Ca÷ ki elementarne

Ca÷ ka nieoznaczona

Niech dana b ¾edzie funkcja f (x) okre´slona na przedziale (a; b). Funkcj ¾e F (x) okre´slon ¾a na tym samym przedziale nazywamy funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f (x) je´sli

F⁰(x) = f (x) dla wszystkich x 2 (a; b).

Twierdzenie 1. Je´sli funkcja F (x) jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f (x), to ka·zda funkcja postaci

G (x) = F (x) + C;

gdzie C jest sta÷¾a, tak·ze jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f (x). Je´sli funkcje F (x) i G (x) s ¾a funkcja mi pierwotnymi tej samej funkcji f (x), to ró·zni ¾a si ¾e co najwy·zej o sta÷¾a.

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f (x) nazywamy ca÷k ¾a nieoz- naczon ¾afunkcji f (x) i oznaczamy symbolem

Z

f (x) dx = F (x) + C:

Z de…nicji ca÷ki i w÷asno´sci pochodnych otrzymujemy:

Twierdzenie 2. Z

f⁰(x) dx = f (x) + C Z

f (x) + g (x) dx = Z

f (x) dx + Z

g (x) dx Z

af (x) dx = a Z

f (x) dx

Twierdzenie 3. Ka·zda funkcja ci ¾ag÷a w pewnym przedziale jest na tym przedziale ca÷kowalna, czyli istnieje ca÷ka nieoznaczona tej funkcji.

1

Ca÷ ki elementarne

R 0dx = C

R x dx = ₊₁¹ x ⁺¹+ C dla 6= 1 R ₁

xdx = lnjxj + C R e^xdx = e^x+ C R a^xdx = _{ln a}¹ a^x+ C R sin xdx = cos x + C R cos xdx = sin x + C R ₁

sin²xdx = ctgx + C R ₁

cos²xdx = tgx + C R ₁

1+x²dx = arctgx + C = arcctgx + C₁ R ₁

p1 x²dx = arcsin x + C = arccos x + C₁ Ze wzoru na pochodn ¾a funkcji z÷o·zonej wynika:

Twierdzenie 4. (o ca÷kowaniu przez podstawienie) Je´sli funkcje g, h i h⁰ s ¾a ci ¾ag÷e, funkcja t = h (x) jest odwracalna, to

Z

g (h (x)) h⁰(x) dx = Z

g (t) dt:

Przyk÷ady:

1.

Z xdx

p1 x⁴ = 8<

:

x² = t 2xdx = dt xdx = ¹₂dt

9=

;= 1 2

Z dt

p1 t² = 1

2arcsin t+C = 1

2arcsin x²+C

2.

Z dx x²+ 9 =

Z 1

9dx

x 3

2+ 1 =

x 3 = t

1

3dx = dt = 1 3

Z dt t²+ 1 = 1

3arctgt+C = 1

3arctgx 3+C

Uwaga: Sposób obliczania ca÷ki pozostanie taki sam, je´sli zamiast 9 po- jawi si ¾e w niej jakakolwiek liczba dodatnia a². Wynika st ¾ad, ·ze

Z dx

x²+ a² = 1

aarctgx a + C

2

Podobnie mo·zna pokaza´c, ·ze

Z dx

pa² x² = arcsinx a + C Warto zapami ¾eta´c, ·ze - w szczególno´sci -

Z

f (ax + b) dx = 1

aF (ax + b) + C Z f⁰(x)

f (x) dx = lnjf (x)j + C

Wykorzystuj ¾ac z kolei wzór na pochodn ¾a iloczynu otrzymujemy:

Twierdzenie 5. (o ca÷kowaniu przez cz ¾e´sci) Je´sli funkcje f (x) i g (x) maj ¾a w pewnym przedziale ci ¾ag÷e pochodne, to na tym przedziale prawdziwy jest wzór

Z

f (x) g⁰(x) dx = f (x) g (x) Z

f⁰(x) g (x) dx .

Przyk÷ady:

3.

Z

sin x cos xdx = f (x) = sin x g⁰(x) = cos x

f⁰(x) = cos x g (x) = sin x = sin²x Z

cos x sin xdx

a wobec tego Z

sin x cos xdx = 1

2sin²x + C 4.

Z

ln xdx = f (x) = ln x g⁰(x) = 1

f⁰(x) = _x¹ g (x) = x = x ln x

Z 1

xxdx = x ln x x + C 5.

Z

arctg (x) dx = f (x) = arctg (x) g⁰(x) = 1

f⁰(x) = _1+x¹ 2 g (x) = x = xarctg (x)

Z x

1 + x²dx =

= xarctg (x) 1

2ln 1 + x² + C

3