjalnego typu

– elementy odwracalne, grupa element´ow odwracalnych U (R), – dzielniki zera,

– elementy nilpotentne, – elementy nierozk ladalne,

1.14 Elementy zdefiniowanych wcze´sniej typ´ow wZ,K[x],K[]

– dzielniki zera wZn

– elementy odwracalne w_K[x], _K[[x]]

– U (_Z[i])

1.15 Dzielniki zera, dziedzina = dziedzina ca lkowito´sci = pier´scie´n bez dzielnik´ow zera.

1.16 Sko´nczona dziedzina jest cia lem.

Homomorfizmy pier´scieni

1.17 Homomorfizm pier´scieni (zak ladamy, ˙ze 1 7→ 1), istnieje tylko jeden homomorfizm zZdo dowol- nego pier´scienia.

1.18 Homomorfizmy pierscieni z 1, izomorfizm, homomorfizm Zw Zm oraz ewaluacja wielomian´ow:

R[x] → R, f 7→ f (a).

1.19 R´o˙znica mie_,dzy R[x] a funkcjami wielomianowymi R → R 1.20 Ja_,dro homomorfizmu: je´sli a ∈ ker(φ) to ab ∈ ker(φ).

1.21 definicja idea lu, idea ly generowane przez podzbi´or, idea ly wZ,Zn i w K[x]

1.22 Iloraz przez idea l R/I

2 Idea ly

2.1 Uniwersalna w lasno´s´c ilorazu. Twierdzenie o izomorfizmie im(f ) = R/kef (f ).

2.2 A podpier´scie´n R, I idea l w R (piszemy I C R), wtedy I ∩ A C A, A + I podier´scie´n R, oraz A/(I ∩ A) ' (A + I)/I

2.3 Uniwersalna w lasno´s´c pier´scienia wielomian´ow: ka˙zdy homomorfizm pier´scieni R → S mo˙zna jednozniacznie przed lu˙zy´c do homomorfizmu R[x₁, x₂, . . . , x_n] → S przy zadanych warto´sciach na x_i.

2.4 Idea ly pierwsze, idea ly maksymalne, idea ly g l´owne

2.5 Twierdzenie: idea lI jest maksymalny ⇐⇒ R/I jest cia lem.

([a] ∈ R/I nie jest odwracalny to (I, a) = I + Ra jest w la´sciwym idea lem) 2.6 Twierdzenie: idea l I w R jest pierwszy ⇐⇒ R/I jest dziedzina_,.

2.7 Idea l g l´owny (n) ⊂ _Z dla n ∈ _N, n > 1 jest pierwszy wtedy i tylko wtedy gdy n jest liczba_, pierwsza_,.

2.8 W Z, K[x] ka˙zdy idea l jest g l´owny. W tych pier´scieniach dzia la algorytm euklidesa i Ka˙zdy element mo˙zna roz lo˙zy´c na elementy nierozk ladalne. Rozk lad jest jednoznaczny z dok ladno´scia_, do mno˙zenia przez elementy odwrotne i przestawianie czynnik´ow.

2.9 Plan na przysz lo´s´c. Be_,dziemy rozwa˙zali trzy klasy pier´scieni:

– DJR (ang UFD): pier´scienie z jednoznacznoa_,cia_,rozk ladu.

– DIG (ang PID): ka˙zdy idea l jest generowany przez jeden element – Euklidesowe: dzia la algorytm Euklidesa dla pewnej normy.

Eukl. ⊂ DIG ⊂ DJR

2.10 _Z[x], _K[x, y] DJR, ale nie DIG 2.11 Z[¹⁺ⁱ

√19

2 ] DIG, nie Euklidesowy

2.12 Operacje na idea lach: przecie_,cie, suma wste_,puja_,ca, (I ∪ J ) = I + J , 2.13 ´Cwiczenie: przeciwobraz, obraz idea lu?

2.14 Idea l jest niew la´sciwy (I = R) wtedy i tylko wtedy gdy 1 ∈ I.

2.15 Ka˙zdy idea l maksymalny jest pierwszy bo cia lo jest bez dzielnik´ow zera.

2.16 Cia la maja_,tylko trywialne idea ly {0}, _K. Je´sli R zawiera tylko jeden idea l w la´sciwy, to R jest cia lem.

2.17 R jest cia lem wtedy i tylko wtedy gdy 0 jest idea lem maksymalnym.

2.18 Ka˙zdy homomorfizm cia l do niezererowego pier´scienia jest w lo˙zeniem.

2.19 Twierdzenie: ka˙zdy idea l w la´sciwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym.

Z lematu Kuratowskiego-Zorna: ka˙zdy wste_,puja_,cy cia_,g idea l´ow ma ograniczenie g´orne (jest nim suma idea l´ow), zatem istnieje element maksymalny.

2.20 Dla ka˙zdego pier´scienia R i elementu nieodwracalnego a ∈ R istnieje epimorfizm do cia la π : R →Ktaki, ˙ze π(a) = 0.

2.21 R jest bez dzielnik´ow zera wtedy i tylko wtedy gdy 0 jest idea lem pierwszym.

2.22 Dopuszczamy (nieche_,tnie) pier´scie´n zerowy, w kt´orym 0 = 1. Je´sli w R mamy 0 = 1 to R = {0}.

Jeszcze troche_, przyk lad´ow

2.23 Podpier´scienie generowane przez podzbi´or np k[x², y²]

2.24 Niech S_R⊂_Rⁿ be_,dzie sto˙zkiem wypuk lym. Pier´scie´n p´o lgrupowy k[S], dla S = S_R∩_Zⁿ. 2.25 Przyk lad: S_R= {a(1, 1) + b(−1, 1) ∈R² : a, b ≥ 0}.

k[S] ' k[u, v, w]/(uv − w²)

3 Teoria podzielno´ sci

3.1 Niech R pier´scie´n bez dzielnik´ow zera. Podzielno´s´c to relacja porza_,dku na R/ ∼, gdzie ∼ to relacja stowarzyszenia:

a ∼ b ⇐⇒ a = ub gdzie u jest elementem odwracalnym.

