Pkt Zad. Pkt.

(1)

Odp, a b c

Pkt odp.

a ^li] C

Pkt

Zał1,

Pkt Zad. Pkt.

Pyt.1 T _T T ^Pyt.6 ^Ń

^N

^Zad.^L ^Zad,^§

Pyt,2 Ń Ń T ^Pyt.7 N T T

^Zad,.2

^Zad,7

Pyt.3 T, N N Pyt.8 v T T ^Zad.3

^Zad.⁸

Pvt,4 l{ f ^Ń ^Pyt.9

^t/

il il

^Zexl.4

^Zad.9

Pyt,5

_tI

N T Pyt,lS

_T _l

T ^Zad.5

^Zad,,10

Suma Surna Ocena

lmię i

nazwisko Numer indeksu

Strrrli a st acjon arrre, s;:erj alric*ść

Kolokwium z AM3 - termin I, styczeń

2O16

łxaga. Kride p3tł,nie tłmlłnięte jest purkŁcwa:re xg skłli _{{O_3prct}}_{1pkta kąłdą p6pląa.6* odparie&ź ry?qtkŃ-ąi. Kazde p}t&ni* 6tx.a,rt€ je** prrx}rtaeene w *ldi tt}-żpkt}. \#a"-,uy*iear za}źezć5łia k*}okę.irrm jext _edłrĘ-*ie_*ł.l*ajrf,łrlią }& 4B^p.kl^{w ce,sci}

teoretycanej _{zadałriazamknięte} oraz có najmniej 12 pkt w caęści otwartej. W tabeii odpowiedzi rra pytania zamh:rrięte naleź_v lł1risy*,ał3 {tylko razl} odpowiedź w tlłłne 1mlł; T.4K }ub .llIE. lnrre adpurvitxlzi }ub irh sio,óty bę<lą traktorłxre jłłko odpoN,iedź blędna- §zczegół;, prmktacji i ocon są na stronie: http:l/math-ułi_todz.pll karpiawlinde>ł,plrp?go:ArM$MaterialyPomocnicze

Pytania zarnknięte 1.

JeŚli d : ]R" X Rn ^---*

R

oznacza meł,Tykę w przestrzeni lR*, to:

ai

dla

dowłlnycł

^fr,y.,

ź

€ Rn d{r, _a}

-

^d{u,^z,\

^ś

^tł{.s,^z}.

b) dta dowolnych *:U,% € R*

d(r * u,§ *

^tl)

: d{r,ń.

c} d{r, *} możrrcl zetr}i§ilć;*.o

€Ł' ^|"# ^dla ^r

^{€ R".}

2.

I{iecŁ ||r|| oznacza ^noT§rę elerrrerrtu

r

€ ]R"ż" Wtedy:

ai llrlł :

{*,c} dla ^kaźdegc

r

€ &".

b) _{cr,

y)

:

_lcvi_{r,

_{y) dla}

dowolnych

*,u

ę

ną i

każdegc {r € ^1Ę.

ci zbiór {r

^€ ^ft*

' ^lirll ^{ ^r}

^de§nitrj*

zbićr łvyp*kły

w

R"

_{r^jestpew:ną stałą

dłdaitrią}.

3.

Nir:ch będzie

rlanafirrlkcjz f

^:

^D

^--+Rn

^(O ^c

m),]t{asłęptiące

zrliuriasąprawdziwe:

*}

l

^jestróŻąiczkory*ina w

pr*kcie a € IntD :+

n-6{/) jest różniczkoryalna

w

puakcie

a dla

pewnycii

,i:1,.

_.

_.n.

b,} Foeh*dną

pteg*

rz,ędu fttnkeji okreśtamy

jako

poehcdną

ptego

rzędtt poćhd§Bej p

- ^l-gc

rądu firłkcji /.

*} Fr*ikcja

"f jest p-krr:taie różrii*zka*"alna w puukeie

c

r+tedy

i

Ęł"łko ą.te<ly, sd1..

jej pacłlodaa

p

-

^1-szegorzędu jest okreśicna w

ptnkcie

a,

i

różniczkowalna w tyrn ^punkcie,

Dla

funkcji _f

,g, ^D ^C

^R^---+

R'następrrjące

reguły różniczkovrania są prawdziwe:

{*/)'{o)

:

c

!ta}

⁺^cf'{a)

dla

c e R.

bi

_{/+

g}tlł{*): |tń{Ą

^{+ gw}{a).}

") ^(*)'{o) : -śblffi,kŁl-'

^d1*^g(cl)

l

^0.

4.

a}

(2)

5. Niech

t

^:

^U ^C

^]R"^---+^lRbędzie funkcją różniczko*-alną vr, punkcie *

€

IntLI. Wtedy:

a} dla do*tolnegCI wektora u

€

iR.* i dołvolnego wektora

r

€ Re rlramy z;ńeżnelść:

f'{o}.6 :

_{u.r}, b) jeśti

f'{o} :0,

to funkcja

/

^rnaw punkcie a ekstremurrr toklane.

ci;-"f{oi: Vfioi,t*-or,ll-az'}jest

rórvnaniem

płaszczyzły

stveznej w punkcie

a:

_{ay,a2)

do wykresri

iuiikcji /

^d},a

n:2.

6.

Nasiępujące twierdzenia dotyczące gradientu fi:nkcji w punkcie tr € ^]R|'są prarvdziwe:

a)

V(Jg}ia) :

V_f{*) ^,

Vsi{r) {f ⁱ s

sąróżniczkr;rą,al:rt ę, g).

bi v

(*}

(o): tr@rrjffd@ _{f _i _s

sąróżniczlrowalrre w

ai g{a}{a,)

c)

V(g

^*

/Xn} :

g'{a}V

!t"} tf ⁱ

g są różniczk*ą"al*e w *. syrrrbol

a

ożnacza złożęnie funkcji).

