Ca÷ ka nieoznaczona
Niech dana b ¾edzie funkcja f (x) okre´slona na przedziale (a; b). Funkcj ¾e F (x) okre´slon ¾a na tym samym przedziale nazywamy funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f (x) je´sli
F0(x) = f (x) dla wszystkich x 2 (a; b).
Twierdzenie 1. Je´sli funkcja F (x) jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f (x), to ka·zda funkcja postaci
G (x) = F (x) + C;
gdzie C jest sta÷¾a, tak·ze jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f (x). Je´sli funkcje F (x) i G (x) s ¾a funkcja mi pierwotnymi tej samej funkcji f (x), to ró·zni ¾a si ¾e co najwy·zej o sta÷¾a.
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f (x) nazywamy ca÷k ¾a nieoz- naczon ¾afunkcji f (x) i oznaczamy symbolem
Z
f (x) dx = F (x) + C:
Z de…nicji ca÷ki i w÷asno´sci pochodnych otrzymujemy:
Twierdzenie 2. Z
f0(x) dx = f (x) + C Z
f (x) + g (x) dx = Z
f (x) dx + Z
g (x) dx Z
af (x) dx = a Z
f (x) dx
Twierdzenie 3. Ka·zda funkcja ci ¾ag÷a w pewnym przedziale jest na tym przedziale ca÷kowalna, czyli istnieje ca÷ka nieoznaczona tej funkcji.
Ca÷ ki elementarne
R 0dx = C
R x dx = +11 x +1+ C dla 6= 1 R 1
xdx = lnjxj + C R exdx = ex+ C R axdx = ln a1 ax+ C R sin xdx = cos x + C R cos xdx = sin x + C R 1
sin2xdx = ctgx + C R 1
cos2xdx = tgx + C R 1
1+x2dx = arctgx + C = arcctgx + C1 R 1
p1 x2dx = arcsin x + C = arccos x + C1 Ze wzoru na pochodn ¾a funkcji z÷o·zonej wynika:
Twierdzenie 4. (o ca÷kowaniu przez podstawienie) Je´sli funkcje g, h i h0 s ¾a ci ¾ag÷e, funkcja t = h (x) jest odwracalna, to
Z
g (h (x)) h0(x) dx = Z
g (t) dt:
Przyk÷ady:
1.
Z xdx
p1 x4 = 8<
:
x2 = t 2xdx = dt xdx = 12dt
9=
;= 1 2
Z dt
p1 t2 = 1
2arcsin t+C = 1
2arcsin x2+C
2.
Z dx x2+ 9 =
Z 1
9dx
x 3
2+ 1 =
x 3 = t
1
3dx = dt = 1 3
Z dt t2+ 1 = 1
3arctgt+C = 1
3arctgx 3+C
Uwaga: Sposób obliczania ca÷ki pozostanie taki sam, je´sli zamiast 9 po- jawi si ¾e w niej jakakolwiek liczba dodatnia a2. Wynika st ¾ad, ·ze
Z dx
x2+ a2 = 1
aarctgx a + C
Podobnie mo·zna pokaza´c, ·ze
Z dx
pa2 x2 = arcsinx a + C Warto zapami ¾eta´c, ·ze - w szczególno´sci -
Z
f (ax + b) dx = 1
aF (ax + b) + C Z f0(x)
f (x) dx = lnjf (x)j + C
Wykorzystuj ¾ac z kolei wzór na pochodn ¾a iloczynu otrzymujemy:
Twierdzenie 5. (o ca÷kowaniu przez cz ¾e´sci) Je´sli funkcje f (x) i g (x) maj ¾a w pewnym przedziale ci ¾ag÷e pochodne, to na tym przedziale prawdziwy jest wzór
Z
f (x) g0(x) dx = f (x) g (x) Z
f0(x) g (x) dx .
Przyk÷ady:
3.
Z
sin x cos xdx = f (x) = sin x g0(x) = cos x
f0(x) = cos x g (x) = sin x = sin2x Z
cos x sin xdx
a wobec tego Z
sin x cos xdx = 1
2sin2x + C 4.
Z
ln xdx = f (x) = ln x g0(x) = 1
f0(x) = x1 g (x) = x = x ln x
Z 1
xxdx = x ln x x + C 5.
Z
arctg (x) dx = f (x) = arctg (x) g0(x) = 1
f0(x) = 1+x1 2 g (x) = x = xarctg (x)
Z x
1 + x2dx =
= xarctg (x) 1
2ln 1 + x2 + C
Inne przydatne ca÷ ki
Stosuj ¾ac tak zwane pierwsze podstawienie Eulera mo·zemy obliczy´c bardzo przydatn ¾a ca÷k¾e z wyra·zenia postaci px12+k, przy za÷o·zeniu, ·ze x2 + k > 0.
Podstawiamy mianowicie p
x2+ k + x = t. Wówczas t x =p
x2+ k wi ¾ec
x2+ k = t2 2tx + x2 czyli
x = t2 k 2t a st ¾ad
px2+ k = t x = t t2 k
2t = t2+ k 2t : Korzystaj ¾ac ze wzoru na x obliczamy
dx = t2+ k 2t2 dt i ostatecznie dostajemy
Z dx
px2+ k =
Z t2+k 2t2 t2+k
2t
dt = Z dt
t = lnjtj + C = ln x +p
x2+ k + C:
Ostatni wynik pomaga przy obliczaniu wielu (niezb ¾ednych ze wzgl ¾edów praktycznych) ca÷ek. Na przyk÷ad
Z dx
p3x2 2x 1 = 1 p3
Z dx
q
x2 23x 13
= 1 p3
Z dx
q
x 13 2 49
=
= x 13 = t
dx = dt = 1 p3
Z dt
q t2 49
= 1
p3ln t + r
t2 4
9 + C =
= 1
p3ln x 1 3 +
r x2 2
3x 1 3 + C
U·zywaj ¾ac wyprowadzonego wcze´sniej wzoru, ca÷kowania przez cz ¾e´sci i kilku pomys÷owych przekszta÷ce´n mo·zna obliczy´c ca÷k¾e z wyra·zenia postaci px2+ k. Ograniczymy si ¾e tym razem do podania gotowego wzoru
Z px2 + kdx = 1 2xp
x2+ k 1
2k ln x +p
x2+ k :
Zdecydowanie ÷atwiej dowodzimy ·ze
Z dx
pa2 x2 = arcsin x jaj + C:
a u·zywaj ¾ac z kolei tego wzoru, mo·zna wykaza´c, ·ze Z pa2 x2dx = a2
2 arcsin x jaj +x
2
pa2 x2 + C:
