Z bigniew P ER K O W SK I
P olitechnika O polska, W ydział B udow nictw a
OPIS ODKSZTAŁCALNOŚCI BETONU Z USZKODZENIAMI*
S treszczenie. P rzedstaw iono term om echaniczny m odel narastania uszkodzeń w betonie.
W ykazano, iż beto n traktow any pierw otnie ja k o m ateriał izotropowy pod w pływ em procesu narastania uszkodzeń staje się anizotropow y. Zaproponow ano sposób w yznaczenia stałych określających odkształcalność m ateriału z uszkodzeniam i na podstaw ie porów nania ujęcia term odynam icznego z eksperym entem .
DESCRIPTION OF THE DEFORMABILITY OF CONCRETE WITH DAMAGES
Sum m ary. The therm om echanical m odel o f the dam age evolution in concrete is presented.
The experim ental w ay o f deriving constants describing the deform ability o f dam aged m aterial given by the therm om echanical approach is proposed.
1. W prowadzenie
B eton traktujem y zw ykle jako m ateriał pierw otnie izotropowy. W trakcie procesu obcią
żenia betonu p o ja w iają się w nim uszkodzenia (m ikropęknięcia) o kierunkach zorientow anych zgodnie z kierunkam i głów nym i naprężeń, co pow oduje, iż w betonie rozw ija się w tórna ani
zotropia m ateriałow a. Problem ten był poruszany w pracach Chena [1], D ragona [2], Karpenki [5] i L itew ki [10,11,12], gdzie podjęto próby sform ułow ania m odelu anizotropowej odkształ- calności betonu z uszkodzeniam i struktury.
W prezentow anych dotychczas m odelach teoretycznych uw zględnia się przede wszystkim przesłanki w ynikające z obserw acji em pirycznych: m ikropęknięcia ro zw ijają się pod kątem prostym do k ierunku dodatnich naprężeń głów nych, intensyw ność w ystępow ania m ikropęk- nięć zależy od w artości pierw szego niezm iennika tensora naprężeń i od drugiego niezm ienni
ka dew iatora naprężeń [3,8], N ie narzuca się natom iast przy opisie ew olucji uszkodzenia m a
teriału ograniczeń term odynam icznych, m im o iż om awiany proces m a charakter nieodwracal- Praca powstała w ramach seminarium doktoranckiego prowadzonego przez prof, dra hab. inż. Jana Kubika
ny. O znacza to, że część m ocy m echanicznej je st w ydatkow ana na rozwój defektów w struk
turze betonu i tym sam ym je s t dyssypow ana z układu. Ponadto przedstaw iane opisy odkształ- calności betonu z uszkodzeniam i odnoszą się do efektów „doraźnych” w relacji odkształcenie- naprężenie bez uw zględnienia je g o w łasności Teologicznych.
C elem zaprezentow anych w niniejszej pracy rozw ażań je st zbudow anie popraw nego ter
m om echanicznie m odelu ew olucji uszkodzeń i jego uw zględnienie w rów naniach opisujących odkształcalność betonu w złożonym stanie naprężenia.
2. Opis uszkodzeń w materiale
Proces uszkodzeń struktury betonu będzie ujm ow any sym etrycznym tensorem drugiego rzędu zw anym tensorem uszkodzeń Qj- [13], który w kierunkach głów nych je s t reprezento
w any przez trzy w artości głów ne f i (i) i = 1,2,3 . W artości głów ne tensora uszkodzeń Q (l) okre
ślają stosunki pól pustek m ateriałow ych (pęknięć) F(l) w płaszczyznach w yznaczonych przez kierunki głów ne tensora naprężeń do pola pierw otnego nieuszkodzonego F(i)0 (ry s.l).
(1)
i ?