7. Niech D C

^R*będzie zbiorem otwartym. Załóżmy, że

f

^:

^D

^---+^R^jestróżniczkowalna.

a} Jeśti

f'{r} :

fi dla kaźdeg6

r €

^_D.

to /

^jest

^fu*eją

^st*łą,

tl)

Jeś}i

/

jest firnkcią

st*ią

na zT.l\orze

D,

Lo "f'(*)

:

0 dla kzrżr}ego

r e D.

ci

Jeśii dia ka,zC*gtł ź

:

1,. ^.. _,?żfunkcja

ff jesi ciągła

_it-tap*clr. cząptko-*a}, to

f

^jest^kla,*y

Cl.

8. Które

z poniższyc}r warunków są konieczne

dla

dwukrotnej różniczkoxralności funkcji

f

^:

^{D cR"}

^--+^{R w}^prrnkeie^rł,^€

^}nt$:

a) Funkcja

J

posiada wszystkie pochodne cząrtkorve drrrgiego rzędu w punkcie a ciągie

t,

^pe\Ń,-

nyrr

otercze*itt puriktu *.

b) Funkcja

f

^jest

różłiczkowalila

w pewny}n rrtł;czerrił purłlrtu a.

ł;) Zł,ł}i*,rizi t+za tą,ierdxelria §chrvąxza w ^prrakł:ie^l:.

9. Firnkcja f ^, ^D ^--ł ^]R' ^{(D C} ^R)

dwrrkrotnie różniczkowalna

w

^prrrrkcie

a € D ^ma w

tym punkcie ekstrerrurrr lokalne łvłaścirve, jeśli:

a) druga różniczka # f (")

jest

formą kwadratową dodatnią.

b) drug5a róz*iezka

d,'lt")

ma nieokreśiorr3l znak.

c) druga różniczka # f t"}

je;t

formą kwadratową nieujemną.

10,Odwzcrowa;rief:.D--R,gdzieDCR',jestróżniczkorł.alnewprrnkciec,€Intł.

§;l*żła

ta

zapisać

v

*a.:tępująey sp*sób:

a)

lstnieje

odwzorowanie linia*,e

7

: R*

* R*, tz.

iimh*g

li.-łH{rL!Ł :

0.

t-,)Istniejeodurzororł.anielirrioweT:]Rn--+iR,tż.!{a+ń) :"f(o) +Th+r(h),gdzieti -O

przy

h ^---,S.

c)

Każda

ze współrzędnlrch

fr,.. ., /*

^jestróżnićzkowa].na w punkcie a.

Pytania otrłrarte

Zad, t.

Narysuj zbi.ór pu,nktów płaszezgzng spełn,i*jqcy warłmki,: |r|+

lyl

^<¹^.i^{*Ż < g.}

jego brzeg (zapi,sz us form,ie

zbi,oru). r

Wyznaez

\

\\

i xin{* ĘłrD=

1r,r>O: ^lxlłlyl=4 n xz.*<3J u

/ ^v {(r,9).ła' ^{'. lxl1} l,sl<Ą

^ x.=;l

(3)

Zad. ż.

Obłźcz granźcę {o iłe ist*iejeJ lixr1,,ui-it,o; l{'s, ^y},^gdzi,e

l{",v}: 4P§- _,

Od.porłłiedź uzasad,n,i,i.

fi^" .

^_

^f(r,9)=0 ^lbo ^C WadeĄŁ ag.nła^}o",ie )

(r,9P(0,o_)'_ 0*lffil ^lx ^x (x-Oll'afąyl (x-oll.łfąyl l fl nl.t \l_, .( .(tjll-hliP"-t

^_l

^§tt ur'Hr"-rł"r"t=

I

x'tlł1

Zad. S. Wgznałz

TŁ*nnę gł*chodzzej

fankłji /{*) : 9§Ę1,6,ry}.

^a:^pankci,*^s$

:

^1,

.fl(r)= ,fu),,ń= h ^jr- {,,(,)Tił-] ^Ę'xŻO

Zad,-

4.

Zbadaj,

łzy

i,stn{,eje p*tłł.*&rł* rzqstkłłw*,

ffi$,

*} fu,nkcji. /{*,

gi : _1y'F:ł-F,

''ffi -łr6Btib*l-uo,o,

=(|,t^ec,"trm. =h"ł w_ ^:

fło T t>o Ł _ł§o

-

ę-U^Ą E=U,"t E=f1,* ^FF=!.''q.

Łżo ? ₍

il, ^- F *il-; _fiil _:':'r,oo

^|

^ą ^Ja}uĄ

4d" ^3!ro,o) _",l cffi. Ś _Ę

łe4'c dto. tzo

r.*\ ^Zad. ^5"

Wyzn*,eł ękstrema łokalnę funkcji, f

{x,y,z) :

9

-

^!I:2

^{* a'} -Ź ^* ^4r.

'n'q*a,rt ouę$out Urw.k0'ttĄ)

_{_}

", ^o ^o.1 ^l**a1ł r,ra . l ^lrt) ^Ęr,9rr)=

[ł'tr,,1,t)' -&)rĘ]"., (r,ylł}(ł,o,o). e=kói! ] YrffiW ^|

⁼

^i-(x-rlł-

^1z,zfu^+tt=

1tll ^; t ^:?:,: ''

v' i|,^cuły-z ljo,=*.o ęltppyg-uio=,)

⁼

Ąb-Lka\l'1rt+l Lf| c'"ł,)'-^*

i:* ¹ ;lł ^ł:;: xr:;z,

^"

-'''-',,);ń,WĄĄry

tJozr, v.rrĄ,Jłał.r,

łJ9c,q,,1-f{*(r,j,ł;-ffil,r)lo t;,;,il,fi 1WW1W,

Zad. 6.

