Podstawy przetwarzania sygnałów
4. Szeregi Fouriera
Ćw. 4.1 Niech f : R → R będzie funkcją okresową o okresie a, całkowalną na każdym przedziale ograniczonym. Wykaż, żeRxx+af (t) dt nie zależy od x.
Ćw. 4.2 Rozwiń w szereg Fouriera podane niżej funkcje i dla każdej z nich zapisz tożsa- mość Parsevala. Podaj widmo sygnału f oraz narysuj wykresy widma amplitudowego i fazowego.
1. f jest okresowa o okresie 2 i f (t) = |t| dla |t| < 1, 2. f jest okresowa o okresie a i f (t) = at dla 0 ¬ t < a, 3. f (t) = | sin t|,
4. f (t) = sin3t.
Ćw. 4.3 Znając współczynniki Fouriera funkcji f , wyznacz współczynniki Fouriera dla funkcji f (t−t0). Wykorzystując poprzednie zadanie, rozwiń w szereg Fouriera funkcję f (t) = | cos t|.
Ćw. 4.4 Rozwiń w szereg Fouriera funkcję o okresie a = 2 zdefiniowaną na przedziale [−1, 1) równością:
f (t) = eiπzt (z ∈ C \ Z ustalone).
Wywnioskuj z równości Parsevala, że
∀x∈R\Z π2 sin2πx =
+∞
X
n=−∞
1 (x − n)2.
