ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE 1. KOMBINATORYKA Zadanie 1. W turnieju szachowym uczestniczy 30 zawodnik´ow (gra ka˙zdy z ka˙zdym jedn

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE

1. KOMBINATORYKA

Zadanie 1. W turnieju szachowym uczestniczy 30 zawodnik´ow (gra ka˙zdy z ka˙zdym jedna parti_, e)._, Wykaza´c, ˙ze w dowolnej chwili trwania turnieju pewnych dw´och szachist´ow rozegra lo tyle samo partii.

Zadanie 2. Wykaza´c, ˙ze w´sr´od dowolnych 101 liczb ca lkowitych istnieja dwie kt´_, orych r´o˙znica jest podzielna przez 100.

Zadanie 3. W ka˙zdym z 500 koszy znajduja si_, e jab lka, przy czym w koszu mie´sci si_, e nie wi_, ecej_, ni˙z 240 jab lek. Wykaza´c, ˙ze w przynajmniej trzech koszach jest taka sama liczba jab lek.

Zadanie 4. W trzydziestoosobowej klasie 20 uczni´ow uczy sie j_, ezyka angielskiego, 14 niemieckiego_, oraz 10 francuskiego. ˙Zadne dziecko nie uczy sie wszystkich trzech j_, ezyk´_, ow, a o´smioro nie uczy sie ˙zadnego z tych j_, ezyk´_, ow. Ilu uczni´ow uczy sie zar´_, owno jezyka niemieckiego_, jak i francuskiego?

Zadanie 5. Wewn_, atrz kwadratu o boku 1 umieszczono pewn_, a ilo´s´_, c okreg´_, ow o sumie obwod´ow r´ownej 10. Wykaza´c, ˙ze istnieje prosta przecinajaca przynajmniej 4 okr_, egi._,

Zadanie 6. Ile r´o˙znych par roz lacznych podzbior´_, ow posiada zbi´or sk ladajacy si_, e z 2003 ele-_, ment´ow?

Zadanie 7. Wewnatrz tr´_, ojkata r´ownobocznego o boku 1 wybrano pie´_,c punkt´ow. Wykaza´c, ˙ze odleg lo´s´c miedzy pewnymi dwoma punktami jest mniejsza od 0, 5._,

Zadanie 8. Czy szachownice 10 × 10 mo˙zna pokry´_, c 25 jednakowymi p lytkami w kszta lcie:

a) prostokata rozmiar´_, ow 1 × 4?

b) litery T sk ladajacej si_, e z czterech kwadrat´_, ow 1 × 1?

c) litery L sk ladajacej si_, e z czterech kwadrat´_, ow 1 × 1?

Zadanie 9. Na ile sposob´ow mo˙zna wybra´c m + n kul spo´sr´od 2m jednakowych kul bia lych i 2n jednakowych kul czarnych?

Zadanie 10^∗. Na konkurs matematyczny przyby lo n uczni´ow. Sa w´sr´_, od nich osoby znajace si_, e_, wzajemnie, przy czym ka˙zde dwie osoby znajace si_, e nie maj_, a wsp´_, olnych znajomych oraz ka˙zde dwie osoby nie znajace si_, e maj_, a dok ladnie dw´_, och wsp´olnych znajomych.

Wykaza´c, ˙ze ka˙zdy z uczni´ow ma taka sam_, a liczb_, e znajomych w´sr´_, od uczestnik´ow konkursu.

2. ZADANIA ARYTMETYCZNE

Zadanie 11. Wykaza´c, ˙ze je´sli p > 3 jest liczba pierwsz_, a, to liczba p_, ²− 1 dzieli sie przez 24._, Zadanie 12. a) Wykaza´c, ˙ze je´sli x, y sa liczbami ca lkowitymi oraz 3 dzieli x_, ²+ y², to liczby x i

y sa podzielne przez 3._,

b) Wyznaczy´c wszystkie liczby ca lkowite x, y, z spe lniajace r´ownanie x²+ y² = 3z². Zadanie 13. Wyznaczy´c wszystkie liczby naturalne n takie, ˙ze liczba n⁵− n jest podzielna przez

120.

Zadanie 14. a) Czy liczba postaci 4k + 3 (k ∈ N) mo˙ze by´c przedstawiona w postaci sumy kwadrat´ow dw´och liczb ca lkowitych?

1

2

b) Wykaza´c, ˙ze je´sli ka˙zda z liczb a, b jest suma kwadrat´_, ow dw´och liczb ca lkowitych, to ab jest tak˙ze suma kwadrat´_, ow dw´och liczb ca lkowitych.

Zadanie 15. Suma cyfr liczby trzycyfrowej A jest r´owna 7. Wykaza´c, ˙ze 7 dzieli A wtedy i tylko wtedy, gdy A ma r´owne cyfry dziesiatek i jedno´sci._,

Zadanie 16. Na ile sposob´ow mo˙zna przedstawi´c liczbe 2003 w postaci sumy pewnej ilo´sci kolej-_, nych liczb naturalnych?

Zadanie 17. Wykaza´c, ˙ze je´sli a, b sa liczbami naturalnymi wzgl_, ednie pierwszymi, to r´_, ownanie ax + by = ab nie ma rozwiaza´_, n w liczbach naturalnych x, y.

Zadanie 18. Rozwiaza´_, c w liczbach ca lkowitych r´ownania:

a) xy = x + y, b) 6x²+ 5y² = 74,

c) x³+ 2y³+ 4z³ = 6xyz.

Zadanie 19. Liczba A zapisana w systemie si´odemkowym ma trzy cyfry, za´s zapisana w systemie dziewiatkowym ma te same trzy cyfry, ale wyst_, epuj_, a one przeciwnym porz_, adku. Jaka_, to liczba?

Zadanie 20^∗. Wykaza´c, ˙ze istnieje 100-cyfrowa liczba podzielna przez 2¹⁰⁰ w zapisie dziesietnym_, kt´orej wystepuj_, a tylko cyfry 1 i 2._,

3. FUNKCJE, WIELOMIANY, R ´OWNANIA I NIER ´OWNO´SCI

Zadanie 21. Wyznaczy´c a, b tak aby wielomian x⁴ + x³ + 2x² + ax + b by l kwadratem innego wielomianu.

Zadanie 22. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnych liczb a, b, c, x, y, z... zachodza nier´_, owno´sci:

a) ^a₄² + b²+ c² ≥ ab − ac + 2bc, b) a²+ b²+ c² ≥ ab + ac + bc,

c) a²+ b²+ c² ≤ 2(ab + ac + bc), gdzie a, b, c sa d lugo´sciami bok´_, ow tr´ojkata. Czy ta_, nier´owno´s´c jest prawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c?

d) √

a²+ b²+ c²+px²+ y²+ z² ≥p(a + x)²+ (b + y)²+ (c + z)². Zadanie 23. Wyznaczy´c wszystkie pary (x, y) liczb dodatnich spe lniajace r´_, ownanie:

x

x⁴+ y² + y

y⁴+ x² = 1 xy.

Zadanie 24. a) Wykaza´c, ˙ze dla dowolnych liczb rzeczywistych x₁, x₂, . . . , x_nzachodzi nier´owno´s´c:

|x₁+ x₂+ · · · + x_n| ≤ |x₁| + |x₂| + · · · + |x_n|.

b) Wykaza´c, ˙ze je´sli x 6= 1, to

1 + x + x²+ · · · + xⁿ = xⁿ⁺¹− 1 x − 1 . c) Wykaza´c, ˙ze r´ownanie

xⁿ+ a₁xⁿ⁻¹+ a₂xⁿ⁻²+ · · · + a_n−1x + a_n = 0,

gdzie a_i ∈ {−1, 0, +1} nie ma rozwiaza´_, n w zbiorze (−∞, −2) ∪ (2, +∞).