( 1)0
R ys.l. Interpretacja graficzna kierunków głównych tensora uszkodzeń Fig. 1. Graphical interpretation o f the damage tensor
O prócz tensora uszkodzeń w pracy w ystąpi też druga w ielkość, a m ianow icie tensor efektu uszkodzenia Dy. O ba tensory zw iązane s ą przez sw oje w artości głów ne f i (i) i D (i) zależnością
O fix D,n
D m = lub £l(n = i = 1,2,3 (2)
(> l - n (0 W 1 + D(„
3. Termomechanika procesu uszkodzenia betonu
R ozpatrzym y stosunkow o prosty m odel odkształcalności betonu, zakładający, iż beton nieuszkodzony je s t m ateriałem liniow o lepkosprężystym i izotropow ym . N atom iast pojaw ia
ją c e się w trakcie procesu obciążania betonu uszkodzenia decydujące o rozw oju anizotropii determ inow ane są je d y n ie przez stan naprężenia w m ateriale. Energetyczny opis procesu nara
stania uszkodzeń struktury betonu rozpoczniem y od określenia niezależnych pól procesu ter
m odynam icznego. B ędzie to tensor naprężeń o . , przyrost tem peratury 6 oraz tensor efektu uszkodzenia D i; ja k o zm ienna w ew nętrzna om aw ianego procesu. Jako podstaw ow y funkcjo
nał przyjm iem y entalpię sw obodną pG określoną następująco:
pG = pG (o u,e ,D ij) (3)
W w yniku ty pow ych rozw ażań term odynam icznych z bilansu energii i nierów ności wzrostu entropii otrzym am y nierów ność rezydualną (por. [4])
- p G - p S 0 - < J ij ey - q i —f - ^ 0 , 0 i (4)
*o
która pow inna być spełniona w każdym rzeczyw istym procesie narastania naprężeń a :i i uszkodzeń Dy oraz zm ian przyrostów tem peratury 0 . Z w yszczególnionym i polam i skojarzo
ne są odkształcenia , entropia pS i strum ień ciepła q , . Sym bole p i T0 oznaczają gęstość
ośrodka i tem peraturę p o cz ą tk o w ą natom iast sym bol ( ) oznacza pochodną lokalną po czasie.
P o dstaw ow ą dla naszych rozw ażań entalpię sw obodną przedstaw im y w postaci sum y czło
nów liniow ych i kw adratow ych
- ( p G - p G o) = p So 0 + 8ij* d a ij + - c v0 +
1 1
+ t r F ijkl * d ° y * d o kl + T ^ i j k l m n D m n a ijCTkl + F
, (5)
gdzie pG0 oznacza entalpię początkową, pS0 entropię p o czątk o w ą sj- odkształcenia począt
kow e, c v ciepło w łaściw e, Fyki tensor funkcji pełzania, Fykl(D) = AijklmnD mn tensor stałych określających w pływ uszkodzeń na odkształcalność m ateriału. O bliczając pochodną po czasie z w yrażenia (5) i w staw iając j ą do (4), uzyskam y nierów ność
(pS0 + c ve - p S )0 + (8 g +Fukl * d o kl + A ijldmnD mna k, - E ij)ay +
+ ^ ¿ ( FUki * d a y * d o k, ) + [ I A ijklmnCTyOkl 1 D m„ - q i ^ > 0 2 d t
Tożsam ościow e spełnienie tej nierów ności dla każdego rzeczyw istego 0 i a ;j je st rów now aż
ne z przyjęciem , że
pS — pS0 = c v0 ,
s ij - £ij = Fjjkl * d o k| + A y k |m n D mn a kl,
^ ( F ukl * dCTU D mn > 0
q ¡0 ,i
Pom ijając w rozw ażaniach efekty cieplne, odkształcenia początkow e i lepką dyssypację mocy, tzn.
