1. Udowodni¢, »e istnieje monomorzm D 4 → S 4 .

ALGEBRA 1B, Lista 7

Niech G b¦dzie grup¡.

1. Udowodni¢, »e istnieje monomorzm D 4 → S ₄ .

2. Opisa¢ p-podgrupy Sylowa S 4 dla ró»nych liczb pierwszych p.

3. Udowodni¢, »e nie istnieje monomorzm Q 8 → S ₄ .

4. Zaªó»my, »e |G| = 36. Udowodni¢, »e istnieje N P G taka, »e N 6= {e}

i N 6= G.

5. Niech A b¦dzie podgrup¡ Z. Udowodni¢, »e A = {0} lub A ∼ = Z.

6. Znale¹¢ produkt grup cyklicznych, z którym izomorczna jest grupa Z ³ /h(10, 11, 8), (4, 7, 4), (4, 4, 4)i.

7. Zaªó»my, »e mamy a 1 , b 1 , . . . , a k , b k ∈ N takie, »e

Z ^a p

× Z ^a _p

× . . . × Z ^a _p

∼ = Z ^b p

× Z ^b _p

× . . . × Z ^b _p

. Udowodni¢, »e a 1 = b ₁ , . . . , a _k = b _k .

8. Sprawdzi¢, czy nast¦puj¡ce grupy s¡ izomorczne:

(a) Z 24 × Z 36 i Z 48 × Z 18 , (b) Z 21 × Z 40 i Z 168 × Z 5 ,

(c) Z 3 × Z 3 × Z 5 × Z 7 i Z 315 .

9. Zaªó»my, »e grupa G jest sko«czona i »e ka»dy element G ma rz¡d mniejszy b¡d¹ równy 2. Udowodni¢, »e istnieje l ∈ N takie, »e

G ∼ = (Z 2 ) ^l .

1