^\Iryznacz^gradientf,un,A:rji f

tr,y,

^r}

-- ,/łl"i"

^il.,^punkci,e^(1.^{0. i}).}

Vę(r,ol0), 1${(ł,o,o;, ffi(r,o,o), ffi6,,0,o)_J L-- _- xŁ(5ttr'u) H,1n,)-- ł(goond ⁿ

^?ll

^{(1+w^ł)-} ą

ff(ł,oro), lą(ołń.ląa@ło)-|-0

tor),lriJ'ili., _.{f;o*'o'

( **), uix uJ'

Ętr,l,), xt'(lrrlhz) W. h

ff ^rr,,{tł)* tnUYń"ĄUłdtł)

^,

= t frłqą) lv,,łx l

_

łalelń 0 ś lttr,oir'§r_9,o,ol

v. *.1.

?|"'^rl .;fi, oO

) rhr ^. ^ł.* ^("*

łHx.lłx

St,o,o) ⁼ 4'u@óyĄ,T*= o

$rL,olo)-- iŁ(oła\, łotmo,łu4 ^=C oftd,o1o)= L0,o,o]

t-'

(4)

Zad. 7t

Wyzrłercz

(a

źte źstnieje}

wań*ść najnłniejszq i

n*jwźększq

funkcji

f

t*,y) : ffi, ał"

{", g)

e Ń

ł _u

{ ^B.

Od,ptłwiedź uzasałlrłij.

d§rrrrn*Ą tic Ęr,g)e[t" [&,n\Żro ^l |0p ł,,1l/o

^,

1vąam ^Vrno ł'łh ił^§Ą.[@,1)-o ,ń, _ĄMrl*s ^{ula^łpłą} ^W0

^-

rrl.ttlrg de' pat qvołlł,ha _n,d*ł

_,

Oo T ,

.t}$ . \' Ę', * _|frłg|^ _{illŁ a+Ąe} ^urfu}gclć

,

Ądv!",§tĄ q (r,,I"iĆ

(ii9){"o,,t) ,tl ^| - - 0 ^,

Zad. 8.

Wyznacz

d'l

_t0,0)(ńr,h2) d.lrl

funkcji

f

t*,u):

^§i1}(3jŻ⁺^y2)

4r,ft0

:oxl,ł,l: (ł|"fr ^{* r:} _ą)'{1o,o) ⁼ ^l,,,r ł:rl- !:,r,H5rao:frą

.|f'rr> ^Ąxroo(itz tlt) '

ffi,", ⁾⁼ łr,,iułttq)tź,r źxcr)d"t],n)

, ffi,to,o\: ^a ^no

⁼

i

firr,,), Ącor^rq') fficr9\=l"baCrt,1') tĄ ąCr)t,,(rt"f) ffi ^ro,o ^)=Ął9 ⁼⁷

ffir,-*)" ^-&r

>i,vr(rr

rń,) ffico,ol'o -) d$0,o)(h,lĄ' łhn't ^th,t.

Zad. 9.

S|lrawd,ź, czy pochadłłq odwzorowania

!{r,§} : r' + y'

w

punkcie (1,1)

jes* farvna ł,in,ioua

f(e) :

Zfu + 2h2 d,ća łł

: _{ht,ń2i _e

nŹ.

T^{,bO.ryrarudrrti ll ,,Fy,, łCaaT,r)+ch,,h))-fflll\- ł(h\ _=O _, _Jl,ra2

[iĄ -'r,r,,,trr--:(!l,ffi _{Lll_.} ltth,thł+ĄłW\L-zą\rLhl,_

(l"i)rto,o F _r _tlć _,. ^=G;ń "(@;,i§-rp

=(1i,Tłąo,ofĘ --" _qąd

ł{r,)=Lhtl2ha |vlł

Prlrą ^f(r,1)- ^r, ^r,4'" ^w ^yu!ńviJ,) ^.

bwuĄlail,: uotguĄ W ^tĄSr

.[r,9}rł1: xdqr=t} 'dI" _*=o _1łv

1Tfl";ffi

Zad. 10.

Zbadaj,

czy

zbi,ór pu,nktóu; postaci,

{{*,a,a) e

^m3

:

¹²+

u' : _4}

jest 1lozźom,źcq wykresu funkcji, f

{r,y) :

arcte{a

- *'- ^a').

^Jeśłź

^{łak, to} narysuj tę

p*z,iarłli.cę. Jeśli, *,ie, to uzasad,nij, dłaczego to ni,e .jest pozźomźca.

ięłł,r,gkw

^I

'3=.[1,1)

_.

,Iolc^Ą Ąfu _|urł prfu,Ę {ł.,lł|t'

h{rołĄ +" _prJałćca

r

bo

ŁiD)

⁼

^o,'nŁg ⁽

^tł

^- !tS) )

t(r,ll+)€ ^frź " flłyuł3

=Ą ^0*o

(5)

Odp" a LU c

Pkt

Odp. a b e

Pkt

Zad-

Pkt

Zad.

Fkt,

Pyt.1

,N N N ^Pyt.6 T r

^f\l

^Zad.1

^Zad..6

Pyt.2 ,r _T

N ^Pyt.7 T f

^t\

^Zad.2 ^Zad.7

P;,t.3

N N T

^PyŁ.8

^T ^Ń ^N ^Zad.3

^Zad.⁸

Pyt.4 f ^T ^N ^Pyt.9 ^M

^l\

^N ^Zń.4 ^Zad.9

F}.Ł.5

T N fi

^_t'vt.

^iU

^|t/

^Ń

^ća(l.