p S - p S 0 = 0 , qj = 0 , E ^ s O , ~ ( F ukl* d a s *dCTk|) s O (8) otrzym am y rów nanie konstytutyw ne w ogólnym , anizotropow ym ujęciu
e y = F ijki * d o ki + A y k |m n D m n a k | ( 9 )
oraz w arunek ew olucji uszkodzeń
2 AykImnCTijCIkl Dm" ^ 0 (10)
W przypadku „izotropow ym ” z rów nania (9) uzyskam y (por. [9])
Ey = -O -o ,* + J, * d c ^ ) 5 U + 2n ’a s + J 2 * d +
+ « ( 8 ij D k i< J k i + D ^ k k ) + 2 P ( a ik D kj + D ik a k j) ,
OD
. V . 1 + V
gdzie X '= — i p'= —— oznaczają stałe m ateriałow e, v i E w spółczynnik Poissona i moduł
E 2E
Y ounga, J , i J 2 funkcje pełzania, natom iast a i p są param etram i charakteryzującym i w pływ uszkodzeń m ateriału na je g o odkształcenia. W ówczas w arunek ew olucji uszkodzeń (10) d la m ateriału pierw otnie izotropowego przyjm ie postać:
^ a ( 5 ;j Du CTyOij + Dy 0^ 0^)+ P(aik D kj + D ik o^Oy) > 0 , (12)
a dalej
(aCTiia w + 2(3<jikCTi|)Dki > 0 (13) N a podstaw ie nierów ności (13) proponuje się następujące rów nanie ew olucji uszkodzenia m ateriału
W ynika stąd, iż z badań eksperym entalnych poza param etram i E , v , J M J 2 określającym i odkształcalność betonu nieuszkodzonego należy w yznaczyć dodatkow o trzy stałe m ateriałow e
a , p i A .
4. Proponowany sposób obliczenia stałych materiałowych
W yznaczenie dodatkow ych param etrów a , p i A dla betonu należy oprzeć na podstaw ie danych dośw iadczalnych. Proponuje się tu w ykorzystać w yniki z badania dw uosiow ego ści
skania próbek betonow ych (por.[12]). R ozpisując rów nanie fizyczne (11) z uw zględnieniem rów nania ew olucji uszkodzenia (14) i zw iązku (2) w układzie w spółrzędnych, którego kierun
ki osi b ę d ą zgodne z kierunkam i głów nym i tensora naprężeń, uzyskam y trzy rów nania (15), (16) i (17), gdzie dla skrócenia zapisu użyto oznaczenia I 0 = a , +cj2 + o 3 . R elacje te stanow ią zależności pom iędzy w artościam i głów nym i tensorów odkształceń i naprężeń, na podstaw ie których m ożna w yznaczyć poszukiw ane param etry a , p i A .
O u = AtaOijCTy + 2 p a ika u ) dla a a ii(Jkl + 2 P aika il > 0
oraz (14)
£ 2 ^ = 0 dla a o j i d y + 2 P a ikaii < 0
+ — — [ a, ( 2a+4P) +aa2 + a a 3] + - - a l 0a ,- 2 p a ?
A (15)
| odcg 2 + 2 p c 2 Y - a I a ° 2 - 2P°2
A
.2
v l+ v od a , +2(30;
e3 = - - I 0 - J , *dl„ + — o 3 + J 2 *d03 + - — 2--- [o3(2a+4(3)+ao, + a o 2]
E E i - c d o0 3 -2(3032
A
cdo0 1+2(30f _ _ cd0o 2 +2(3o2 H— --- <X0, H—:--- a 0 .
(17)
-2(30?
A
1 1
- - ° d a0 2 -2p0^
A
Z analizy pow yższych zależności w ynika, że proponowany m odel opiera się na założeniu, iż beton nieuszkodzony (tzn. gdy D mn = 0 ) je st m ateriałem liniow o lepkosprężystym . Należy zaznaczyć, że w om aw ianym m odelu przyjęto uproszczenie, iż w ielkości a , (3 i A określają
ce w pływ uszkodzenia struktury betonu na jego odkształcalność są niezależne od historii pro
cesu i odw rotnie funkcje pełzania są niezależne od param etrów określających zniszczenie.
