PODSTAWY ELEKTRONIKI i TECHNIKI CYFROWEJ

PODSTAWY ELEKTRONIKI i TECHNIKI CYFROWEJ

Piotr Malecki

POLITECHNIKA KRAKOWSKA

WYDZIAŁ INFORMATYKI I TELEKOMUNIKACJI Katedra Informatyki

malecki@pk.edu.pl

ii.pk.edu.pl/~pmalecki/PEiTC

9 marca 2021

Outline

1 Moc pr ˛adu sinusoidalnego

Moc czynna, moc bierna, moc pozorna

2 Przekaz mocy ´zródło-odbiornik

3 Kondensator i cewka

4 Rezonans w obwodach elektrycznych Rezonzns szeregowy

Rezonans równoległy Dobro ´c

2/11

Moc pr ˛adu sinusoidalnego Moc czynna, moc bierna, moc pozorna

Moc czynna, moc bierna

Moc chwilowa pr ˛ adu sinosoidalnego:

p(t) = u(t) · i(t) = U · I(cosφ − cos(2ωt − φ))

Moc czynn ˛ a definiuje si ˛ e jako ´sredni ˛ a jednookresow ˛ a (okresu mocy chwilowej !)

P = 1 T

Z

p(t)dt = U · I · cos φ

W obwodach o wymuszeniu sinusoidalnym moc czynna jest iloczynem warto´sci skutecznych napi ˛ ecia i nat ˛ e ˙zenia pr ˛ adu oraz cosinusa k ˛ ata przesuni ˛ ecia fazowego mi ˛ edzy wskazami napi ˛ ecia i pr ˛ adu.

Współczynnik cos φ, zwany współczynnikiem mocy, odgrywa wielk ˛ a rol ˛ e praktyczn ˛ a.

W obwodach pr ˛ adu sinusoidalnego definiuje si ˛ e te ˙z moc biern ˛ a

Q. Q = U · I · sinφ

Przyjmuje si ˛ e konwencj ˛ e, ˙ze moc bierna obwodu o charakterze

indukcyjnym jest dodatnia, a o charakterze pojemno´sciowym ujemna.

Moc pr ˛adu sinusoidalnego Moc czynna, moc bierna, moc pozorna

Moc pozorna

Moc, czy energia nazywa si ˛e biern ˛a, bo nie wykonuje ˙zadnej pracy. Jest potrzebna do działania urz ˛adze ´n ale nie zu ˙zywana. Jest wymieniana pomi ˛edzy odbiornikami przez co powoduje obci ˛a ˙zenie linii przesyłowych.

Bior ˛ ac pod uwag ˛ e relacje k ˛ atowe P i Q mo ˙zna potraktowa ´ c je jako cz ˛ e´s ´ c rzeczywist ˛ a i cz ˛ e´s ´ c urojon ˛ a wielko´sci zespolonej zwanej moc ˛ a pozorn ˛ a S

S = P + j · Q

P S Q

φ

P

S Q

φ

Wykres wektorowy mocy dla obwodu

o charakterze indukcyjnym o charakterze pojemno´sciowym

4/11

Przekaz mocy ´zródło-odbiornik

Optymalny przekaz mocy nadajnik-odbiornik

Z_NAD E

A A I

Z_ODB

B B

U

Wa ˙zne pytanie w elektrotechnice: kiedy odbiornik pobiera z nadajnika maksymaln ˛a moz czynn ˛a?

Z_NAD=R_NAD+j · X_NAD Z_ODB=R + j · X P = I²·R = E²

|Z_NAD+Z_ODB|²

·R

= E²·R

(R_NAD+R)²+ (X_NAD+X )²

Pierwszym oczywistym warunkiem jest, ˙ze reaktancja odbiornika powinna by ´c przeciwna do reaktancji nadajnika. Wtedy:

P = E²·R (R_NAD+R)²

Wyliczenie pierwszj i drugiej pochodnej wzgl. R tego prostego wyra ˙zenia pokazuje drugi warunek, ˙ze moc czynna przekazana do odbiornika jest maksymalna wtedy, gdy R = RNAD.

Kondensator i cewka

L, C - idealne i rzeczywiste

Cewka i kondensator s ˛ a elementami gromadz ˛ acymi energi ˛ e. Idealny, bezstratny kondensator o pojemno´sci C magazynuje w czasie t energi ˛ e:

W (t

, t) = C Z

0

u · du = 1

2 C · u

(t)

i

R i_R

C i_C

I_R

U I_C

I

φ

Dobro ´ c kondensatora rzeczywistego to

stosunek energii zmagazynowanej w kondensatorze do

energii rozproszonej w rezystancji R w ci ˛ agu

okresu T.

Q

= 2 π W

W

(T ) Q

= ω · C · R = I

I

W praktyce stratno´s ´c kondensatora modelujemy rezystancj ˛a równoległ ˛a do C, która mo ˙ze wynosi ´c od kilkudziesi ˛eciu MΩ dla niektórych kondensatorów elektrolitycznych do kilkudziesi ˛eciu GΩ dla kondensatorów ceramicznych.

6/11

Kondensator i cewka

L - idealna i rzeczywista

Cewka ma wiele zwojów drutu (np. miedzianego). Rzeczywisty model uwzgl ˛ ednia rezystancj ˛ e zwojów, któr ˛ a doł ˛ acza si ˛ e w szereg

z indukcyjno´sci ˛ a

u_L L I

R U_R

U_R

I U_L

U

φ

Dobro ´ c rzeczywistej cewki Q

to stosunek maksymalnej energii zgromadzonej w polu

magnetycznym do energii rozproszonej w rezystancji w ci ˛ agu

okresu T.

