Tadeusz Sozański Uniwersytet Jagielloński

Tadeusz Sozański

Uniwersytet Jagielloński

ANALIZA STRUKTURALNA KONFLIKTU INTERESÓW W ELEMENTARNYCH SYSTEMACH SPOŁECZNYCH

W pracy tej przez „elementarny system społeczny" rozumie się dwójkę decydentów,t których łączne działanie w pewnych warunkach (każdy z nich niezależnie od drugiego może wykonać jedno z dwu możliwych posunięć) pociąga za sobą pewne skutki kwalifikowane przez każdego z osobna jako swój „sukces” ( + ) lub „porażka” (—). Zakłada się ponadto, że partnerzy oceniają nie tylko własny wynik osiągnięty w „minimalnej sytuacji społecznej”

(tak nazywa się wskazany wyżej mechanizm współdziałania aktorów w elementarnym systemie społecznym), ale mają też określone preferencje na zbiorze wszystkich możliwych łącznych wyników interakcji { + + , Η—,—I-,— } zgodne z pewnym wzorcem etycznym, wskazującym sposób uwzględniania interesu partnera. W początkowych rozdziałach pracy sporo miejsca poświęca się ogólnej teorii struktur preferencji ( rozwijanej tu .jakościowo”, bez odwoływania się do pojęcia „użyteczności"), na gruncie której możliwe jest precyzyjne zdefiniowanie „konfliktu preferencji" i scharakteryzowanie jego „ostrości". Autor, kon­

tynuując swoje wcześniejsze badania w dziedzinie kombinatoryki elementarnych form społecznych, podejmuje także problem liczby strukturalnie różnych form konfliktu.

W końcowej części artykułu przygotowane wcześniej narzędzia znajdują zastosowanie do badania konfliktu interesów w elementarnych systemach społecznych. Bardziej szczegóło­

wej analizie poddano te systemy, w których aktorzy stosują ten sam wzorzec etyczny do wartościowania wyników interakcji. Wyróżniwszy szereg takich wzorców pokazano, że są one w nierównym stopniu „konfliktogenne”. W zakończeniu naszkicowano dalsze kierunki poszukiwań teoretycznych (problematyka racjonalnego rozwiązywania konfliktu inte­

resów).

1. Pojęcie konfliktu interesów

„K onflikt” wydaje się być pojęciem stosunkowo wolnym od niejednoznacz­

ności właściwej tylu pojęciom nauk społecznych. Socjologowie i filozofowie

Tadeusz Sozański, Instytut Socjologii UJ, Grodzka 52, 31-044 Kraków; e-mail: ussozans

@cyf-kr.edu.pl.

Praca wykonana w ramach programu badawczego KBN 0870/P1/94/07.

społeczni mniej się spierają o samo znaczenie terminu niż o źródła i konsekwen­

cje konfliktów w życiu społecznym (por. Mucha 1978). Walkę (konkurencję) przeciwstawia się współpracy (kooperacji), postrzegając te zjawiska jako alter­

natywne „formy uspołecznienia”, czy nawet modele ładu społecznego. W deba­

tach tych coraz częściej nawiązuje się w sposób mniej lub bardziej „techniczny”

do matematycznej teorii gier i decyzji. Teoria ta na stałe weszła w krwiobieg współczesnej ekonomii, czego potwierdzeniem jest nagroda Nobla dla Nasha, Harsany’ego i Seltena w 1994 roku, w socjologii także zaczyna być doceniana i wykorzystywana, o czym świadczy pojawienie się orientacji zwanej rational choice theory (Coleman i Fararo 1992). W istocie, formalizacja dyskursu pomaga usunąć szereg nieporozumień, jakim jest np. utożsamianie każdego konfliktu z „grą o sumie zerowej”, podczas gdy w życiu społecznym regułą są raczej przypadki dające się opisać jako „gry o motywach mieszanych”.

W socjologii termin konflikt rozumiany jest dwojako: albo jako sytuacja społeczna, w której może wystąpić szczególny proces interakcji (sekwencja działań społecznych co najmniej dwu podmiotów indywidualnych lub zbiorowych), albo też jako sam ów proces, mogący zachodzić także w innych warunkach, a wyróżniający się tym, że przynajmniej niektóre działania aktorów mają na celu

„ukaranie” lub „obezwładnienie” partnera (por. Blalock 1987). Konflikt w pierwszym znaczeniu można nazwać konfliktem interesów lub sprzecznością interesów', zauważmy, że pojęcie „interes” nie m a tu samodzielnego znaczenia niezależnego od kontekstu, nie m a zatem potrzeby osobnego definiowania go.

Konflikt interesów może prowadzić do konfliktu społecznego czyli konflik­

towej interakcji społecznej rozgrywającej się w ramach wyjściowej sytuacji lub wykraczającej poza jej ramy, a polegającej na tym, że każdy z uczestników podejmuje działania nastawione na osiągnięcie własnego celu sprzecznego z celem partnera lub stara się przeszkodzić przeciwnikowi w realizacji jego celu, by zwiększyć własne szanse na sukces. Rozróżnienie to wprowadza się także w teorii gier. Pojęcie konfliktu interesów odnosi się tu do gry zdefiniowanej przez podanie zbioru decydentów, ich możliwych działań, zbioru wyników i sposobu ich wartościowania przez graczy, oraz reguł wskazujących kto, w jakich okolicznościach, i jakie działania może podjąć, jak również okreś­

lających wynik, jakim zakończy się każda rozgrywka (sekwencja działań).

Z kolei konfliktowa interakcja w tak określonej sytuacji to każdy z wielu możliwych przebiegów gry. Dokładniej, idzie tu o różne możliwe „partie”, jakie mogą dojść do skutku w grze rozegranej jednokrotnie; przez „proces interakcji”

można wszakże rozumieć też serię kolejnych partii w grze powtarzanej wielo­

krotnie przez tych samych partnerów. W jednym i drugim przypadku do przewidzenia przebiegu interakcji nie wystarcza sama znajomość struktury gry, tzn. charakterystycznej dla danej gry formy konfliktu interesów, mechanizmu generowania wyników (reguł opisujących „legalne” ruchy uczestników gry) oraz stopnia poinformowania graczy o wymienionych wyżej elementach sytua­

cji. Potrzebna jest do tego pewna teoria zachowania graczy, precyzująca np.

zasady (czy nawet algorytmy), jakimi gracze faktycznie kierują się (teoria opisowa) lub powinni kierować się (teoria normatywna) podejmując decyzje na poszczególnych etapach gry rozgrywanej jednokrotnie lub wielokrotnie.

W pierwszej części tej pracy przedmiotem analizy będzie sam konflikt interesów ujęty w sposób maksymalnie abstrakcyjny. Zacznijmy od banalnego w istocie stwierdzenia, że zjawisko to m a podwójny strukturalno-motywacyjny wymiar. Gdy dwaj mężczyźni pragną poślubić tę samą kobietę, konflikt interesów między nimi m a miejsce z dwu powodów. Po pierwsze dlatego, że obaj mają taki zamiar, są motywowani do działania zmieniającego status quo (każdy z nich ożenek z ową kobietę traktuje jako swój „interes”), po drugie zaś dlatego, iż tylko jeden z nich może osiągnąć swój cel, a to ze względu na regułę definiującą małżeństwo jako związek monogamiczny. Przykład ten pokazuje, że ograniczenia społeczno-kulturowe na równi z ograniczeniami fizycznym i (np.

brak miejsca w łodzi ratunkowej dla wszystkich rozbitków) stanowią struk­

turalne źródło konfliktu interesów.

Pojęcie konfliktu interesów zakłada, że mamy do czynienia z co najmniej dwoma aktorami (indywidualnymi lub zbiorowymi), którzy odmiennie (co nie musi oznaczać dokładnie odwrotnie) oceniają wyniki mogące zajść w danej sytuacji. Ocena wyników może polegać na przypisaniu każdemu liczbowej miary jego „użyteczności”. Za bardziej podstawowy (pierwotny) sposób ocenia­

nia uważa się jednak porównywanie wyników parami; zakłada się, że jednostka potrafi wyrazić swoją ocenę poprzez wskazanie, który z dwu wyników wolała­

by, gdyby miała dokonać swobodnego wyboru między nimi, z dopuszczeniem

„obojętności”, tzn. uznania obu wyników za jednakowo dobre. Ogólniej, jeśli dany jest pewien zbiór X, od decydenta oczekuje się, że w każdym niepustym podzbiprze zbioru X będzie w stanie wskazać opcję (lub opcje) najlepszą w tym podzbiorze. „Racjonalny” wybór opcji musi opierać się na pewnej „zasadzie”, która poza efektywnością (stosowalnością do jak najszerszej klasy sytuacji wyboru) musi jeszcze zapewnić „zgodność” wyborów dokonanych w obrębie różnych podzbiorów zbioru X. Jeśli ograniczyć się do sytuacji wyboru między dwiema opcjami, wyniki porównywania parami można przedstawić formalnie za pomocą relacji binarnej na zbiorze X, zwanej relacją preferencji. Postulaty racjonalności formułuje się wówczas jako pewne warunki nałożone na ową relację. Zanim je wypowiemy, odnotujmy jeszcze, że nie odwołują się one do natury opcji ani nie biorą pod uwagę tego, w jaki sposób zbiór opcji jest powiązany z sytuacją, w której opcje te stają się alternatywnymi wynikami. Tak więc możemy zapytać każdą z dwu osób „czy woli ona kawę czy herbatę”, nie precyzując bliżej sytuacji wyboru. Poznamy w ten sposób preferencje czyli upodobania obu osób. Może się zdarzyć na przykład, że pierwsza osoba woli kawę od herbaty, a druga herbatę od kawy. Taki stan rzeczy nazwiemy konfliktem preferencji.