3.2 NWD nie zawsze musi istnie´c N W D(a, b) = c w jezyku relacji porza_,dku oznacza ([d] ≤ [a] ∧ [d] ≤ [b]) ⇒ [d] ≤ [c]. Przyk lad bez NWD: R =_Z[√

−3], a = 4 = 2·2 = (1+√

−3)(1−√

−3), b = 2·(1+√

−3) 3.3 Element p ∈ R jest pierwszy gdy idea l (p) jest pierwszy tzn p|ab =⇒ p|a ∨ p|b.

3.4 W pier´scieniu bez dzielnik´ow zera je´sli p jest pierwszy i a|p to albo a ∼ p, albo a jest odwracalny.

Dw: p = ab to p|a lub p|b. W pierwszym przypadku pc = a, wie_,c p = pcb, sta_,d 1 = bc, czyli b odwracalny.

3.5 W _Z[√

−3] liczba 2 jest nierozk ladalna, ale nie jest pierwsza: 2|4 = (1 +√

−3)(1 −√

−3) i nie dzieli czynnik´ow.

3.6 Element nierozk ladalny a spe lnia a = bc to b lub c jest odwracalny. Tzn a = bc ⇐⇒ (a ∼ c ∨ a ∼ b) .

3.7 Pier´scienie bez dzielnik´ow zera i z jednoznaczno´scia_, rozk ladu, w skr´ocie DJR, ang UFD. Np _Z, k[x₁, x₂, . . . x_n]. Konrtprzyk lad k[x², x³] = k[s, t]/(s³− t²),_Z[√

−3].

3.8 _Zi k[x] sa_,DJR. (Be_,dzie tw Gaussa: R DJR to R[x] DJR.)

3.9 R jest DJR ⇒ (?) ka˙zdy cia_,g idea l´ow g l´ownych (a1) ⊂ (a2) ⊂ (a3) ⊂ (a4) ⊂ . . . stabilizuje sie_,. (?)=ACC=ascending chain condition

3.10 (?) ⇒ ka˙zdy element rozk lada sie_, na nierozk ladalne. (Jednak rozk lad nie musi by´c jednoz- naczny.)

3.11 W DJR spe lniony jest warunek

(??) ka˙zdy nierozk ladalny element jest pierwszy (a|bc to a wyste_,puje w rozk ladzie bc, wie_,c a|b lub a|c).

3.12 (?) i (??) ⇐⇒ R jest DJR.

Bo z (?) rozk lad istnieje. Czynniki sa_,pierwsze. Gdy x1x2. . . xn= y1y2. . . ym to x1 musi dzieli´c kt´ory´s y_k, wie_,c by´c z nim stowarzyszony. Dalej indukcja ze wzgle_,du na d lugo´s´c.

3.13 DIG = Dziedzina idea l´ow g l´ownych. Przyk lad Z, k[x]. Kontrprzyk lad: (x, y) ⊂ k[x, y] nie jest g l´owny.

3.14 DIGi sa_,DJRami:

(?) jest spe lnione, boS(a_i) = (b) ⇒ ∃i b ∈ (a_i0), on dzieli wszystkie a_i.

(??) (a) jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym m = (b), tzn a = bc. Gdy a nierozk ladalny, b nieodwracalny, wie_,c a ∼ b z (3.4).

3.15 Dodatkowo dostali´smy: w DIG idea l generowany przez element nierozk ladalny jest maksymalny.

3.16 Najwie_,kszy wsp´olny dzielnik podzbioru A ⊂ R w DIGu to taki element b, ˙ze (A) = (b).

3.17 Pier´scienie Euklidesowe: to pier´scienie z dzieleniem z reszta_,. Dana norma (waluacja) v : R \ {0} →_N, taka, ˙ze dla ka˙zdego a, b ∈ R albo b|a albo istnieja_,c, r ∈ R takie, ˙ze a = bc + r i v(r) < v(b).

3.18 Przyk lady_Z,_Z[i], k[x]

–_Z[√

−2], v(a + b√

−2) := a²+ 2b², og´olniej_Z[√

d], v(a +√

db) = |a²− db²| dla d = −2, −1, 2, 3 (w tym napisie |x| oznacza zwyk la_,warto´s´c bezwzgla_,dna_,w_Z).

– Z[ξ] gdzie ξ pierwiastek prymitywny z 1 stopnia 3, v(a + bξ) := a²− ab + b²

3.19 Algorytm Euklidesa tak jak wZ. Najwie_,kszy wsp´olny dzielnik, jako wynik algorytmu.

3.20 Wykorzystanie algorytmu Euklidesa do przedstawienia N W D(a, b) jako ca + bd. Zastosowanie:

liczenie odwrotno´sci w R/(a).

(17,7)=(7,3)=(3,1)=(1) 17=2*7+3 wie_,c 3=17-2*7

7=2*3+1 wie_,c 1=7-2*3=7-2*(17-2*7)=5*7-2*17 sta_,d 7⁻¹= 5 w _Z17

3.21 Liczby GaussaZ[i] (by lo na ´cwiczeniach)

– Elementy pierwsze wZ[i] to dzielniki liczby pierwszej p ∈Z.

– Ponadto p jest rozk ladalna wZ[i] wtedy i tylko wtedy gdy p = a²+ b².

– Je´sli p = 4k + 1 to p rozk ladalna (dow. (p − 1)! ≡p −1, p|((2k)!)²+ 1 = ((2k)! + i)((2k)! − i), ale p 6 |(2k)! + i wie_,c p nie jest elementem pierwszym.)