Q

= 2 π W

W

(T )

Q

= ω · L R = U

U

Rezonans w obwodach elektrycznych Rezonzns szeregowy

Układy rezonansowe RLC

Zjawisko rezonansu

Zjawisko rezonansu w obwodzie RLC wyst ˛epuje, gdy reaktancja wypadkowa X = X_L−X_C jest równa zeru, wi ˛ec i zerowe jest przesuni ˛ecie fazowe napi ˛ecia i pr ˛adu. Obwód nie pobiera ˙zadnej mocy biernej, ale nast ˛epuje wymiana biernej mocy indukcyjnej i biernej mocy pojemno´sciowej, ktore, w rezonansie s ˛a równe ale przeciwnego znaku.

E

R

u_R

i(t) L

u_L

C

u_C

Rezonans szeregowy

Rezonans w szeregowym układzie RLC nazywa si ˛e te ˙z rezonansem napi ˛e ´c, bo skoro X_L=X_Cto U_L= −U_C. Impedancja

szeregowego danego obwodu RLC jest w rezonansie najmniejsza i wynosi: Z = R.

Warunek wyst ˛ apienia rezonansu: ωL =

jest spełniony dla cz ˛ estotliwo´sci rezonansowej f

=

2π√ L·C

8/11

Rezonans w obwodach elektrycznych Rezonans równoległy

Rezonans równoległy

U I

R I_R

L I_L

C I_C

Warunkiem wyst ˛apienia rezonansu w równoległym układzie RLC jest równie ˙z zerowa warto´s ´c k ˛ata fazowego mi ˛edzy pr ˛adem I i napi ˛eciem U. Oznacza to zanik urojonej cz ˛e´sci admitancji zespolonej (odwrotno´sci impedancji) układu: Y = ¹_Z. Jest to wi ˛ec identyczny warunek, jak dla rezonansu szeregowego:

ωL = _ωC¹ , prowadz ˛acy do takiego samego wzoru na cz ˛esto´s ´c rezonansow ˛a układu:ωR= ^√1

LC.

Rezonans równoległy nazywa si ˛e te ˙z rezonansem pr ˛adów, poniewa ˙z równo´s ´c X_Li X_C implikuje równo´s ´c I_L= −I_C

Zachowanie si ˛ e obwodów rezonansowych w funkcji cz ˛ estotliwo´sci wokół cz ˛ estotliwo´sci rezonansowej bada si ˛ e przy pomocy

charakterystyk amplitudowych (napi ˛ e ´ c i pr ˛ adów) i fazowych. Układy rezonansowe słu˙z ˛ a do budowy generatorów sygnałów, czy

elektronicznych filtrów. Wykorzystuj ˛ ac ich własno´sci tłumienia lub

przenoszenia sygnałów w wybranych pasmach cz ˛ estotliwo´sci tworzy

si ˛ e m.in. układy dostrajaj ˛ ace w odbiornikach radiowych i TV.

Rezonans w obwodach elektrycznych Dobro ´c

Dobro ´ c w układach rezonansu

Charakterystyki cz ˛ estotliwo´sciowe zarówno amplitudowe jak i fazowe s ˛ a zdominowane wpływem dobroci obwodu (wielko´sci

niemianowanej)

W obwodzie szeregowym RLC

dobro ´c to stosunek napi ˛ecia na kondensatorze lub cewce (równe sobie w rezonansie) do napi ˛ecia na rezystorze.

Q = U_L U_R =U_C

U_R =ωRL

R = 1

ωRRC = qL

C

R

R modeluje tutaj oporno´s ´c uzwojenia cewki. Dla elementów idealnych, przy R-> 0 dobro ´c układu Q->∞ .

W obwodzie równoległym RLC

dobro ´c to stosunek pr ˛adu I_Llub I_C, które w rezonansie s ˛a sobie równe, do pr ˛adu I_R w oporniku.

Q = I_L I_R =I_C

I_R =ωRC

G = 1

ωRGL= R qL

C

W układzie równoległym rezystor R modeluje stratno´s ´c (upływno´s ´c) kondensatora. Przy idealnych elementach, gdy R ->∞, równie ˙z dobro ´c obwodu rezonansowego Q->∞.

10/11

Rezonans w obwodach elektrycznych Dobro ´c

Przykład - charakterystyka cz ˛ estotliwo´sciowa

Charakterystyka cz ˛estotliwo´sciowa pr ˛adu dla szeregowego układu RLC

Dla szeregowego obwodu RLC zło ˙zonego z cewki o indukcyjno´sci L = 100[mH], kondensatora

o pojemno´sci C = 10[ µF]

przedstawiona jest obok pr ˛ adowa charakterystyka cz ˛ estotliwo´sciowa I( ω) dla dwóch warto´sci rezystancji opornika R: R = 7[Ω] oraz R = 2 .2[Ω]

Odpowiadaj ˛ ace tym warto´sciom dobroci ukladu rezonansowego wynosz ˛ a odpowiednio: Q = 14 .1 i Q = 44 .7

700 800 900 1,000 1,100 1,200 1,300 1

2 3 4

ωR

I

Nawet niedu˙ze zmniejszenie dobroci obwodu powoduje

znacz ˛ ace spłaszczenie charakterystyki cz ˛ estotliwo´sciowej pr ˛ adu

i w konsekwencji wyra˙znie pogarsza selektywno´s ´ c obwodu

rezonansowego.