W ogólności, gdy mamy dwie osoby A i В oraz dwie opcje x i у możliwe są trzy przypadki. Preferencje A i В mogą być: (1) identyczne, gdy A i В wolą x od у lub od г lub obaj uważają te opcje za jednakowo dobre; (2) zgodne, gdy jedna z dwu osób uważa dwie opcje za jednakowo dobre, a druga preferuje jedną z nich; (3) sprzeczne, gdy A woli x od у, а В у od x, lub A woli у od x,

а В X od y.

Konflikt preferencji wolno potraktować jako szczególny przypadek konflik­

tu przekonań, o ile wypowiedź „A woli x od y ” uznać za równoznaczną z wypowiedzią „A uważa, że x jest lepsze od y ”. Jeśli nawet preferencje same są czymś innym niż przekonania, to zwykle opierają się na pewnych przekona­

niach, z czym wiąże się także nadawanie odmiennych nazw i znaczeń jednej i tej samej opcji (np. „aborcję” określa się jako „zabójstwo istoty ludzkiej” albo

„usunięcie płodu”).

Konflikt przekonań można zdefiniować jako sytuację polegającą na tym, że jedna osoba uznaje pewne zdanie, podczas gdy druga osoba uznaje jego zaprzeczenie (sama natura przekonań to osobny ciekawy temat rozważań; patrz Marciszewski 1972). Konflikt przekonań, nie pociągając za sobą z konieczności konfliktu interesów, może jednak prowadzić do interakcji konfliktowej poprzez przekształcenie się w konflikt interesów lub bez takiego pośrednictwa. Nie­

którzy ludzie, przekonani o obiektywnej prawdziwości swojego poglądu lub uniwersalnej obowiązywalności uznawanej przez siebie normy (mają zresztą prawo do takiego punktu widzenia), bywają zarazem skłonni okazywać wrogość sceptykom lub tym, którzy uważają za jedynie słuszny pogląd przeciwny. W alka między tymi, którzy uważają, że „kawa jest lepsza od herbaty”, a tymi, którzy są przeciwnego zdania wydaje się wtedy nieuchronna.

Abstrakcyjna teoria relacji preferencji przyjmuje, że dany jest pewien zbiór alternatyw (opcji, wyników), na którym to zbiorze rozważa się relacje mające pewne założone własności i ze wględu na nie zwane relacjami preferencji.

Formalny charakter teorii zezwala na różne interpretacje dowolnej pary (bądź większej liczby) relacji preferencji: mogą to być zarówno relacje przypisane dwu różnym decydentom, jak i jednemu decydentowi posługującemu się dwoma różnymi kryteriami porównywania opcji. Formalnie rozumiany konflikt prefe­

rencji może zatem oznaczać zarówno konflikt między kryteriami zachodzący wewnątrz tej samej jednostki, jak i konflikt między jednostkami porównującymi opcje według tego samego kryterium lub różnych kryteriów. Dodajmy, że mówiąc o „jednostce” mamy tu na myśli także decydentów zbiorowych.

Zauważmy też, że podejście formalne nie czyni różnicy między konfliktem preferencji jako konfliktem przekonań a konfliktem preferencji jako konfliktem interesów. W rzeczy samej stwierdzenie, że A woli kawę od herbaty, а В na odwrót, nie przesądza jeszcze, z jaką sytuacją mamy do czynienia. Dopiero zinterpretowanie opcji tworzących zbiór X jako wykluczających się parami zdarzeń pozwala zinterpretować konflikt preferencji jako konflikt interesów.

Wyobraźmy sobie, dla przykładu, że pani domu, po zapytaniu każdego z gości, czy wolałby kawę czy herbatę, zapowie im, że może podać wszystkim kawę lub wszystkim herbatę. Konflikt preferencji przekształca się wtedy w konflikt interesów. Z przypadkiem tym mamy do czynienia także wtedy, gdy konflikt przekonań dotyczy oceny status quo jako stanu rzeczy już istniejącego (np.

legalność pewnej praktyki), nie zaś takiego, który dopiero m a nastąpić.

Konflikt interesów powstaje, gdy opcja przeciwna (zmiana prawa) zaczyna być brana pod uwagę jako alternatywa wobec status quo. Powróćmy jeszcze do przykładu z kawą i herbatą. Gdyby w domu była tylko kawa lub herbata, nie miałoby sensu pytanie co kto woli, jednakże po podaniu jedynego dostępnego napoju nie wszyscy byliby jednakowo usatysfakcjonowani ze względu na konflikt preferencji określonych z reguły na szerszym zbiorze alternatyw, obejmującym nie tylko te opcje, które są aktualnie fizycznie lub społecznie możliwe do zrealizowania. Przypadek ten nazwalibyśmy raczej nierównością losu niż konfliktem interesów, rezerwując ten ostatni termin dla sytuacji, gdy wynik (wybór opcji) jest w jakimś stopniu zależny od działań osób „zaintereso­

wanych”. Takimi właśnie sytuacjami są gry i stąd pojęcie konfliktu interesów tam przede wszystkim znajduje zastosowanie, jakkolwiek przydaje się także wtedy, gdy wyniki ważne dla jednostek powstają w sposób niezależny od ich poczynań.

Każdorazowa interpretacja konfliktu preferencji jako konfliktu interesów wymaga także wskazania kryterium identyfikacji zbioru alternatyw. Powinny to być wszystkie opcje wykluczające się parami, leżące w „obszarze wspólnego zainteresowania” grupy, wyniki „obchodzące” więcej niż jednego jej członka.

Zwykle zakłada się, że są to zdarzenia zachodzące w wyniku działań jedno­

stkowych lub zbiorowych i mające jakiś realny wpływ na położenie jednostek.

Czym jest ów wpływ, inaczej mówiąc, co chcemy powiedzieć stwierdzając, że ludzkie działanie m a skutki dotykające innych ludzi? W świecie społecznym oddziaływania m ają jednocześnie wymiar „materialny” i „moralny”, zwykle w rozmaitych proporcjach. Potraktowanie zezwolenia i zakazu palenia w po­

mieszczeniu zajmowanym przez grupę osób jako dwu rozłącznych opcji obchodzących członków tej grupy znajduje uzasadnienie w tym, że dym fizycznie oddziałuje na osoby przebywające w pobliżu palacza, jednakże to oddziaływanie musi być postrzegane jako „nieobojętne dla zdrowia”, a to oznacza odwołanie się do pewnej „wartości”. Z czysto „moralnym” od­

działywaniem mamy do czynienia, gdy ktoś czuje się „dotknięty” zachowaniem drugiej osoby także wtedy, gdy nie jest sam przedmiotem ataku, lecz jedynie świadkiem naruszenia pewnej uznanej wartości.

W ogólności nie da się uniknąć pewnej arbitralności przy definiowaniu zbioru alternatyw w sytuacjach laboratoryjnych, jak i jego rekonstruowaniu w sytuacjach realnych. Rekonstrukcja zbioru X przez zewnętrznego obser­

watora jest możliwa, jeśli wyniki są jednakowo identyfikowane przez decyden­

tów posługujących się tym samym kodem kulturowym. Subiektywne pozostają wtedy tylko preference jednostek, zaś zbiór opcji określony jest intersubiektywnie, choć „ze współczynnikiem humanistycznym”. Konflikt interesów, w podanym tu rozumieniu, zakłada zatem, że obie strony przyjmują tę samą definicję sytuacji.

W żydu społecznym bywa i tak, że strony różnią się pod tym względem i nawzajem starają się sobie narzucić swoją własną definicję sytuacji. Konfliktem w tym znaczeniu, zjawiskiem szczególnie interesującym tzw. socjologię interpretatywną, nie będziemy się dalej w tej pracy zajmować, kończąc na tym uwagi wstępne.

2. Relacje preferencji

W literaturze z dziedziny teorii gier i decyzji definiuje się różne typy relacji, rozmaicie je nazywając (patrz Fishburn 1973; Shubik 1982, Appendix A). Relację preferencji określa się na wzór relacji ostrej albo słabej większości w zbiorach liczbowych, a wybór jednego z tych dwu wariantów jako pojęcia pierwotnego pociąga za sobą przyjęcie odpowiedniej konwencji terminologicznej (preferencja w sensie „mocnym” bądź „słabym”). Najczęściej postulaty nałożone na relaqę preferencji sprowadzają się do żądania, aby relacja ta była przechodnia i spójna.