3.22 Je´sli f ∈ k[x] nierozk ladalny, to k[x]/(f ) jest cia lem. (Bo k[x] jest DIGiem, wie_,c element nierozk ladalny generuje idea l maksymalny.)

3.23 Twierdzenie: f w k[x] jest nierozk ladalny ⇒ k[x]/(f ) jest cia lem.

3.24 Wniosek: pier´scie´n ilorazowy k[x]/(f ) jest nadcia lem k, w kt´orym f ma pierwiastek.

3.25 Przyk lady: C=R[x]/(x²+ 1), F4 =Z2[x]/(x²+ x + 1), F9 =Z3[x]/(x²+ 1), F27=Z3[x]/(x³− x + 1).

3.26 Je´sli f ∈ k[x] jest nierozk ladalny stopnia n, to cia lo k[x]/(f ) jako przestrze´n liniowa nad k ma wymiar n.

3.27 W ciele pⁿ-elementowym ka˙zdy element 6= 0 spe lnia to˙zsamo´s´c x^pn−1 = 1 (bo grupa multip- likatywna jest rze_,du pⁿ− 1), zatem wielomian x^pn− x rozk lada sie_,na pⁿ r´o ˙znych czynnik´ow liniowych (z tw Bezout).

3.28 Przyk lad p = 3, n = 2: f = x⁹− x = (x³− x)(1 + x²+ x⁴+ x⁶). Pierwszy czynnik ma pierwiastki wF3

x³− x = (x − 1)(x + 1)x , drugi czynnik ma pierwiastki w F9\_F3. Rozk ladamy dalej

(1 + x²+ x⁴+ x⁶) = (x²+ 1)(x⁴+ 1) ≡3(x²+ 1)

| {z }

f1

(x²+ x − 1)

| {z }

f2

(x²− x − 1)

| {z }

f3

.

Cia lo_F3[x]/(f_k) ma 9 element´ow (dla k = 1, 2, 3) i w nim wielomian f rozk lada sie_,na czynniki liniowe.

Cwiczenie: roz lo˙zy´´ c wielomian x²+ x − 1 na czynniki liniowe w F3[y]/(y²+ 1).

(Dla uproszczenia nazwijmy obraz y w _F3[y]/(y²+ 1) przez ,,i”.)

4

Lokalizacja

4.1 S ⊂ R system multiplikatywny a, b ∈ S ⇒ ab ∈ S. Gdyby 0 ∈ S, to dalsza konstrukcja by laby poprawna ale trywialna. Wie_,c zak ladamy, ˙ze 0 6∈ S. Np:

– S = R \ I, gdzie I jest idea lem pierwszym

– w szczegolno´sci S = R − 0 gdy R jest bez dzielnik´ow zera – S = {aⁿ| n ∈_N}, gdzie a nie jest nilpotentny.

4.2 Pier´scie´n RS = S⁻¹R to zb´or ilorazowy R × S/ ∼, (a, s) ∼ (b, t), gdy istnieje u ∈ S taki, ˙ze uat = ubs. Klasa [(a, s)] oznaczana przez ^a_s

4.3 Jesli R bez dzielnik´ow zera, to mozna: (a, s) ∼ (b, t) gdy at = bs.

4.4 Dla R bez dzielnik´ow zera S = R − 0 cia lo R_S oznaczane jest przez (R).

4.5 k(x) := (k[x]) cia lo funkcji wymiernych o wsp´o lczynnikach w k.

4.6 Przyk lady lokalizacjiZ: Z(p),Q,Z[1/p].

4.7 Przekszta lcenie ι : R → RS ma ja_,dro Ann(S) = {a | ∃s ∈ S sa = 0}. (Lokalizacje_, mo˙zna zrobi´c w dw´och krokach: najpierw podzieli´c przez Ann(S), a potem u˙zy´c prostszej relacjii 4.3.

4.8 Uniwersalna w lasno´s´c: dane przekszta lcenie f : R → R⁰, takie ˙ze f (s) jest odwracalne. Wtedy istnieje dok ladnie jedno ¯f : R_S → R⁰ takie, ˙ze f = ¯f ι.

4.9 Pier´scienie lokalne i lokalizacja w ideale maksymalnym: S = R \ m.

4.10 Motywacja nazwy ,,pier´scie´n lokalny,,: Niech X przestrze´n topologiczna T₃¹

2 (tzn przestrze´n Tichonowa, tzn dla dowolnego zbioru domknietego i punktu poza nim istnieje funkcja zeruja_,ca sie_, na tym zbiorze i nie zeruja_,ca sie_,w danym punkcie), pier´scie´n kie lk´ow w x jest izomorficzny z = C(X,R)/mx. 4.11 Dla X =CⁿlubRⁿzamiast funkcji cia_,g lych mo˙zna bra´c funkcje C^∞, analityczne (tzn rozwijalne w szereg), algebraiczne (zadane wielomianem) itp.

Wielomiany o wsp´o lczynnikach w pier´scieniu DJR, podzielno´s´c 4.12 Ka˙zdy wielomian dzieli sie_,z reszta_,przez (x − a).

4.13 Og´olniej, je´sli wielomain g ma odwracalny wioda_,cy wsp´o lczynnik, to mo˙zna dzieli´c z reszta_, przez g.

4.14 Tw Bezout f (a) = 0 to f dzieli sie_,przez x − a w R[x]. (Reszta z dzielenia f przez x − a jest r´owna f (a).)

4.15 Wniosek: Je´sli R jest niesko´nczonym pier´scieniem bez dzielnik´ow zera, to przekszta lcenie R[x] → R^R (wielomian f 7→ funkcja wielomianowa ¯f ) jest r´o˙znowarto´sciowe.