^J

^{Zad* L0}

Suma Suma Ocerra

Imię

i nazwisko

Numer indeksu

Stłrrlia siac..ir_lnarrre, specjalrr*ść

Kolokwium z AM3 - termin r, styczeń 3016

Uwaga- Kłżde pl*aie mknięte jst pun}ćtwme w skali (}3pkt) (lpkt a kłżĄ pcpramą odpotiedź czą,stkmą}. Kaźde pytani* otwa.t€ jest prłnkt*wanę *, skali {&Zpkt}. tr&'*rrrnkienr zą}iczę*ia koiokwirrm jest zdctr3.cie co xajmniejŹS plłt

ąl

w części

teoretyczłrej (zadarria zamknięte) oraz có najmnĘ 12 pkt .lv częici otwańej. W tabeli odpovriedzi na pytarria zamknięte naleźy wpisywar- (tytko raa!) odpcwiedź łr darre p<;lc ?Al( }ub .nilE, Inne odpouriedzi łub icłl skr,óty bgtą traktovrane jako _odpr:wie*ź lrlędla. Sreególy pułktarji i clcen są na stłonię; htłp:flmath.tmi.todz.pil tłarpinw/inde*l.php?go:AM3MaterialyPomocnicze

Pytania zamknięte 1.

Jeś}i d :

R' x

]Rn ^--+R, oznacza metrykę w przestrzeni

R',

to:

a} d}a. dclłłolaych §,a,

z

€

R"

d{r.

ń -

^d"{u,^z}

^} ^d{r,z).

b)

dla

dowolnych §,!};u € ^R.*

d(r

+

u,y

+ u)

ś

^d(*,u}

*

^{d(*, u).}

c)

d(r,0)

można zapisa,ć jakc,

EŁr

|16|2

dla s

€ ^]R?x,

2. Niech

_||r|ioznacza normę elementu

r

€ ^]R*.Wtedy:

*}

ll"ll' : _|r,r}

dla każdego

r

€ ^]Ra.

b) (or,y) :

0

(c,y)

dla dowolnych fr,U

€Rn i

kaźdego

a

< 0.

c)

zlliór {z

^€ ^R*

, _łl"ll _} r}

defiaiuje

zbiór wypukły

w-

K*

_{r^jestpewną stałą rlodatnią).

3.

Niech irędzie darra funkcja

f

^:

^D

^--+^]R'

{D c n).

Następrriące zdarria są prawdziwe:

a) J

^jestróżniczkawa"lna rv punkcie

* € IntD + _ą(/) ^jest

różniczkoą,aina

w

punkcie

a

dła pewnvclr

,i:1,.

_._.n.

b} Pochodną

iFt€go rzędł

§unkcji określamy ^jai<opoe}rodną p

-

^1-g,o

rzędu pockdaiiej pt€o

rzędu

funkcji /.

c)

F'unkcja

/

^jest

^pkrotnie

różniczkoę-alna w punkcie

a

wtedy

i tylko

wtedy,

sdy jej

^po(lhodna

P-

^1-szego^rzędu^jestokre.ślona-w pewnym otoczeniu punktrr a i różrriczkowalna w tym ^prrrrkcie.

4. Dla funkcji

_f

,g, ^D ^C

^R"^--+R* następujące reguł_r. różniczkawania są prawdziwe:

a) (c/)'(a) : cf'(a) dla

c € ^]R".

b) (/ -

^n;tr:{a)

: _/b)(a) _- _,{ń{Ą.

") ^(})'(o) : fu

^ora

^s@) ^*

^0.

(6)

5.

Niech

f

^:

^{U C}

^]R*^---+^R.będzie funkcją różniczkowalną w punkcie

a ęIntU.

Wtedy:

a)

istnieje dokładnie jeden wektor i,,

€

^IR",^że

dla

elowolnego wekił;ra tr

€

^Rfr^}I}arnyzależłtlść:

f'(a).u-

{u,zl).

b)

jeśli f'to) :0,

to funkcja

J

ma w punkcie a minimum ioklane.

ł}

^z

- ^/(") : _V/('ł), (r -

^&tl,a

-a2)

jest równaniem prostej stycznej w punkcie e

:

(*r,

ą)

^do

wykresu

funkcii .f

^dLa

n:2,

6.

Na-stępujące twiclrdzenia dotyczące grarlielltrr

funĘi

w punkcie a € ]R' są prarvrizi*-e:

a)

V(/gXa) : V/i"},g(a)

+ f

t"),Vs{") tl ^{i s}

są rózniczkołl,aJne w a).

b) V () (o): U@łą@@ ll ⁱ ^s

^sąróżniczkowaine w &

i

g{a)

t'0.)

ci V(g

^o

_/){a) :

_s'{a}V

_f{o}

("f

i

g są różniczkorł,a]ne rą, a, symbol o oz&aez& złozerrie ftinkcji).

7. Niech

D C

R* będzie zbiorem otrvartym. Załóżmy, że

l

^:

^D

^--+^R^jestróżniczkowalna.

a)

Jeśli f't*) :0

dla każdego

r € D, t* /

jest firnkcją sta}ą, o

ile D

^jestspójny.

b)

Jeśli

/

jest iunkcją stałą rra zbiorue

D, to f'tr):0

^dla^każdego

^r ^{€ D.}

c) Jeśli dla pewnego,j

:

1, .. . }n funkcja

fi

jest ciągła (t-ta pacŁ. czą5tkowa), ta

/

^jest^klasy^C1.

8. Które z

pońższych łł,arunków są łrrystarczające

dla

clwukrotnej różniczkowalności funkcji

f

^:

^D

^cIRn^--+R w punkcie

a €IntJ:

a)

Funkcja /

posiada wszystkie pochodne czą,stkowe drugiego rzędu rv punkcie a. ciągłe w pewnym otoczeniu

punktu

a.

b) Funkcja

/

^je.stróżnżukowalna w pewnym otoczeniu

punktu

o.

c)

Zachodzi teza twierdzenia Schł,arza łv punkcie a.