W pracy tej za podstawę przyjmiemy rozumienie preferencji jako relacji podobnej do słabej większości ( < ) , nie będziemy też żądać zawsze porównywalności wszystkich opcji.

Niech R będzie relacją binarną na zbiorze X, tzn. podzbiorem iloczynu kartezjańskiego X*X, czyli zbioru par uporządkowanych postaci (x,y), gdzie X i у są elementami zbioru X; przynależność (x,y) do R zapisuje się xRy.

Mówimy, że R jest relacją preferencji, jeśli spełnia aksjomaty zwrotności i przechodniości, tzn. dla dowolnych x ,y ,z e X

(A,) xRx;

(A2) Jeśli xRy i y R z to xR z.

Relacje spełniające jedynie warunki (Aj) i (A2) były rozważane już w klasycz­

nej pracy Arrowa (1951). Zapis jeRy można czytać „x jest nie gorsze od y ” lub

„x jest lepsze od у lub równie dobre jak y".

Konsekwentnie „strukturalistyczne” podejście (patrz Sozański 1986, 1987) przy budowie teorii formalnej wymaga jeszcze określenia stosownego pojęcia izomorfizmu dla obiektów matematycznych będących przedmiotem badania.

W naszym przypadku mamy do czynienia z obiektami postaci (X,R), gdzie struktura R jest relacją binarną w X spełniającą aksjomaty A t i A 2. Przyjąwszy, że natura zbioru opcji jest nieistotna, dwa systemy z relacją preferencji (X,R) i (X’,R ’) będziemy uważać za izomorficzne, jeśli istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie φ zbioru X na zbiór X ’ takie, że xRy wtedy i tylko wtedy, gdy

<P(*)R>00·

Jeśli R jest dowolną relacją w X, dla każdej uporządkowanej pary (x,y) elementów X zawsze jeden i tylko jeden z następujących czterech warunków jest spełniony:

(1) xR>> i j>Rx;

(2) xRj> i -i jR x ; (3) -i xRy i jR x ; (4) -i x R j i >>Rx.

Relacja I określona warunkiem (1) jest symetryczna: x ly implikuje y lx, natomiast relacja P określona warunkiem (2) jest antysymetryczna: xPy im­

plikuje )>Px. Relacja R jest sumą relacji I i P zwanych symetryczną i antysymetryczną częścią R. Przypomnijmy, że suma mnogościowa dwu relacji S i S’ na zbiorze X to relacja S u S ’ taka, że x(S u S ’)y wtedy i tylko wtedy, gdy x S j lub xS’j \

Załóżmy teraz, że R spełnia aksjomaty (Aj) i (A2). Relację I nazwiemy wówczas relacją indyferencji (xlj> można czytać „x jest równie dobre jak y ”);

łatwo wykazać, że jest to relacja równoważnościowa, tzn. jest nie tylko symetryczna, ale również zwrotna i przechodnia. Relację P nazwiemy relacją preferencji ścisłej (xPy czytamy „x jest lepsze od y ”). Warunek (3) określa relację odwrotnej preferencji ścisłej P* (xP*y można czytać „xjest gorsze o d y ”). Relacje P i P* są przechodnie. W przypadku (4) będziemy mówić, że między х а у za­

chodzi relacja nieporównywalności lub konfliktu·, jest to relacja symetryczna, którą oznaczymy symbolem C.

Pojęcia indyferencji i preferencji ścisłej można przyjąć także jako pojęcia pierwotne teorii. Struktura preferencji na X m a wtedy postać uporządkowanej

pary relacji (I,P), zaś aksjomatyka wygląda następująco:

(В,) I jest relacją równoważnościową;

(B2) P jest relacją przechodnią i antysymetryczną;

(B3) Jeśli x lx ’ i xPy, to x ’Py; jeśli y ly' i xPy, to xP y\

Przejście do układu (X,R) daje definicja „xRy wtedy i tylko wtedy, gdy xPy lub x ly ”. Dowód równoważności obu formalizaqi pojęcia preferencji nie przedstawia żadnych trudności, możemy go więc pominąć.

Na gruncie aksjomatyki B ,-B3 relację P* definiuje się jako odwrotność (konwers) relacji P (tzn. xP*y z definicji wtedy i tylko wtedy, gdy yPx). Z kolei relację С wprowadza się jako dopełnienie sumy relacji I, P i P* {dopełnienie S to relacja -S na X taka, że x(-S)y wtedy i tylko wtedy, gdy -i xSy). Tak więc dla każdej uporządkowanej pary (x,y)eX*X m a miejsce zawsze jeden i tylko jeden spośród 4 przypadków: xVy, xP'y, xly, xCy.

Jeśli relacja nieporównywalności jest pusta ( C—0) mówimy, że struktura preferencji jest zupełna lub że relacja preferencji („słabej”) R jest spójna.

W arunek spójności przy aksjomatyce A j-A 2 i B,-B3 m a odpowiednio postać:

(A3) xRj> lub >Rx (B4) x ly lub хРу lub y ? x

Warunek spójności uważa się za równie fundamentalny dla rozumienia racjonal­

nego wyboru jak warunek przechodniości. Racjonalna jednostka, postawiona w sytuacji wyboru między dwoma alternatywami x i y, powinna mianowicie zawsze umieć rozstrzygnąć, czy woli x od у czy у od x, czy też jest jej wszystko jedno, którą z tych dwu opcji wybierze. Jeśli m a miejsce ta ostatnia ewentual­

ność, można założyć, że w sytuacji realnego wyboru jednostka zaakceptuje każdą podpowiedz, a gdy brak sygnału z zewnątrz lub partnerzy, którym zależy na korzystnym dla nich wyborze, mają sprzeczne preferencje, jednostka wybierze x lub у w sposób przypadkowy (np. rzucając monetę).

Założenia spójności nie wprowadzamy do ogólnej definicji preferencji, aby dopuścić nierozstrzygalność problemu wyboru w pewnych sytuacjach; inaczej mówiąc, dopuszczamy możliwość konfliktu wewnątrz struktury. Nie mamy wszakże zamiaru osłabiać kryteriów indywidualnej racjonalności tak, by za racjonalną istotę uznawać także osła Buridana (jego problem nie polega na indyferencji między „owsem” i „sianem”, ale na niezdolności dokonania jakiegokolwiek wyboru). Chcemy tylko móc formalnie analizować konflikt między indywidualnymi strukturami preferencji jako konflikt wewnątrz struk­

tury preferencji zbiorowej skonstruowanej ze struktur jednostkowych. Nasz cel jest odmienny i mniej ambitny od podejścia Arrowa, jako że chodzi nam jedynie o diagnozę konfliktu interesów, nie zaś o próbę jego rozwiązania. Arrow zakładał, że łączna struktura preferencji określona dla grupy powinna być zupełna, jeśli struktury indywidualne są zupełne. Tym samym racjonalność zbiorowa powinna spełniać te same formalne postulaty co racjonalność in­

dywidualna. W szczególności, jeśli wszyscy członkowie grupy są w stanie dokonać wyboru między dowolnymi dwiema opcjami, również grupa jako całość powinna być do tego zdolna, przy czym oczywiście wybór grupowy zgodnie z ideologią „demokratyczną” powinien odzwierciedlać preferencje indywidualne i to w sposób podyktowany przez pewną regułę („funkcję społecznego dobrobytu”) akceptowaną przez grupę bez względu na konsekwen­

cje jej stosowania w różnych konkretnych sytuacjach konfliktu interesów.

Badania Arrowa pokazały jednak, że rozwiązanie konfliktu może się okazać niemożliwe na czysto logicznej podstawie1.

1 „Demokratyczna” reguła przypisująca grupowe uporządkowania preferencyjne układom uporządkowań indywidualnych powinna według Arrowa: (1) mieć maksymalny zakres zastosowal- ności (stosować się do dowolnej konfiguracji co najmniej dwu indywidualnych uporządkowań preferencyjnych na zbiorze X złożonym z co najmniej trzech elementów); (2) zapewniać niezależność od alternatyw nieistotnych (grupowe uporządkowanie opcji w obrębie dowolnego podzbioru zbioru X powinno zależeć wyłącznie od tego, jak członkowie grupy porządkują opcje w tym podzbiorze i nie powinny na to wpływać wyniki porównań tych opcji z innymi opcjami oraz innych opcji między sobą); (3) odzwierciedlać kierunek zmian preferencji indywidualnych (jeśli przy pewnej konfiguracji indywidualnych uporządkowań grupa woli x od y, wówczas wybór grupowy nie ulegnie zmianie,

Doceniając próby wypracowania (na gruncie teorii normatywnej) jakiejś ogólnej procedury osiągania kompromisu między sprzecznymi ocenami, pój­

dziemy w tej pracy raczej śladem Coombsa (1987), starając się tu jedynie możliwie ściśle opisać, sklasyfikować i policzyć „strukturalnie różne” formy konfliktu preferencji. W końcowych partiach artykułu zgodnie z zapowiedzią daną we wcześniejszej pracy (Sozański 1987: 175) podejmiemy analizę konfliktu interesów w elementarnych systemach otrzymanych z „minimalnych sytuacji społecznych” .