Za lo ˙zenie: od tej pory do kryterium Eisensteina R DJR 4.16 M´owimy, ˙ze f =Pn

i=0aixⁱ∈ R[x] jest prymitywny, je´sli a_i nie maja_,wsp´olnych czynnik´ow, tzn N W D(a₀, a₁, . . . , a_n) = 1. Ka˙zdy wielomian mo˙zna przedstawi´c jako f = a · prymitywny.

4.17 Element a = cont(f ) = N W D(wsp´olczynniki) z powy˙zszego rozk ladu nazywane jest zawarto´scia_, wielomianu f .

4.18 Lemat: cont(f g) = cont(f )cont(g).

Dow´od: zak ladamy, ˙ze f , g prymitywne. Niech p|cont(f g). Redukujemy iloczyn f g modulo p. E 4.19 Ka˙zdy wielomian mo˙zna przedstawi´c jako produkt nierozk ladalnych: element´ow pierwszych z R i nierozk ladalnych wielomian´ow prymitywnych. Poka˙zemy, ˙ze to rozk lad na elementy pierwsze w R[x].

4.20 Je´sli p ∈ R jest pierwszy w R, to jest pierwszy w R[x] (redukujemy R[x]/(p) = (R/(p))[x] nie ma dzielnik´ow zera).

4.21 Je´sli f, g ∈ R[x], f prymitywny. Niech F = (R), f |g w F [x]. Wtedy f |g w R[x]

Dow: cg = f h dla c ∈ R, h ∈ R[x] i za l´o˙zmy, ˙ze c ma minimalna_, ilo´s´c czynnik´ow pierwszych.

Przypu´s´cmy, ˙ze p|c, wtedy p|h (bo p 6 | f ). E

4.22 Lemat Gaussa: 0 6= f ∈ R[x] i f = gh w F [x], to f = g₀h₀ w R[x], oraz ag = g₀, bh = h₀. (Wystarczy dla g = g₀ prymitywnego; z poprzedniego punktu.)

4.23 Je´sli f ∈ R[x] prymitywny i nierozk ladalny w R[x], to pierwszy.

– f nierozk ladalny w F [x] (z Gaussa)

– F [x] jest DIG, wie_,c tam f jest pierwszy: f |gh ⇒ f |g lub f |h. Podzielno´s´s w F [x] implikuje podzielno´s´c w R[x].

4.24 Wniosek: f = xⁿ+ · · · + a₀ ma pierwiastek w F [x], to ma pierwiastek w R[x].

Dw. Przypu´s´cmy, ˙ze a ∈ F jest pierwiastkiem f , tzn f = (x − a)g dla g ∈ F [x]. Piszemy a = ^b_c dla b, c ∈ R, (b, c) = 1. Wtedy (bx − c)|f , bx − c ∈ R[x]. Zatem f = (bx − c)h dla pewnego h ∈ R[x], h = dxⁿ⁻¹+ . . . . Wsp´o lczynnik przy xⁿ w (bx − c)h jest r´owny bd = 1. Zatem b jest odwracalny.

4.25 Wniosek: R[x] jest DJR (? ACC i ?? nierozk ladalne sa_,pierwsze) 4.26 Wniosek: R[x₁, x₂, . . . , x_n] jest DJR.

5

5.1 Kryterium Eisensteina: za lo˙zenia f ∈ R[x], p 6 | a_n, p dzieli pozosta le wsp´o lczynniki wielomianu, ale p²6 |a₀. Wtedy f nierozk ladalny w F [x].

– po redukcji mod (p) ¯f = ¯anxⁿ 6= 0 w R/(p)[x]. Czynniki ¯f = ¯g¯h, maja_, zerowe wyrazy wolne. Sta_,d wyraz wolny f podzielny przez p².

Cia la

5.2 Dla pary cia l K ⊂ L definiujemy stopie´n rozszcerzenia (L : K) = dim_KL.

5.3 Gdy K ⊂ M ⊂ L to (L : K) = (L : M )(M : K).

5.4 Niech K ⊂ L. Element a ∈ L jest algebraiczny nad K gdy istnieje f ∈ K[x] t.˙z. f (a) = 0.

5.5 Za l´o˙zmy, ˙ze a jest algebraiczny nad K. Idea l {g ∈ K[x] | g(a) = 0} = ker(ev_a: K[x] → L) jest g l´owny, generowany przez pewien f o minimalnym stopniu. Ten wieleomian nazywa sie_, wielomianem minimalnym, K[x]/(f ) jest cia lem. Obraz K[x] w L jest podcia lem, oznaczanym przez K(a).

5.6 Element a ∈ L jest algebraiczny nad K wtedy i tylko wtedy, gdy (K(a) : K) < ∞. Ponadto (K(a) : K) = deg(f ) je´sli f jest wielomioanem minimalnym.

5.7 Je´sl a1, a2, . . . , an∈ L sa_,algebraiczne nad K, to podpier´scie´n M = im(K[x₁, x₂, . . . , x_n]−→ L^eva•

jest podcia lem i (M : K) < ∞.

Wniosek: je´sli a i b algebraiczne, to a + b i ab sa_,algebraiczne.

5.8 R´o˙zne typy rozszerze´n:

– rozszerzenia pojedy´ncze K(a) (ka˙zde rozszerzenie sko´nczone nad cia lem charakterystyki 0 jest po- jedy´ncze – patrz [Browkin str 84, Tw. 22], np _Q(√

2,√

3) = _Q(√ 2 + √

3), og´olnie trzeba brac´c K(a, b) = K(a + tb) dla pewnego t ∈ K.)

– rozdzielcze: ka˙zdy a ∈ L jest jednokrotnym pierwiastkem swojego wielomianu minimalnego. Tak jest zawsze dla cia l charakterystyki 0 i dla cia l sko´nczonych. Kontrprzyk ladem jest Fp(x^p) ⊂ Fp(x) (cia lo funkcji wymiernych).

