Lista 17. Zastosowanie pochodnych i całki
Optymalizacja
1. Liczbę 200 przedstaw w postaci sumy dwóch liczb x, y tak, aby:
(a) suma kwadratów była najmniejsza;
(b) wyrażenie W (x, y) = x3+ 3xy + 4y2 było ekstremalne.
2. Objętość walca jest równa 250π cm3. Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako funkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długość promienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.
3. Z drutu długości 20m chcemy wykonać szkielet kwadraty i trójkąta równobocznego. Jak dobrać wymiary tych figur, aby suma pól była największa?
4. Na kuli o promieniu R opisano stożek. Jaka będzie wysokość stożka o najmniejszej objętości.
5. Obwód trójkąta równoramiennego wynosi 18. Jakie powinny być jego boki, aby objętość figury powstałej przez obrót trójkąta wokół jego podstawy była największa?
6. Dane są punkty A = (1, 3) oraz B = (2, 2). Znaleźć punkt C leżący na sinusoidzie (y = sin(x)), dla którego pole trójkata ∆(A, B, C) jest najmniejsze.
Wzór Taylora
Oznaczenie: (f0)0(x) = f(2)(x), (f(n))0(x) = f(n+1)(x).
Twierdzenie 0.1 (Wzór Taylora) Jeśli mamy dane: funkcję f , punkt x0, n ∈ N, to war- tość f (x0+ h) (domyślnie h jest małe) można policzyć ze wzoru:
f (x0+h) = f (x0)+f0(x0)h+f(2)(x0)
2! h2+f(3)(x0)
3! h3+f(4)(x0)
4! h4+...+f(n)(x0)
n! hn+rn+1(h), gdzie reszta rn+1(h) spełnia szacowanie
|rn+1(h)| ¬ f(n+1)(θ)
(n + 1)! (n + 1)2. Ponadto punkt θ jest pomiędzy x0 a x0+ h.
Uwaga 1: Często korzystamy z powyższego wzoru z x0= 0. Uwaga 2: Znając warość funkcji i jej pochodnych w punkcie x0, można policzyć wartość tej funkcji w punktach bliskich (tzn.
x0+ h). Im h jest mniejsze, a napisana suma dłuższa, tym mniejszy jesy błąd r. Dodatkowo wiemy jak oszacować ten błąd.
7. Napisz wzór Taylora długości n w punkcie x0= 0 dla funkcji:
(a) f (x) = x−11 , (b) f (x) =√
x + 1, (c) f (x) = sin(x), (d) f (x) = cos(x),
(e) f (x) = ex, (f) f (x) = x2ex, (g) f (x) = x21+2.
1
8. Znajdź wartość:
(a) √
1, 1 z dokładnością do 10−2, (b) sin 2 z dokładnością do 10−3,
(c) cos 0, 1 z dokładnością do 10−6, (d) √
e z dokładnością do 10−3,
(e) π z dokładnością do 10−3 (skorzystaj z π = 4 arc tg12+ arc tg13), (f) √
10.
Całki
Jeśli funkcja F (x) ma pochodną w kazdym punkcie dziedziny (np. dla D = R), to dostajemy nową funkcję f (x) = F0(x) można sobie naturalnie zadać pytanie: czy mając dane f (x) = F0(x) można dostać F (x) i jakie to ma znaczenie? Okazuje się, że ta operacja jest niesamowicie użyteczna.
Powstaje pytanie o jednoznaczonść. Przecież funkcje x2, x2+ 1, x2+ C (C ∈ R) mają tą samą pochodną. Można łatwo zauważyć, że to jedyna niejednoznaczność, co pozwala nam napisać następującą definicję:
Definicja 0.1 Całką nieoznaczoną z funkcji f (x) nazywamy rodzinę tzw. "funkcji pierwot- nych" F (x) + C (C ∈ R), jeśli
F0(x) = f (x).
Zapiisujemy to tak:
Z
f (x) dx = F (x) + C.
Uwaga: Funkcja F (x) dalej jest niejednoznaczna, ale dwie funkcje F (x) spełniające powyższą definicję różnią się o stałą.
9. Przypominając sobie wzory na pochodne oblicz całki:
(a) R (x2− 4x7) dx, (b) R √3
x dx, (c) R sin(x) dx, (d) R e5xdx,
(e) R 1
√5
x3dx, (f) R cos(2x − 3) dx, (g) R x2sin(x3) dx, (h) R cos(x)esinxdx,
(i) R 3x2+2
√3
x5 dx,
(j) R cos(sin2(x2)) · 2 sin(x2) · cos(x2) · 2x dx,
Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl
2