3. Konflikt preferencji

Niech Ra i RB oznaczają dwie relacje spełniające postulaty A t i A2.

D la ustalenia uwagi przyjmiemy, że są to relacje preferencji przypisane dwu różnym aktorom A i B. Punktem wyjścia dalszych rozważań będzie obserwacja, że iloczyn RAn R B także spełnia warunki A 1 i A2 (iloczyn mno­

gościowy S i S’ to relacja S n S ’ zdefiniowana za pomocą warunku „x(SnS’)y wtedy i tylko wtedy, gdy xSy i xS’y ”). Relację RAn R B nazwiemy łączną relacją preferencji aktorów A i B. D la uproszczenia notacji będziemy opuszczać symbol iloczynu mnogościowego n , pisząc RARB zamiast R An R B.

Przedstawmy teraz RA jako sumę IAu P A, a RB jako sumę IBu P B, gdzie IA i IB oznaczają relacje indyferencji, a relacje PA i PB relacje preferencji ścisłej odpowiadające RA i RB. Niech IAB, PAB będą odpowiednimi relacjami podyk­

towanymi przez R AB = RARB. Po nietrudnych, acz nieco żmudnych rachunkach, otrzymujemy następujące wzory: IAB= I AIB i Pab = ^a^bu ^aIbu ^a^b· Tak więc, dwaj aktorzy są łącznie indyferentni między dwiema opcjami x i у wtedy i tylko wtedy, gdy obaj uważają te dwie opcje za jednakowo dobre. Dwaj aktorzy łącznie ściśle preferują x nad у wtedy i tylko wtedy, gdy albo obaj ściśle preferują jc nad y, albo tylko jeden z nich ściśle preferuje x nad y, podczas gdy drugiemu jest wszystko jedno.

Relację nieporównywalności CAB odpowiadającą łącznej relacji preferencji Rab będziemy traktować jako formalny opis konfliktu między preferencjami A i B. Relacja ta wyraża się wzorem CAB = CAu C Bu P APBu P APB, gdzie CA i CB oznaczają relacje nieporównywalności podyktowane przez RA i RB. Wynika

gdy preferencje członków zmienią się jedynie w ten sposób, że dalsze osoby uznają x za lepsze od y);

(4) gwarantować nieograniczoną suwerenność grupy (ograniczenie suwerenności ma miejsce, gdy istnieją dwie opcje, z których jedna będzie zawsze uznana przez grupę za lepszą od drugiej bez względu na to, jakie są aktualne preferencje członków); (5) nie zezwalać na istnienie dyktatora (dyktatorem jest członek grupy, którego osobistą preferencję reguła każe traktować jako preferencję grupową). Postulaty te, wzięte z osobna, wydają się „rozsądne", Arrow udowodnił jednak, że są sprzeczne, a zatem nie istnieje reguła, która je wszystkie spełnia jednocześnie. Elementarny dowód tego faktu podają Luce i Raiffa (1964, rozdz. 14).

stąd, że niezdolność wyboru jednej z opcji x lub у przez przynajmniej jednego aktora (xCAy lub хС^у) przenosi się na dwuosobową grupę (xCABy).

Tym przypadkiem nie będziemy się jednak dalej zajmować, zakładając od tego miejsca, że indywidualne struktury preferencji są zawsze zupełne. Mamy wówczas CA= J04 Св= Д, skąd CAB= P AP*uPAPB. Między indywidualnymi preferencjami nie m a konfliktu, gdy CAB= 0, a to oznacza nieistnienie takiej pary opcji x i y, że jeden z aktorów uważa x za lepsze od y, a drugi у za lepsze od x.

Obliczanie RAB dla danych R A i RB w przypadku skończonego zbioru opcji ułatwia macierzowa reprezentacja relacji preferencji. Niech S będzie dowolną relaq'ą na zbiorze X = {x ,,...,x m}. Macierz o wymiarach m *m przypisana S będzie miała w polu ij jeden z czterech symboli 1, p, pł, 0 oznaczających cztery wykluczające się przypadki x lx j; хРХр xP*Xj, xC xj; gdzie I, P, P* i С są relaqam i podyktowanymi przez S. W zbiorze {Ι,ρ,ρ',Ο} wprowadzimy działanie mnożenia za pomocą następującej tabeli2.

1 P P^* 0

1 1 P P^* 0

P P P 0 0

P* P^* 0 P^* 0

0 0 0 0 0

Wartość pola ij macierzy stowarzyszonej z RAB oblicza się mnożąc wartości pól ij w macierzach stowarzyszonych z RA i R B.

D la ilustracji przeanalizujmy konflikt interesów występujący w grze zwanej dylematem więźnia, której poświęcono najwięcej uwagi w dotychczasowych badaniach teoretycznych i eksperymentalnych przyjmujących jako model inter­

akcji w diadzie „grę w postaci normalnej” (Rapoport i Chammah 1965; Axelrod 1984; o badaniach tych informuje w sposób przystępny monografia Tyszki 1978). Nazwę tej gry tłumaczy następująca interpretacja. Dwaj podejrzani A i B, przetrzymywani osobno w areszcie (bez możliwości komunikowania się) ocze­

kują na rozprawę, przy czym każdy z nich spodziewa się kary w wymiarze:

„bardzo łagodnym”, „łagodnym”, „surowym” lub „bardzo surowym”. Spo­

śród 16 możliwych łącznych wyroków sędzia rozważa tylko 4: łagodna kara dla obu (x,), bardzo łagodna kara dla A i bardzo surowa dla В (x2), bardzo surowa

2 W zbiorze {l,p,p‘,0} można określić także dodawanie za pomocą wzorów:

p + p * = p + p '= l ; a + 0 = 0 + a = a ; a + 1 = 1 + a = l , gdzie a = l,p,p',0. Wówczas zbiór ten, wyposa­

żony w taką dwudziałaniową strukturę będzie algebrą Boole’a (izomorficzną z algebrą Boole’a, jaką tworzą podzbiory zbioru dwuelementowego z działaniami dodawania i mnożenia zbiorów).

Działanie dodawania nie nadaje się jednak do wykorzystania w teorii struktur preferencji, ponieważ suma dwu relacji przechodnich nie musi być relacją przechodnią.

kara dla A i bardzo łagodna dla В (x3), surowa kara dla obu (x4). Zakładając, że obaj podejrzani troszczą się tylko o własny wymiar kary, relaqe preferencji A i В na zbiorze wyników {х1гх 2,х3,х4} można opisać za pomocą podanych po lewej stronie dwu macierzy.

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

1 1 *

P P P 1 1 P *

P P 1 1 0 0 P

2 P 1 P P 2 *

P 1 *

P *

P 2 0 1 0 0

3 *

P *

P 1 #

P 3 P P 1 P 3 0 0 1 0

4 *

P *

P P 1 4 *

P P *

P 1 4 *

P 0 0 1

Trzecia macierz opisuje konflikt między strukturami preferencji A i B.

Jak widać, preferencje dwu „więźniów” są zgodne tylko dla jednej pary wyników (x, i x 4): obaj wolą łączną łagodną karę od łącznej surowej kary.

Jak zobaczymy dalej, konflikt interesów jest tu niemal tak ostry jak w „grach ściśle antagonistycznych”, dla których macierz RAR B zawiera poza przekątną same zera. Zauważmy też, że konflikt interesów w opisanej sytuacji stanowi tylko jeden aspekt warunków interakcji społecznej (por. Burns i Meeker 1974). Drugim jest sposób generowania wyników gry, który w dylemacie więźnia polega na tym, że każdy z dwu partnerów interakcji m a do wyboru dwie opcje działania, czyli strategie: odmowę składania zeznań i przyznanie się do winy połączone ze złożeniem zeznania obciążającego partnera, przy czym wybór pierwszej strategii (zwanej strategią kooperacyjną) przez obu graczy pociąga za sobą łagodny łączny wyrok (xt), wybór drugiej strategii przez obu - surowy łączny wynik (x4) itd.

Traktując {0,p,p*,l} jako pomocniczy zbiór podstawowy, strukturę preferencji na X można określić równoważnie (w sensie równoważności gatunków struktur, patrz Sozański 1985: 118-123) jako odwzorowanie s iloczynu kartezjańskiego X * X w zbiór {0,p,p*,l} spełniające następujące aksjomaty:

(Cj) s(x,x) = l;

(C2) Jeśli s(x,j) = 0, to s(y,x) = 0;

(C3) Jeśli s(x,y)s(y,z)^0, to s(x,y)s(y,z)—s(x,z).

Nietrudno udowodnić, że relacje P i I zdefiniowane za pomocą warunków

„xPy wtedy i tylko wtedy, gdy л(х,у)=р” i „x\y wtedy i tylko wtedy, gdy s(x,y) = 1 ” spełniają aksjomaty Bj-B3. W dalszych rozważaniach będziemy operować wszystkimi trzema równoważnymi formalizacjami, w związku z czym struktura preferencji oznaczać będzie zależnie od kontekstu relację R, układ relacji (I,P) bądź funkcję s. Przy tej ostatniej formalizacji spójność struktury s określa się warunkiem:

(Сф) j(x ,y )^ 0 .