– rozszerzenie normalne: je´sli wielomian nierozk ladalny f ∈ K[x] ma pierwiastek w L, to rozk lada sie_, na czynniki liniowe. Kontrprzyk lad Q(√⁴

2).

5.9 Cia lo K jest algebraicznie domknie_,te, gdy ka˙zdy wielomioan ma pierwiastek. R´ownowa˙znie, ka˙zdy wielomian rozk lada sie_,na czynniki liniowe.

5.10 Je´sli K ⊂ L jest algebraicznym rozszerzeniem oraz ka˙zdy f ∈ K[x] rozk lada sie_, na czynniki liniowe w L, to L jest algebraicznie domknie_,te.

Dow´od, przypu´s´cmy, ˙ze nierozk ladalny f ∈ L[x] nie ma pierwiastka. Niech L0 be_,dzie cia lem gen- erowanym przez wsp´o lczynniki f . Niech M = L0[x]/(f ), a := x mod (f ). Cia lo M jest sko´nczonym rozszerzeniem cia la K. Zatem a jest algebraiczny nad K i ma sw´oj wielomian minimalny g. Z za lo˙zenia g rozk lada sie_,na czynniki liniowe w L, zatem a ∈ L. E

5.11 Dla ka˙zdego wielomianu f ∈ K[x] istnieje rozszerzenie algebraiczne L takie, ˙ze L rozk lada sie_, na czynniki linowe w L[x].

5.12 Konstrukcja algebraicznego domknie_,cia. Konstruujemy cia lo L takie, ˙ze ka˙zdy f ∈ K[x]

rozk lada sie_,na czynniki linowe w L[x].

5.13 Przyk lad rozszerze´n niealgebraicznych: Q(π) ⊂R,Q(π) 'Q(x).

5.14 Ka˙zde dwa cia la charakterystyki 0, kt´ore s’a algebraicznie domknie_,te i mocy continnuum sa_, izomorficzne:

Q^∧p , _Q({x_i}_i∈I) ,

gdzie _Q^∧_p jest cia lem u lamk´ow _Z^∧_p oraz |I| = c maja_,algebraiczne domknie_,cia izomorficzne z _C.

5.15 Je´sli rozszerzenie L jest rozdzielcze i normalne bada sie_,automorfizmy L, kt´ore sa_,sta le na K. Jest to tzw grupa Galois Aut_K(L) = G(L/K). Grupa Galois permutuje pierwiatki ka˙zdego nierozk ladalnego wielomianu.

5.16 Przyk lad G(Q(ξn)/Q) 'Z^∗_n, gdzie ξn jest pierwiastkiem pierwotnym z 1 stopnia n.

5.17 Dla L =Q(√⁴

2, i) mamy G(L/K) = D8.

5.18 Niech σ_i(x₁, . . . , x_n) be_,dzie elementarna_, funkcja_, symetryczna_,. Niech K = _Q(σ₁, . . . , σ_m) ⊂ Q(x₁, . . . , x_m). Wtedy GL/K) = Σ_n.

5.19 G(Fp/Fp) =Z^∧

5.20 K ⊂ M ⊂ L. Dla podgrupy H < Gal(L, K) zbi´or punkt´ow sta lych L^H jest cia lem. Dla podcia la M ⊂ L zbi´or element´ow grupy G(L/K) sta lych na L jest podgrupa_,.

5.21 Je´sli K ⊂ L jest rozdzielcze i normalne to wy˙zej opisana odpowiednio´s´c jest bijekcja_,pomie_,dzy podgrupami G(L/K) a podcia lami M zawieraja_,cymi K. W tej odpowiednio´sci podgrupy normalne odpowiadaja_,rozszerzeniom normalnym.

Patrz teoria Galois.

6 Pier´ scienie Noetherowskie: odsy lacz [Eisenbud: Commutative Al- gebra with a View Toward Algebraic Geometry]

6.1 Pier´scienie noetherowskie (definicja): ka˙zdy rosna_,cy cia_,g idea l´ow stabilizuje sie_,. (Tzn. ACC, nie tylko dla idea l´ow g l´ownych.)

6.2 R´ownowa˙zny warunek: ka˙zdy idea l jest sko´nczenie generowany.

6.3 W pier´scieniu noetherowskim ka˙zdy element mo˙zna przedstawi´c jako iloczyn elemnt´ow nierozk ladalnych (niekoniecznie pierwzych, np k[x², x³]

6.4 Twierdzenie Hilberta o bazie: R noetherowski, to R[x] noetherowski.

Dow. Skonstruujemy zbi´or element´ow f_m oraz idea l I_m = (f₁, f₂, . . . , f_m) ⊂ I. Pokarzemy, ˙ze dla pewnego n mamy I_n= I. Wielomian f_mdobieramy tak: to wielomian o najmniejszym stopniu nale˙za_,cy do I \ Im−1 je´sli Im ( I. (W przeciwnym przypadku ko´nczymy konstrukcje_, . .

^ .) Zauwa˙zmy deg f<sub>`</sub> ≥ deg f<sub>k</sub>dla ` > k. Niech J be_,dzie idea lem wioda_,cych wsp´o lczynnik´ow J = (a1, a2, . . . ) wielomian´ow fm. Skoro R jest noetherowski, to J = (a1, a2, . . . , an): wielomian fn+1 ∈ I \ I_n ma wioda_,cy wsp´o lczynnik an+1 =P

k≤nbkak. Biora_,c kombinacje_, wielomian´ow P

k≤nbkfkx^{deg fn+1−deg fk} dostajemy wielomian g z wioda_,cym wsp´o lczynnikiem an+1 i o tym samym stopniu, co fn+1. Wielomian fn+1− g ma ni˙zszy stopie´n ni˙z f_n+1 co przeczy wyborowi f_n+1.

