Oblicz granice xlim→0 sin ax x , lim x→0 sin2x x2 , lim x→−1 x + 1 x3+ 1, lim x→2 x2+ 3x− 10 x4− x − 14 3

Analiza I, ISIM Lista zada« nr 7 1. Korzystaj¡c z denicji Cauchy'ego poka» limx→2x² = 4. 2. Oblicz granice

xlim→0

sin ax

x , lim

x→0

sin²x

x² , lim

x→−1

x + 1

x³+ 1, lim

x→2

x²+ 3x− 10 x⁴− x − 14

3. Poka», »e je»eli limx→x0f (x) = g, to istnieje liczba δ > 0 taka, »e zbiór warto±ci f(x) dla x̸= x0 oraz |x − x0| < δ jest ograniczony.

4. Poka», »e je»eli limx→x0f (x) = g > 0, to istniej¡ liczby δ, η > 0 takie, »e f(x) > η dla x ̸= x0

oraz |x − x0| < δ.

5. Czy jest prawd¡, »e funkcja f okre±lona na (−1, 1) ma granic¦ równ¡ 1 w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy, gdy

a) dla ka»dego ci¡gu {xn} zbiegaj¡cego do zera i xn̸= 0, zachodzi limn→∞f (x³_n) = 1; b) dla ka»dego ci¡gu {xn} zbiegaj¡cego do zera i xn̸= 0, zachodzi limn→∞f (x²_n) = 1. 6. Podaj przykªad funkcji f : R → R, która jest nieci¡gªa tylko na zbiorze liczb caªkowitych.

7. Poka», »e je»eli limx→x0f (x) = ai limx→x0g(x) = b, to limx→x0(f (x) + g(x)) = a + b. 8. Zdeniuj symbol limx→+∞f (x) = +∞. Podaj dwie denicje Heinego i Cauchy'ego. Uzasad- nij, »e s¡ one równowa»ne.

9. Oblicz granice

xlim→2

x²+ 5

x²− 3, lim

x→1

x

x− 1, lim

x→1

x²− 2x + 1

x³− x , lim

x→1

(x− 1)√ 2− x x²− 1 ,

xlim→−2

x³+ 3x²+ 2x

x²− x − 6 , lim

x→¹₂

8x³− 1

6x²− 5x + 1, lim

x→0

√1 + x²− 1

x ,

xlim→1

( 1

1− x− 3 1− x³

)

, lim

x→0

√3

1 + x²− 1

x² , lim

x→0

√3

1 + x−√³ 1− x x

10. Oblicz granice

xlim→0

sin(x sin 2x)

x² , lim

x→0

log(1 + x)

x , lim

x→a

log^x_a

x− a lim

x→0(1 + x)^1x,

xlim→1

x³− 1

x− 1, lim

x→1

xⁿ− 1

x^m− 1, lim

x→1

m√ x− 1

√n

x− 1, dla n, m ∈ N. lim

h→0

√a + h−√ a

h ,

xlim→0

tan x− sin x

sin³x , lim

x→0

x sin x

x + 2x², lim

x→π

1 + cos x

sin²x , lim

x→0

log(1 + sin x) sin(log(1 + x)) 11. Oblicz granice

xlim→0x [1

x ]

, lim

x→0⁺

[x]

x , lim

x→0⁺x^x, lim

x→0⁺(sin x)^{sin x}

12. Oblicz granice

xlim→0

√3

1− x²−√⁴ 1− 2x

x + x² , lim

x→a

√x− b −√ a− b

x²− a² ,dla a > b 13. Oblicz granice

x→0lim⁺ 1

x, lim

x→0log|x|, lim

x→1

x²+ 1

x²− 1, lim

x→^π₂⁻tan x, lim

x→∞x^x1, lim

x→∞e^−x2. 14. Znajd¹ granice jednostronne funkcji f(x) = ¹

1+2^x1 w punkcie x = 0.

15. Dla ϵ > 0, znajd¹ δ > 0 aby dla 0 < |x − a| < δ speªniony byª warunek |f(x) − g| < ϵ

• f(x) = x², a = 2, g = 4

• f(x) = _x+1¹ , a = −¹₂, g = 2

• f(x) =√³

x²+ 7, a = 1, g = 2

• f(x) = _3+4x^x2+x−2_−7x2, a = 1, g = −0.3

16. Poka», »e dla ka»dego niestaªego wielomianu W : limx→∞|W (x)| = ∞.

17. Uzasadnij, »e funkcja

f (x) = { _x

|x| dla x ̸= 0;

1 dla x = 0;

nie jest ci¡gªa w punkcie 0.

18. Niech

f (x) =





log(1+x)

sin(sin ax) dla x < 0;

b dla x = 0;

x + c dla x > 0 Dla jakich a, b, c funkcja ta jest ci¡gªa w 0?

19. Poka», »e funkcje f(x) = sin(m(x)π) i g(x) = [x] sin πx s¡ ci¡gªe.

20. Poka», »e funkcje F (x) = max{f(x), g(x)} i G(x) = min{f(x), g(x)} s¡ ci¡gªe na R, je»eli zarówno f jak i g s¡ ci¡gªe

21. Poka», »e ka»da funkcja ci¡gªa jest ró»nic¡ dwóch nieujemnych funkcji ci¡gªych.

22^∗.Podaj przykªad funkcji, która ma wªasno±¢ Darboux, ale nie jest ci¡gªa.

23^∗.Poka», »e

nlim→∞

1 n

2ⁿ

∑

k=1

1

k = log 2.

24^∗. Poka», »e je±li funkcja f(x) okre±lona w [a, ∞) jest ograniczona w ka»dym sko«czonym przedziale [a, b], to

xlim→∞

f (x)

x = lim

n→∞[f (x + 1)− f(x)] i lim

x→∞f (x)^1x = lim

x→∞

f (x + 1)

f (x) (f (x)≥ C > 0) o ile granice po prawej stronie istniej¡.