A x ,
Rys.2. Eksperymentalne relacje pomiędzy naprężeniem i odkształceniem w przypadku równomiernego ściskania dwuosiowego betonu ( a 2 = o , * 0 , a , = 0 )
Fig.2. Experimental relations between stress and strain in case o f biaxial compression for concrete
D la popraw nej identyfikacji param etrów E , v , J , , J 2, a , p i A należy w ięc określić em pi
rycznie krzyw e opisujące relacje odkształcenie-naprężenie w dw uosiow ym stanie naprężenia (dla uproszczenia rozw ażań założono rów nom ierność ściskania) w różnych chw ilach procesu obciążania betonu (rys.2) i porów nać z teoretycznym i zależnościam i (15), (16) i (17). Przy
kładow o, w artości param etrów a , p i A dla betonu bazaltow ego (dla którego E = 49.7 GPa, v - 0.2) podano w opracow aniu [6],
a = - 1.53 • 10~5 P = 1,78 • 10~5 7 ^ - , A = 17,28 1
MPa MPa MPa (18)
5. W nioski
Z najom ość param etrów m ateriałow ych E , v , J , , J 2, a , (3 i A pozw ala na określenie zależności pom iędzy tensorem naprężeń o¡j a odkształceń 8¡j w betonie pod dow olnym zło
żonym stanem naprężenia z uw zględnieniem procesu pełzania. R óżnica pom iędzy dotychczas proponow anym i sposobam i obliczania pow yższych param etrów a przedstaw ionym w pracach [6,10,11,12] p olega n a tym , że rów nanie ew olucji uszkodzeń postuluje się na podstaw ie ogra
niczenia (13), w ynikającego z rozw ażań natury term odynam icznej.
L IT E R A T U R A
1. C hen W .F.: P lasticity o f reinforced concrete, M cG raw -H ill, N ew York 1982.
2. D ragon A.: K ontynualny m odel ośrodka z param etrem przebudow y struktury, IPPT PAN, W arszaw a 1974.
3. H ayhurst D .R ., C reep rapture under m ulti axial State o f stress, J. M ech. Phys. Solids, 20, 1972.
4. Jakubiak A ., K ubik J.: W pływ dyfuzji na sprężysto-plastyczne i kruche deform acje m ate
riałów , ZN W SI O pole, Bud. Z 35, 1992.
5. K arpenko N .I.: K postrojeniju obszczej ortotropnoj m odeli deform irow anija betona, Stro- itelnaja M iechanika i R ascziot Soorużenji, N r 4 ,1 9 8 7 .
6. K ubik J., P erkow ski Z.: O pis narastania uszkodzeń betonu, III K onferencja N aukowo- T echniczna-Z agadnienia M ateriałow e w Inżynierii L ądow ej-M atbud'2000, K raków 2000.
7. M itrofanow W .P., D obżenko O.A.: Razw itie deform acionnoj anizotropii betona pri ocie- w om sżati, B eton i żelezobeton, N r 10, 1991.
8. Leckie F.A ., H ayhurst D.R.: Creep raptures o f structures, Proc. R. Soc. Lond., A .340, 1974.
9. L itew ka A.: U szkodzenie i pękanie m etali w w arunkach pełzania, W yd. Politechniki P o
znańskiej, R ozpraw y N r 250, Poznań 1991.
10. L itew ka A ., B ogucka J., D ębiński J.: D ośw iadczalna identyfikacja stałych m ateriałow ych betonu podlegającego uszkodzeniu, X V II Sym pozjum M echaniki Eksperym entalnej Ciała S tałego, Jachranka 1996.
11. L itew ka A ., B ogucka J., D em biński J.: D eform ation induceed anisotropy o f concrete, Ar
chives o f C ivil Enginering, N r 4, 1996.
12. L itew ka A., D ębiński J.: A nizotropow y model odkształcalności betonu w złożonym stanie naprężenia, X L III KN K ILiW PAN i KN PZITB , Poznań 1997.
13. M urakam i S., O hno N .: A continuum theory o f creep and creep dam age, Creep in Struc
tures, red: A .R .S .P onter, D .R .H ayhurst, Springer V erlag, Berlin 1981.
Recenzent: Prof.dr hab.inż. Jerzy B iałkiew icz
A bstract
The therm om echanical m odel o f the dam age evolution in m aterial is presented and intro
duced to the equations describing the deform ability o f concrete under com plex state o f stress.
The follow ing statem ents are the consequences o f the proposed model: concrete before the loading process can be treated as isotropic m aterial and during the loading it becom es aniso
tropic, the deform ability o f m aterial is characterised by standard param eters (Y oung's m odulus, P oisson’s ratio, functions o f creep) and also by three new constants describing the influence o f dam ages in m aterial on its deform ability. The experim ental w ay o f determ ining param eters describing the deform ability o f the dam aged material is proposed.