Iloczyn 5,52 dwu struktur preferencji sl i s2 na X jest funkcją, której wartość dla (x,y) oblicza się mnożąc i,(x,j>) przez s2(x,y), izomorfizm zaś to wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie φ zbioru· X na X ’ takie, że 5’(φ (χ),φ 0 ))= ί(χ,^ ).

4. Rozkład struktury preferencji na czynniki spójne

Działanie mnożenia, w które wyposażony został zbiór relacji na X, jest łączne (tzn. R ,(R 2R 3) = (R 1R 2)R 3 dla dowolnych R p R2 i R 3), co pozwala określić iloczyn tych trzech relacji i zapisać go w postaci R tR2R3. W ogólności, każdemu n-elementowemu ciągowi relacji (R lv..,Rn) można przypisać ich iloczyn R , ... Rn, przy czym nie zależy on od kolejności wyrazów ciągu, ponieważ rozważane działanie jest przemienne (tzn. R 1R2= R 2R 1). Możemy teraz scharak­

teryzować miejsce, jakie w zbiorze wszystkich struktur preferencji na X zajmują spójne struktury preferencyjne. Prawdziwe jest mianowicie następujące pierw­

sze twierdzenie o rozkładzie struktury preferencji na czynniki spójne.

Dowolna struktura preferencji na skończonym zbiorze X daje się przedstawić jako iloczyn skończonej liczby spójnych struktur preferencji.

D la dowodu załóżmy, że R jest dowolną relacją zwrotną i przechodnią na X i przypuśćmy, że relacja R nie jest spójna. Wówczas dla pewnej pary uporządkowanej (x,y), w której х ф у , mamy -.xRy i -.yRx. Określimy teraz relacje R, i R 2 za pomocą następujących wzorów: R 1 = (Ru{(x,}')})t i R 2=(R u{(y,x)})t, gdzie wskaźnik t oznacza operację rozszerzenia przechod­

niego·. dla dowolnej relacji S na X: xS*y wtedy i tylko wtedy z definicji, gdy istnieje skończony dąg xp...,xm elementów X taki, że x3 = x , xm= y i x 1Sx2,...,xn lSxn.

Relacje Rj i R 2 są zwrotne i przechodnie, a dla każdej z nich liczba przypadków nieporównywalności jest co najmniej o 1 mniejsza niż dla R. Aby zakończyć dowód, wystarczy wykazać, że R = RjR2, gdyż następnie w ten sam sposób rozłożymy na czynniki R, i R2 i postępując tak dalej po skończonej liczbie kroków (z uwagi na skończoność zbioru X) w rozkładzie otrzymamy wyłącznie relacje spójne. Ponieważ inkluzja R c: R ,R 2 jest oczywista, dla dowodu równości R = R ,R 2 musimy pokazać, że zachodzi także zawieranie RjRj cR. Niech (tijVjeRjRj. Przypuśćmy, że (m,v) ^ R . Stąd oraz z definicji R, jako rozszerzenia przechodniego R u { (x j)} i przechodniości R wynika, że mRx

i yRv. Podobnie uRy i xRv. W konsekwencji, z przechodniości R mamy mRv

wbrew wyjściowemu przypuszczeniu.

Drugie twierdzenie o rozkładzie umożliwia rozkład dowolnej struktury preferencji na jeszcze prostsze czynniki. Strukturę preferencji (I,P) na zbiorze X będziemy nazywać dychotomiczną, jeśli X daje się przedstawić w postaci sumy dwu rozłącznych podzbiorów X, i X 2 (jeden z nich może być pusty) o tej

własności, że dowolna para uporządkowana (x,y) taka, że x,y e Xj lub χ ,γ ε Χ ^ spełnia relaq'ę I, natomiast dla każdej pary uporządkowanej takiej, że x e X ,

i mamy xPy.

Dowolną spójną strukturę preferencji na skończonym zbiorze X można przedstawić jako iloczyn skończonej liczby dychotomicznych struktur preferencji.

Szkic dowodu wygląda następująco. Niech X,,..,Xr oznaczają klasy równo­

ważności ze względu na relaq'ę indyferencji I odpowiadającą zwrotnej i prze­

chodniej relacji R. Są to niepuste, parami rozłączne podzbiory X dające w sumie ten zbiór (klasa równoważności, do której należy element xeX , to zbiór (yeX:

jdj'}). Jeśli R jest relacją spójną, zbiory X,,...,Xr, zwane klasami indyfe­

rencji można ponumerować w ten sposób, że jcPy wtedy i tylko wtedy, gdy xeX , yeXj dla pewnych i j takich, że i <j. Relacja R jest iloczynem r-1 dychotomicznych struktur preferencyjnych podyktowanych przez podziały zbioru X postaci: { X ,X 2u ...u X r}, {X1u X 2,X3u ...u X r},..,{X1u ...u X r_1,Xt}.

Rozkład na czynniki spójne, o którym mowa w pierwszym twierdzeniu, nie jest wyznaczony jednoznacznie, zarówno jeśli idzie o postać czynników, jak i ich liczbę. D la przykładu, relacja maksymalnie niespójna, w której nieporównywal­

ne są każde dwa różne elementy, daje się przedstawić na wiele sposobów jako iloczyn SS*, gdzie S jest dowolną relacją zwrotną, przechodnią i spójną, mającą jednoelementowe klasy indyferencji (relacja S* odwrotna do R m a wówczas te same własności). W przykładzie tym otrzymaliśmy rozkład na dwa czynniki spójne, jednakże nie zawsze jest to możliwe, inaczej mówiąc, nie każdy konflikt preferencji daje się przedstawić jako konflikt dwu stron.

Minimalna liczba czynników spójnych, na które można rozłożyć daną relację preferencji, nazywa się wymiarem tej relacji. Pojęcie to wprowadzili Dushnik i Miller (1941), którzy udowodnili też pierwsze twierdzenie o rozkładzie przy założeniu, że rozważana relaqa jest „częściowym porządkiem”. W pracy tej przyjęliśmy nieco słabsze (w istocie pozornie słabsze) założenia zwrotności i przechodniości. Relaq'e mające te dwie własności bywają czasem nazywane ąuasi-porządkami (Kuratowski 1972: 78) lub preporządkami.

Relacja quasi-porządkująca R nazywa się częściowym porządkiem, jeśli odpowiadająca jej relacja indyferencji zachodzi tylko między identycznymi elementami (xly implikuje x = y ). Z kolei częściowy porządek, który jest relaq'ą spójną, nosi nazwę porządku (używa się też terminu „liniowy po­

rządek”).

Mając dany ąuasi-porządek R na X można określić relaq'ę R /I na zbiorze Х/ I = { Х Р...,ХГ} klas indyferencji za pomocą warunku: Xj(Rß )X i wtedy i tylko wtedy, gdy xRjy dla pewnego x e X ; i pewnego у eX r Relacja ta jest częściowym porządkiem. Przez podzielenie zbioru opcji X przez relację indyferencji można zredukować liczbę opcji, między którymi decydent m a dokonać wyboru;

redukcja oznacza, że zbiór wyników jednakowo dobrych traktuje się jako jedną opcję.

Wyniki badań matematycznych nad wymiarem i innymi parametrami relacji częściowo porządkujących zostały przedstawione w monografii Fishburna (1985, rozdz. 5). W szczególności Hiraguchi pokazał, że wymiar dowolnego częściowego porządku na zbiorze X złożonym z co najmniej 4 opcji nie przekracza im , gdzie m jest liczbą elementów zbioru X. Wynika stąd natychmiast, że każda niespójna relacja preferencji na zbiorze liczącym nie więcej niż 5 elementów daje się rozłożyć na dwa czynniki spójne. Dowodzi się też, że warunkiem wystar­

czającym dwuwymiarowości relaqi preferencji R na dowolnym skończonym zbiorze opcji jest przechodniość podyktowanej przez R relaqi nieporównywalności.

5. Miary stopnia niespójności. Reprezentacja liczbowa struktury preferencji Stopień niespójności relacji preferencji określonej na /и-elementowym zbiorze X można charakteryzować za pomocą różnych liczbowych parametrów strukturalnych systemu preferencji (wielkości przyjmujących tę samą wartość dla systemów izomorficznych). Najprostszą m iarą niespójności R jest liczba par nieuporządkowanych, między którymi zachodzi relacja nieporównywalności.

Parametr ten przyjmuje wartości w zakresie od 0 do im ( m - 1), najwyższą wartość osiągając dla systemu, w którym każde dwie różne opcje są nieporównywalne.