6.5 Wniosek k[x1, x2, . . . , xn] jest noetherowski.

6.6 Pier´scie´n ilorazowy noetherowskiego sa_,noetheowskie.

6.7 Pier´scienie sko´nczenie generowane nad noetherowskim sa_,noetherowskie.

Zwia_,zki z geometria_,

6.8 Topologia Zariskiego w kⁿ: zbiory domknie_,te, to zbiory algebraiczne (tzn opisane sko´nczonymi uk ladami r´owna´n wielomianowych).

– je´sli F₁, F₂ ∈ F, to F₁∪ F₂∈ F – je´sli A ⊂ F, toT

F ∈AF ∈ F – ∅, kⁿ∈ F

6.9 Indukowana topologia w podzbiorach algebraicznych.

6.10 Twierdzenie Hilberta o zerach Nullstellensatz (cz I). Gdy k = k to idea ly maksymalne w A = k[x₁, x₂, . . . x_n] sa_,postaci (x_n− a_n, x₁− a_n, . . . , x_n− a_n) dla (a₁, a₂, . . . , a_n) ∈ kⁿ

{Idea ly maksymalne w A} = kⁿ (R´ownowa˙znie: ka˙zdy w la´sciwy idea l ma wsp´olne zero.)

Oznaczenie: zbi´or ida l´ow maksymalnych SpecM ax A.

6.11 Dow´od wynika z tw Zariskiego: Je´sli K ⊂ L jest rozszerzeniem cia l oraz L jest sko´nczenie generowane jako pier´scie´n nad K, to L jest roszerzeniem algebraicznym.

(z lo˙zenie φ : k ,→ k[x₁, x₂, . . . , x_n]  k[x1, x₂, . . . , x_n]/m jest izomorfizmem, a_i:= φ⁻¹(x₁+ m))

6.12 Je´sli A = k[x₁, x₂, . . . x_n]/I, I = (f₁, f₂, . . . , f_m), to

{Idea ly maksymalne w A} = X, gdzie

X = {(a1, a2, . . . , an) ∈ kⁿ| ∀j = 1, 2, . . . , m fj(a1, a2, . . . , an) = 0}.

6.13 Dla X ⊂ kⁿniech

I(X) = {f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] : ∀a ∈ X f (a) = 0}.

To jest idea l.

6.14 Dla E ⊂ k[x₁, x₂, . . . , x_n] niech V (E) zbi´or zer:

V (E) = {(a1, a2, . . . , an) ∈ kⁿ| ∀f ∈ E f (a₁, a2, . . . , an) = 0}.

Je´sli I jest idea lem generowanym przez E, to V (E) = V (I).

6.15 Z THoZ(cz I): je´sli k = ¯k i V (I) = ∅ to 1 ∈ I.

6.16 Twierdzenie Hilberta o zerach Nullstellensatz (cz II): Niech I ⊂ k[x₁, x₂, . . . , x_n] be_,dzie idea lem.

Mamy

I(V (I)) =p (I).

(Dow: Dla f ∈ I(V (I)) = (f₁, f₂, . . . , f_k) niech J = (I, 1 − f y) ⊂ k[x₁, x₂, . . . , x_n, y]. Mamy V (J ) = (V (I) × k) ∩ V (1 − f y) ⊂ (V (f ) × k) ∩ V (1 − f y) = ∅ ⊂ kⁿ⁺¹, wie_,c 1 ∈ J

1 =X

g_if_i+ h(1 − f y).

Bierzemy obraz w

k[x₁, x₂, . . . , x_n, 1/f ] = k[x₁, x₂, . . . , x_n, y]/(1 − f y) .

mamy to˙zsamo´s´c 1 =P g_ifi, gdzie gi zale˙za_,od 1/f . Mno˙za_,c przez f^N dostajemy teze_,.)

6.17 Wniosek: Je´sli X = V (I) jest zbiorem algebraicznym, to V (I(X)) = X. Og´olnie V (I(X)) = X jest domknie_,ciem w topologi Zariskiego.

6.18 Abstrakcyjna definicja topologii Zariskiego w SpecM ax(A) nie odwo luja_,ca sie_,do przedstawienia A = k[x₁, x_x, . . . , x_n]/(f₁, f₂, . . . , f_k). Ka˙zdy idea l I ⊂ A definiuje zbi´or domknie_,ty w SpecM ax(A) = {zbi´or idea l´ow maksymalnych }. Zbiory otwarte w je_,zyku idea l´ow

V (I) = {m ∈ SpecM ax(A) | I ⊂ m}.

6.19 Zbiory otwarte w je_,zyku idea l´ow

U (I) = {m ∈ SpecM ax(A) | I 6⊂ m}.

Baza topologii

U (f ) = {m ∈ SpecM ax(A) | f 6∈ m}, gdzie f ∈ A.

6.20 Zbiory algebraiczne mo˙zna rozk lada´c na sk ladowe:

– V (xy) = V (x) ∪ V (y) suma osi, bo (xy) = (x) ∩ (y)

– V (x²y, x²z) = V (x²) ∪ V (y, z) suma prostej y = z = 0 i podw´ojnej p laszczyzny, bo (x²y, x²z) = (x²) ∩ (y, z)

– V (xy, x²) = V (x) ale (xy, x²) = (x) ∩ (x², xy, y²)

6.21 Idea l prymarny: ab ∈ I, b 6∈ I to aⁿ∈ I dla penego n (jedyne dzielniki zera w R/I to nilpotenty).

Rozk lad idea lu w pier´scieniach noetherowskich - Rozk lad prymarny [np R. Sharp: Steps in Commutative Algebra, roz. 4, Atiyah-MacDonald, roz 4]

6.22 R noetherowski, to ka˙zdy idea l dopuszcza przedstawienie I =T Q_i, gdzie Q_inierozk ladalny (Q_i nie da sie_,przedstawi´c jako przecie_,cie wie_,kszych idea l´ow).