9. Funkcja l, ^D

--+ ]R"'

tD C ^R) dwukrotnie

różniczkowalna

w punkcie & ę D ma w

tym punkcie maksimum lokalne własciwe, jeśii:

a) druga różniczka d3f (") jest forrrrą kwatlratową rriedo<latrrią.

b)

druga różniczka

d'f

{") ma nieokreślony ^znak.

c) druga różniczka

* l("}

jest formą kvradratolFłą ujemną.

1O. Odwzororłlanie

f ^, ^D

^--+

^R*,

^gdzie

^D ^C

^R*,

^jest dwukrotnie

różniczkoę,aine

w

punkcie a

€ IntD.

Można

to

zapisać w następujący sposób:

a) Istnieje cdwzorowalrie

liniołę 7

: R* ^---+]R-,

tż.

limh*g

lkalaĘi9LlŁ :

0,

b) Istnieje odwzorowanie liniow,e

T:R.'---+R*,

t,ź, f {a+ń,)

: /(o)+ Th+r{h},

^g&zie

ii

0

przy

ł. ---+ {}.

c)

Kazda

ze współrzędnych

h,.

^.

,, /*

jest drvukrotnie różniczkowalna rv punkcie a.

pytania _otłrrarte

Zad".

L. Narysuj

zbi,ór punktów płaszczyzng spełniajqcy

warunki:,l"l + lyl > ¹ ^? -t2 ś

U,

\'

(7)

Zad. 2.

Obticz granicę _{oile i,stniqe)Limi*"yt*(0,0).f(r, y}, gd,zźe f

{*,il: Ęąffu ^.

Od,powżed,ź

\

^.lżG

surlrtij. cyo,łto- +o fiiŁ ^rlł.iłłit . |Ąnovnfuicąie

l

ń W::Y y',"12*' ^t_ -Fffi ^)ąT1 ^Q ^tĄ

^{^}

o_I: y4-_r-, _ł(b") =,^(ń-ó<m% =@_=&n r u.łrą)+#g,jj.br) lil-|oF- -' ł,

^,

^lru

Zad. 3.

IĘyznacz normę'

u"rm;ij'ill;ffi{fi ^'J 1*** u-ń/, *', łr"i)'

^-(.ąź-^r,

iirr

^*o

: 1.T' łj{r) --

ftrr,t* ⁼ frrr,t"x ^-ł,[i1 "tr,

,Ę: ^xzO.

ł",t,'-e,ń-)'"t,ł''),=e^x.łl'l)l',!aLurlllrLło*ł,tx+,źL

ll|(a)ll.

fr ({.' (

D, {,Tł) ildt.t

^l)

)t

^t

("'r.j] ⁼

=,fiĘ.a=-L

f-T

Zad. 4.

Zbad,aj.

czy

^źstni,ejepochadna czqstkowa # ^(O,^O)funkcji,

l

{",

* : łF:T.

{wrWii)

Fcolri =ń ofłodt+e)t'tąo)

= [* ^ł(Olt)

₌_L&n

t*o ^lryfl-0 -=

oB *żo b 9,7 o

tżo ^L

łnilm,l"1 ,'J;|_iŃoL^ł)tłW ^dlil, ^łc-0

^,

b V**o*\<'

pri"d*" Ę ^ywvodb,ly,

t

PPąolq'P ry ^Y ryV'n'lh,*,, fq Ńń-rł\ ^!,o ⁽ -te,^,ertr,rtlŁ) a^rńu.

0ł,

Ę'*,o,ł)= ^lu1

S ^Cr.91 ^v) ⁼ ^c.ąehr,r ^$[,,o,o)=

fu

Ą-o

t ^r|,0ro\

⁼^c,Oc@-tłr

^Ą= ^o

V{t,o1o) _" _t-o ,o,o]

(8)

Zad.7. Wyznacz (o ite

istnieje)

wartość najmniejszq,i

najwźększq

funkcjł ftr,ń : _ffi aU (*,y) ęm' i

^g

l ^a,

O*p*w.ied,ź uz*s*drłij.

Xuulał"utr,źc |b*j) z7O fu_ &9\il ^t _5+o

₁

e0 *n _lgI ^olbo

^)<ęP

^,3*a

^.

.

Zad. 8.

Wyznacz

d'f

(0,0)(ń,, h2) d,la

funkcji

f

(*,ń:

^cos(rrz

l-.,ł/2)

_ n

ff-,:'ląf _fi ^-ffi']fr ],-,1'#4:*fi

:,#;;r,,,:#,:!,o

(ox,

frcog). -Ęłł,n(rt ttr,)

H-,1 =r&li, ^*ł ^- 4Ą%ur"1 b ^ro,

⁰⁾

^*&.o

^>

^_o

⁼

⁰

ffii*,y), ź.xĄtos,(^'"ł') ^o\_'

U t ^dąfto,oX h,5)=a ^H*'0'Ń) 4

Zad. 9.

Sprawdź, czy 1lochodnq odwzorawania f

{r,y) _

12 +

3a'

w punkci,e

{I,t)

^jestforzna

%^p.Ńo Ę $+o ^{co,5)- ⁰ :zde"u 9 _ts* Ą;ą;tłąun*do! Ę"

Jłr§rnfurĄrc ńvl^rlw, " ^frĄ'n ^40, ^,łoluiŁ ,^hTe"t,,14lĄt>Jń

^f

^,

{i

^[,{,ur,

9)-r.aĄ ^'9l

1Ł =@ _1eric,* Wantł ęńur*vfu,dć Ąqą

=§, 7,w

-- fi-,|;łro,o) Iiw ,t+thfthłłlr6hłbułĄ-zh,źhz 6b,ąo1ftffi, Iłu Jrg+ { lbo

rffi:W

Zatl.