Zadanie 25. a) Wykaza´c, ˙ze dla dowolnych liczb nieujemnych x, y, z zachodzi nier´owno´s´c:

x + y + z ≤p

3(x²+ y²+ z²).

3

b) Wykaza´c, ˙ze nier´owno´s´c

√x + 1 +√

2x − 3 +√

50 − 3x ≤ 12

zachodzi dla wszystkich warto´sci x ∈ R, dla kt´orych lewa strona jest okre´slona.

Zadanie 26. Czy istnieje funkcja f : Z → Z taka, ˙ze

f (f (x)) = x + 1 dla ka˙zdego x ∈ Z, gdzie Z oznacza zbi´or liczb ca lkowitych.

Zadanie 27. Niech liczby x, y bed_, a takie, ˙ze x > y oraz xy = 1._, Udowodni´c, ˙ze zachodzi nier´owno´s´c:

x²+ y² x − y ≥ 2√

2.

Zadanie 28. Rozwiaza´_, c uk lad r´owna´n:

xy

x + y = a, xz

x + z = b, yz y + z = c, gdzie a, b, c sa danymi liczbami rzeczywistymi._,

Zadanie 29. Dane sa takie liczby rzeczywiste a, b, c ˙ze wykresy funkcji_, y = ax + b, y = bx + c, y = cx + a maja punkt wsp´_, olny. Wykaza´c, ˙ze a = b = c.

Zadanie 30. Wyznaczy´c zbi´or punkt´ow p laszczyzny, kt´orych wsp´o lrzedne (x, y) spe lniaj_, a nier´_, owno´s´c:

2 − x²− y²−p

(1 − x²)²+ (1 − y²)² > 0.

4. ZADANIA GEOMETRYCZNE

Zadanie 31. Na przekatnej BD kwadratu ABCD wybrano punkt E. Punkty O_{, 1}, O₂ sa odpowied-_, nio ´srodkami okreg´_, ow opisanych na tr´ojkatach ABE, ADE. Dowie´s´_, c, ˙ze czworokat_, AO1EO2 jest kwadratem.

Zadanie 32. Na p laszczy´znie wybrano cztery punkty tak, ˙ze nie le˙za one ani na jednej prostej ani_, na jednym okregu. Wykaza´_, c, pewien z tych punkt´ow po lo˙zony jest wewnatrz okr_, egu_, do kt´orego nale˙za trzy pozosta le._,

Zadanie 33. Dwusieczne AK i BM tr´ojkata ABC przecinaja si_, e w punkcie O. Wykaza´_, c, ˙ze je´sli OK = OM , to albo ∠BAC = ∠ABC albo ∠ACB = 60^◦.

Zadanie 34. Punkty A, B, C, D nale˙za do okr_, egu o promieniu R i dziel_, a go na cztery r´_, owne cze´sci._, Wykaza´c, ˙ze je´sli X jest dowolnym punktem tego okregu, to suma AX_, ⁴ + BX⁴ + CX⁴ + DX⁴ nie zale˙zy od po lo˙zenia punktu X.

Zadanie 35. Okrag o jest styczny do dw´_, och bok´ow tr´ojkata ABC oraz do dw´_, och jego ´srodkowych.

Wykaza´c, ˙ze tr´ojkat ABC jest r´_, ownoramienny.

Zadanie 36. Cieciwa okr_, egu jest oddalona od jego ´srodka o d. W ka˙zdy z dw´_, och segment´ow sk ladajacych si_, e z ci_, eciwy oraz luku okr_, egu wpisano kwadrat, kt´_, orego dwa wierzcho lki le˙za na ci_, eciwie oraz dwa na okr_, egu. Obliczy´_, c r´o˙znice d lugo´sci bok´_, ow kwadrat´ow.