6.23 Twierdzenie: R noetherowski, ka˙zdy Q nierozk ladalny idea l jest prymarny.

7 Rozk lad prymarny

7.1 Ex1 R = K[x, y, z]/(xz − y²), P = (x, y) prymarny (a nawet pierwszy), ale P² nie.

7.2 Ex2 R = K[x, y, z], I = (x²z², x(x + y²), z(z − y²)).

Np w programie sage (http://sage2.mimuw.edu.pl/) trzeba napisa´c:

R.<x,y,z> = PolynomialRing(QQ) I=(x^2*z^2,x*(x+y^2),z*(z-y^2))*R;

I.primary decomposition() A potem:

I.associated primes()

7.3 Je´sli R jest noetherowski, to ka˙zdy idea l dopuszcza przedstawienie jako przecie_,cie idea l´ow nierozk ladalnych.

[Dow´od taki jak: (ACC) ⇒ ka˙zdy element jest iloczynem element´ow nierozk ladalnych.]

7.4 V (I) ∪ V (J ) = V (I · J ) = V (I ∩ J ), zatem maja_,c przedstawienie idea lu I =\

Q_i otrzymujemy rozk lad

V (I) =[

V (Q_i).

Je´sli idea ly Q_i sa_,nierozk ladalne, to V (Q_i) sa_,zbiorami nierozk ladalnymi. Udowodnimy, ˙ze idea ly Q_i sa_, prymarne, zatem P_i=√

Q_i sa_,idea lami pierwszymi. Te idea ly sa_,nazywane stowarzyszonymi idea lami pierwszymi (poka˙zemy, ˙ze dla nieskracalnych rozk lad´ow ass(I) nie zale˙zy od rozk ladu). Mamy

V (I) = [

P ∈ass(I)

V (P ).

W tym rozk ladzie moga_,sie_,pojawi´c P ⊂ P⁰ (tzn V (P ) ⊃ V (P⁰)) wie_,c wystarczy bra´c w rozk ladzie V (I) tylko minimalne idea ly stowarzyszone.

7.5 Zbi´or (I : b) = {x ∈ R | bx ∈ I} jest ida lem. Dla I prymarnego – p(I : b) =√

I gdy b 6∈ I – (I : b) = R gdy b ∈ I

7.6 Twierdzenie: R noetherowski, ka˙zdy nierozk ladalny idea l Q jest prymarny.

Dow: Niech ab ∈ Q, b 6∈ Q. Cia_,g · · · ⊂ (Q : aⁿ) ⊂ (Q : aⁿ⁺¹) ⊂ . . . stabilizuje sie_,. Za l´o˙zmy, ˙ze (Q : aⁿ) = (Q : aⁿ⁺¹). Dowodzimy (*) Q = (Q + (aⁿ)) ∩ (Q + (b)). Wtedy skoro b 6∈ Q, to Q + (b) 6= Q, wie_,c Q = Q + (aⁿ), czyli aⁿ∈ Q.

(*) r = g + caⁿ= h + db ⇒ caⁿ⁺¹ = ha + dab − ga ∈ Q ⇒ c ∈ (I : aⁿ⁺¹) = (I : aⁿ) ⇒ r ∈ Q.

7.7 Niech P be_,dzie idea lem pierwszym. M´owimy, ˙ze Q jest idea lem P -prymarnym, je´sli √

P = Q.

Lemat: Przecie_,cie idea l´ow P -prymarnych jest idea lem P -prymarnym.

Dow´od: ab ∈ Q₁∩ Q₂, b 6∈ Q₁ ⇒ aⁿ∈ Q₁ ⇒ a ∈ P =√

Q₁=√

Q₁∩ Q₂ =√ Q₂. 7.8 M´owimy, ˙ze rozk lad I =T Q_i jest minimalny, je´sli

1) wszystkie P_i =√

Q_i sa_,r´o˙zne, 2) dla ka˙zdego i mamy T

j6=iQ_j 6⊂ Q_i (rozk lad nieskracalny)

Ka˙zdy rozk lad I na idea ly prymarne mo˙zna przerobi´c na rozk lad minimalny.

7.9 Twierdzenie (bez dowodu): je´sli I =T Q_i be_,dzie nieskracalnym rozk ladem na idea ly prymarne, to zbi´or idea l´ow pierwszych√

Qi jest jednoznacznie wyznaczony.

8 R´ o ˙zne

8.1 Lemat: Je´sli√ I +√

J = (1) to I + J = 1.

Dw: a + b = 1, aⁿ∈ I, b^m ∈ J to 1 = (a + b)^m+n∈ I + J . 8.2 Je´sli√

I = m jest idea lem maksymalnym, to I jest prymarny.

Dw: Niech ab ∈ I, a 6∈√

I, wtedy (a) +√

I = (1). Z lematu (a) + I = (1), czyli 1 = ax + y, y ∈ I. Sta_,d b = abx + by ∈ I.

Rozszerzenia przeste_,pne cia l

8.3 Cia lo funkcji wymiernych k(x). Je´sli α ∈ k(x) \ k, to rozszerzenie k(α) ⊂ k(x) jest algebraiczne.

Dow. α = f (x)/g(x), wie_,c x spe lnia r´ownanie wielomianowe αg(x) = f (x) .

8.4 Twierdzenie L¨urotha: Ka˙zde podcia lo k * L ⊂ k(x) jest izomrficzne z cia’lem funkcji wymiernych jednej zmiennej.

Dow´od [Van der Waerden: Modern Algebra, Vol I (1949), §63 str. 198] korzysta z lematu Gaussa 4.21 oraz z naste_,puja_,cego faktu:

8.5 Je´sli g, h ∈ k[x] sa_, wzgle_,dnie pierwsze to je´sli f [z] dzieli g[x]h[z] − h[x]g[z] ∈ k[x, z] to f jest sta la_,.