LO. Zbarlaj,

czy

zbźór punktów 7lo,stac,i

{{*,a,z)

^e^m3

,

,r,2

+yr:4)

^je-stpoziom?,cq ua- kresu funkcjź f t*, g}

:

ln{5

-

¹²

-

^y2}^{. Jeślź}^{tak, to}

^narysĘ

tę pozi,omźcę. Jeśłi, nźe,

to

uzasad,nij,

(U,,tr;o,9,9 d^n

dłaczego to nie jest pozźomżca,

|G,j,t)efi,. (ttf.{łt _ir' @

_t

bwv,,^}UĄ,, QofumĘ lg,ŃĄ _ńtlł-

Nafgl=(ł _dto- .=dt _b} _'rr;rr

P=\G,'foW} ^,,

_Fz

_*j?=ql

_.,

_Ło

*o,r?ĄĄ lłOe

,nłU ał _wb*en

{,,łry' ł=Ęr,5\|

I

,t

I

?Ale" vw _zb,

D

W Fgł:tĄĄżuit

rr,ĘĘr

ywłńó,r *ĆW

fto), [ĄG- _tJTs)) ₌ _tĄ(5Ą= _!uĄ:o

t ń'-' Ąuw*ekt o,4

Y ^1 Nąl _\x?t,11=ł

(9)

odp-

& b ^t: Pt-f, Orllr* *F- a t} * ^T}l-+t Kt. Zad.

Pkt

ZarI.

Pkt.

PyŁ.1

T T ^N ^Pyt,6 T N

^I ^Ze{t.¹ ^Zad.⁶

Pyt.2 Il

^N

l, ^Pyt,7 { f ^Ń ^Zad.2 ^Zad.7

Pyt.3 { T

^l\J

^Pyt.8 t r ^N ^Zad.3

^Zad.⁸

Pyt.4

',r

Ń

Nl

Pyt.9

_M _l\J

T ^Zad.4 ^Zad.9

Pyt.5 Ń T _Ń

^P}*.1S

M

^N

I ^Za&.5 ^Zad.

¹⁰

Stłma Sułna Ocena

Imię

i rrazwisko

Nrrmer indeksu

Stugli ar stał:.j*rrarrre, spedalnaśł!

Kolokwirrgr z AM3 _- *ermin I, styczeń

2O16

Uwaga. Xaźde pytmie zamknięte jst purrktowme * sŁ:rłi {gSpk.) {1pki a kaź.dą poprmą odpmiedź c"l=rigmą}_ Kłźde p3"tanie otwsJt€ jest pu_nirtax,aae s. skali i&2pfot)_ }1'arułkiem zaliczeaia koiokwitm jest zdohy-cie *- .^r**"' Spkt ^w^czSci

tetretycznej (za,da:!ia zamknięte} olaz cc najarłlej 12 pkt w cz$ci c,i*,-a:tej. §' txłreli odpgsiedżi fi* ąvta§ie zamknięte ^naleay

*pisy*'ał- _{t3'1koraz!) ołlpołviedź w tlałre pote ?3K lutl .ąii,Ę. lrrne odpowiedzi lub idr skrótv bglą trakio.warre jako odpol,iedź

§ęlxx §zczegóĘ ptxki;rĘi i *cen są n* strołie: http:llmath-ini.iodz.pi,/ k*rpfuw/inder,php?go=AM3§{at*ialyPomocniee

Pytanią zamknięte

1. N*stępują{}€ tą.ierdzenia dotycuące gradierrtu frrnkcji §. pu§kcie łl

€

^R?xsą prawdzi*-e:

-} V _i*)

_{oi

: Ę@$#re _(/ _i

g są różniezko*,aJae w ^{7,

i

_9(a)

l0,)

bi V{Jg)ta} : VJ(a) ^,g{ai

_{+ -f{*)}

,Vg{") _{{J i}

g są różl:ic:zko*,aine w a.).

c)

V(g

" "fXa}

: g'(a}VJ{o) t/ ⁱ

^gsą różniczkowaJne w {ł_. §ymbol ^oozna,{:za złoźe.nie frrnkcji),

2. Które

z poniższych warunkó§r $ą §iy§tarczające

dla dęukrotnej

różniczkowalności funkcji

J

^:

ł C R' ^*ł R

w puakcie rr

€ Intł:

ai

Funkcja

J

^jestróżnitzko*-alna w pe.wliym otoezerriu

punktu

a- b} Za.ch*dzi teza tę,ierdzeaia Sch*-arza *. punkcie a.

c) Fu*kcja

J

posia<la *,szystkie pochodne czę5tkowe drugiega rzędu w punk*ie a ciągłe ęr pćw- nym otoczeniu prłnktu a,

3.

Niech

D C

R.' będzie zbiorem ot*-art3,m" Załóżmy. że

l

^:

^D

^{--+ R.}^jestróżniczkovralna.

a} Jeś§

f'L*} :0

dla kazdego

r € ł, ^to

_"fjest funkcją stałą, o

iie lJ

^jestspójny.

b) JeśIi

f

jest funkcją stałą na zbiorze

il,

to

f(") :

0 dla każdego

r €

^.D.

c}

JŚiidlapxłnegr:d:1, ... ,?l,funkcja#

^jestcią6ła{a-tapcc}r. łaąptkorł,a),

to/ jestklasyC1.

4. Funkcja ! ^, ^D

^---+^]Rn

tD C ^R)

ciwukrotrrie różniezkowallra

x.

punkcie

a e D ma w

tynr

purkcie

maksimrrm lokalne właściwe, jeśli:

a) druga różrriczka

8

_f_{a}jest formą

kwadratotą

niedodatnią.

łi)

druga różniczka

8 it"}

^ma

nieokeślony

znak.

c) drrrga różniczka

d'f _t")

jest formą kwadratovgą ujemną.

(10)

5.

Odwzorowanie

f ^, ^D

^--9IR*, gdzie

D C ^R', ^jest dwukrotnie

różniczkowalne

w

^punkcie a

e I*tD.