Zadanie 37. Wykaza´c, ˙ze w dowolnym tr´ojkacie suma d lugo´sci jego ´srodkowych jest mniejsza od_, obwodu oraz wieksza od 3/4 obwodu tego tr´_, ojkata._,

4

Zadanie 38. Promie´n okregu wpisanego w dany tr´_, ojkat jest r´_, owny 1. Wykaza´c, ˙ze pewna wysoko´s´c tego tr´ojkata ma d lugo´s´_, c nie mniejsza od 3._,

Zadanie 39. Dane dwa kwadraty podzieli´c na cze´sci tak aby mo˙zna by lo z nich z lo˙zy´_, c jeden kwadrat (wykorzystujac do tego ka˙zd_, a cz_, e´s´_, c).

Zadanie 40. Wewnatrz danego k_, ata wybrano punkt. Poprowdzi´_, c przez ten punkt prosta wyci-_, najac_, a z k_, ata tr´_, ojkat o mo˙zliwe najmniejszym polu._,

5. ZADANIA R ´O ˙ZNE

Zadanie 41. Czy na p laszczy´znie mo˙zna wybra´c 6 punkt´ow i po laczy´_, c je nieprzecinajacymi si_, e_, odcinkami, tak aby ka˙zdy punkt by l po laczony z dok ladnie czterema innymi?_,

Zadanie 42. Na p laszczy´znie dany jest zbi´or n-punkt´ow o tej w lasno´sci, ˙ze w´sr´od ka˙zdych czterech punkt´ow pewne trzy sa wsp´_, o lliniowe. Udowodni´c, ˙ze w tym zbiorze jest przynajmniej n − 1 punkt´ow le˙zacych na jednej prostej._,

Zadanie 43. Prostokat rozmiar´_, ow 2n × 2m pokryto ca lkowicie kostkami domino rozmiar´ow 1 × 2.

Czy na to pokrycie mo˙zna na lo˙zy´c druga warstw_, e kostek domino tak, ˙ze ˙zadna kostka_, drugiej warstwy nie le˙zy ca lkowicie na pewnej kostce pierwszej warstwy?

Zadanie 44. Odcinek d lugo´sci 1 pokryto ca lkowicie innymi odcinkami. Wykaza´c, ˙ze w´sr´od od- cink´ow pokrywajacych mo˙zna wybra´_, c pewna ilo´s´_, c odcink´ow parami roz lacznych o_, lacznej d lugo´sci nie mniejszej ni˙z 1/2._,

Zadanie 45. Ile dzielnik´ow ma liczba 2ⁿ3^m5^k, gdzie m, n, k sa nieujemnymi liczbami ca lkowitymi?_, Zadanie 46. W pola kwadratowej tablicy n × n wpisano liczby ca lkowite nieujemne tak, ˙ze je´sli na przecieciu pewnego wiersza i kolumny stoi zero to l_, aczna suma liczb tego wiersza_, i tej kolumny jest nie mniejsza od n. Wykaza´c, ˙ze suma wszystkich liczb wpisanych w pola tablicy jest nie mniejsza ni˙z ¹₂n².

Zadanie 47. Iloczyn dziesieciu (niekoniecznie r´_, o˙znych) liczb naturalnych jest r´owny 10¹⁰. Jaka_, najwieksz_, a warto´s´_, c mo˙ze przyja´_,c suma tych liczb?

Zadanie 48. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi r´owno´s´c:

[√ n +√

n + 1] = [√

4n + 2], gdzie [x] oznacza cze´s´_, c ca lkowita liczby x._,

Zadanie 49. Obliczy´c sume wszystkich liczb, kt´_, ore mo˙zna otrzyma´c z liczby 1234567 dokonujac_, wszystkich mo˙zliwych przestawie´n cyfr.

Zadanie 50. Wyznaczy´c wszystkie funkcje f : R → R, spe lniajace warunek:,

f (xy) = f (x) + f (y) x + y , o ile tylko x + y 6= 0.