Dow: za lo˙zy´c, ˙ze k jest algebraicznie domknie_,te.

8.6 Niech L be_,dzie sko´nczenie generowanym rozszerzeniem cia la k. M´owimy, ˙ze uk lad element´ow a1, a2, . . . , anjest algebraicznie zale˙zny (nad k), je´sli istnieje nietrywialny wielomian f (x1, x2, . . . , xn) ∈ k[x1, x2, . . . , xn], taki, ˙ze f (a1, a2, . . . , an) = 0.

Uwaga: Mo˙zemy te˙z rpzwa˙za´c uk lady niesko´nczone.

8.7 Je´sli uk lad element´ow a1, a2, . . . , an jest algebraicznie zale˙zny, to k(a1, a2, . . . , an) jest izomor- ficzny z cia lem u lamk´ow pier´scienia wielomian´ow k[x₁, x₂, . . . , x_n].

8.8 Za l´o˙zmy, ˙ze {a₁, a₂, . . . , a_n} ⊂ L jest uk ladem algebraicznie niezale˙znym. Element b ∈ L jest al- gebraicznie zale´zny, je´sli istnieje nietrywialny wielomian o wsp´o lczynnikach w k(a₁, a₂, . . . , a_n), kt´orego pierwiastkiem jest b.

8.9 Fundamentalny lemat (analog lematu o wymianie z algebry liniowej):

1) Za l´o˙zmy, ˙ze {a1, a2, . . . , an} ⊂ L jest uk ladem algebraicznie niezale˙znym.

2) Za l´o˙zmy, ˙ze {a1, a2, . . . , an−1, b} ⊂ L jest uk ladem algebraicznie nie zale˙znym.

3) Za l´o˙zmy, ˙ze {a1, a2, . . . , an, b} ⊂ L jest uk ladem algebraicznie zale˙znym.

Wtedy a_n jest algebraiczne nad k(a₁, a₂, . . . , a_n−1, b).

Dw: Przyjmijmy K = k(a₁, a₂, . . . , a_n−1). Z 3) istnieje wielomian f [x, y] ∈ K[x, y], taki, ˙ze f (a_n, b) = 0.

Wielomian musi zawiea´c zar´owno x jak i y, bo inaczej 1) i 2) nie by lyby spe lnione.

8.10 Dla ka˙zdego rozszerzenia k ⊂ L istnieje maksymalny uk lad element´ow algebraicznie niezale˙znych.

Takie uk lady nazywaja_, sie_, bazami przeste_,pnymi. Bazy przeste_,pne sa_, r´ownoliczne. Liczebno´sc bazy przest:epnej nazywa sie_,stopniem przeste_,pnym degtr_k(L).

8.11 Ka˙zde rozszerzenie cia_, la k mo˙zna przedstawi´c jako z lo˙zenie

k ⊂ M = k(a1, a2, . . . , an) ⊂ L = M/(f1, f2, . . . fr),

gdzie L jest rozszerzeniem algebraicznym, f_i ∈ M [y₁, y₂, . . . , y_m]. Je´sli char(k) = 0, to mo˙zna przyja_,´c,

˙ze rozszerzenie M ⊂ L jest pojedy´ncze i wtedy m = 1.

8.12 Geometryczna interpretacja M mo˙zna traktowa´c jako funkcje wymiernie na kⁿ, a L jako funkcje wymierne na podzbiorze X ⊂ k^n+m opisanym przez funkcje wymierne fi (zale˙za_,ce wielomianowo od yj).

8.13 Cia la stopnia przeste_,pnego 1 sa_, izomorficzne z cia lami funkcji wymiernych na krzywych alge- braicznych zdefiniowanych nad k.

8.14 Gdy k =_C krzywe algebraiczne sa_, powierzchniami Riemanna. Np krzywe eliptyczne opisane r´ownaniem stopnia 3 w _C², mo˙zna przyja_,´c, ˙ze r´ownanie jest w postaci Weierstrassa y² = x³+ px + q.

Wtedy L =_C(x)[y]/(y²− (x³+ px + q)).

Modu ly

8.15 Modu ly nad pier´scieniem: przyk lady – wolny Rⁿ

– idea l (to sa_,dok ladnie podmodu ly R¹) – R/I

– dla R = k: przestrze´n liniowa nad k – dla R =Z-modu l to grupa abelowa

– dla R = k, k[x]-modu l to przestrze´n liniowa nad k wraz z endomorfizmem.

8.16 Operacje na modu lach

– suma prosta sko´nczona = produkt sko´nczony – suma prosta niesko´nczona 6= produkt niesko´nczony – modu l ilorazowy

– ja_,dro, koja_,dro – iloczyn tensorowy

– operacje zmiany pier´scienia bazowego

8.17 Klasyfikacja sko´nczenie generowanych modu l´ow nad pier´scieniem DIG

M ' R^r⊕

N

M

i=1

R/(p^k_iⁱ)

gdzie pi ∈ R element pierwszy, k_i ∈_N.

(W przypadku gdy M = R/I, I =T(a), Q p^k_iⁱ z tw chi´nskiego o resztach mamy teze_,.) 8.18 Wnioski:

– Tw Jordana (dla R = k[x]), bo p_i = (x − a_i), sk ladnik wolny odpada, bo zak ladamy dim M < ∞ – Tw o klasyfikacji sko´nczenie generowanych grup abelowych (dla R =_Z), bo p_i to liczby pierwsze.

8.19 Dla pier´scieni noetherowskich mamy rozk lad prymarny podmodu lu w module sko´nczenie gen- erowanym. Jest to uog´olnienie przypadku I ⊂ M = R.