K ażda m iara stopnia niespójności obliczona dla iloczynu RARB pozwala scharakteryzować ilościowo rozmiary konfliktu między strukturami preferencji Ra i RB. Badanie zgodności bądź rozbieżności między dwoma uporząd­

kowaniami tego samego zbioru skończonego nie jest rzeczą nową (np. Kemeny i Snell 1962; Burns i Meeker 1974). Najlepiej znane są i od dawna stosowane tak zwane współczynniki korelacji rangowej, w tym współczynnik korelacji rang Spearmana i miary zdefiniowane przez Kendalla (patrz Lissowski 1978) oparte na porównywaniu liczby par zgodnych i niezgodnych, przy czym „niezgodność”

(nieuporządkowanej) pary {x,y} w istocie znaczy to samo, co zachodzenie między л: i у relacji konfliktu CAB podyktowanej przez RARB-

Zanim wprowadzimy naszą podstawową miarę niespójności, musimy zdefiniować kilka dalszych pojęć. Niech Y będzie niepustym podzbiorem X. Mówimy, że x jest optymalnym elementem w Y, jeśli x e Y i xRy dla każdego y e Y . W zbiorze Y może nie być opcji optymalnej; jeśli w Y istnieją takie opcje, wówczas muszą pozostawać ze sobą w relacji I (mówimy, że element optymalny jest , jedyny z dokładnością do indyferencji”). Jeśli R jest częściowym porządkiem, opcja optymalna, o ile istnieje, jest wyznaczana jednoznacznie. Jeśli R jest porządkiem, wówczas każdy skończony podzbiór X zawiera element optymalny.

Niepuste podzbiory zbioru alternatyw nazwijmy sytuacjami wyboru, te zaś, które posiadają element optymalny, rozstrzygalnymi sytuacjami wyboru. W pro­

wadzoną wyżej pierwszą miarę stopnia niespójności można określić równoważ­

nie jako liczbę nierozstrzygalnych dwuelementowych sytuacji wyboru. Inną, bardziej czułą m iarą jest liczba wszystkich nierozstrzygalnych sytuacji wyboru.

Ponieważ jednoelementowe sytuacje wyboru są zawsze rozstrzygalne, a zbioru pustego nie bierzemy pod uwagę, maksymalną wartością drugiej miary niespój­

ności jest 2m- m - l .

Sytuacja nierozstrzygalna Y może obejmować opcje, które nie muszą być brane pod uwagę w razie konieczności wybrania jednego elementu Y. Opcja może być pominięta, jeśli w Y istnieje opcja lepsza od niej. Problem zredukuje się wtedy do wyboru jednego z elementów niezdominowanych w Y. Mówimy, że x e Y jest elementem niezdominowanym w Y, jeśli nie istnieje element j>eY taki, że jPjc. Sytuacja wyboru Y jest nierozstrzygalna wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera co najmniej dwie opcje niezdominowane w Y i nieporównywalne.

Dowolne dwie opcje x i jc’ różne między sobą i niezdominowane w Y mogą pozostawać albo w relacji I albo w relacji C. Jeśli R jest częściowym porządkiem, tylko drugi przypadek (x C x’) może zachodzić. Liczba elementów niezdominowanych w Y służy wówczas jako miara stopnia nierozstrzygalności sytuaq'i wyboru Y.

Poszukiwanie elementów optymalnych ułatwia reprezentacja liczbowa struk­

tury preferencji za pomocą funkcji użyteczności. Odwzorowanie u zbioru X w zbiór liczb rzeczywistych nazywa się funkcją użyteczności reprezentującą relaq'ę R na X, jeśli warunki x ly i хРу (I i P oznaczają część symetryczną i asymetryczną relaq'i R) pociągają za sobą odpowiednio warunki u(x) = u(y) i u(x) > u(y). Zauważmy, że jeśli u, i u2 są reprezentacjami odpowiednio R, i R 2, to Uj + m2 jest reprezentacją R ,R 2. Wyżej pokazaliśmy, że dowolna struktura preferencji jest iloczynem struktur dychotomicznych. Reprezentację dychotomi- cznej struktury o dwu klasach indyferencji X, (elementy lepsze) i Xj dostaniemy kładąc u(x) = 1 dla x e X , i u(x) = 0 dla x e X 2. Tym samym dowiedliśmy istnienia reprezentacji liczbowej dla dowolnej struktury preferencji na zbiorze skoń­

czonym3.

3 Twierdzenie o istnieniu reprezentacji liczbowej dla quasi-porządku na skończonym zbiorze X można wykorzystać do dowodu warunku koniecznego i wystarczającego posiadania reprezentacji przez dowolną relację na skończonym zbiorze. Warunek ów ma postać następującą: część cykliczna R jest zawarta w części symetrycznej R (relacji I). Część cykliczna R to ogól par uporządkowanych (x,y) spełniających R, takich, że x = y lub yR'x, to zaś oznacza istnienie elementów Χ[,...,χη takich, że yRxj,...,jcnRjc. Pary uporządkowane (y,x,),...(xn,x) wraz z parą (y,x) taką, że xRy, tworzą wówczas cykl w R. Jeśli relacja R ma reprezentację u, to u(y)= u(xj) = ... = u(xn) = u(x) dla dowolnego cyklu zawierającego (x,y)eR , skąd x ly (gdyby było xPy mielibyśmy u(x)>u(y)).

Udowodniliśmy zatem konieczność podanego warunku. Dowód jego wystarczalności wygląda następująco. Niech R ’ oznacza rozszerzenie przechodnie relacji R wraz z dołączonymi parami uporządkowanymi postaci (x,x). Relacja R ’ jest zwrotna i przechodnia, ma zatem reprezentację. By dowieść, że jest to także reprezentacja R, wystarczy pokazać, że I c l ’ i P = P \ Pierwsza inkluzja jest oczywista. D la dowodu drugiej załóżmy, że xPy, czyli xRy, i -yRx. Stąd natychmiast mamy xR’y.

Musi być też - y R ’x, a stąd xP’y, gdyż inaczej para uporządkowana (x,y) leżałaby na cyklu R, skąd

D la spójnych struktur preferencji mamy ponadto jednoznaczność funkcji użyteczności z dokładnością do przekształceń zachowujących porządek w zbio­

rze liczb rzeczywistych, co oznacza, że wartość wyników mierzy się na skali porządkowej. W teorii gier i decyzji zwykle przyjmuje się jednak mocniejsze założenie o interwałowej mierzalności użyteczności4.

6. Rozszerzanie relacji preferencji

N a początku tej pracy rozważyliśmy najprostszą sytuację, w której zbiór X obejmuje tylko dwie opcje x i y, oraz założyliśmy spójność relacji R A i RB.

Wyróżniliśmy wówczas trzy możliwe warianty stosunku między indywidual­

nymi preferencjami w binarnej sytuacji wyboru: identyczność, zgodność i sprze­

czność. Opisując konflikt preferencji za pomocą relacji RAB= R ARB, decyduje­

my się nie odróżniać przypadków identyczności i zgodności, traktując je jako jeden przypadek niesprzeczności preferencji, mający miejsce także wtedy, gdy przynajmniej jeden z dwu decydentów jest indyferentny między x i y. Założenie, że obaj powinni zaakceptować wtedy wybór między x i у podyktowany przez relację RARB, nadaje się do przyjęcia jako zasada „demokratycznego” roz­

wiązywania konfliktów preferencji.

Jeśli przez „rozwiązanie” konfliktu między dwiema spójnymi indywidual­

nymi strukturami preferencji RA i RB rozumieć pewną relację preferencji R na X, to minimalnym warunkiem, jaki poza spójnością powinna spełniać ta relacja, jest bycie „rozszerzeniem” łącznej struktury preferencji RAB= R ARB. Zwykle żąda się także, aby rozszerzenie zachowywało łączną preferencję ścisłą, tzn.

хРав)' powinno pociągać za sobą xPj>, gdzie P ^ i P są relacjami preferencji ścisłej odpowiadającymi R AB i R. O rozwiązaniu R powiada się wtedy, że spełnia warunek optymalności Pareto lub warunek jednomyślności. Tak więc, jeśli

wynikałoby, że x ly wbrew założeniu, że xPy. Twierdzenie o reprezentacji jest prawdziwe także w przypadku, gdy X jest zbiorem przeliczalnym, tzn. równolicznym ze zbiorem liczb naturalnych (patrz Fishbum 1985, rozdz. 1).

4 W szczególności, w definicji dylematu więźnia zwykle zakłada się, że użyteczności przypisy­

wane przez A i В czterem możliwym wynikom spełniają nie tylko nierówności wyrażające preferencje partnerów: иА(х2)>ы А(х1)> и А(х4) > и А(х3) i ив (х3)> и в(х1)> м в(д:4)> и в (х2), ale i do­

datkowe nierówności: wA(x1)> ł-(u A(x2) + u A(x3)), κβ(χ1) > τ ( « β(χ2)-(-«β(α:3)), które nie zmieniają się po liniowym przekształceniu skal użyteczności w sposób dopuszczalny dla pomiaru inter­

wałowego. Te ostatnie nierówności implikują (por. Axelrod 1984: 10), że partnerom, o ile mają możność porozumiewania się, bardziej opłaca się uzgodnienie wyniku x x (niezdominowanego w X ze względu na relację R ARB) niż umowa o wylosowaniu z prawdopobieństwem -^jednego z dwu wyników x 2 lub x3 jednostronnie optymalnych (ponadto, z uwagi na zachodzącą wtedy nierówność иА(Х|) > ιΚ«Α(.Χ[)+ и А(х2) + иаС*з)+ иа(л4)) i ^ ą samą dla В kooperacja jest także korzystniejsza dla obu stron niż niezależny wybór jednej z dwu strategii z prawdopodobieństwem ip rze z każdego partnera).

partnerzy A i В są zgodni co do tego, że x jest lepsze od y, to taka łączna ocena powinna pozostawać w mocy także dla relacji szerszej od R ^ , rozstrzygającej konflikt w parach, w których A i В mają sprzeczne preferencje.