&{ożrr* to zapisać w nrłstępując;, s$r,lsób:

a) Istnieje odwzorowanie lirriowe

T:

^{]Ro --*}

K'', tż.

lim,,_g

Mb#* :

o.

b)

Itażda ze współrzędrrych f ,, ^.^.

.,.f*

jest dwukrctnie rózniczkoą,a}na w punkcie o.

c) Istnieje cdwzorowanie lirrio*,e

?:

^R."^-*^R.*,

tż,

_f

{a+

^h)

_

"f(") +

Th+r(Ł),

gdzie

iffł *

0 przy h _-+Q.

6.

Jeśli d ^:IR'

x

Rn -+ lR oznacza

rnetrl,Ę

w przestrzeni IRż, to:

a)

dla

dorvolnych

I,U,u

€

R' d(r

+

u,u

+ u)

{

^d{*,a)

*

^d,{u,u},

b) d(r,0)

można zapisać jako

|[,

|r;|2

dia r

€ R*.

c) dla dowolnych §,a,

ż

€

R"

d(r, _a}

-

^d{y,

^z) ^ż

^{d{r, z}.}

7. Niech

||r|| oznacza normę elementu

r e

^]RD,Wtedy:

a) ll"ll' : _{r,r|

dla każdego

r € R'.

b)

(ar:, a)

: a

(r, g) dla dowolnych

r,U

€ ^m,*i kazdego rr

(

0.

c)

zbiór {r

^€ ^Rn

, _ll"ll ) ^r}

^definiuje

^zbiór ąrpukły

^rł,

R'

_{r^jest^pewnąstałą dodainią},

8. Dla

funkcji _f_,g ,

D C

^]R-+ ^IR*następujące reguły różniczkowania są prawdziwe:

a) (/ _

_rlfu){a)

:

_;(e)(o)

^_

_nb)(o).

b) (c/)'(a) : _cf'ta) dla

c e R.

-) _(;)' @): fr ^au

^s{a}

^*a.

9.

Niech

f ^:U ^C

^]Rn

---+Rbędziefunkcjąróżniczkołi,,alnąwpunkcie a€Int[/.

Wtedy:

a)

jeśli !'tn):0,

to funkcja

/

ma w punkcie * minimunr lok}ane,

Y:)

z- l@): ^VJ(a),(r*

^0,11a-^a2)^jestrówrraniern prostej stycznej w punkcie

o:tor,a2)

do

rł,_1,kresu funkcji

J

^dla

ⁿ :2.

c)

istnieje dokładnie jeden u,,ektor

u €

^JRn,

że

rlla dowo}nego łvektora

z €

lĘn

mamy

zaltżttaść:

f'(").1:

^{zł,u).

10.

Niech będzie dana frrnkcj a

f

^:

^D

^--ł^]R'

^(D ^c

^m).}fastęprrjące zdania są prawdziv,e:

a) f ^jest

różniczkowalna

w

punkcie rł

e IntO

- ^a;(/}

jest różniczkowalna rv purrkcie rł

dla

pewnyrh

i: 1,...n.

b)

Pochodną p.tego

rzędu filnkcji

określamy

jako

pochoclną

p -

^1-go

^rzętlu

^pochdonej

^ptego

rzędn furrkcji

/.

c)

Funkcja

f

^jest

^pkrotnie

różniczkowalna *, puńkcie

o

wtedy

i tylko

łr,tedy,

sdy jej

^pochodna p

-

^l-szego^rzędu^je,st^okreś}onaw pes{ryrrr otoczeniu

punktu

a i różniczkowalna ^l,vtym prrnkcie,

Pytania otwarte

Zad,. l,. Narysuj

zbi,ór punktów płaszczuznE spełnźajqcy warunki:

Wyznacz jego

brzq

^(zapi,szw torrnie ^zbi,oru,).

Ą-łidyW" +tD:Łtr.s>t|l^lxl+l1|=,l n ^- ^rt

^>,

_%3 ^v

ł ^v ^{ ^(x,.}fłt ^l*ti ^l91; ^a ⁿ

^-x.=

_x!

^.

(11)

l

Zad. ż.

Obticz granicę (o

ile

istnłeje}|imą*.o1*io,o),f _{s,g), gdzie

l{r,y}: ę# ^.

^Odpowźedź

tłzasudnij.

^{t^łnąułaą}

^uc ą+"dcle . tJłłangdnłcr"rie

l

I'ó ffi ^{r^o^ćó} hń;^"a"& ffi*, ['g'j'Łto,ff'_},rYHr,o\T'

lir ^{I t,u} x(ll,Ą),elx' ,..*^ \vłó X'tql"

%W0 ^V/r,--'n _.--\|n1,

Zad. 3.

ltiyznacz ncnTŁę pcchod,nej funkcji. f

t*}:{arctgr2, łE)

^w

punkcźe"-: ,§{ffi.

$.|tr). fr,y}-fto,Lr ffi'''ffi ^?ę:Ę

łr,k), 6r;.i) ⁼ ę'l&r-.r)' ^" ,llYll"r (!xeruł '/.eY.Jr) x|*evŁer(ł.r t1)

ł}{u) = ^Ę,1,= L lP'(,)l,|l("rĄl{,[o)ll=ffi[r1-j-;l{=

ł.'(,) ^o 4r/&ąląe'(ul+|)rl,|lt Ołil,lo ^: ŃF ^=fąi=,ń_V

Zad, 4.

Zbada1.

czl

tstni,eje pochodrło. czqstkowa.

#{0,0) fun*cji ftr,a) : _n/F łł.

