Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 7. – rozwiązania

Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 7. – rozwiązania

12 marzec 2019

Zadania

1. Sprawdź, czy następujące zbiory są: ograniczone, otwarte, domknięte, zwarte lub wypukłe:

a) {(x, y) ∈ R²: |x| ¬ 1 ∧ |y| < 2},

To jest prostokąt, lewy i prawy bok należy do zbioru, ale górny i dolny nie.

Ograniczony i wypukły, ale nie otwarty, nie domknięty i nie zwarty.

b) {(x, y, z) ∈ R³: 2x + y − 3z ¬ 7},

To jest półprzestrzeń pod płaszczyzną wskazaną równaniem 2x + y − 3z = 7. Płaszczyzna należy do zbioru.

Domknięty i wypukły, ale nie ograniczony, nie otwarty i nie zwarty.

c) {(x, y) ∈ R²: x²+ 9y²> 1},

To jest zewnętrze elipsy. Jej brzeg nie należy do zbioru.

Otwarty, ale nieograniczony, nie wypukły, nie domknięty i nie zwarty.

d) {(x, y) ∈ R²: x + y²< 1},

Obszar po jednej (wewnętrznej) stronie paraboli y = ±√

1 − x. Parabola nie należy.

Otwarty i wypukły, ale nie ograniczony, nie domknięty i nie zwarty.

e) {(x, y, z) ∈ R³: 4 ¬ x²+ y²+ z²< 9},

Kula z wyciętą mniejszą kulą w środku. Wewnętrzny brzeg jest, zewnętrznego nie ma.

Jest ograniczony. Nie jest otwarty, domknięty, wypukły, ani zwarty.

f) {(x, y, z) ∈ R³: x²+ y²+ z ­ 1 ∧ x²+ y²+ z²< 4}.

Przecięcie zewnętrza paraboloidy i kuli. Z czego powierzchnia paraboloidy należy, a kuli to nie.

Jest ograniczony. Nie jest wypukły, domknięty, otwarty, ani zwarty.

2. Sprawdź, czy istnieje granica. Jeśli tak, to ją oblicz, jeśli nie, to uzasadnij dlaczego.

a) lim(x,y)→(0,0)

xy x²+ y²,

Nie ma granicy, bo dla x = 0, y = 1/n mamy xy

x²+ y² = 0 → 0, ale dla x = 1/n, y = 1/n mamy

xy

x²+ y² = 1/n² 2/n² = 1

2 → 1/2.

b) lim(x,y)→(1,1)

y³− x³ x − y , Mamy

y³− x³+ 3x²y − 3xy²

x − y = (y − x)³

x − y = −(y − x) → 0.

oraz

3x²y − 3xy²

x − y = 3xy(x − y)

x − y = 3xy → 3.

1

Natomiast

y³− x³

x − y =y³− x³+ 3x²y − 3xy²

x − y −3x²y − 3xy²

x − y → 0 − 3 = −3.

c) lim(x,y)→(0,0)

sin xy x²+ y²,

Nie ma granicy, bo dla x = 0, y = 1/n mamy sin xy

x²+ y² = 0 → 0, ale dla x = 1/n, y = 1/n mamy

sin xy

x²+ y² =sin 1/n² 2/n² =1

2 ·sin 1/n²

1/n² → 1/2 · 1 = 1/2.

d) lim(x,y)→(0,0)

p1 + x²+ y²− 1 x²+ y² , x²+ y²= r², więc

lim

(x,y)→(0,0)

p1 + x²+ y²− 1 x²+ y² = lim

r→0

√1 + r²− 1 r² = lim

r→0

1 + r²− 1 r²(√

1 + r²+ 1) = lim

r→0

√ 1

1 + r²+ 1 = 1/2.

e) lim(x,y)→(0,1)

sin xy x , Mamy sin xy

xy → 1, bowiem xy → 0. Zatem ^{sin xy}_x = y · ^{sin xy}_xy = 1 · 1 = 1.

f) lim(x,y)→(0,0)

sin xy x , Mamy sin xy

xy → 1, bowiem xy → 0. Zatem ^{sin xy}_x = y · ^{sin xy}_xy = 0 · 1 = 0.

g) lim(x,y)→(0,0)

x x²+ y²,

Nie ma granicy. Rzeczywiście, jeśli x = 1/n, y = 0, to _x2+y^{x 2} = _1/n^1/n2 = n → ∞, jeśli x = −1/n, y = 0, to _x2+y^x ₂ = ^−1/n_1/n2 = −n → −∞.

h) lim(x,y)→(0,0)y ln(x²+ y²).

x²+ y²= r²→ 0, i |y| ¬ r, więc

|y ln(x²+ y²)| = |y|| ln r²| ¬ r| ln r²| = − ln r² 1/r , ma tę samą granicę, co

−2r · 1/r²

−1/r² = 2r → 0, zatem i granica badanej funkcji wynosi 0.

2