W ogólności, niech R i R ’ będą dwoma relacjami na X. R’ będziemy nazywać rozszerzeniem R, jeśli R c R ’ (mamy wówczas C’c C ) , zaś rozszerzeniem Paretowskim, jeśli ponadto P<=P’ (zauważmy, że nie musi być wtedy I d ’).

Każdy quasi-porządek na zbiorze skończonym X ma rozszerzenie Paretowskie będące relacją spójną.

Prosty dowód tego twierdzenia można otrzymać stosując tę samą metodę co w dowodzie pierwszego twierdzenia o rozkładzie. Skończoność zbioru opcji nie jest założeniem niezbędnym. W tej mocniejszej wersji twierdzenie o rozszerzeniu

zostało udowodnione przez Szpilrajna w 1930 roku (patrz Fishburn 1985:7).

Samo istnienie spójnego rozszerzenia Paretowskiego relacji R ^ nie zadowala teoretyków szukających rozwiązania konfliktu preferencji między RA i RB, gdyż rozszerzeń spełniających minimalne postulaty zwykle bywa wiele. Stąd bierze się potrzeba nałożenia dodatkowych ograniczeń na rozwiązanie. W teorii wyboru społecznego (Lissowski 1992) formułuje się szereg postulatów, jakie powinna spełniać sama reguła konstruowania dopuszczalnych rozwiązań kon­

fliktu preferencji, przy czym pierwszym takim postulatem będzie oczywiście maksymalny zakres jej stosowalności. Niestety teoria oferuje więcej negatyw­

nych niż pozytywnych wyników, o czym już była mowa w związku z twier­

dzeniem Arrowa. Mniej więcej dwadzieścia lat później odkryty został przez Sena (1970) kolejny paradoks zwany „paradoksem liberalizmu”. Okazało się mianowicie, że nie istnieje reguła {funkcja społecznego wyboru) F, przypisująca każdemu układowi (RA,RB) spójnych struktur preferencji A i В rozwiązanie spójne R = F ( R a,Rb), które jest rozszerzeniem Paretowskim R ^ , i mająca tę własność, że dla przynajmniej jednej pary różnych opcji {x,y} w przypadku A i przynajmniej jednej pary różnych opcji w przypadku B, elementy optymalne „społecznie” (optymalne ze względu na R) w tych dwu sytuacjach będą zawsze optymalne indywidualnie (odpowiednio ze względu na RA i RB).

O regule, która „respektuje” (przenosi na zbiorowość) preferencje indywiduów (oczywiście dla każdego indywiduum tylko w ograniczonym właściwym mu zakresie), mówi się, że jest „liberalna”. Dokładniej, dowolna funkcja społecz­

nego wyboru F wyznacza obszar suwerenności decydenta A (B), określony jako rodzina tych sytuacji wyboru, w których element optymalny ze względu na f ( r a, r B) jest także optymalny ze względu na RA (RB) dla każdego układu B), dla którego F jest określona. Liberalna reguła z definicji tym się odznacza, że obszar suwerenności każdego decydenta zawiera co najmniej jedną binarną sytuację wyboru.

Teoria wyboru społecznego zawiera też wyniki wskazujące, że przy pewnych założeniach możliwe jest rozwiązywanie konfliktów preferencji z poszanowa­

niem „praw indywidualnych”. Wyznaczenie obszaru, w którym jednostka

powinna być „suwerenem” wymaga bliższego sprecyzowania, czym są alter­

natywy „społeczne”. W szczególności, naturalne jest przedstawienie każdego wyniku x interesującego A i В w postaci (wA(x),wB(x)), gdzie wA(x) i wB(x) oznaczają odpowiednio „aspekt” wyniku x ważny dla A i „aspekt” ważny dla B.

Mówimy, że opcje x i x ’ należą do sfery osobistej A, jeśli wB(x)= wb(jc’), a do sfery osobistej B, jeśli wA(x) = wA(x’). Relacja należenia do sfery osobistej A (B) jest relacją równoważnościową, a sfery osobiste A (B) to podyktowane przez nią klasy równoważności.

Mówimy, że relacja preferencji RA jest liberalna, jeśli zachodzi xIKx ’ dla dowolnych dwu opcji л: i x ' należących do sfery osobistej В (por. Lissowski 1992:

74). „Liberalnemu” decydentowi powinno być zatem obojętne, który z dwu wyników należących do sfery osobistej jego partnera zostanie zrealizowany.

Ponadto, gdy m a on porównać dwie „społeczne” alternatywy, w każdej z nich będzie brał pod uwagę wyłącznie własny wynik. D la liberalnej relacji preferencji Ra można mianowicie wykazać, że jeśli xR Ay dla pewnych opcji x,y, to x ’R Ay ’ dla każdych dwu innych opcji x \ y ' takich, że wa(jc) = wA(x') i wA(y)=w A(y’).

Dla ilustracji wprowadzonych pojęć rozważmy jeszcze przykład. Niech X składa się z czterech opcji X j = (HA,HB), x2 = (HA,KB), x3 = (KA,HB), x4= (K A,KB), gdzie H A (HB) i K A (KB) oznaczają odpowiednio podanie herbaty i kawy dla A (B). Preferencje liberalne RA i RB wyznaczymy przy założeniu, że A osobiście woli herbatę od kawy, а В kawę od herbaty (będą to dwie struktury dychotomiczne). Są one przedstawione niżej wraz z ich iloczynem w postaci macierzowej.

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

1 1 1 P P 1 1 P^* 1 P^* 1 1 P^• P 0

2 1 1 P P 2 P 1 P 1 2 P 1 P P

3 P^* P^* 1 1 3 1 P^* 1 P^* 3 P^#

*

P 1 P^* 4 P^*

*

P 1 1 4 P 1 P 1 4 0 P P 1

Ra Rb Rab

Jak widać, łączna struktura preferencji zachowuje preferencje ścisłe partnerów w ich sferach osobistych. Ogólnie biorąc, każda funkcja społecznego wyboru F taka, że F(R A,RB) jest rozszerzeniem Paretowskim relacji R ^ musi być liberalna, o ile będziemy ją rozpatrywać na zbiorze jedynie tych par uporząd­

kowanych (Ra,Rb), w których obie relacje są liberalne. Obszar suwerenności decydenta obejmuje wtedy jego sfery osobiste (w przykładzie dla A są nimi zbiory {x,,x3} i {x2,x4}, zaś dla В zbiory {xpx2} i {x3,x4}).

Zauważmy jeszcze, że konflikt interesów przybiera w rozważanym przy­

kładzie postać raczej łagodną, gdyż tylko dwie sytuaqe wyboru, {x15x4}

i {x,,x3,x4}, są nierozstrzygalne, a przy tym druga z nich redukuje się do pierwszej (element x3 wolno skreślić jako zdominowany ze względu na R ^ ).

Ponadto, opcja x 2 („każdemu według jego upodobań”) jest optymalna w X ze względu na R ^ . Konflikt może wystąpić jedynie wtedy, gdy A i В zostaną postawieni wobec dylematu {jc,,x4} („herbata dla obu” albo „kawa dla obu”).

Świat, w którym obowiązywałby liberalny sposób wartościowania, byłby wolny od konfliktu, gdyby tego rodzaju sytuacje wyboru zostały wyeliminowane, co z kolei wymagałoby zniesienia fizycznych i społecznych ograniczeń, jakim podlega generowanie opcji społecznych i sytuaq'i wyboru.

Odnotujmy na koniec, że konflikt na zbiorze {x,,x4} może być rozwiązany na jeden z trzech sposobów: XjPx4, x4Px,, x,Ix4, gdzie I i P oznaczają relaq'e odpowiadające spójnemu Paretowskiemu rozszerzeniu R relacji R ^ . Pierwsze rozwiązanie jest korzystne tylko dla A, drugie tylko dla B. Najsprawiedliwsze wydaje się rozwiązanie trzecie, jeśli założyć, że w przypadku indyferencji zbiorowej losuje się jedną z dwu opcji, dając obu równe szanse (np. od rzutu m onetą uzależniając czy wszystkim podana zostanie kawa czy herbata). M etoda rozstrzygania konfliktu, polegająca na tym, że niespójną strukturę (I,P) rozszerza się do spójnej struktury (IuC ,P), nie zawsze jednak daje się zastoso­

wać. Jest to możliwe, gdy С jest relacją przechodnią, gdyż wówczas (IuC ,P ) spełnia warunki B[-B3. Częściowy porządek R, dla którego relaq'a С jest przechodnia nazywa się słabym porządkiem (por. Fishbum 1985, rozdz. 1).