*ołula6vn lłP"Łr'''Ęro,o), łło +CP,O>r+e Ą,U",:

^\₌

_lJ^ ł(Łt-1_*oql

_{__}

= _{+-o t} ^{b:,^.} fu- ^=lJ.,,ł- Ł-Q Ł Ł2o ę ₉₌ ^{h}^.} *=_u.^rv=o _yizo ^Ł

edę/,^ qŁ ff _J ^Cqa= ^O

(12)

Zad.7. Wyznacz {a

^źIe^źstnieje)

^warłość

najmni,ejszq

i

n*jwi,ększq

funkcjt

f

tg,u} : $ ^aU

t*,a) ęm'

^d

^y * a.

Odpo,wźełl,ź uzasatlrĘ.

a,,,Ę _"łe I^{i.ł, ^woJkeL' Ą%Ą,W ^{ad,^h} ueąeutuOaąie : ^łp

^.

#"(.,ł) #='

ńr^Ątr łe _rryl'Ąe ,^rĄ,tffi\Mm,bo na,hic Ąr,Ąe^łO,ł,,łt| n(:

#, "(=,-n) f'= -4,

Zad. 8.

Wgznacz d,'f (a,0)(hr, h2} dla funkcji, f

{r,ń:

^cos(r2

-

^U2)

Ą,ń;;,;;:" qĘ:jąr'ł ^ffi';;:il ffi;o.'ir,ł,gófur,) ł _hł *r ^rl

''T'-lv/\-l1|''rl f'ąr _""oźJ Ttvlv/- ^ąt ąnltvlv/'*lltĘlffinwlv/' '|L _ar.|'

rb-l**Ą..6ł) . ^,o), -tnr.Cn\") -xr.lxcp-,( x1.1) jr"ro,o). o

ff ^(,9), ą,d,rtiro) .c,'l fi.!:p: ,"$,,4(xln )- Ł ^ą c",tł1.)s1 _(o,o)=o

Zad. 9.

Sprawdź, czy pochadnq adwzarowania f

{r,a) : r' - ^3y'

w punkci,e

Q,1)

^jestforwł.a

liniowa !{h) :Zfu -

^6hz^d,la^h

:

(ht, h2)

e

^m2.

NokĄsl'FĄł}ołdĄ cffio,o,olW* ^Wry

łtrrl ^ł Ułh,,,tru)_-.ł{!!\,hhłtal

_*,,11,

Y.'i

vtrr

+\ł

(h.,tr}z(olo) rĘTT-

^Qr,,

rn.t"tą

_o₁^VĄr'thuu

7

⁼

$Cr,"l).

?do^^ ł ln tt'*ri. ^

rdtłąo ₉

_r

*}" _lbe {" pxwaxn dtŁ ^{Ł 3} ę

ż (lĘs w ^rtt\a 4

-0lb

Zad. 10.

Zbadaj,

czy

zbi,ór punktóul postaci,

{(r,y,e) ^e

^w3

,

rŻ

+a':4}

^jest^poziomicq^wy-

kresu funkcjź f

t*,u): exp(5-r'-,a'},

Jeśl,i, tak, ta rł*rgsuj tę pozźamźcę. Jeśti, n,ie, to uzasatlni.j, dlaczego to ni,e iest pazi,omźca.

Pkt Zad. Pkt.

Pkt odp.

Pkt

Pkt Zad. Pkt.

Pyt.1 T T T Pyt.6 Ń

N

Pyt,2 Ń Ń T Pyt.7 N T T

Zad,7

Pyt.3 T, N N Pyt.8 v T T Zad.3

Pvt,4 l{ f Ń Pyt.9

il il

Zad.9

Pyt,5

N T Pyt,lS

T Zad.5

lmię i

Kolokwium z AM3 - termin I, styczeń

Pytania zarnknięte 1.

R

ai

dowłlnycł

ź

-

ś

d(r * u,§ *

: d{r,ń.

€Ł' |"# dla r

2.

r

ai llrlł :

r

b) {cr,

:

y) dla

*,u

ną i

ci zbiór {r

' lirll { r}

zbićr łvyp*kły

R"

dłdaitrią}.

3.

rlanafirrlkcjz f

D

(O c

zrliuriasąprawdziwe:

l

pr*kcie a € IntD :+

w

a dla

,i:1,.

.n.

pteg*

jako

ptego

- l-gc

rądu firłkcji /.

c

i

jej pacłlodaa

-

ptnkcie

i

Dla

,g, D C

R'następrrjące

:

!ta}

dla

bi

g}tlł{*): |tń{Ą

") (*)'{o) : -śblffi,kŁl-'

l

t

U C

€

€

r

f'{o}.6 :

f'{o} :0,

Pyt.1 T _T T ^Pyt.6 ^Ń

^N

Pyt,2 Ń Ń T ^Pyt.7 N T T

^Zad,7

Pyt.3 T, N N Pyt.8 v T T ^Zad.3

Pvt,4 l{ f ^Ń ^Pyt.9

^Zad.9

T ^Zad.5

^ś

€Ł' ^|"# ^dla ^r

b) _{cr,

_{y) dla}

' ^lirll ^{ ^r}

^D

^(O ^c

_.n.

- ^l-gc

,g, ^D ^C

") ^(*)'{o) : -śblffi,kŁl-'

^U ^C

Vsi{r) {f ⁱ s

(o): tr@rrjffd@ _{f _i _s

!t"} tf ⁱ

^D

^fu*eją

^{D cR"}

^}nt$:

9. Firnkcja f ^, ^D ^--ł ^]R' ^{(D C} ^R)

a € D ^ma w

10,Odwzcrowa;rief:.D--R,gdzieDCR',jestróżniczkorł.alnewprrnkciec,€Intł.

t-,)Istniejeodurzororł.anielirrioweT:]Rn--+iR,tż.!{a+ń) :"f(o) +Th+r(h),gdzieti -O

1r,r>O: ^lxlłlyl=4 n xz.*<3J u

/ ^v {(r,9).ła' ^{'. lxl1} l,sl<Ą