Zestaw 2A. Zad 1.

Zestaw 2A.

Zad 1. Rozwiązać równanie z³ i0 czyli wyznaczyć pierwiastki ³ i Zad 2. Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór



zZ:2 (23i)z46i 8



Zad 3. Wyznaczyć macierz X spełniającą równanie.

 

 







 











1 1 0

0 0 1

2 3 1

gdzie 1 1

1 A

XA

Zad 4. Rozwiązać układ równań liniowych.

 

 















 0 3 5

1 3

2 2

z y

y x

z y x

Zad 5. Rozwiązać układ równań w zależności parametru a.

 

















i ay

ix

i iy ax

2 2

Ad zad 1.

Zad 1. Rozwiązać równanie

z³ i0

czyli wyznaczyć pierwiastki

³ i

Rozwiązanie

Niech

^{wixyi}

. Wtedy

^{w  0i  0212 1}

. To dla   arg

w

mamy













 1

1 sin 1

, 1 0 cos 0

w y w

 x

2

 







 



 



 sin2

cos2

1  

i i

w

2 , 1 , 0 3

2 2 sin / 3

2 2

cos /  



 



   

 k k

k i

z_k    

wszystkie pierwiastki.

2 1 2

3 2 1 2 1 3 sin 6 cos6

1

0 z₀ i i i

k  



 



 





 



 



  

2 1 2

3 6

sin5 6

cos5 1

1 z₁ i i

k  



 



 



  

i i

i z

k   



 



 



 2

sin3 2

cos3 6

sin9 6

cos9 1

2 ₂    







    

 i i i

i ,

2 1 2 , 3 2 1 2

3 3

 



z i



i z

i z

i

z   













 



 

 















 



 





 2

1 2

3 2

1 2

3 3

Ad zad 2.

Zad 2. Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór



zZ:2 (23i)z46i 8



Rozwiązanie

13 : 3 8

2 6 ) 4

3 2 ( 2

3 8 2

6 ) 4

3 2 ( 2

8 6 4 ) 3 2 ( 2

 



 









 





 



 

























i z i

i

i z i

i

i z

i

13 ) 8

13 2 13 (

2

13 8 13

26 13

2

13 8 13

) 3 2 )(

6 4 ( 13

2









 





 



 



z z

i z i

Jest to pierścień o środku w z0 ^{2 13} i promieniu wewnętrznym

13

 2

rw i zewnętrznym

13

 8 rz

Ad zad 3.

Zad 3. Wyznaczyć macierz X spełniającą równanie.

 

 







 











1 1 0

0 0 1

2 3 1

gdzie 1 1

1 A

XA

Rozwiązanie

13 2 1 1 0 0 0 1 2 3 1

det A  

Zatem A^1 istnieje. (XA)A^1



1 1 1



A^1 X(AA^1)



1 1 1



A^1 X 



1 1 1



A^1

 







 









 







 







 

 

 

 

 





 

 

 

 





 

 







 













3 1 1- 2- 1- 1 0 1 0 3- 2 0 1- 1 1- 1 1- 0 1 1

0 1 3 1 0 1 - 2 1 0 0 2 3

1 0 - 3 1 1 0 2 1 1 1 - 2 3

1 0 0 1 1 0 - 0 1 1 1 0 0

1 1 1 1 0 0 0 1 2 3 1 ¹

1

T T

A

    ^{1 1 0}

3 1 1-

2- 1- 1

0 1 0

1 1 1 

 







 







X

Ad zad 4.

Zad 4. Rozwiązać układ równań liniowych.

 

 















 0 3 5

1 3

2 2

z y

y x

z y x

Rozwiązanie

Macierz główna układu

 







 







 3- 5 0

0 1- 3

1- 1 2

A

ⁱ

156 09 3- 5 0 0 1- 3 1- 1 2

det A  

zatem układ nie jest układem Cramera. Stosując najprostszą wersję metody eliminacji Gaussa dla macierzy rozszerzonej otrzymamy:



 







 









 







 









 







 







 

4- 0 0 0 4- 3 5- 0 2 1- 1 2 0 3- 5 0 4- 3 5- 0 2 1- 1 2 0 3- 5 0 1 0 1- 3 2 1- 1 2

, 23 2 31 , 2 32 wwww ww

BA

Otrzymaliśmy układ równań równoważny

 

 















 



 











4 00 0

4 35

2 2 03 5

1 3

2 2

zy x

zy zy x zy yx

zy x

Ostatnie równanie daje zbiór rozwiązań pusty a więc układ równań liniowych jest sprzeczny tzn.

dla całego układu zbiór rozwiązań jest pusty.

Ad zad 5.

Zad 5. Rozwiązać układ równań w zależności parametru a.

 

















i ay

ix

i iy ax

2 2

Rozwiązanie

Macierz główna układu jest postaci





 



  ai A ia

której wyznacznik

detA a² 1

. Jeżeli

i a oraz i a a

A 10  

det ²

to układ równań jest układem Cramera. Zatem

dla:

1

^o

a



i

oraz

a

 

i

ia i iaia iai a

iiia a

ai ii

x 

 



 



 



  2

))((

))(2(

1 )2()2(

1 2- -2

2 2

ia i iaia iai a

iiia a

ii ia

y 

 



 



 



  2

))((

))(2(

1 )2()2(

1 2- - - 2

2 2

2

^o

a

  i

 ^{ } 2

0 0 0 1 2 - 2 -

, 12 2

iii iii iii BA iii

www 



 



  



 







 



. Układ ten jest równoważny układowi ^{ixiy2i} zatem

wszystkie rozwiązania są postaci

t C

t y

i i t

i iit i i

it x i

 

 









 



 





 

2 ) 1

( ) 2(

2

3

^o

a

 i

 _



 



  



 







 

 2i-4- 0 0

1 2

2

, 12 2

iii iii

BA iii

www

Układ sprzeczny.