Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana
Lista 5. Rozwiązanie zadania 5.3 - dodatkowy podpunkt (d) Opracowanie: Angelika Abramiuk
Zadanie 5.3
(d) Dobierz stałe a, b tak, aby funkcja f (x) =
0 dla x ¬ 0,
1
2sin x dla 0 < x ¬ a, b(e−x+ 1) dla x > a
była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Następnie wylicz P
X π 3
i P (0 ¬ X ¬ π). Wyznacz dystrybuantę tej zmiennej losowej i na tej podstawie ponownie wylicz P
X π 3
i P (0 ¬ X ¬ π). Porównaj wyniki.
Rozwiązanie:
Funkcja f (x) jest gęstością pewnego rozkładu ciągłego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następu- jące warunki:
1. f (x) 0 ∀x ∈ R, 2.
Z ∞
−∞
f (x) dx = 1.
Ad 1.
Gdy x ¬ 0
f (x) = 0 i f (x) 0 ∀x ¬ 0 ⇐⇒ a, b ∈ R.
Gdy 0 < x ¬ a
f (x) = 1
2 sin x i f (x) 0 ⇐⇒
x ∈ [2 kπ; π + 2 kπ], k ∈ Z x ∈ (0, a]
Zatem
f (x) 0 ∀x ∈ (0, a] ⇐⇒ 0 < a ¬ π.
Gdy x > a
f (x) = b(e−x+ 1) i f (x) 0 ∀x > a ⇐⇒ b 0.
Zatem warunek 1. jest spełniony dla 0 < a ¬ π oraz b 0.
Ad 2.
Warunek 2. sprawdzamy już dla 0 < a ¬ π, b 0.
Z ∞
−∞
f (x) dx =
Z a 0
1
2 sin x dx +
Z ∞ a
b(e−x+ 1) dx =
= −1
2(cos x|a0 +
Z ∞ a
b(e−x+ 1) dx Aby spełniony był warunek
Z ∞
−∞f (x) dx = 1,
1
następująca całka musi być zbieżna
Z ∞ a
b(e−x+ 1) dx.
Zatem
x→∞lim b(e−x+ 1) = 0 ⇐⇒ b = 0.
Stąd mamy
Z ∞
−∞f (x) dx = 1 ⇐⇒
b = 0
1
2 −12 cos a = 1 a ∈ (0, π]
⇐⇒
b = 0 cos a = −1 a ∈ (0, π]
⇐⇒
b = 0
a = π + 2 kπ, k ∈ Z a ∈ (0, π]
⇐⇒
b = 0 a = π Warunki 1. i 2. są spełnione dla a = π oraz b = 0. Stąd otrzymujemy wzór gęstości pewnego
rozkładu ciągłego postaci
f (x) =
0 dla x ¬ 0,
1
2sin x dla 0 < x ¬ π, 0 dla x > π.
Wykres funkcji f (x) wygląda następująco
x f(x)
π 2
π 1
2
Aby wyznaczyć szukane prawdopodobieństwa, posłużymy się wzorami:
P (X b) = P (X > b) =
Z ∞ b
f (x) dx,
P (a ¬ X ¬ b) = P (a < X < b) = P (a < X ¬ b) = P (a ¬ X < b) =
Z b a
f (x) dx dla dowolnych a, b ∈ R.
Stąd mamy:
P
X π 3
=
Z ∞
π 3
f (x) dx =
Z π
π 3
1
2sin x dx +
Z ∞ π
0 dx = −1
2(cos x|ππ
3+ 0 = −1 2
−1 − 1 2
= 3
4 = 0.75 Zauważmy, że poza przedziałem (0, π) funkcja gęstości przyjmuje wyłącznie wartość zero. Zatem wykorzystując warunek 2. mamy
P (0 ¬ X < π) =
Z π 0
f (x) dx = 1
Dystrybuanta F (x) zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym oraz gęstości f równa jest całce F (x) =
Z x
−∞f (t) dt.
Gdy x ¬ 0
Z x
−∞
f (t) dt =
Z x
−∞0 dt = 0.
2
x f(x)
π 2
π 1
2
x
Gdy 0 < x ¬ π
Z x
−∞
f (t) dt =
Z 0
−∞
0 dt+
Z x 0
1
2 sin t dt = 0−1
2(cos t|x0 = 1 2−1
2 cos x.
Gdy x > π
Z x
−∞f (t) dt = 1.
Zatem dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać
F (x) =
0 dla x ¬ 0,
1
2 − 12 cos x dla 0 < x ¬ π, 1 dla x > π.
Wykres funkcji F (x) wygląda następująco
x F(x)
π 2
π 1
2 1
Aby wyliczyć szukane prawdopodobieństwa, skorzystamy z następujących własności:
P (X b) = 1 − P (X < b) = 1 − F (b), P (a ¬ X ¬ b) = P (X ¬ b) − P (X < a) = lim
x→b+F (x) − F (a).
dla dowolnych a, b ∈ R.
Stąd mamy:
P
X π 3
= 1 − P
X < π 3
= 1 − F
π 3
= 1 −
1 2− 1
2 cos
π 3
= 1 2+ 1
4 = 3 4, P (0 ¬ X ¬ π) = P (X ¬ π) − P (X < 0) = lim
x→π+F (x) − F (0) = 1 − 0 = 1.
Jak widzimy, informacje o wartościach funkcji PX możemy otrzymać zarówno z gęstości rozkładu ciągłego, jak i dystrybuanty zmiennej losowej X. W obu przypadkach otrzymane przez nas prawdo- podobieństwa są sobie równe.
3