7. Strukturalna klasyfikacja systemów preferencji

Przypadek dwuelementowego zbioru opq'i wydaje się mało ciekawy teorety­

cznie z powodu swej prostoty, wszakże jest ważny ze względu na dość częste występowanie w praktyce społecznej, a także znane od dawna zalety. Co najmniej od czasów Condorceta wiadomo, iż dodanie trzeciej opcji sprawia, że próby określenia racjonalności zbiorowej napotykają na rozmaite trudności logicznej natury. Zdają się to rozumieć narody anglosaskie, opowiadając się za utrzymaniem dwupartyjnego systemu politycznego.

Pokażmy najpierw, że dwuelementowy zbiór X = { ^ ,,x 2} można wyposażyć w relację preferencji (quasi-porządek) na 4 sposoby. Zacznijmy od relacji R, = I 1u P 1, którą określimy za pomocą warunków XjPj-x^, χ 2Ι,χ 2. Z kolei relaq'ę R 2 zdefiniujemy jako odwrotność R p czyli R2=R*. R, i R2 są jedynymi dwiema relaq'ami porządkującymi na X. Są one strukturalnie podobne;

odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne zbioru X na siebie, przeprowadzające jCj w x 2, a x 2 w jest izomorfizmem systemów (X,Rj) i (X,R2). Relacja R 3 = R 1R 2 strukturalnie różni się od R, i R2: nie jest spójna (elementy i x 2 są nieporównywalne). Relaq'e R p R 2 i R 3 mają tę własność, że w relaq'i indyferen­

cji pozostają tylko identyczne elementy. Ostatnia relacja R 4= X * X , tym się strukturalnie różni od pozostałych, że relacja indyferenq'i zachodzi tu między każdymi dwoma elementami X.

Tak więc, mając dany zbiór X ={jc,,x2}, zrekonstruowaliśmy rodzinę wszystkich systemów preferencji (X,R;) o tym samym substracie i różnych strukturach. Relacja izomorfizmu dzieli ową rodzinę, złożoną, jak pokazaliśmy wyżej, z 4 konfiguracji, na 3 klasy równoważności, czyli form y strukturalne.

Podobne postępowanie można przeprowadzić dla dowolnego zbioru skoń­

czonego X o m elementach. Przy dużej liczbie opcji byłoby to jednak dość pracochłonne zadanie, nawet przy zastosowaniu bardziej zaawansowanych metod matematycznych. Zanim zajmiemy się w miarę prostymi przypadkami m = 3 i m = 4, musimy rozważyć jeszcze jeden problem kombinatoryczny, związany z tym, że strukturalna klasyfikacja niespójnych systemów preferencji m a przede wszystkim na celu poznanie, ile strukturalnie różnych postaci może mieć konflikt preferencji. Jako formalną reprezentację konfliktu między dwie­

m a indywidualnymi relacjami preferenqi R A i RB przyjęliśmy ich iloczyn RARB- Jego formę strukturalną można zatem potraktować jako strukturalny opis konfliktu między indywidualnymi strukturami. Model ten nie odzwierciedla jednak w pełni natury powiązania między dwiema relacjami, w szczególności nie pozwala badać „symetrii” układu złożonego z dwu struktur.

W teorii wyboru społecznego zbiór n decydentów (w> 2) charakteryzuje się za pomocą n-wymiarowego profilu preferencji indywidualnych zdefiniowanego jako dowolna uporządkowana w-tka (R 1,...,Rn) relacji preferencji na tym samym zbiorze opcji X; R; oznacza tu relację przypisaną г-temu decydentowi (i= l,...,n).

Zakłada się także, że wszystkie indywidualne relacje preferenqi są zawsze spójne. W pracy tej zachowamy to założenie, ograniczając jednak rozważania do przypadku n = 2. Dwuwymiarowy profil preferencji to para uporządkowana (Ra>Rb)·

Dwuwymiarowym systemem preferencji nazwiemy układ (X,(RA,RB)) zapisy­

wany prościej w postaci (X;RA,RB). D la systemów tego typu, mających (dla uproszczenia) ten sam zbiór opcji X, zdefiniujemy teraz pojęcie izomorfizmu.

Izomorfizmem dwuwymiarowych systemów preferencji (X;RA,RB) i (X;SA,SB) będziemy nazywać uporządkowaną parę (ε,φ) taką, że: (1) ε jest permutacją zbioru decydentów {A,B}, tzn. ε = ι lub ε = π gdzie i jest identycznością (ι(Α )= Α , ι(Β) = B), zaś π transpozycją, „zamieniającą miejscami A i B”

(π(Α )=Β , π(Β )=Α ); (2) φ jest permutacją zbioru opcji X; (3) φ jest izomorfiz­

mem indywidualnych systemów preferencji (X,RH) i (X,Se(H)) dla H = A , В. Tak więc, jeśli ε = ι , wówczas φ jest izomorfizmem (X,RA) i (X,SA) i równocześnie izomorfizmem (X,RB) i (X,SB); jeśli ε = π , φ jest izomorfizmem (X,RA) i (X,SB) oraz izomorfizmem (X,RB) i (X,SA).

Mówimy, że dwuwymiarowy system preferencji (X;RA,RB) jest symetryczny, jeśli m a on przynajmniej jeden automorfizm postaci (π,φ), gdzie φ jest pewną permutacją zbioru X (automorfizm to izomorfizm dwu systemów identycznych).

Symetria jest własnością strukturalną (niezmienniczą) dwuwymiarowego systemu preferencji·, dwa systemy izomorficzne są albo oba symetryczne albo

oba niesymetryczne (dowód pomijamy). Spróbujmy wyjaśnić bliżej, na czym polega istota tej szczególnej własności strukturalnej. Analizując „dylemat więźnia”, wyczuwamy intuicyjnie, iż mamy do czynienia z symetrycznym układem, wszakże łatwo ulec złudzeniu, że symetria oznacza tu tylko identycz­

ność formy strukturalnej dwu indywidualnych systemów preferencji. Ten ostatni fakt jest jedynie konsekwencją symetrii, nietrudno zauważyć bowiem, że jeśli dwuwymiarowy system preferencji (X;RA,RB) jest symetryczny, to indywidua­

lne systemy (X,RA) i (X,RB) są izomorficzne, a więc mają tę samą formę strukturalną. Twierdzenia tego nie da się odwrócić. Symetria okazuje się być

„emergentną” własnością układu złożonego z dwu struktur składowych, chara­

kteryzującą nie same te struktury, lecz sposób ich połączenia w całość.

W istocie, identyczność formy struktur składowych jest dużo słabszą własnością. N a przykład, gdy X jest zbiorem skończonym, dowolne dwa systemy (X,R) i (X,R’) takie, że R i R ’ są relacjami porządkującymi, są izomorficzne. Nie zawsze jednak utworzony z nich dwuwymiarowy system preferencji (X;R,R’) jest symetryczny. Przypuśćmy, że system (X;R,R’) jest symetryczny, tzn. (π,φ) jest jego automorfizmem. Permutacja <p jest wówczas izomorfizmem indywidualnych systemów (X,R) i (X,R’) oraz systemów (X,R’) i (X,R), to zaś implikuje, że φ2 (złożenie tej permutacji ze sobą) jest automorfiz­

mem (X,R) (a także (X,R’)). Jeśli X jest zbiorem skończonym, a R relacją porządkującą na X, wówczas system (X,R) dopuszcza tylko jeden automorfizm, którym jest permutacja identycznościowa a stąd musi być φ2= ΐχ . Otrzymuje­

my zatem następujące twierdzenie. Dwuwymiarowy system preferencji (X;R,R’), w którym X jest zbiorem skończonym, a R i R ’ dwiema relacjami porządkującymi na X, jest symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje izomorfizm φ systemów (X,R) i (X,R’) taki, że φ2= ι χ .

W arunek konieczny i wystarczający symetrii podany w tym twierdzeniu spełniają relacje R i R ’ porządkujące na zbiorze X = {x,,a:2,x3,x4} przedstawione niżej (są to relacje występujące w „dylemacie więźnia”), nie spełniają go natomiast relacje porządkujące S i S’. Symbol > w e wszystkich przypadkach oznacza preferencję ścisłą, natomiast strzałką zaznaczono przyporządkowania χ -> φ (χ ) i χ -> ψ (χ ), będące (jedynymi) izomorfizmami (X,R) i (X,R’) oraz (X,S) i (X,s>).

R x2 > X, > x4 > x3 S X, > x4 > x2 > x3

φ I J, J, I ф I I J, J,

R ’x3 > Xj > x4 > x2 S’ x3 > Xj > Xj > x4

W związku z tym przykładem odnotujmy jeszcze rzecz następującą. Otóż R R ’ = SS’, czyli dwa strukturalnie różne profile dyktują tę samą łączną strukturę preferencji. Charakterystyka Dylematu Więźnia odwołująca się tylko do łącznej struktury zdefiniowanej jako iloczyn struktur indywidualnych nie